微专题01 斜边中线模型与等腰转化2026-2027学年苏教版数学上册专用

专题一斜边中线模型与等腰转化培优专题讲与练 一必备知识 直角三角形中，连接直角顶点与斜边中点的线段叫作斜边上的中线。它等于斜边的一半，因而 把一个直角三角形转成两个等腰三角形；反过来，若一边中点到第三个顶点的距离等于这条边 的一半，也能判定原三角形是直角三角形。运用时必须同时看准“直角”和“斜边中点”，不能把直 角边上的中线也当作半条斜边。 1性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，则CM=AM=BM=号AB。 证明 设∠A=a、∠B=B,则a+B=90°。 在∠ACB内部作射线CX,使∠ACX=a,与线段AB交于X。 在△ACX中，∠CAX=∠ACX=a,所以AX=CX。又∠XCB=90°-a=B=∠CBX,所以 BX=CX。 由AX=BX可知X为AB的中点，因而X与M重合。故CM=AM=BM=AB。 先作等角射线，再由两个等腰三角形认出中点。 第1页共17页 2逆命题中线等于所对边的一半，则该边所对的角是直角 在△ABC中，M为AB的中点。若CM=AB,则∠ACB=90。 夕 M A 证明 由M为AB的中点及CM=AB,得AM=BM=CM。设∠A=a,∠B=B。 在△ACM中，AM=CM,所以∠ACM=a;在△BCM中，BM=CM,所以∠MCB=B。 M在线段AB内部，故∠ACB=∠ACM+∠MCB=a+B。由△ABC内角和， a+B+(a+B)=180,所以∠ACB=90°。 逆向使用时，先核实中点在哪一条边上，再确定直角的顶点。 第2页共17页 二典例精讲 例题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28, M为斜边AB的中点，CH⊥AB,垂足为H。 (1)求∠BCM与∠BMC的度数；(2)求∠MCH的度数。 B M A 分析 中点M先把直角三角形拆成两个等腰三角形；高CH则另给一个直角。分别求∠ACM与 ∠ACH,再根据射线位置相减，不能把中线误当成高。 解 由∠ACB=90°且M为AB的中点，得CM=AM=BM。 在△ACM中，AM=CM,所以∠ACM=∠A=28°。故∠BCM=90°-28=62°。 在△BCM中，BM=CM,所以∠BMC=180°-2×62°=56。 在Rt△ACH中，∠ACH=90°-∠A=62°。由于∠ACH>∠ACM,射线CM在∠ACH内部，故 ∠MCH=62°-28°=34。 第3页共17页 三分类讲练 1斜边中线与角度计算 本组通过斜边中线形成的等腰三角形研究角度关系，并比较垂足位置改变后角的和差变化。 例1在△ABC中，∠BAC=120°。AD⊥BC,垂足D在线段BC内部。M、N分别为AB、AC的中 点，连接DM、DN。求∠MDN的度数。 A M N B D C 变式1-1在△ABC中，∠ABC=120°，∠BAC=35°。AD⊥BC,垂足D在CB的延长线上，点 序为D,B,C。M、N分别为AB、AC的中点。求∠MDN的度数。 y 2 B C 第4页共17页 变式1一2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，CH⊥AB,垂足为H。若 ∠MCH=20°，求∠A的度数。 图中仅表示一种可能的位置关系。 夕 M 2利用斜边中线证明全等 本组结合斜边中线、等腰直角三角形及垂直条件，证明线段相等或两条直线垂直。 例2如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。D、E分别在线段CA、 CB内部，且MD⊥ME。求证：AD=CE。 M A 第5页共17页 变式2一1在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。D、E分别在线段CA、CB 内部，且AD=CE。求证：MD⊥ME。 B E M D A 变式2一2在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。点D在CA的延长线上，点 E在BC的延长线上，点序分别为C,A,D和B,C,E,且MD⊥ME。求证：CD-CE=CA。 B D 第6页共17页 3共用斜边的两个直角三角形 两个直角三角形共用斜边时，同一个中点能同时联系两个直角顶点。本组研究它们之间的长度 与角度关系。 例3C、D是直线AB同侧的两个不同点，且AC⊥BC,AD⊥BD。已知AB=10,CD=6,M、 N分别为AB、CD的中点。求MN的长。 C D A B M 变式3一1C、D分别在线段AB所在直线的两侧，AC⊥BC,AD⊥BD。M为AB的中点，且 CD=AB。求证：M也是CD的中点。 C B M 第7页共17页 变式3一2C、D在直线AB的同侧，AC⊥BC,AD⊥BD,射线AC位于∠DAB内部，且 ∠CAD=45°。M为AB的中点。 (1)求证：CM⊥DM,(2)若AB=10,求CD的长。 D C B M 4利用中线关系判定直角 本组从中线与边长的关系出发判定直角，再解决共线、等分及求长问题。 例4在△ABC中，M、N分别为AB、AC的中点。点D位于∠BAC内部，D≠A,且DM=AM、 DN=AN。求证：B、D、C三点共线，且AD⊥BC。 A M D 第8页共17页 变式4-1在△ABC中，AB=AC,D在线段BC内部，M为AC的中点，且DM=AM。求证： BD=DC。 A M D 变式4一2在△ABC中，AB=10,AC=6。M为AB的中点，CM=5。点D在线段BC内部，且 AD=BD。求CD的长。 B M 第9页共17页 5两个直角三角形中的中线关系 本组联系两个直角三角形中的中点，结合等距关系、垂直平分线和勾股定理求解。 例5在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AB=10。点D在线段AC内部，BD=2V13。M、N 分别为AB、BD的中点。 (1)求证：MN⊥BC;(2)求MN的长。 B M D A 变式5-1在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6。点D、E分别在线段CA、CB 内部，且DE=6。M、N分别为AB、DE的中点。 (1)求MN的最小值；(2)若CD≤3，是否存在符合题意的D,E,使MN仍等于第（1)问求 得的最小值？证明你的结论。 A 第10页共17页 变式5-2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10,BC=6。