微专题03 垂直平分线模型与等距转化2026-2027学年八年级数学上册苏教版专用

专题三垂直平分线模型与等距转化培优专题讲与练 一必备知识 垂直平分线把“点在一条直线上”与“点到两个端点的距离相等”联系起来。本专题从线段和、周 长、角度和最值中的等距关系出发，既使用性质，也反过来确定点与直线的位置。 1定义与使用条件 设A、B为不同的两点。经过线段AB的中点M,并且垂直于AB的直线，叫作线段AB的垂直平分 线。 “过中点”与“垂直”缺一不可。垂直平分线是一条直线，不是图中画出的那一小段。 ◆B 点到两个端点的距离是两条线段的长；点到直线的距离则是垂线段的长。两种“等距”不可混 用。 2性质线上点到两端点等距 若点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB。 A 证明 设M是AB的中点。当P=M时，PA=PB=AM。下面设P≠M,连接PA、PB。 在△PMA与△PMB中， AM=BM ∠PMA=∠PMB=90 PM=PM △PMA兰△PMB(SAS)。 因此PA=PB。 使用性质时，要先说明点在哪一条线段的垂直平分线上，再写对应的两条等长线段。 第1页共23页 3判定两端点等距确定点的位置 若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上。 A 4 证明 若P在直线AB上，由PA=PB可知P只能是AB的中点，结论成立。 若P不在直线AB上，取AB的中点M,连接PM。在△PMA与△PMB中， PA=PB AM=BM PM=PM △PMA兰△PMB(SSS). 所以∠PMA=∠PMB。又A、M、B共线，两角之和为180°，故两角均为90°。因此直线PM是 AB的垂直平分线，点P在这条直线上。 若两个不同的点都到A、B等距，则这两点确定的直线就是AB的垂直平分线。“两个点不同”不能 省略。 第2页共23页 二典例精讲 例题如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6。点P在线段AB上，AP=4。在线段AC上求作点 E,使AE+EP=AC,并求AE的长。（保留作图痕迹，不写作法。） B B 题图 解图 分析 先由点序把线段和译成EP=EC,确定应作的垂直平分线；再用长度计算与回代，简洁地证明交 点确在允许的线段上。 解 因为E在线段AC上，AC=AE+EC,所以AE+EP=AC等价于EP=EC。所求点应是PC的垂直平 分线与AC的交点。 先求合法点必须满足的长度。E=A时，AE+EP=4≠6；E=C时，AE+EP>6。因此若有解，E -定在AC内部。设AEX则EP=EC=6=X。在t△APE中，X+46-XP,得AE=X号 再验证这个点确实存在。在线段AC上取AE=号，则EC=6-}号。由勾股定理， 33 EP=4+(P=号=EC,所以AE+P=AC. 由垂直平分线的判定，所取的E在PC的垂直平分线上。因此作PC的垂直平分线，它与AC的交 点就是所求点。图中保留以P、C为圆心、相同半径所作的两组交弧。 任何满足题意的点都必须有AE=?,而线段AC上这样的点只有一个，故所求点唯一。 第3页共23页 三分类讲练 1把条件译成等距，再确定点的位置 线段和可借助点序改写成两段相等，再用垂直平分线确定所求点。所求点限制在线段上时，还 要检查内部、端点和无解三种情形。 例1在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=9,AC=6。点P在线段AB上且P≠A,设AP=p。求p的取 值范围，使线段AC上存在点E满足AE+EP=AC;当点E存在时，用含p的式子表示AE的长。 P 分析 “作出中垂线”只能得到直线上的候选点；本题还必须把AE≥0等位置条件纳入检验。充分性也需 验证，不能只解出一个代数表达式。 解答 若E=A,原等式成为AP=AC,所以p=6,并且p=6时E=A确实满足题意。若E=C,原等式要 求CP=0,与P≠C矛盾。 以下设E在线段AC内部。由AC=AE+EC,原等式等价于EP=EC。设AE=x,则0<x<6, EP=6-x。在Rt△APE中，p2+X2=(6-xP,所以x=36-卫 12 由x>0,得p<6;结合P≠A,得0<p<6。反之，当0<p<6时，0<36-卫<3，在线段AC上取 12 AE=36-卫，由勾股定理可得EP2=(6-AE,故EP=EC,原等式成立。 12 因此p的取值范围为0<p≤6。当0<p<6时，E在AC内部；当p=6时，E=A。两种情况下都可写 成AE=36-p2 12 第4页共23页 变式1-1在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6。点P在线段AB上，AP=8。线段PC的垂直平分 线与直线AC交于E,求AE+EP的值。 B 分析 中垂线仍能保证EP=EC,却不能保证AC=AE+EC。先确定E在A的外侧，才能正确写出 EC=AC+AE。 解答 由垂直平分线的性质，EP=EC。若E在线段AC上，则AE+EP=AE+EC=6;但由三角形不等 式，AE+EP≥AP=8,矛盾。若E=C或在AC越过C的延长线上，则在直角三角形APE中有 EP>AE≥EC,也矛盾。 因此E在CA越过A的延长线上。设AE=t>0,则EC=6+t,所以EP=6+t。 在m△APE中，8+=6+t,得=子，EP=6+了号， .725 故AE+EP-子+25-32。 3339 第5页共23页 2连续转移等长，整理周长与线段 两次等距关系可把分散的边搬到同一条直线上。交点由边内移到延长线上后，必须重新确定各 段相加还是相减。 例2如图，线段AC的垂直平分线交AC于E,交BC于F,直线AD是线段BF的垂直平分线，点 D在BC上。点B,D,F,C依次排列。已知AE=6,△ABC的周长为34，求CD的长。 E B D 分析 第一条中垂线给出AF=FC,第二条给出AB=AF和BD=DF。先把两条边搬到直线BC上，再利 用点序合并，避免直接猜周长公式。 解答 由E是AC的中点，得AC=2AE=12。由F在AC的垂直平分线上，得FA=FC。 由直线AD是BF的垂直平分线，得AB=AF且BD=DF。因此AB=FC。 根据点序B,D,F,C,BC=BD+DF+FC=2DF+FC。于是 AB+BC=FC+(2DF+FC)=2(DF+FC)=2CD. 所以34=AC+AB+BC=12+2CD,解得CD=11。 第6页共23页 变式2一1如图，线段AC的垂直平分线交AC于E,交BC的延长线于F,点序为B,C,F。直线 AD是线段BF的垂直平分线，点D在直线BC上。 (1)求证：点D在线段CF内部； (2)若AD=4,DF=3,求△ABC的周长。 A B 分析 外点图中必须先证明D落在哪一段上，不能沿用内点图的周长等式。本题用三角形两边之和大 于第三边确定点序。 解答 由中垂线的性质，AB=AF=FC又D为BF的中点，所以BD=DFBF。 在非退化△ABF中，BF<AB+AF=2FC。因为BF=BC+CF,所以BC<CF,进而 BC<BC+CF)=BD。又BD<BF,故点序为B,C,D,F,点D在线段CF内部。 