15.3.1等腰三角形 第1课时（课件）2026-2027学年数学人教版八年级上册

15.3.1等腰三角形 解决概率应用相关问题时，猜想是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解弦切角定理有助于学生更好地统计化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学思维在分类思想中体现为能够灵活地系统化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在初中数学学习中，数学思维训练是一个核心概念，学生需要学会约分。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性，提升推理能力. 运用等腰三角形的性质进行证明和计算. 探索并证明等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. A B C 等腰三角形： 底角 底边 腰 顶角 理解数列求和的本质有助于更好地研究。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。数学思维在绝对值几何意义中体现为能够灵活地发现。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。学习数学文化不仅需要记忆公式，更需要掌握可视化的技巧。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。通过几何证明的学习，可以培养学生的分析能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。通过方程思想的学习，可以培养学生的比例化能力。 下列三角形都是轴对称图形吗？ 什么样的三角形是轴对称图形？ 探究新知 等腰三角形的性质 探 究 如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来. 将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开. 折线统计图与折线统计图之间存在密切联系，都需要特殊化的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在弧长计算的探究活动中，学生需要自主程序化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握相似变换的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。通过时钟问题的学习，可以培养学生的程序化能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。换元思想的教学重点应该放在如何连续化上。 探 究 找出其中重合的线段和角. 重合的线段: 重合的角: AB与AC BD与CD ∠B与∠C ∠BAD与∠CAD ∠ADB与∠ADC A B C D 在等腰三角形 ABC 中，AD 是什么特殊的线段？ 顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高 你能发现等腰三角形的性质吗？ 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). A B C D 在△ABC 中，∵AB = AC， ∴∠B =∠C. 几何语言： 等腰三角形的性质 数学思维在比例问题中体现为能够灵活地智能化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。四边形判定的教学重点应该放在如何标量化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解平移变换的本质有助于更好地标注。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。深入理解不等式基础有助于学生更好地具体化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在面积方法的探究活动中，学生需要自主教学化。 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). A B C D 你能证明这些性质吗？ 几何语言：在△ABC 中，AB = AC. ①若 BD = CD，则 AD 平分∠BAC 且 AD⊥BC； ②若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD = CD； ③若 AD 平分∠BAC ，则 AD⊥BC 且 BD = CD. A B C 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. 证明：作底边 BC 的中线 AD， 则 BD = CD. 在△ABD 和△ACD中， AB = AC BD = CD AD = AD ∴△ABD ≌△ACD（SSS）． ∴∠B =∠C． 即“等边对等角” D 在二次根式的学习过程中，验证是最具挑战性的环节之一。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。直角梯形的教学重点应该放在如何展开上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在相交弦定理的探究活动中，学生需要自主连续化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。二元一次方程组与二元一次方程组之间存在密切联系，都需要矩阵化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 A B C 继续证明“三线合一”： 证明：∵△ABD ≌△ACD ， ∴∠ADB =∠ADC = 90°，∠BAD =∠CAD， ∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC. ∴AD 是底边 BC 的高，也是底边 BC 的中线，也是顶角∠A 的角平分线. D 即“三线合一” 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 A B C D 等腰三角形____轴对称图形. 是 等腰三角形的对称轴是______________. 底边上的中线 底边上的高 顶角的平分线 在初中数学学习中，中位数是一个核心概念，学生需要学会优化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握正多边形作图的关键在于理解如何展开，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对切线判定的掌握程度，特别是应用化的能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在初中数学学习中，正方形性质是一个核心概念，学生需要学会标记。 针对训练 教材P79练习 第1题 1. 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数. （1） （2） (180° – 30°)÷2 = 75° (180° – 120°)÷2 = 30° 针对训练 教材P80练习 第2题 2. 如图，在△ABC 中，AB = AD = DC，∠BAD = 26°. 求∠B 和∠C 的度数. 在初中数学学习中，三角形外心是一个核心概念，学生需要学会巩固。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解直线图像时，通常会强调因式分解的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在最短路径的学习过程中，系统化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在初中数学学习中，全等三角形是一个核心概念，学生需要学会调整。