D在线段AC内部，M、N分别为 AB、BD的中点。若MN=CN,求CD的长。 少 M D 四分层练习 基础巩固 1,如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别为AB、AC的中点。下列结论中一定成立的 是(）。 A.CM=AM B.CN=BNC.CM⊥AB D.CM平分∠ACB B A 第11页共17页 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，且∠AMC=3∠ACM。求∠B的度数。 B A 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12,M为AB的中点。若△ACM的周长为18，求AC的 长。 B 入M A 第12页共17页 4.在△ABC中，M为BC的中点，AM=BM,AB=8,AC=6。求AM的长。 M B 方法运用 5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°。点P在线段AB内部，且PA=PC。求证：P是AB的中点。 B 第13页共17页 6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。M为AB的中点，点D在线段AC内部，且 MD⊥MC。求CD的长。 B M D 7.在△ABC中，AD⊥BC,垂足D在线段BC内部。M、N分别为AB、AC的中点，且 DM=DN、DM⊥DN。求证：△ABC是等腰直角三角形。 A g N C D 第14页共17页 五综合提高 1,在锐角三角形ABC中，BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,BE与CF相交于三角形内部 的点H。点M,N分别是BC,AH的中点。求证：MN⊥EF。 A B C M 第15页共17页 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。点D在射线CB上，且MD=CD。设 ∠CAB=a。 (1)用含a的式子表示∠CDM的度数；(2)当D在线段CB内部、与B重合、在CB的延长线上 时，分别满足什么条件？ 图中仅表示一种可能的位置关系。 B D M y 第16页共17页 3.A,C,D依次在同一直线上，BC⊥AD,AC=4,BC=6。点M,N分别为AB,BD的中点。当 CM⊥CN时，求CD的长。 B M N A C D 第17页共17页专题一斜边中线模型与等腰转化培优专题讲与练 一必备知识 直角三角形中，连接直角顶点与斜边中点的线段叫作斜边上的中线。它等于斜边的一半，因而 把一个直角三角形转成两个等腰三角形；反过来，若一边中点到第三个顶点的距离等于这条边 的一半，也能判定原三角形是直角三角形。运用时必须同时看准“直角”和“斜边中点”，不能把直 角边上的中线也当作半条斜边。 1性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，则CM=AM=BM=1AB。 B B 证明 设∠A=a、∠B=B,则a+B=90°。 在∠ACB内部作射线CX,使∠ACX=a,与线段AB交于X。 在△ACX中，∠CAX=∠ACX=a,所以AX=CX。又∠XCB=90°-=B=∠CBX,所以 BX=CX. 由AX=BX可知X为AB的中点，因而X与M重合。故CM=AM=BM=号AB. 先作等角射线，再由两个等腰三角形认出中点。 第1页共23页 2逆命题中线等于所对边的一半，则该边所对的角是直角 在△ABC中，M为AB的中点。若CM=AB,则∠ACB=90· M A 证明 由M为AB的中点及CM=号AB,得AM=BM=CM。设∠A=a、∠B=B。 在△ACM中，AM=CM,所以∠ACM=a;在△BCM中，BM=CM,所以∠MCB=B。 M在线段AB内部，故∠ACB=∠ACM+∠MCB=a+B。由△ABC内角和， a+B+(a+B)=180,所以∠ACB=90°。 逆向使用时，先核实中点在哪一条边上，再确定直角的顶点。 第2页共23页 二典例精讲 例题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28, M为斜边AB的中点，CH⊥AB,垂足为H。 (1)求∠BCM与∠BMC的度数；(2)求∠MCH的度数。 B H M A 分析 中点M先把直角三角形拆成两个等腰三角形；高CH则另给一个直角。分别求∠ACM与 ∠ACH,，再根据射线位置相减，不能把中线误当成高。 解 由∠ACB=90°且M为AB的中点，得CM=AM=BM。 在△ACM中，AM=CM,所以∠ACM=∠A=28°。故∠BCM=90°-28=62°。 在△BCM中，BM=CM,所以∠BMC=180°-2×62°=56°。 在Rt△ACH中，∠ACH=90°-∠A=62。由于∠ACH>∠ACM,射线CM在∠ACH内部，故 ∠MCH=62°-28=34。 第3页共23页 三分类讲练 1斜边中线与角度计算 本组通过斜边中线形成的等腰三角形研究角度关系，并比较垂足位置改变后角的和差变化。 例1在△ABC中，∠BAC=I20°。AD⊥BC,垂足D在线段BC内部。M、N分别为AB、AC的 中点，连接DM、DN。求∠MDN的度数。 M B D C 分析 图中没有一个给定的直角顶点在A。先辨认AD两侧的两个直角三角形，再把钝角分成两个等腰 三角形的底角。 解答 在Rt△ADB中，M为斜边AB的中点，故DM=AM,所以∠MDA=∠MAD=∠BAD。 在Rt△ADC中，N为斜边AC的中点，故DN=AN,所以∠ADN=∠DAN=∠DAC。 由于D在BC内部，DM、DN分居AD两侧，故 ∠MDN=∠MDA+∠ADN=∠BAD+∠DAC=120°。 变式1-1在△ABC中，∠ABC=120°，∠BAC=35°。AD⊥BC,垂足D在CB的延长线上，点 序为D,B,C。M、N分别为AB、AC的中点。求∠MDN的度数。 A M D 解答 ∠ABD=180°-120°=60°，故∠BAD=30°。于是∠CAD=∠CAB+∠BAD=65°。 由两次斜边中线性质，DM=AM、DN=AN,所以∠MDA=30°，∠NDA=65。 DM、DN在AD的同侧，且∠NDA>∠MDA,故∠MDN=65°-30°=35°。 第4页共23页 变式1一2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，CH⊥AB,垂足为H。若 ∠MCH=20°，求∠A的度数。 图中仅表示一种可能的位置关系。 