在Rt△ADF中，AF=VAD2+DF=V42+3=5,所以AB=FC=5。 BF=2DF=6,故BC=BF-FC=1,CD=BD-BC=3-1=2。 在Rt△ADC中，AC=VAD2+CD=2V5。因此△ABC的周长为5+1+2V5=6+2V5。 第7页共23页 3两条中垂线交点与角度追踪 两条中垂线的交点到三个顶点等距，因而可得到不同的等腰三角形。底边交点次序或交点所在 角域改变时，需重新写内角与邻补角关系。 例3如图，在钝角△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交BC于F、N, 两条垂直平分线交于P。点B,F,N,C依次排列，点P与点A在直线BC两侧。已知∠FAN=60°， 求∠FPN的度数。 E M B 分析 先用两次等距得到底边上的两个等腰三角形，再把它们的顶角转成△AFN中的角。最后求的是 中垂线的指定射线夹角，不能只凭“二直线夹角”选锐角或钝角。 解答 由垂直平分线的性质，FA=FB,NA=NC。设∠B=B,∠C=y,则∠BAF=B,∠CAN=Y 在△ABF中，∠AFB=180°-2B。由B,F,N,C的点序，∠AFN=180°-∠AFB=2B。同理， ∠ANF=2Y。 在△AFV中，60°+2B+2y=180°，故B+y=60。 因为PF⊥AB、PN⊥AC,且P在BC的异于A的一侧，所以∠PFN=90°-B,∠PNF=90°-Y。 在△FPN中，∠FPN=180-(90-B)-(90-y)=B+y=60。 第8页共23页 变式3一1如图，锐角△ABC的边AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交BC于F、 N,两条中垂线交于三角形内部的点P。点B,N,F,C依次排列。已知∠FAN=40°，求∠FPN的 度数。 A M 分析 这里不仅P的位置改变，F、N的先后次序也与前图相反。等腰三角形顶角是否要取邻补角，必 须由射线方向重新判断。 解答 由中垂线的性质，FA=FB,NA=NC。设∠B=B、∠C=y,则∠AFB=180-2B, ∠ANC=180°-2y。 由点序B,N,F,C,射线FN与FB同向，射线NF与NC同向，故∠AFN=180°-2B, ∠ANF=180-2y。 在△AFN中，40+(180°-2β)+(180°-2y)=180°，得B+y=110°。 点P在三角形内部，且PF⊥AB、PN⊥AC,所以∠PFN=90-B,∠PNF=90-Y。 在△FPN中，∠FPN=180-(90-B)-(90-y)=110。 第9页共23页 变式3一2如图，AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交于点P。点B、C在直线AP 的同一侧，PA‖BC,射线BA在∠PBC内部，且∠PAB=20°。求∠ACB的度数。 E B 分析 两条中垂线先把三个距离连在一起，平行条件再确定射线间的角。此图中的P不是三角形内 点，角不能按内点图直接相加。 解答 由中垂线的性质，PA=PB=PC。在△PAB中，∠PBA=∠PAB=20°。 由PABC及图示位置，∠ABC=∠PAB=20°，射线BA在∠PBC内部，所以 ∠PBC=∠PBA+∠ABC=40。 由PB=PC,得∠PCB=∠PBC=40°。又PA‖BC,所以∠APC=∠PCB=40。 在△APC中，PA=PC,所以∠ACP=180-40=70。因此 2 ∠ACB=∠ACP+∠PCB=70°+40=110°。 第10页共23页 4点到端点等距与点到两边等距 垂直平分线给出斜边相等，角平分线给出垂直距离相等，两者可配合判定直角三角形全等。内 外角变化会改变垂足点序，从而改变线段和差。 例4如图，在△ABC中，AB=7,AC=3。点D在∠BAC的平分线上，且在BC的垂直平分线 上。过点D作DE⊥AB于E,DF⊥直线AC于F,点序为A,E,B和A,C,F。求BE、CF的长。 E 分析 先区分两类等距：DB=DC比较到两个端点的距离，DE=DF比较到两条边的垂直距离。它们分 别提供HL判定所需的斜边和直角边。 解答 因为AD平分∠BAC,且DE⊥AB、DF⊥AC,所以DE=DF。因为D在BC的垂直平分线上，所 以DB=DC。 在Rt△DBE与Rt△DCF中， ∠DEB=∠DFC=90 DB=DC DE=DF Rt△DBE兰Rt△DCF(HL)。 所以BE=CF。在Rt△AED与Rt△AFD中， ∠AED=∠AFD=90 AD=AD DE=DF Rt△AED兰Rt△AFD(HL)O 所以AE=AF。由点序可得AB-AC=(AE+BE)-（AF-CF)=BE+CF。 因此BE+CF=7-3=4,结合BE=CF,得BE=CF=2。 第11页共23页 变式4一1如图，△ABC中，AB=7,AC=3。延长CA至X,点C,A,X依次排列。外角∠BAX 的平分线与BC的垂直平分线交于D。过D作DE⊥AB于E,DF⊥直线AC于F,E在线段AB内 部，F在射线AX上。求AE、BE的长。 B D X A 分析 两次全等仍可成立，但F已越过A,因此CF=CA+AF,不能沿用内角图的CF=AF-AC。 解答 因为AD平分∠BAX,所以DE=DF;因为D在BC的垂直平分线上，所以DB=DC。 在Rt△DBE与Rt△DCF中， ∠DEB=∠DFC=90 DB=DC DE=DF Rt△DBE兰Rt△DCF(HL)。 所以BE=CF。在Rt△AED与Rt△AFD中， ∠AED=∠AFD=90 AD=AD DE=DF Rt△AED兰Rt△AFD(HL)O 所以AE=AF。设AE=AF=X,则BE=7-X,CF=CA+AF=3+X。 由BE=CF,得7-x=3+x,解得x=2。所以AE=2,BE=5。 第12页共23页 5长度下界与允许位置 把中垂线上的一段长度换成到另一端点的距离，可将折线与直线段比较。求最小值还须找到满 足全部位置限制的取等点，不能只写出一个下界。 例5如图，BC=6,△ABC的面积为24。AB的垂直平分线分别与线段AB、AC交于E、F。作 AH⊥BC于H,其中H在线段BC内部。点M在线段EF上，点D在线段BC上。求BM+MD的最 小值，并指出取得最小值时M、D的位置。 A E M 分析 中垂线把BM换为AM,两次比较给出下界。只有两步等号能同时在允许的线段上实现时，下界 才是最小值。 解答 由SA服=号BCAH,得An=2X24=8. 6 因为M在AB的垂直平分线上，所以MA=MB。于是BM+MD=AM+MD≥AD≥AH=8。 第一步等号要求A,M,D共线且M在线段AD上；第二步等号要求D=H。因此若取得下界，必有 D=H,且M为AH与EF的交点。 点E在AB内部，点F在线段AC上且不与A重合；因为B、C在直线AH两侧，所以E、F也在AH 两侧。故EF与AH相交于点K,且EF位于三角形内部，使K在线段AH内部。取M=K、D=H 时，BM+MD=AK+KH=AH=8。 因此最小值为8，且取等位置为D=H、M=K。 第13页共23页 变式5-1如图，在△ABC中，作AH⊥直线BC于H,点B,C,H依次排列，CH=2,AH=4。 