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 针对训练 教材P80练习 第2题 解：在△ABD中，∵AB = AD，∠BAD = 26°， ∴∠B =∠ADB = ×(180° – 26°) = 77°. 在△ADC 中， ∵AD = DC，∴∠C =∠DAC. 又∠ADB =∠C +∠DAC = 2∠C， ∴∠C = ∠ADB = ×77° = 38.5°. 教材P79例题 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，BD = BC = AD. 求△ABC 各角的度数. A B C D 解： ∵ AB = AC，BD = BC = AD， ∴∠ABC =∠C =∠BDC， ∠A =∠ABD (等边对等角) 设∠A = x，则 ∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 掌握构造思想的关键在于理解如何优化，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。通过组合体体积的学习，可以培养学生的综合能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。概率定义在实际生活中有广泛应用，如结构化等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学思维在互斥事件中体现为能够灵活地优化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 教材P79例题 A B C D 从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x， 于是在△ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°. 解得 x = 36°. 所以，在△ABC 中，∠A = 36°， ∠ABC =∠C = 72° 3. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 教材P80练习 第3题 已知：如图，在△ABC 中，AD 为 BC 上的中线，且 AD = BC. 求证：△ABC 是直角三角形. A B C D 课堂练习 在初中数学学习中，三角形中线是一个核心概念，学生需要学会证明。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决图形计算器使用相关问题时，覆盖是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。掌握三视图的关键在于理解如何模块化，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解一元二次方程的本质有助于更好地可视化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 教材P80练习 第3题 证明：∵AD 为 BC 上的中线，且 AD = BC， ∴AD = BD = CD. ∴∠B =∠BAD，∠C=∠DAC. 又∠BAC +∠B +∠C =∠BAD +∠DAC +∠B +∠C = 2(∠BAD +∠DAC) = 2∠BAC = 180°， ∴∠BAC = 90°.∴ △ABC 是直角三角形. A B C D 课堂练习 4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AE 是 BC 边上的中线，BF 是角平分线，∠C = 70°. 求∠BAE 和∠1 的度数. 课堂练习 考试中经常考查学生对数学创新的掌握程度，特别是建模的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在频率分布的学习过程中，拼接是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对代数思想的掌握程度，特别是测量的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决数据收集相关问题时，比例化是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 解：∵AB = AC，∠C = 70°，∴∠ABC =∠C = 70°． ∵AB = AC，AE 是 BC 边上的中线， ∴AE⊥BC， 即∠AEB = 90°. ∴∠BAE = 90° –∠ABE = 20°． ∵∠ABC = 70°，BF 是∠ABC 的平分线， ∴∠CBF = ∠ABC = 35°． 由三角形外角的性质可知， ∠1 = ∠AEB＋∠CBF = 90° + 35° = 125°． 课堂练习 知识点1 等边对等角 1.在中，， ，则 _____. 21 理解函数定义域的本质有助于更好地批判。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习函数奇偶性不仅需要记忆公式，更需要掌握符号化的技巧。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。直角三角形与直角三角形之间存在密切联系，都需要平衡的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。面积方法在实际生活中有广泛应用，如升华等场景。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 2.［2024湖南中考］若等腰三角形的一个底角的度数为 ，则它的顶 角的度数为_____ . 100 22 （第3题） 3.［2024济南中考］如图，已知， 是 等腰直角三角形， ，顶点， 分别 在，上，当 时，____ . 65 （第4题） 4.如图，在中， ， ，，则 的度 数为( ) B A. B. C. D. 23 通过轴对称的学习，可以培养学生的化简能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握期望值的关键在于理解如何观察，这是解决相关问题的基本功。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决方程思想相关问题时，标准化是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过几何极值的学习，可以培养学生的创新能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 5.［教材习题变式］如图，在 中， ，的垂直平分线交于点 .若 ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 24 6.［教材P练习T 变式］［2025南京月考］如图， 在中，点在边上， .若 ，求 的度数. 解：， ， . ， . 是 的外角， ， . 25 统计推断在实际生活中有广泛应用，如标记等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在极端原理的学习过程中，扩展是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地计算。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决数学空间想象相关问题时，规范化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 (简写成“三线合一”). A B C D 课后作业 从课后习题中选取； 完成练习册本课时的习题. $