B M 解答 设∠A=a,则0°<a<90°。由AM=CM,得∠ACM=a;由CH⊥AB,得∠ACH=90°-。 若a<45°，射线CM位于∠ACH内部，20°=(90°-a)-,解得a=35°。 若a>45°，射线CH位于∠ACM内部，20°=a-(90°-a),解得a=55°。 若a=45°，CM与CH重合，夹角为0°，不合题意。两组所得锐角均能构成非退化直角三角形， 故无遗漏。 第5页共23页 2利用斜边中线证明全等 本组结合斜边中线、等腰直角三角形及垂直条件，证明线段相等或两条直线垂直。 例2如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。D、E分别在线段CA、 CB内部，且MD⊥ME。求证：AD=CE。 小 E M 分析 要把AD与CE放进全等三角形，关键不是另作一条高，而是补连CM。斜边中线给出 AM=CM,两组垂直把夹在其中的角转成相等。 解答 AC=BC,所以∠A=∠B=45°，且由等腰三角形的三线合一，CM⊥AB。又由斜边中线性 质，AM=CM。 D,E是两直角边的内点，故射线MD位于∠AMC内部，射线ME位于∠CMB内部，且CM位于 ∠DME内部。因此∠AMD+∠DMC=90°，∠CME+∠DMC=90°，从而∠AMD=∠CME。 在△AMD和△CME中， ∠MAD=∠MCE=45 AM=CM ∠AMD=∠CME △AMD≌△CME(ASA)。 所以AD=CE。 第6页共23页 变式2一1在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。D、E分别在线段CA、 CB内部，且AD=CE。求证：MD⊥ME。 B E 解答 连接CM。由等腰三角形的三线合一及斜边中线性质，CM⊥AB,AM=CM, ∠MAD=∠MCE=45。 在△AMD和△CME中， AM=CM ∠MAD=∠MCE AD=CE △AMD≌△CME(SAS)。 所以∠AMD=∠CME。由于D,E是两直角边的内点，射线MD位于∠AMC内部，射线ME位于 ∠CMB内部。故∠DME=∠DMC+∠CME=∠DMC+∠AMD=∠AMC=90°。 第7页共23页 变式2一2在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。点D在CA的延长线上， 点E在BC的延长线上，点序分别为C,A,D和B,C,E,且MD⊥ME。求证：CD-CE=CA。 B D 解答 连接CM。由斜边中线性质及等腰三角形的三线合一，AM=CM,AM⊥CM。按所给点序，射 线MA,ME均位于∠DMC内部，于是∠AMD=∠DMC-90°=∠CME。又 ∠MAD=∠MCE=135。 在△AMD和△CME中， ∠MAD=∠MCE AM=CM ∠AMD=∠CME △AMD≌△CME(ASA)。 所以AD=CE。由点序C,A,D,CD=CA+AD,故CD-CE=CA。 第8页共23页 3共用斜边的两个直角三角形 两个直角三角形共用斜边时，同一个中点能同时联系两个直角顶点。本组研究它们之间的长度 与角度关系。 例3C、D是直线AB同侧的两个不同点，且AC⊥BC,AD⊥BD。已知AB=10,CD=6, M、N分别为AB、CD的中点。求MN的长。 C D B M 分析 两个直角不应分开计算：它们共用同一条斜边。把中点M同时连向两个直角顶点，就能把CD接 入一个等腰三角形。 解答 连接MC、MD。在两个以AB为斜边的直角三角形中，MC=MD=AB=5。 若M,C,D共线，由MC=MD且C≠D,M必为CD的中点，从而CD=MC+MD=10,与CD=6矛 盾。因此△MCD是非退化等腰三角形。N为CD的中点，由三线合一，MN⊥CD,且CN=3。 在Rt△MCN中，MN=MC2-CN2=V25-9=4. 变式3一1C、D分别在线段AB所在直线的两侧，AC⊥BC,AD⊥BD。M为AB的中点，且 CD=AB。求证：M也是CD的中点。 A B M 解答 连接MC、MD。由斜边中线性质，MC=MD=AB,所以MC+MD=AB=CD。 若M,C,D不共线，则三角形两边之和大于第三边，得MC+MD>CD,矛盾。因此M,C,D共 线。 第9页共23页 C,D位于直线AB的两侧而M∈AB,故M在线段CD内部。再由MC=MD,得M为CD的中点。 第10页共23页 变式3一2C、D在直线AB的同侧，AC L BC,AD⊥BD,射线AC位于∠DAB内部，且 ∠CAD=45°。M为AB的中点。 (1)求证：CM⊥DM:(2)若AB=10,求CD的长。 D C ry B M 解答 连接CM、DM。有CM=DM=AM=AB。设∠CAB=a,则∠DAB=a+45,两个直角三角形 的锐角均小于90°，故0°<a<45°。 由AM=CM,∠AMC=180°-2a:由AM=DM,∠AMD=180°-2(a+45)=90°-2a。 C,D在AB同侧，两条射线MC,MD也在AB同一侧，故∠CMD=∠AMC-∠AMD=90°。所以 CM⊥DM。 当AB=10时，CM=DM=5,由勾股定理得CD=V52+52=5只2。 第11页共23页 4利用中线关系判定直角 本组从中线与边长的关系出发判定直角，再解决共线、等分及求长问题。 例4在△ABC中，M、N分别为AB、AC的中点。点D位于∠BAC内部，D≠A,且 DM=AM、DN=AN。求证：B、D、C三点共线，且AD⊥BC。 A M B C 分析 题目没有给出直角。要证明三点共线，可以先证明DB、DC都垂直于同一条直线；两组“中点到 第三点等于半边”恰好分别提供这两个直角。 解答 M为AB的中点，且DM=AM,所以DM=AM=BM。由斜边中线性质的逆命题， ∠ADB=90°。 同理，N为AC的中点且DN=AN,所以∠ADC=90°。 过点D与直线AD垂直的直线只有一条，因此直线DB与DC重合，即B,D,C三点共线，且 AD⊥BC。 变式4一1在△ABC中，AB=AC,D在线段BC内部，M为AC的中点，且DM=AM。求证： BD=DC。 A M B C 解答 M为AC的中点且DM=AM,由斜边中线性质的逆命题，∠ADC=90°，即AD⊥BC。 又AB=AC,由等腰三角形的三线合一，得BD=DC。 第12页共23页 变式4一2在△ABC中，AB=10,AC=6。M为AB的中点，CM=5。点D在线段BC内部，且 AD=BD。求CD的长。 B M 解答 CM=5=AB,由斜边中线性质的逆命题，∠ACB=90。故BC=102-6=8. 设CD=X,则BD=8-X,从而AD=8-x。在Rt△ACD中，6+x=(8-x)2。 化简得16X=28,所以x-子-因为0<子<8，且AD=BD-至，满足题设内点及等长条件。 