AB的垂直平分线分别与线段AB、AC交于E、F。点M在线段EF上，点D在线段BC上。求 BM+MD的最小值，并指出取得最小值时M、D的位置。 E M B H 分析 垂线长度AH=4虽然也是下界，却不能由D取得，因为H不在线段BC上。应比较所有允许点到 A的距离，找到端点C处的可达下界。 解答 因为M在AB的垂直平分线上，所以BM=AM。于是BM+MD=AM+MD≥AD。 对线段BC上的任一点D,有HD=HC+CD≥HC=2。由勾股定理， AD=AH+HD2≥42+2=20，所以AD≥2V5=AC’等号仅在D=C时成立。 因此BM+MD≥2V5。取D=C、M=F,因为F在线段AC上，且BF=AF,所以 BF+FC=AF+FC=AC=2V5,下界能够取得。 若取到最小值，必须有D=C,且A,M,C共线、M在线段AC上。直线EF与AC只有交点F,故 只能M=F。 第14页共23页 四分层练习 基础巩固 1.如图，M是线段AB的中点，PM⊥AB。已知∠PAB=38°，求∠APB的度数。 B M 分析 把定义中的两个条件合在一起，才可调用等距性质。 解答 M是AB的中点，且PM⊥AB,所以点P在AB的垂直平分线上，PA=PB。 因此∠PBA=∠PAB=38°，∠APB=180°-38-38°=104°。 2.如图，点A,B,C在同一直线上，点序为A,B,C,且AB=4,BC=6。点P不在直线AC上， PA=PC=13,求PB的长。 P A BM 分析 题目没有给出垂线。先由到A、C等距确定垂足是AC的中点，再把PB放入新的直角三角形中。 解答 取AC的中点M,连接PM。由PA=PC,点P在AC的垂直平分线上，所以PM⊥AC。 AC=AB+BC=10,所以AM=CM=5。因为AB=4<5,点序为A,B,M,C,故BM=1。 在Rt△PAM中，PM2=PA2-AM2=13-52=144。 在Rt△PBM中，PB=PM2+BM=144+1=145,所以PB=V145。 第15页共23页 3.如图，线段AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D,点D在线段BC内部。已知AB=8, △ABD的周长为22，求BC的长。 B D 分析 本题只需一次等距转移，不应额外作高或添加全等三角形。 解答 点D在AC的垂直平分线上，所以DA=DC。 根据D在BC内部，AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC。 因此22=8+BC,得BC=14。 4.如图，AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交BC于D、F。点B,D,F,C依次排 列，BC=10。求△ADF的周长。 E B 分析 两条中垂线分别把AD、AF移到BD、FC,保留下来的DF正好补齐整段BC。 解答 由D在AB的垂直平分线上，得DA=DB,由F在AC的垂直平分线上，得A=FC。 因此△ADF的周长为AD+DF+FA=BD+DF+FC=BC=10。 第16页共23页 5.如图，A、B为不同的两点，P、Q是直线AB外的两个不同点，且PA=PB,QA=QB。直线 PQ与AB交于M。已知AB=12,求AM的长及∠PMA的度数。 P y M Q 分析 一个等距点只确定“点在线上”，两个不同的等距点才确定整条直线。 解答 由PA=PB,点P在AB的垂直平分线上；由QA=QB,点Q也在AB的垂直平分线上。 P、Q为不同的两点，两点确定一条直线，所以直线PQ就是AB的垂直平分线。 因此M是AB的中点，AM=2AB=6,且∠PMA=90。 第17页共23页 方法运用 6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°。AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交于点 P,且P与A在直线BC两侧。求∠BPC的度数。 A M B C 分析 这次所求角的两边连接的是顶点B、C,不是底边上的中垂线交点。应先补出三个等距线段，再 根据点P所在区域组合角。 解答 由垂直平分线的性质，PA=PB,PA=PC。连接PA、PB、PC。 在等腰三角形PAB、PAC中，∠PAB、∠PAC均为锐角。点B,C,P都在过A且平行于BC的直线 的同一侧；若射线AP在∠BAC外，则上述两个角中有一个大于120°，矛盾。因此AP在∠BAC 内部。又A、P在BC两侧，所以线段AP穿过线段BC内部，射线PA也在∠BPC内部。 设∠BAP=X,∠PAC=y,则x+y=120°。由PA=PB、PA=PC,得∠APB=180°-2x, ∠APC=180-2y. 因此∠BPC=∠BPA+∠APC=360-2(x+y)=120。 第18页共23页 7.如图，点D在∠BAC内部。DE⊥AB于E,DF⊥直线AC于F,点序为A,E,B和A,C,F。已 知DE=DF,BE=CF。求证：点D在BC的垂直平分线上。 B 分析 本题已知的是两条直角边分别相等，斜边等距是要推出的结论，因此应使用SAS,不能把 DB=DC提前当作HL条件。 解答 在△DEB与△DFC中， DE=DF ∠DEB=∠DFC=90 EB=FC △DEB兰△DFC(SAS)。 所以DB=DC。由垂直平分线的判定，点D在BC的垂直平分线上。 8.如图，M是线段AB的中点，AB=8。点E、F在过M且垂直于AB的同一条射线上，点序为 M,E,F,ME=2。点P在线段EF上，求PA+PB的最小值，并指出此时P的位置。 F E ■ M B 分析 虽然到A、B等距，但AB的中点不在允许线段上；用PM的最小值决定所求长度的最小值。 解答 点P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB,且AM=4。 由点序M,E,F及P在线段EF上，PM≥ME=2。在Rt△AMP中，PA=AM2+PM≥42+2=20。 所以PA+PB=2PA≥4V5。当且仅当P=E时，PM=2,等号成立。 第19页共23页 9.如图，A,B,C是不在同一直线上的三个点。求作点P,使PA=PB=PC。(保留作图痕迹， 不写作法。) 分析 题目只给三点与三距相等的目标，需要自行选择两组端点作中垂线；第三组等距通过等量传递 得到，不必另作第三条中垂线。 解答 作线段AB、AC的垂直平分线，两线的交点记为P,保留两组等半径交弧及连接交弧点的直线。 因为A,B,C不共线，直线AB、AC相交而不重合，所以它们的垂直平分线不平行，存在唯一交 点P。 由P在AB的垂直平分线上，得PA=PB,由P在AC的垂直平分线上，得PA=PC。因此 PA=PB=PC,所作点满足题意。 若点Q也满足QA=QB=QC,由垂直平分线的判定，Q也在AB、AC的两条垂直平分线上。两线 只有一个交点，所以Q=P,所求点唯一。 迁移运用 10.点A,B,C在同一直线上，且点序为A,B,C。求证：平面内不存在点P使PA=PB=PC。 N C B 分析 先把两组等距翻译成两条中垂线，再使用过直线外一点的垂线唯一性；共线的特殊情况须单独 排除。 解答 若P在直线AC上，由PA=PC可知P是AC的中点。因为B在AC内部，PB<PA,不可能同时满足 PA=PB。 若P不在直线AC上，设M、N分别是AB、BC的中点。由PA=PB和PB=PC,有PM⊥AC、 PN⊥AC。 由于点序为A,M,B,N,C,M≠N,这等于从直线AC外一点P向AC作出两条不同的垂线，与垂 线的唯一性矛盾。 因此这样的点P不存在。 第20页共23页 11.如图，M为AB的中点，直线l⊥AB于M。点P与点A在直线l的同一侧，且P不在直线AB 上。求证：PA<PB。 T M B 分析 把较远的B通过中垂线上的点换成A,再用非退化三角形的严格不等式比较。 解答 线段PB与直线l交于点T。因为A、P在同侧，B在另一侧，所以T在线段PB内部。 直线是AB的垂直平分线，故TA=TB。 因为T在线段PB内部，且P不在直线AB上，所以A,P,T不共线。在△APT中， PA<PT+TA=PT+TB=PB。 第21页共23页 五综合提高 1.在△ABC中，AB=AC。线段AB的垂直平分线与射线BC交于点D,且AC=CD。求∠BAC的 所有可能值。 A B D 分析 AD=BD把D限制在AB的中垂线上，但射线允许D在C内侧或外侧。两种点序改变的是角的加减 关系，不能只求出一种配置就结束。 解答 点D在AB的垂直平分线上，所以AD=BD,且D≠B。由AC=CD>0,知D≠C。设 ∠ABC=∠ACB=0,则∠BAC=180°-20，其中0<0<90°。点D在射线BC上，分为B,D,C与 B,C,D两种点序。 当点序为B,D,C时，由AD=BD,得∠BAD=∠ABD=0,所以∠ADB=180°-20， ∠ADC=20。 由AC=CD,得∠CAD=∠ADC=20。因此∠BAC=∠BAD+∠DAC=30。于是30=180°-20， 得0=36°，∠BAC=108。 当点序为B,C,D时，由AD=BD,仍有∠BAD=∠ABD=0。在△ACD中，∠ACD=180°-0， 又AC=CD,故∠CAD=∠ADC=0. 此时射线AC在∠BAD内部，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD,即日=(180°-20)+号0。解得 0=72°，BAC=36°。 两种情况均能实现。第一种取底角为36的等腰三角形，在顶角内部作∠BAD=36°，射线AD交 BC于D,由角度可得AD=BD,且∠CAD=∠ADC=72°，所以AC=CD。 第二种取底角为72°的等腰三角形，在AC的外侧作∠CAD=36°，使∠BAD=72°，射线AD交射 线BC于D。此时D在C的外侧，∠CAD=∠ADC=36°，故AC=CD,又∠BAD=∠ABD=72, 故AD=BD。 综上，∠BAC的所有可能值为108°、36。 第22页共23页 2.在△ABC内部有一点D,AD平分∠BAC,且DB=DC。求证：AB=AC。 A A D D B 题图 假设AB>AC时的构造示意 分析 角平分线上的点到两条边等距，与到两个端点等距并非一回事。“点在三角形内部”把外部交点 排除，结合截取短边的全等构造可反推出两边相等。 解答 假设AB>AC,在线段AB上取点E,使AE=AC,连接DE。因为AB>AC>0,点E在AB内部。 在△AED与△ACD中， AE-AC ∠EAD=∠CAD AD=AD △AED兰△ACD(SAS)。 因此DE=DC,∠AED=∠ACD。又DB=DC,所以DB=DE,从而∠DBE=∠BED。 因为点序为A,E,B,所以∠DBE=∠DBA,∠BED=180°-∠AED。于是 ∠DBA+∠ACD=180。 但D在△ABC内部，故∠DBA<∠ABC,∠ACD<∠ACB。因此 ∠DBA+∠ACD<∠ABC+∠ACB<180°，矛盾。 所以AB>AC不成立。同理，交换B、C,可排除AC>AB。因此AB=AC。 第23页共23页 专题三 垂直平分线模型与等距转化 培优专题讲与练 一 必备知识 垂直平分线把“点在一条直线上”与“点到两个端点的距离相等”联系起来。本专题从线段和、周长、角度和最值中的等距关系出发，既使用性质，也反过来确定点与直线的位置。 1 定义与使用条件 设为不同的两点。经过线段的中点并且垂直于的直线，叫作线段的垂直平分线。 “过中点”与“垂直”缺一不可。垂直平分线是一条直线，不是图中画出的那一小段。 点到两个端点的距离是两条线段的长；点到直线的距离则是垂线段的长。两种“等距”不可混用。 2 性质 线上点到两端点等距 若点在线段的垂直平分线上，则 证明 设是的中点。当时，下面设连接 在与中， （SAS）。 因此 使用性质时，要先说明点在哪一条线段的垂直平分线上，再写对应的两条等长线段。 3 判定 两端点等距确定点的位置 若则点在线段的垂直平分线上。 证明 若在直线上，由可知只能是的中点，结论成立。 若不在直线上，取的中点连接在与中， （SSS）。 所以又共线，两角之和为故两角均为因此直线是的垂直平分线，点在这条直线上。 若两个不同的点都到等距，则这两点确定的直线就是的垂直平分线。“两个点不同”不能省略。 二 典例精讲 例题 如图，在中，点在线段上，在线段上求作点使并求的长。（保留作图痕迹，不写作法。） 题图 解图 分析 先由点序把线段和译成确定应作的垂直平分线；再用长度计算与回代，简洁地证明交点确在允许的线段上。 解 因为在线段上，所以等价于所求点应是的垂直平分线与的交点。 先求合法点必须满足的长度。时，时，因此若有解，一定在内部。设则在中，得 再验证这个点确实存在。在线段上取则由勾股定理，所以 由垂直平分线的判定，所取的在的垂直平分线上。因此作的垂直平分线，它与的交点就是所求点。图中保留以为圆心、相同半径所作的两组交弧。 任何满足题意的点都必须有而线段上这样的点只有一个，故所求点唯一。 三 分类讲练 1 把条件译成等距，再确定点的位置 线段和可借助点序改写成两段相等，再用垂直平分线确定所求点。所求点限制在线段上时，还要检查内部、端点和无解三种情形。 例1 在中，点在线段上且设求的取值范围，使线段上存在点满足当点存在时，用含的式子表示的长。 分析 “作出中垂线”只能得到直线上的候选点；本题还必须把等位置条件纳入检验。充分性也需验证，不能只解出一个代数表达式。 解答 若原等式成为所以并且时确实满足题意。若原等式要求与矛盾。 以下设在线段内部。由原等式等价于设则在中，所以 由得结合得反之，当时，在线段上取由勾股定理可得故原等式成立。 因此的取值范围为当时，在内部；当时，两种情况下都可写成 变式1－1 在中，点在线段上，线段的垂直平分线与直线交于求的值。 分析 中垂线仍能保证却不能保证先确定在的外侧，才能正确写出 解答 由垂直平分线的性质，若在线段上，则但由三角形不等式，矛盾。若或在越过的延长线上，则在直角三角形中有也矛盾。 因此在越过的延长线上。设则所以 在中，得 故 2 连续转移等长，整理周长与线段 两次等距关系可把分散的边搬到同一条直线上。交点由边内移到延长线上后，必须重新确定各段相加还是相减。 例2 如图，线段的垂直平分线交于交于直线是线段的垂直平分线，点在上。点依次排列。已知的周长为求的长。 分析 第一条中垂线给出第二条给出和先把两条边搬到直线上，再利用点序合并，避免直接猜周长公式。 