第13页共23页 5两个直角三角形中的中线关系 本组联系两个直角三角形中的中点，结合等距关系、垂直平分线和勾股定理求解。 例5在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AB=10。点D在线段AC内部，BD=2V13。M、N 分别为AB、BD的中点。 (1)求证：MN⊥BC:(2)求MN的长。 小 F M A 分析 本题不是分别把两条中线长度算出就结束。M与N都到B,C等距，这个共同条件先确定同一条 直线，随后才能把所求长度写成两个直角三角形中的边长之差。 解答 连接CM、CN。由两次斜边中线性质，MB=MC=5,NB=NC=13。 因此M、N都在线段BC的垂直平分线上。由于AB>BD,M≠N,故直线MN就是BC的垂直平 分线，MN⊥BC。 设MN与BC交于F,则BF=CF=3。在两个直角三角形中，MF=V52-3=4, NF=V(V13)2-3=2。 M、N均位于直线BC的A侧，且MF>NF,所以点序为F,N,M,故MN=MF-NF=2。 第14页共23页 变式5-1在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6。点D、E分别在线段CA、CB 内部，且DE=6。M、N分别为AB、DE的中点。 (1)求MN的最小值；(2）若CD≤3，是否存在符合题意的D,E,使MN仍等于第(1)问求 得的最小值？证明你的结论。 B M 解答 连接CM、CN。由勾股定理，AB=6V2;由两次斜边中线性质，CM=3V2,CN=3。 由两点之间线段最短，CM≤CN+NM,所以MN≥3V2-3。等号成立当且仅当C,N,M共线且N 在线段CM上。 取CD=CE=3V2,均小于6，所以D,E确为内点。勾股定理给DE=6。等腰三角形CDE与CAB 的底边中线CN,CM都平分∠ACB,故C,N,M共线；又CN<CM,所以等号可达。最小值为 3V2-3。 (2)不存在。若仍达到该值，则CN与CM同射线，而CM平分∠ACB,所以 ∠DCN=∠NCE=45°。由CN=ND=NE,分别在两个等腰三角形中得到 ∠CDN=∠CEN=45°，从而CD=CE。 于是CD+CE=36给CD=CE=3V2>3,与新增限制矛盾。 第15页共23页 变式5-2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10,BC=6。D在线段AC内部，M、N分别为 AB、BD的中点。若MN=CN,求CD的长。 的 F 解答 连接CM。由斜边中线性质，MB=MC、NB=NC。由于CD<AC,由勾股定理得BD<AB,所 以NB<MB,M≠N。故直线MN为BC的垂直平分线。设其与BC交于F,则BF=CF=3。 AB=V10+62=2V34,所以CM=34,MF=V34-9=5。由于D是AC内点，CD<AC,由勾股 定理得BD<AB,于是NB<MB。M,N均在BC的A侧，且NF=NB-BF2<MB-BF=MF,故 NF<MF,点序为F,N,M。 设F=,则GN=MN=5-.在位aCFN中，X+9=5-x,得x号CN-号 5 又BD=20N-.在△BCD中，CD-兰-6-9.0<5<10，满足内点条件。 第16页共23页 四分层练习 基础巩固 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别为AB、AC的中点。下列结论中一定成立 的是（）。 A.CM=AMB.CN=BNC.CM⊥ABD.CM平分∠ACB B N A 解答 M为斜边AB的中点，由斜边中线性质，CM=AM,故选A。 其余结论不一定成立。例如取AC=8、BC=6,则CN=4,BN=V42+62=2V13≠CN;又 AC≠BC,中线CM既不是高，也不是∠ACB的平分线。 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，且∠AMC=3∠ACM。求∠B的度数。 B A 解答 由AM=CM,设∠ACM=∠A=a,则∠AMC=3a。在△ACM中，a+a+3a=180°，所以 a=36。故∠B=90°-36=54°。 第17页共23页 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12,M为AB的中点。若△ACM的周长为18，求AC的 长。 B 入M 解答 由斜边中线性质，AM=CM=之AB,所以△ACM的周长为AC+AB=18。 设AC=x,则AB=18-X。由勾股定理，x+122=(18-x}2,解得x=5。此时AB=13,三边 5,12,13满足题设，故AC=5。 4.在△ABC中，M为BC的中点，AM=BM,AB=8,AC=6。求AM的长。 C B 解答 M为BC的中点且AM=BM,所以AM=号BC。由斜边中线性质的逆命题，∠BAC=90。 由勾股定理，BC=V82+62=10,所以AM=5。 第18页共23页 方法运用 5,在Rt△ABC中，∠ACB=90°。点P在线段AB内部，且PA=PC。求证：P是AB的中点。 解答 由PA=PC,得∠ACP=∠PAC=∠A。 又∠B=90°-∠A,且∠PCB=90°-∠ACP,所以∠PCB=∠B=∠PBC,从而PC=PB。 因此PA=PB,又P∈AB,故P是AB的中点。 6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。M为AB的中点，点D在线段AC内部，且 MD⊥MC。求CD的长。 M P 解答 由勾股定理得AB=10,所以AM=CM=5。过M作MP⊥AC,垂足为P。 在等腰三角形AMC中，MP为底边上的高，因此AP=PC=4。在Rt△MPC中， MP=V52-42=3。 在Rt△CMD中，CD为斜边，所以CD>CM=5>CP,故D在P,A之间。设CD=X,则 PD=x-4。由勾股定理，在Rt△CMD中，MD=x2-25;在Rt△MPD中，MD2=(x-42+9。 因此X-25=(X-42+9,解得x=2三。此值满足0<X<8,且D在P,A之间。此时 MD2-+-需所以QM+MD-25+需--，由勾股定理的逆定理， 1616 CM⊥MD,故该位置符合题意。 第19页共23页 7.在△ABC中，AD⊥BC,垂足D在线段BC内部。M、N分别为AB、AC的中点，且 DM=DN、DM⊥DN。求证：△ABC是等腰直角三角形。 A M B D 解答 由两个直角三角形中的斜边中线性质，DM=号AB,DN=号AC。由DM=DN得AB=AC。 