解答 由是的中点，得由在的垂直平分线上，得 由直线是的垂直平分线，得且因此 根据点序于是 所以解得 变式2－1 如图，线段的垂直平分线交于交的延长线于点序为直线是线段的垂直平分线，点在直线上。 （1）求证：点在线段内部； （2）若求的周长。 分析 外点图中必须先证明落在哪一段上，不能沿用内点图的周长等式。本题用三角形两边之和大于第三边确定点序。 解答 由中垂线的性质，又为的中点，所以 在非退化中，因为所以进而又故点序为点在线段内部。 在中，所以 故 在中，因此的周长为 3 两条中垂线交点与角度追踪 两条中垂线的交点到三个顶点等距，因而可得到不同的等腰三角形。底边交点次序或交点所在角域改变时，需重新写内角与邻补角关系。 例3 如图，在钝角中，的垂直平分线分别交于交于两条垂直平分线交于点依次排列，点与点在直线两侧。已知求的度数。 分析 先用两次等距得到底边上的两个等腰三角形，再把它们的顶角转成中的角。最后求的是中垂线的指定射线夹角，不能只凭“二直线夹角”选锐角或钝角。 解答 由垂直平分线的性质，设则 在中，由的点序，同理， 在中，故 因为且在的异于的一侧，所以 在中， 变式3－1 如图，锐角的边的垂直平分线分别交于交于两条中垂线交于三角形内部的点点依次排列。已知求的度数。 分析 这里不仅的位置改变，的先后次序也与前图相反。等腰三角形顶角是否要取邻补角，必须由射线方向重新判断。 解答 由中垂线的性质，设则 由点序射线与同向，射线与同向，故 在中，得 点在三角形内部，且所以 在中， 变式3－2 如图，的垂直平分线分别交于交于点点在直线的同一侧，射线在内部，且求的度数。 分析 两条中垂线先把三个距离连在一起，平行条件再确定射线间的角。此图中的不是三角形内点，角不能按内点图直接相加。 解答 由中垂线的性质，在中， 由及图示位置，射线在内部，所以 由得又所以 在中，所以因此 4 点到端点等距与点到两边等距 垂直平分线给出斜边相等，角平分线给出垂直距离相等，两者可配合判定直角三角形全等。内外角变化会改变垂足点序，从而改变线段和差。 例4 如图，在中，点在的平分线上，且在的垂直平分线上。过点作于直线于点序为和求的长。 分析 先区分两类等距：比较到两个端点的距离，比较到两条边的垂直距离。它们分别提供HL判定所需的斜边和直角边。 解答 因为平分且所以因为在的垂直平分线上，所以 在与中， （HL）。 所以在与中， （HL）。 所以由点序可得 因此结合得 变式4－1 如图，中，延长至点依次排列。外角的平分线与的垂直平分线交于过作于直线于在线段内部，在射线上。求的长。 分析 两次全等仍可成立，但已越过因此不能沿用内角图的 解答 因为平分所以因为在的垂直平分线上，所以 在与中， （HL）。 所以在与中， （HL）。 所以设则 由得解得所以 5 长度下界与允许位置 把中垂线上的一段长度换成到另一端点的距离，可将折线与直线段比较。求最小值还须找到满足全部位置限制的取等点，不能只写出一个下界。 例5 如图，的面积为的垂直平分线分别与线段交于作于其中在线段内部。点在线段上，点在线段上。求的最小值，并指出取得最小值时的位置。 分析 中垂线把换为两次比较给出下界。只有两步等号能同时在允许的线段上实现时，下界才是最小值。 解答 由得 因为在的垂直平分线上，所以于是 第一步等号要求共线且在线段上；第二步等号要求因此若取得下界，必有且为与的交点。 点在内部，点在线段上且不与重合；因为在直线两侧，所以也在两侧。故与相交于点且位于三角形内部，使在线段内部。取时， 因此最小值为且取等位置为 变式5－1 如图，在中，作直线于点依次排列，的垂直平分线分别与线段交于点在线段上，点在线段上。求的最小值，并指出取得最小值时的位置。 分析 垂线长度虽然也是下界，却不能由取得，因为不在线段上。应比较所有允许点到的距离，找到端点处的可达下界。 解答 因为在的垂直平分线上，所以于是 对线段上的任一点有由勾股定理，所以等号仅在时成立。 因此取因为在线段上，且所以下界能够取得。 若取到最小值，必须有且共线、在线段上。直线与只有交点故只能 四 分层练习 基础巩固 1. 如图，是线段的中点，已知求的度数。 分析 把定义中的两个条件合在一起，才可调用等距性质。 解答 是的中点，且所以点在的垂直平分线上， 因此 2. 如图，点在同一直线上，点序为且点不在直线上，求的长。 分析 题目没有给出垂线。先由到等距确定垂足是的中点，再把放入新的直角三角形中。 解答 取的中点连接由点在的垂直平分线上，所以 所以因为点序为故 在中， 在中，所以 3. 如图，线段的垂直平分线分别交于点在线段内部。已知的周长为求的长。 分析 本题只需一次等距转移，不应额外作高或添加全等三角形。 解答 点在的垂直平分线上，所以 根据在内部， 因此得 4. 如图，的垂直平分线分别交于交于点依次排列，求的周长。 分析 两条中垂线分别把移到保留下来的正好补齐整段 解答 由在的垂直平分线上，得由在的垂直平分线上，得 因此的周长为 5. 如图，为不同的两点，是直线外的两个不同点，且直线与交于已知求的长及的度数。 分析 一个等距点只确定“点在线上”，两个不同的等距点才确定整条直线。 解答 由点在的垂直平分线上；由点也在的垂直平分线上。 为不同的两点，两点确定一条直线，所以直线就是的垂直平分线。 因此是的中点，且 方法运用 6. 如图，在中，的垂直平分线分别交于交于点且与在直线两侧。求的度数。 分析 这次所求角的两边连接的是顶点不是底边上的中垂线交点。应先补出三个等距线段，再根据点所在区域组合角。 解答 由垂直平分线的性质，连接 在等腰三角形中，均为锐角。点都在过且平行于的直线的同一侧；若射线在外，则上述两个角中有一个大于矛盾。因此在内部。又在两侧，所以线段穿过线段内部，射线也在内部。 设则由得 因此 7. 如图，点在内部。于直线于点序为和已知求证：点在的垂直平分线上。 分析 本题已知的是两条直角边分别相等，斜边等距是要推出的结论，因此应使用SAS，不能把提前当作HL条件。 解答 在与中， （SAS）。 所以由垂直平分线的判定，点在的垂直平分线上。 8. 如图，是线段的中点，点在过且垂直于的同一条射线上，点序为点在线段上，求的最小值，并指出此时的位置。 分析 虽然到等距，但的中点不在允许线段上；用的最小值决定所求长度的最小值。 解答 点在的垂直平分线上，所以且 由点序及在线段上，在中， 所以当且仅当时，等号成立。 9. 如图，是不在同一直线上的三个点。求作点使（保留作图痕迹，不写作法。） 分析 题目只给三点与三距相等的目标，需要自行选择两组端点作中垂线；第三组等距通过等量传递得到，不必另作第三条中垂线。 解答 作线段的垂直平分线，两线的交点记为保留两组等半径交弧及连接交弧点的直线。 因为不共线，直线相交而不重合，所以它们的垂直平分线不平行，存在唯一交点 由在的垂直平分线上，得由在的垂直平分线上，得因此所作点满足题意。 若点也满足由垂直平分线的判定，也在的两条垂直平分线上。两线只有一个交点，所以所求点唯一。 迁移运用 10. 点在同一直线上，且点序为求证：平面内不存在点使 分析 先把两组等距翻译成两条中垂线，再使用过直线外一点的垂线唯一性；共线的特殊情况须单独排除。 解答 若在直线上，由可知是的中点。因为在内部，不可能同时满足 若不在直线上，设分别是的中点。由和有 由于点序为这等于从直线外一点向作出两条不同的垂线，与垂线的唯一性矛盾。 因此这样的点不存在。 11. 如图，为的中点，直线于点与点在直线的同一侧，且不在直线上。求证： 分析 把较远的通过中垂线上的点换成再用非退化三角形的严格不等式比较。 解答 线段与直线交于点因为在同侧，在另一侧，所以在线段内部。 直线是的垂直平分线，故 因为在线段内部，且不在直线上，所以不共线。在中， 五 综合提高 1. 在中，线段的垂直平分线与射线交于点且求的所有可能值。 分析 把限制在的中垂线上，但射线允许在内侧或外侧。两种点序改变的是角的加减关系，不能只求出一种配置就结束。 解答 点在的垂直平分线上，所以且由知设则其中点在射线上，分为与两种点序。 当点序为时，由得所以 由得因此于是得 当点序为时，由仍有在中，又故 此时射线在内部，所以即解得 两种情况均能实现。第一种取底角为的等腰三角形，在顶角内部作射线交于由角度可得且所以 第二种取底角为的等腰三角形，在的外侧作使射线交射线于此时在的外侧，故又故 综上，的所有可能值为 2. 在内部有一点平分且求证： 题图 假设时的构造示意 分析 角平分线上的点到两条边等距，与到两个端点等距并非一回事。“点在三角形内部”把外部交点排除，结合截取短边的全等构造可反推出两边相等。 解答 假设在线段上取点使连接因为点在内部。 在与中， （SAS）。 因此又所以从而 因为点序为所以于是 但在内部，故因此矛盾。 所以不成立。同理，交换可排除因此 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题三垂直平分线模型与等距转化培优专题讲与练 一必备知识 垂直平分线把“点在一条直线上”与“点到两个端点的距离相等”联系起来。本专题从线段和、周 长、角度和最值中的等距关系出发，既使用性质，也反过来确定点与直线的位置。 1定义与使用条件 设A、B为不同的两点。经过线段AB的中点M,并且垂直于AB的直线，叫作线段AB的垂直平 分线。 “过中点”与“垂直”缺一不可。垂直平分线是一条直线，不是图中画出的那一小段。 B 点到两个端点的距离是两条线段的长；点到直线的距离则是垂线段的长。两种“等距”不可混 用。 2性质线上点到两端点等距 若点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB。 证明 设M是AB的中点。当P=M时，PA=PB=AM。下面设P≠M,连接PA、PB。 在△PMA与△PMB中， AM=BM ∠PMA=∠PMB=90 PM=PM △PMA≌△PMB(SAS)。 第1页共19页 因此PA=PB。 使用性质时，要先说明点在哪一条线段的垂直平分线上，再写对应的两条等长线段。 第2页共19页 3判定两端点等距确定点的位置 若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上。 P A M 证明 若P在直线AB上，由PA=PB可知P只能是AB的中点，结论成立。 若P不在直线AB上，取AB的中点M,连接PM。在△PMA与△PMB中， PA=PB AM=BM PM=PM △PMA≌△PMB(SSS)。 所以∠PMA=∠PMB。又A、M、B共线，两角之和为180°，故两角均为90°。因此直线PM是 AB的垂直平分线，点P在这条直线上。 若两个不同的点都到A、B等距，则这两点确定的直线就是AB的垂直平分线。“两个点不同”不 能省略。 第3页共19页 二典例精讲 例题如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6。点P在线段AB上，AP=4。在线段AC上求作 点E,使AE+EP=AC,并求AE的长。（保留作图痕迹，不写作法。） B B P 题图 解图 分析 先由点序把线段和译成EP=EC,确定应作的垂直平分线；再用长度计算与回代，简洁地证明 交点确在允许的线段上。 解 因为E在线段AC上，AC=AE+EC,所以AE+EP=AC等价于EP=EC。所求点应是PC的垂直 平分线与AC的交点。 先求合法点必须满足的长度。E=A时，AE+EP=4≠6；E=C时，AE+EP>6。因此若有解，E 在AC内部。设AE=x,则EP=EC=6-X。在Rt△APE中，X+4=6-X,得AE=X=号 再验证这个点确实存在。在线段AC上取AE电，则EC=6号。由勾股定理 EP-4+(号=号-EC,所以AE+EP=Ac. 由垂直平分线的判定，所取的E在PC的垂直平分线上。因此作PC的垂直平分线，它与AC的交 点就是所求点。图中保留以P、C为圆心、相同半径所作的两组交孤。 任何满足题意的点都必须有AE号，而线段AC上这样的点只有一个，故所求点唯一。 第4页共19页 三分类讲练 1把条件译成等距，再确定点的位置 线段和可借助点序改写成两段相等，再用垂直平分线确定所求点。所求点限制在线段上时，还 要检查内部、端点和无解三种情形。 例1在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=9,AC=6。点P在线段AB上且P≠A,设AP=p。求p的 取值范围，使线段AC上存在点E满足AE+EP=AC;当点E存在时，用含p的式子表示AE的 长。 B P 变式1-1在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6。点P在线段AB上，AP=8。线段PC的垂直平分 线与直线AC交于E,求AE+EP的值。 B 第5页共19页 2连续转移等长，整理周长与线段 两次等距关系可把分散的边搬到同一条直线上。交点由边内移到延长线上后，必须重新确定各 段相加还是相减。 例2如图，线段AC的垂直平分线交AC于E,交BC于F;直线AD是线段BF的垂直平分线，点 D在BC上。点B,D,F,C依次排列。已知AE=6,△ABC的周长为34，求CD的长。 E B D C 变式2一1如图，线段AC的垂直平分线交AC于E,交BC的延长线于F,点序为B,C,F。直线 AD是线段BF的垂直平分线，点D在直线BC上。 (1)求证：点D在线段CF内部； (2）若AD=4,DF=3,求△ABC的周长。 y B 第6页共19页 3两条中垂线交点与角度追踪 两条中垂线的交点到三个顶点等距，因而可得到不同的等腰三角形。底边交点次序或交点所在 角域改变时，需重新写内角与邻补角关系。 例3如图，在钝角△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交BC于F、 N,两条垂直平分线交于P。点B,F,N,C依次排列，点P与点A在直线BC两侧。已知 ∠FAN=60°，求∠FPN的度数。 A M B 变式3一1如图，锐角△ABC的边AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交BC于 F、N,两条中垂线交于三角形内部的点P。点B,N,F,C依次排列。已知∠AN=40°，求 ∠FPN的度数。 