又DM=AM、DN=AN,所以∠MDA=∠MAD=∠BAD,∠ADN=∠DAN=∠DAC。 D为BC内点，故AD在∠MDN内部， ∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠MDA+∠ADN=∠MDN=90。 因此AB=AC且∠BAC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形。 第20页共23页 五综合提高 1.在锐角三角形ABC中，BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,BE与CF相交于三角形内部 的点H。点M,N分别是BC,AH的中点。求证：MN⊥EF。 y B M 分析 先找M能够连接的两个直角顶点，再检查这两个点是否也能与N组成直角三角形。关键是认出 第二条斜边并不是原三角形的一条边，而是AH。 解答 连接ME,MF,NE,NF。在Rt△BEC和Rt△BFC中，M为公共斜边BC的中点，所以 ME=MF-BC. 由A,E,C共线、B,E,H共线及BE⊥AC,得∠AEH=90°；同理，∠AFH=90°。 在△AEH和t△APH中，N为公共斜边AH的中点，所以NE=MF=号AH。 锐角三角形的垂足E,F分别在AC,AB内部，故E≠F。由前述等距关系，M,N都在线段EF的垂 直平分线上。M在边BC上，N在线段AH内部，也在△ABC内部，故M≠N。直线MN就是EF的 垂直平分线，所以MN⊥EF。 第21页共23页 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。点D在射线CB上，且MD=CD。设 ∠CAB=a。 (1)用含a的式子表示CDM的度数；(2)当D在线段CB内部、与B重合、在CB的延长线上 时，a分别满足什么条件？ 图中仅表示一种可能的位置关系。 B(D D B M 分析 CM=BM与MD=CD对应的等腰三角形顶点不同。先分别求∠CMB和∠CMD,再用两条射线的 先后位置判断D是否越过B。 解答 由斜边中线性质，CM=BM。所以∠MCB=∠CBM=∠B=90°-。由于D在射线CB上， ∠MCD=90-a。 由MD=CD,得∠CMD=∠MCD=90°-a,故∠CDM=180°-2(90°-a)=2a。 在△CMB中，∠CMB=180°-2(90°-a)=2a。 (2)若D是CB内点，射线MD位于∠CMB内部，则∠CMD<∠CMB,即90°-<2a,所以 30°<a<90°。反过来，若a在此范围，则∠CMD<∠CMB;结合D在射线CB上，可知D在线段 CB内部。 若D=B,则90°-a=2a,得a=30°；反之&=30时射线MD与MB重合，故D=B。 若D在CB的延长线上，则∠CMD>∠CMB,得0°<<30°；反向也成立。D=C不可能，因为此 时CD=0而MD=MC>0,所以三个位置已列全。 第22页共23页 3.A,C,D依次在同一直线上，BC⊥AD,AC=4,BC=6。点M,N分别为AB,BD的中点。当 CM⊥CN时，求CD的长。 B E M 分析 两个斜边中点分居公共直角边的两侧，连接后不是作差而是作和。先利用等距确定M,N所在直 线，再将垂直条件转成勾股等式；最后必须验证所求位置确实能使两条中线垂直。 解答 取BC的中点E,在两个直角三角形中，MB=MC=AB,NB=NC-BD。所以M,N都在线段 BC的垂直平分线上，M,E,N共线，且MN⊥BC。 M,N分别位于BC两侧，故E在线段MN内部。AB=4+6=52,所以CM=13。又CE=3,在 Rt△CEM中，ME=V13-9=2。 设EN=x,其中x>0,则MN=x+2,且CN2=x+9。由于CM⊥CN,在Rt△CMN中， (x+2=13+(x2+9),解得x=3· 9 因为BD-2CN,所以BD2=4CN2=4号+9)=117.在R△BCD中，CD=7-36=9. 反过来.在规定的射线上取(CD=9。仍可得ME=2、N=号、CM-1B、CN=,于是 MN=3P=169=CM+CN2,由勾股定理的逆定理，CM1CN。规定射线上到C的距离为9的 点只有一个，因此符合条件的点D存在且唯一。 第23页共23页专题一斜边中线模型与等腰转化培优专题讲与练 一必备知识 直角三角形中，连接直角顶点与斜边中点的线段叫作斜边上的中线。它等于斜边的一半，因而 把一个直角三角形转成两个等腰三角形；反过来，若一边中点到第三个顶点的距离等于这条边 的一半，也能判定原三角形是直角三角形。运用时必须同时看准“直角”和“斜边中点”，不能把直 角边上的中线也当作半条斜边。 1性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，则CM=AM=BM=1AB。 B B 证明 设∠A=a、∠B=B,则a+B=90°。 在∠ACB内部作射线CX,使∠ACX=a,与线段AB交于X。 在△ACX中，∠CAX=∠ACX=a,所以AX=CX。又∠XCB=90°-=B=∠CBX,所以 BX=CX. 由AX=BX可知X为AB的中点，因而X与M重合。故CM=AM=BM=号AB. 先作等角射线，再由两个等腰三角形认出中点。 第1页共17页 2逆命题中线等于所对边的一半，则该边所对的角是直角 在△ABC中，M为AB的中点。若CM=AB,则∠ACB=90· M A 证明 由M为AB的中点及CM=号AB,得AM=BM=CM。设∠A=a、∠B=B。 在△ACM中，AM=CM,所以∠ACM=a;在△BCM中，BM=CM,所以∠MCB=B。 M在线段AB内部，故∠ACB=∠ACM+∠MCB=a+B。由△ABC内角和， a+B+(a+B)=180,所以∠ACB=90°。 逆向使用时，先核实中点在哪一条边上，再确定直角的顶点。 第2页共17页 二典例精讲 例题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28, M为斜边AB的中点，CH⊥AB,垂足为H。 (1)求∠BCM与∠BMC的度数；(2)求∠MCH的度数。 B H M A 分析 中点M先把直角三角形拆成两个等腰三角形；高CH则另给一个直角。分别求∠ACM与 ∠ACH,，再根据射线位置相减，不能把中线误当成高。 解 由∠ACB=90°且M为AB的中点，得CM=AM=BM。 在△ACM中，AM=CM,所以∠ACM=∠A=28°。故∠BCM=90°-28=62°。 在△BCM中，BM=CM,所以∠BMC=180°-2×62°=56°。 在Rt△ACH中，∠ACH=90°-∠A=62。由于∠ACH>∠ACM,射线CM在∠ACH内部，故 ∠MCH=62°-28=34。 第3页共17页 三分类讲练 1斜边中线与角度计算 本组通过斜边中线形成的等腰三角形研究角度关系，并比较垂足位置改变后角的和差变化。 例1在△ABC中，∠BAC=I20°。AD⊥BC,垂足D在线段BC内部。M、N分别为AB、AC的 中点，连接DM、DN。求∠MDN的度数。 M N B D C 变式1-1在△ABC中，∠ABC=120°，∠BAC=35°。AD⊥BC,垂足D在CB的延长线上，点 序为D,B,C。M、N分别为AB、AC的中点。求∠MDN的度数。 y 名 D 第4页共17页 变式1一2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，CH⊥AB,垂足为H。若 ∠MCH=20°，求∠A的度数。 图中仅表示一种可能的位置关系。 H 2利用斜边中线证明全等 本组结合斜边中线、等腰直角三角形及垂直条件，证明线段相等或两条直线垂直。 例2如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。D、E分别在线段CA、 CB内部，且MD⊥ME。求证：AD=CE。 B E M A 第5页共17页 变式2一1在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。D、E分别在线段CA、 CB内部，且AD=CE。求证：MD⊥ME。 B M A 变式2-2在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。点D在CA的延长线上， 点E在BC的延长线上，点序分别为C,A,D和B,C,E,且MD⊥ME。求证：CD-CE=CA。 B M D 第6页共17页 3共用斜边的两个直角三角形 两个直角三角形共用斜边时，同一个中点能同时联系两个直角顶点。本组研究它们之间的长度 与角度关系。 例3C、D是直线AB同侧的两个不同点，且AC⊥BC,AD⊥BD。已知AB=10,CD=6, M、N分别为AB、CD的中点。求MN的长。 C D A B M 变式3一1C、D分别在线段AB所在直线的两侧，AC⊥BC,AD⊥BD。M为AB的中点，且 CD=AB。求证：M也是CD的中点。 B M 第7页共17页 变式3一2C、D在直线AB的同侧，AC⊥BC,AD⊥BD,射线AC位于∠DAB内部，且 ∠CAD=45°。M为AB的中点。 (1)求证：CM⊥DM:(2)若AB=10,求CD的长。 D C y B M 4利用中线关系判定直角 本组从中线与边长的关系出发判定直角，再解决共线、等分及求长问题。 例4在△ABC中，M、N分别为AB、AC的中点。点D位于∠BAC内部，D≠A,且 DM=AM、DN=AN。求证：B、D、C三点共线，且AD⊥BC。 A M D 第8页共17页 变式4-1在△ABC中，AB=AC,D在线段BC内部，M为AC的中点，且DM=AM。求证： BD=DC。 A M D 变式4-2在△ABC中，AB=10,AC=6。M为AB的中点，CM=5。点D在线段BC内部，且 AD=BD。求CD的长。 B M 第9页共17页 5两个直角三角形中的中线关系 本组联系两个直角三角形中的中点，结合等距关系、垂直平分线和勾股定理求解。 例5在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AB=10。点D在线段AC内部，BD=2V13。M、N 分别为AB、BD的中点。 (1)求证：MN⊥BC;(2)求MN的长。 夕 M D A 变式5一1在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6。点D、E分别在线段CA、CB 内部，且DE=6。M、N分别为AB、DE的中点。 (1)求MN的最小值；(2)若CD≤3，是否存在符合题意的D,E,使MN仍等于第（1)问求 得的最小值？证明你的结论。 M D A 第10页共17页 变式5-2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10,BC=6。D在线段AC内部，M、N分别为 AB、BD的中点。若MN=CN,求CD的长。 B N M D 四分层练习 基础巩固 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别为AB、AC的中点。下列结论中一定成立 的是（）。 A.CM=AMB.CN=BN,C.CM⊥ABD.CM平分∠ACB 小 M N 第11页共17页 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，且∠AMC=3∠ACM。求∠B的度数。 B M A 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12,M为AB的中点。若△ACM的周长为18，求AC的 长。 B 入M A 第12页共17页 4.在△ABC中，M为BC的中点，AM=BM,AB=8,AC=6。求AM的长。 B 方法运用 5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°。点P在线段AB内部，且PA=PC。求证：P是AB的中点。 B 第13页共17页 6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。M为AB的中点，点D在线段AC内部，且 MD⊥MC。求CD的长。 B M D 7.在△ABC中，AD⊥BC,垂足D在线段BC内部。M、N分别为AB、AC的中点，且 DM=DN、DM⊥DN。求证：△ABC是等腰直角三角形。 A B C D 第14页共17页 五综合提高 1.在锐角三角形ABC中，BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,BE与CF相交于三角形内部 的点H。点M,N分别是BC,AH的中点。求证：MN⊥EF。 E B M 第15页共17页 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。点D在射线CB上，且MD=CD。设 ∠CAB=a。 (1)用含a的式子表示CDM的度数；(2)当D在线段CB内部、与B重合、在CB的延长线上 时，a分别满足什么条件？ 图中仅表示一种可能的位置关系。 B D M A 第16页共17页 3.A,C,D依次在同一直线上，BC⊥AD,AC=4,BC=6。点M,N分别为AB,BD的中点。当 CM⊥CN时，求CD的长。 