A M P N 第7页共19页 变式3一2如图，AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交于点P。点B、C在直线 AP的同一侧，PA‖BC,射线BA在∠PBC内部，且∠PAB=20°。求∠ACB的度数。 M E B C 第8页共19页 4点到端点等距与点到两边等距 垂直平分线给出斜边相等，角平分线给出垂直距离相等，两者可配合判定直角三角形全等。内 外角变化会改变垂足点序，从而改变线段和差。 例4如图，在△ABC中，AB=7,AC=3。点D在∠BAC的平分线上，且在BC的垂直平分线 上。过点D作DE⊥AB于E,DF⊥直线AC于F,点序为A,E,B和A,C,F。求BE、CF的长。 小 E ry 第9页共19页 变式4-1如图，△ABC中，AB=7,AC=3。延长CA至X,点C,A,X依次排列。外角∠BAX 的平分线与BC的垂直平分线交于D。过D作DE⊥AB于E,DF⊥直线AC于F;E在线段AB内 部，F在射线AX上。求AE、BE的长。 B D E A 第10页共19页 5长度下界与允许位置 把中垂线上的一段长度换成到另一端点的距离，可将折线与直线段比较。求最小值还须找到满 足全部位置限制的取等点，不能只写出一个下界。 例5如图，BC=6,△ABC的面积为24。AB的垂直平分线分别与线段AB、AC交于E、F。作 AH⊥BC于H,其中H在线段BC内部。点M在线段EF上，点D在线段BC上。求BM+MD的最 小值，并指出取得最小值时M、D的位置。 A M B 变式5一1如图，在△ABC中，作AH⊥直线BC于H,点B,C,H依次排列，CH=2,AH=4。 AB的垂直平分线分别与线段AB、AC交于E、F。点M在线段EF上，点D在线段BC上。求 BM+MD的最小值，并指出取得最小值时M、D的位置。 A 内 M B 第11页共19页 四分层练习 基础巩固 1.如图，M是线段AB的中点，PM⊥AB。已知∠PAB=38,求∠APB的度数。 P A B M 2.如图，点A,B,C在同一直线上，点序为A,B,C,且AB=4,BC=6。点P不在直线AC上， PA=PC=13,求PB的长。 B 第12页共19页 3.如图，线段AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D,点D在线段BC内部。已知AB=8, △ABD的周长为22，求BC的长。 y E Q B 4.如图，AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交BC于D、F。点B,D,F,C依次排 列，BC=10。求△ADF的周长。 A E M B 第13页共19页 5.如图，A、B为不同的两点，P、Q是直线AB外的两个不同点，且PA=PB,QA=QB。直线 PQ与AB交于M。已知AB=12,求AM的长及∠PMA的度数。 P M 方法运用 6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°。AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交于 点P,且P与A在直线BC两侧。求∠BPC的度数。 A E M B 第14页共19页 7.如图，点D在∠BAC内部。DE⊥AB于E,DF⊥直线AC于F,点序为A,E,B和A,C,F。已 知DE=DF,BE=CF。求证：点D在BC的垂直平分线上。 小 E D C 8.如图，M是线段AB的中点，AB=8。点E、F在过M且垂直于AB的同一条射线上，点序为 M,E,F,ME=2。点P在线段EF上，求PA+PB的最小值，并指出此时P的位置。 F P E A M B 第15页共19页 9.如图，A,B,C是不在同一直线上的三个点。求作点P,使PA=PB=PC。(保留作图痕迹， 不写作法。) A. B· ·C 迁移运用 10.点A,B,C在同一直线上，且点序为A,B,C。求证：平面内不存在点P使PA=PB=PC。 A 。C B 第16页共19页 11.如图，M为AB的中点，直线l⊥AB于M。点P与点A在直线I的同一侧，且P不在直线AB 上。求证：PA<PB。 P A M B 第17页共19页 五综合提高 1.在△ABC中，AB=AC。线段AB的垂直平分线与射线BC交于点D,且AC=CD。求∠BAC的 所有可能值。 A B 、C 第18页共19页 2.在△ABC内部有一点D,AD平分∠BAC,且DB=DC。求证：AB=AC。 A B 第19页共19页专题三垂直平分线模型与等距转化培优专题讲与练 一必备知识 垂直平分线把“点在一条直线上”与“点到两个端点的距离相等”联系起来。本专题从线段和、周 长、角度和最值中的等距关系出发，既使用性质，也反过来确定点与直线的位置。 1定义与使用条件 设A、B为不同的两点。经过线段AB的中点M,并且垂直于AB的直线，叫作线段AB的垂直平分 线。 “过中点”与“垂直”缺一不可。垂直平分线是一条直线，不是图中画出的那一小段。 ◆B 点到两个端点的距离是两条线段的长；点到直线的距离则是垂线段的长。两种“等距”不可混 用。 2性质线上点到两端点等距 若点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB。 A 证明 设M是AB的中点。当P=M时，PA=PB=AM。下面设P≠M,连接PA、PB。 在△PMA与△PMB中， AM=BM ∠PMA=∠PMB=90 PM=PM △PMA兰△PMB(SAS)。 因此PA=PB。 使用性质时，要先说明点在哪一条线段的垂直平分线上，再写对应的两条等长线段。 第1页共18页 3判定两端点等距确定点的位置 若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上。 A 4 证明 若P在直线AB上，由PA=PB可知P只能是AB的中点，结论成立。 若P不在直线AB上，取AB的中点M,连接PM。在△PMA与△PMB中， PA=PB AM=BM PM=PM △PMA兰△PMB(SSS). 所以∠PMA=∠PMB。又A、M、B共线，两角之和为180°，故两角均为90°。因此直线PM是 AB的垂直平分线，点P在这条直线上。 若两个不同的点都到A、B等距，则这两点确定的直线就是AB的垂直平分线。“两个点不同”不能 省略。 第2页共18页 二典例精讲 例题如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6。点P在线段AB上，AP=4。在线段AC上求作点 E,使AE+EP=AC,并求AE的长。（保留作图痕迹，不写作法。） B B 题图 解图 分析 先由点序把线段和译成EP=EC,确定应作的垂直平分线；再用长度计算与回代，简洁地证明交 点确在允许的线段上。 解 因为E在线段AC上，AC=AE+EC,所以AE+EP=AC等价于EP=EC。所求点应是PC的垂直平 分线与AC的交点。 先求合法点必须满足的长度。E=A时，AE+EP=4≠6；E=C时，AE+EP>6。因此若有解，E -定在AC内部。设AEX则EP=EC=6=X。在t△APE中，X+46-XP,得AE=X号 再验证这个点确实存在。