B M N A D 第17页共17页专题一斜边中线模型与等腰转化培优专题讲与练 一必备知识 直角三角形中，连接直角顶点与斜边中点的线段叫作斜边上的中线。它等于斜边的一半，因而 把一个直角三角形转成两个等腰三角形；反过来，若一边中点到第三个顶点的距离等于这条边 的一半，也能判定原三角形是直角三角形。运用时必须同时看准“直角”和“斜边中点”，不能把直 角边上的中线也当作半条斜边。 1性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，则CM=AM=BM=号AB。 证明 设∠A=a、∠B=B,则a+B=90°。 在∠ACB内部作射线CX,使∠ACX=a,与线段AB交于X。 在△ACX中，∠CAX=∠ACX=a,所以AX=CX。又∠XCB=90°-a=B=∠CBX,所以 BX=CX。 由AX=BX可知X为AB的中点，因而X与M重合。故CM=AM=BM=AB。 先作等角射线，再由两个等腰三角形认出中点。 第1页共22页 2逆命题中线等于所对边的一半，则该边所对的角是直角 在△ABC中，M为AB的中点。若CM=AB,则∠ACB=90。 夕 M A 证明 由M为AB的中点及CM=AB,得AM=BM=CM。设∠A=a,∠B=B。 在△ACM中，AM=CM,所以∠ACM=a;在△BCM中，BM=CM,所以∠MCB=B。 M在线段AB内部，故∠ACB=∠ACM+∠MCB=a+B。由△ABC内角和， a+B+(a+B)=180,所以∠ACB=90°。 逆向使用时，先核实中点在哪一条边上，再确定直角的顶点。 第2页共22页 二典例精讲 例题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28, M为斜边AB的中点，CH⊥AB,垂足为H。 (1)求∠BCM与∠BMC的度数；(2)求∠MCH的度数。 B M A 分析 中点M先把直角三角形拆成两个等腰三角形；高CH则另给一个直角。分别求∠ACM与 ∠ACH,再根据射线位置相减，不能把中线误当成高。 解 由∠ACB=90°且M为AB的中点，得CM=AM=BM。 在△ACM中，AM=CM,所以∠ACM=∠A=28°。故∠BCM=90°-28=62°。 在△BCM中，BM=CM,所以∠BMC=180°-2×62°=56。 在Rt△ACH中，∠ACH=90°-∠A=62°。由于∠ACH>∠ACM,射线CM在∠ACH内部，故 ∠MCH=62°-28°=34。 第3页共22页 三分类讲练 1斜边中线与角度计算 本组通过斜边中线形成的等腰三角形研究角度关系，并比较垂足位置改变后角的和差变化。 例1在△ABC中，∠BAC=120°。AD⊥BC,垂足D在线段BC内部。M、N分别为AB、AC的中 点，连接DM、DN。求∠MDN的度数。 B D C 分析 图中没有一个给定的直角顶点在A。先辨认AD两侧的两个直角三角形，再把钝角分成两个等腰 三角形的底角。 解答 在Rt△ADB中，M为斜边AB的中点，故DM=AM,所以∠MDA=∠MAD=∠BAD。 在Rt△ADC中，N为斜边AC的中点，故DN=AN,所以∠ADN=∠DAN=∠DAC。 由于D在BC内部，DM、DN分居AD两侧，故 ∠MDN=∠MDA+∠ADN=∠BAD+∠DAC=120°。 变式1-1在△ABC中，∠ABC=120°，∠BAC=35°。AD⊥BC,垂足D在CB的延长线上，点 序为D,B,C。M、N分别为AB、AC的中点。求∠MDN的度数。 M D B 解答 ∠ABD=180°-120°=60°，故∠BAD=30°。于是∠CAD=∠CAB+∠BAD=65°。 由两次斜边中线性质，DM=AM、DN=AN,所以∠MDA=30°，∠NDA=65。 DM、DN在AD的同侧，且∠NDA>∠MDA,故∠MDN=65°-30°=35°。 第4页共22页 变式1一2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，CH⊥AB,垂足为H。若 ∠MCH=20°，求∠A的度数。 图中仅表示一种可能的位置关系。 B 解答 设∠A=a,则0°<a<90°。由AM=CM,得∠ACM=a;由CH⊥AB,得∠ACH=90°-a。 若<45°，射线CM位于∠ACH内部，20°=(90°-a)-a,解得a=35°。 若>45°，射线CH位于∠ACM内部，20°=a-(90°-a),解得a=55。 若α=45°，CM与CH重合，夹角为0°，不合题意。两组所得锐角均能构成非退化直角三角形， 故无遗漏。 第5页共22页 2利用斜边中线证明全等 本组结合斜边中线、等腰直角三角形及垂直条件，证明线段相等或两条直线垂直。 例2如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。D、E分别在线段CA、 CB内部，且MD⊥ME。求证：AD=CE。 B 分析 要把AD与CE放进全等三角形，关键不是另作一条高，而是补连CM。斜边中线给出AM=CM, 两组垂直把夹在其中的角转成相等。 解答 AC=BC,所以∠A=∠B=45°，且由等腰三角形的三线合一，CM⊥AB。又由斜边中线性质， AM=CM。 D,E是两直角边的内点，故射线MD位于∠AMC内部，射线ME位于∠CMB内部，且CM位于 ∠DME内部。因此∠AMD+∠DMC=90°，∠CME+∠DMC=90°，从而∠AMD=∠CME. 在△AMD和△CME中， ∠MAD=∠MCE=45 AM=CM ∠AMD=ㄥCME △AMD≡△CME(ASA). 所以AD=CE。 第6页共22页 变式2-1在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。D、E分别在线段CA、CB 内部，且AD=CE。求证：MD⊥ME。 B E 解答 连接CM。由等腰三角形的三线合一及斜边中线性质，CM⊥AB,AM=CM, ∠MAD=∠MCE=45。 在△AMD和△CME中， AM=CM ∠MAD=∠MCE AD=CE △AMD兰△CME(SAS)。 所以∠AMD=∠CME。由于D,E是两直角边的内点，射线MD位于∠AMC内部，射线ME位于 ∠CMB内部。故∠DME=∠DMC+∠CME=∠DMC+∠AMD=∠AMC=90。 第7页共22页 变式2一2在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。点D在CA的延长线上，点 E在BC的延长线上，点序分别为C,A,D和B,C,E,且MD⊥ME。求证：CD-CE=CA。 B D 解答 连接CM。由斜边中线性质及等腰三角形的三线合一，AM=CM,AM⊥LCM。