在线段AC上取AE=号，则EC=6-}号。由勾股定理， 33 EP=4+(P=号=EC,所以AE+P=AC. 由垂直平分线的判定，所取的E在PC的垂直平分线上。因此作PC的垂直平分线，它与AC的交 点就是所求点。图中保留以P、C为圆心、相同半径所作的两组交弧。 任何满足题意的点都必须有AE=?,而线段AC上这样的点只有一个，故所求点唯一。 第3页共18页 三分类讲练 1把条件译成等距，再确定点的位置 线段和可借助点序改写成两段相等，再用垂直平分线确定所求点。所求点限制在线段上时，还 要检查内部、端点和无解三种情形。 例1在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=9,AC=6。点P在线段AB上且P≠A,设AP=p。求p的取 值范围，使线段AC上存在点E满足AE+EP=AC;当点E存在时，用含p的式子表示AE的长。 B P 变式1-1在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6。点P在线段AB上，AP=8。线段PC的垂直平分 线与直线AC交于E,求AE+EP的值。 B A 第4页共18页 2连续转移等长，整理周长与线段 两次等距关系可把分散的边搬到同一条直线上。交点由边内移到延长线上后，必须重新确定各 段相加还是相减。 例2如图，线段AC的垂直平分线交AC于E,交BC于F;直线AD是线段BF的垂直平分线，点 D在BC上。点B,D,F,C依次排列。已知AE=6,△ABC的周长为34，求CD的长。 E B D C 变式2一1如图，线段AC的垂直平分线交AC于E,交BC的延长线于F,点序为B,C,F。直线 AD是线段BF的垂直平分线，点D在直线BC上。 (1)求证：点D在线段CF内部； (2)若AD=4,DF=3,求△ABC的周长。 A B 第5页共18页 3两条中垂线交点与角度追踪 两条中垂线的交点到三个顶点等距，因而可得到不同的等腰三角形。底边交点次序或交点所在 角域改变时，需重新写内角与邻补角关系。 例3如图，在钝角△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交BC于F、N, 两条垂直平分线交于P。点B,F,N,C依次排列，点P与点A在直线BC两侧。已知∠FAN=60°， 求∠FPN的度数。 A M 变式3-1如图，锐角△ABC的边AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交BC于F, N,两条中垂线交于三角形内部的点P。点B,N,F,C依次排列。已知∠FAN=40°，求∠FPN的 度数。 P B 第6页共18页 变式3一2如图，AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交于点P。点B、C在直线AP 的同一侧，PA‖BC,射线BA在∠PBC内部，且∠PAB=20°。求∠ACB的度数。 M E B C 第7页共18页 4点到端点等距与点到两边等距 垂直平分线给出斜边相等，角平分线给出垂直距离相等，两者可配合判定直角三角形全等。内 外角变化会改变垂足点序，从而改变线段和差。 例4如图，在△ABC中，AB=7,AC=3。点D在∠BAC的平分线上，且在BC的垂直平分线 上。过点D作DE⊥AB于E,DF⊥直线AC于F,点序为A,E,B和A,C,F。求BE、CF的长。 B D 第8页共18页 变式4-1如图，△ABC中，AB=7,AC=3。延长CA至X,点C,A,X依次排列。外角∠BAX 的平分线与BC的垂直平分线交于D。过D作DE⊥AB于E,DF⊥直线AC于F,E在线段AB内 部，F在射线AX上。求AE、BE的长。 B D E A C 第9页共18页 5长度下界与允许位置 把中垂线上的一段长度换成到另一端点的距离，可将折线与直线段比较。求最小值还须找到满 足全部位置限制的取等点，不能只写出一个下界。 例5如图，BC=6,△ABC的面积为24。AB的垂直平分线分别与线段AB、AC交于E、F。作 AH⊥BC于H,其中H在线段BC内部。点M在线段EF上，点D在线段BC上。求BM+MD的最 小值，并指出取得最小值时M、D的位置。 A M B H 变式5-1如图，在△ABC中，作AH⊥直线BC于H,点B,C,H依次排列，CH=2,AH=4。 AB的垂直平分线分别与线段AB、AC交于E、F。点M在线段EF上，点D在线段BC上。求 BM+MD的最小值，并指出取得最小值时M、D的位置。 E M F B H 第10页共18页 四分层练习 基础巩固 1.如图，M是线段AB的中点，PM⊥AB。已知∠PAB=38°，求∠APB的度数。 P M 2.如图，点A,B,C在同一直线上，点序为A,B,C,且AB=4,BC=6。点P不在直线AC上， PA=PC=13,求PB的长。 6 第11页共18页 3.如图，线段AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D,点D在线段BC内部。已知AB=8, △ABD的周长为22，求BC的长。 A B 4.如图，AB、AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交BC于D、F。点B,D,F,C依次排 列，BC=10。求△ADF的周长。 A E M B 第12页共18页 5.如图，A、B为不同的两点，P、Q是直线AB外的两个不同点，且PA=PB,QA=QB。直线 PQ与AB交于M。已知AB=12,求AM的长及∠PMA的度数。 P B M 方法运用 6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°。AB.AC的垂直平分线分别交AB、AC于E、M,交于点 P,且P与A在直线BC两侧。求∠BPC的度数。 A E B 第13页共18页 7.如图，点D在∠BAC内部。DE⊥AB于E,DF⊥直线AC于F,点序为A,E,B和A,C,F。已 知DE=DF,BE=CF。求证：点D在BC的垂直平分线上。 E D C 8.如图，M是线段AB的中点，AB=8。点E、F在过M且垂直于AB的同一条射线上，点序为 M,E,F,ME=2。点P在线段EF上，求PA+PB的最小值，并指出此时P的位置。 R P E A M B 第14页共18页 9.如图，A,B,C是不在同一直线上的三个点。求作点P,使PA=PB=PC。(保留作图痕迹， 不写作法。) A. B· ·C 迁移运用 10.点A,B,C在同一直线上，且点序为A,B,C。求证：平面内不存在点P使PA=PB=PC。 A 。C B 第15页共18页 11.如图，M为AB的中点，直线l⊥AB于M。点P与点A在直线I的同一侧，且P不在直线AB 上。求证：PA<PB。 P M B 第16页共18页 五综合提高 1,在△ABC中，AB=AC。线段AB的垂直平分线与射线BC交于点D,且AC=CD。求∠BAC的 所有可能值。 A B 第17页共18页 2.在△ABC内部有一点D,AD平分∠BAC,且DB=DC。求证：AB=AC。 A D B C 第18页共18页