按所给点序，射 线MA,ME均位于∠DMC内部，于是∠AMD=∠DMC-90°=∠CME。又 ∠MAD=∠MCE=135。 在△AMD和△CME中， ∠MAD=∠MCE AM=CM ∠AMD=∠CME △AMD三△CME(ASA)。 所以AD=CE。由点序C,A,D,CD=CA+AD,故CD-CE=CA。 第8页共22页 3共用斜边的两个直角三角形 两个直角三角形共用斜边时，同一个中点能同时联系两个直角顶点。本组研究它们之间的长度 与角度关系。 例3C、D是直线AB同侧的两个不同点，且AC⊥BC,AD⊥BD。已知AB=10,CD=6,M、 N分别为AB、CD的中点。求MN的长。 C D B M 分析 两个直角不应分开计算：它们共用同一条斜边。把中点M同时连向两个直角顶点，就能把CD接 入一个等腰三角形。 解答 连接MC、MD。在两个以AB为斜边的直角三角形中，MC=MD=号AB=5。 若M,C,D共线，由MC=MD且C≠D,M必为CD的中点，从而CD=MC+MD=I0,与CD=6矛 盾。因此△MCD是非退化等腰三角形。N为CD的中点，由三线合一，MN⊥CD,且CN=3。 在Rt△MCN中，MN=VMC2-CN2=V25-9=4。 变式3一1C、D分别在线段AB所在直线的两侧，AC⊥BC,AD⊥BD。M为AB的中点，且 CD=AB。求证：M也是CD的中点。 A B M D 解答 连接MC、MD。由斜边中线性质，MC=MD=号AB,所以MC+MD=AB=CD. 若M,C,D不共线，则三角形两边之和大于第三边，得MC+MD>CD,矛盾。因此M,C,D共 线。 C,D位于直线AB的两侧而M∈AB,故M在线段CD内部。再由MC=MD,得M为CD的中点。 第9页共22页 变式3一2C、D在直线AB的同侧，AC⊥BC,AD⊥BD,射线AC位于∠DAB内部，且 ∠CAD=45°。M为AB的中点。 (1)求证：CM⊥DM,(2)若AB=10,求CD的长。 D C M 解答 连接CM.DM。有CM=DM=AM=AB:设∠CAB=a,则zDAB=a+45。两个直角三角形 的锐角均小于90°，故0°<α<45°。 由AM=CM,∠AMC=180°-2a;由AM=DM,∠AMD=180°-2(a+45°)=90°-2a。 C,D在AB同侧，两条射线MC,MD也在AB同一侧，故∠CMD=∠AMC-∠AMD=90°。所以 CM⊥DM。 当AB=10时，CM=DM=5,由勾股定理得CD=V52+52=5V2。 第10页共22页 4利用中线关系判定直角 本组从中线与边长的关系出发判定直角，再解决共线、等分及求长问题。 例4在△ABC中，M、N分别为AB、AC的中点。点D位于∠BAC内部，D≠A,且DM=AM、 DN=AN。求证：B、D、C三点共线，且AD⊥BC。 M B C 分析 题目没有给出直角。要证明三点共线，可以先证明DB、DC都垂直于同一条直线；两组“中点到 第三点等于半边”恰好分别提供这两个直角。 解答 M为AB的中点，且DM=AM,所以DM=AM=BM。由斜边中线性质的逆命题，∠ADB=90°。 同理，N为AC的中点且DN=AN,所以∠ADC=90°。 过点D与直线AD垂直的直线只有一条，因此直线DB与DC重合，即B,D,C三点共线，且 AD⊥BC。 变式4-1在△ABC中，AB=AC,D在线段BC内部，M为AC的中点，且DM=AM。求证： BD=DC。 M B C D 解答 M为AC的中点且DM=AM,由斜边中线性质的逆命题，∠ADC=90°，即AD⊥BC。 又AB=AC,由等腰三角形的三线合一，得BD=DC。 第11页共22页 变式4一2在△ABC中，AB=10,AC=6。M为AB的中点，CM=5。点D在线段BC内部，且 AD=BD。求CD的长。 B 解答 CM=5=AB,由斜边中线性质的逆命题，∠ACB=90。故BC=Y10-6=8。 设CD=X,则BD=8-X,从而AD=8-X。在Rt△ACD中，62+x2=(8-x)2。 化简得16x=28,所以X子，因为0<子<8，且AD=BD-苧，满足题设内点及等长条件。 第12页共22页 5两个直角三角形中的中线关系 本组联系两个直角三角形中的中点，结合等距关系、垂直平分线和勾股定理求解。 例5在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AB=10。点D在线段AC内部，BD=2V13。M、N 分别为AB、BD的中点。 (1)求证：MN⊥BC;(2）求MN的长。 F M A 分析 本题不是分别把两条中线长度算出就结束。M与N都到B,C等距，这个共同条件先确定同一条 直线，随后才能把所求长度写成两个直角三角形中的边长之差。 解答 连接CM、CN。由两次斜边中线性质，MB=MC=5,NB=NC=V13。 因此M、N都在线段BC的垂直平分线上。由于AB>BD,M≠N,故直线MN就是BC的垂直平分 线，MN⊥BC。 设MN与BC交于F,则BF=CF=3。在两个直角三角形中，MF=52-3=4, NF=V(V132-3=2。 M、N均位于直线BC的A侧，且MF>NF,所以点序为F,N,M,故MN=MF-NF=2。 第13页共22页 变式5-1在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6。点D、E分别在线段CA、CB 内部，且DE=6。M、N分别为AB、DE的中点。 (1)求MN的最小值；(2）若CD≤3，是否存在符合题意的D,E,使MN仍等于第（1)问求 得的最小值？证明你的结论。 B M 解答 连接CM、CN。由勾股定理，AB=6V2,由两次斜边中线性质，CM=3√2，CN=3。 由两点之间线段最短，CM≤CN+NM,所以MN≥3V2-3。等号成立当且仅当C,N,M共线且N 在线段CM上。 取CD=CE=3V2,均小于6，所以D,E确为内点。勾股定理给DE=6。等腰三角形CDE与CAB的 底边中线CN,CM都平分∠ACB,故C,N,M共线；又CN<CM,所以等号可达。最小值为 3V2-3。 (2)不存在。若仍达到该值，则CN与CM同射线，而CM平分∠ACB,所以 ∠DCN=∠NCE=45°。由CN=ND=NE,分别在两个等腰三角形中得到∠CDN=∠CEN=45°， 从而CD=CE。 于是CD+CE=36给CD=CE=3V2>3,与新增限制矛盾。 第14页共22页 变式5-2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10,BC=6。D在线段AC内部，M、N分别为 AB、BD的中点。若MN=CN,求CD的长。 B F D 解答 连接CM。由斜边中线性质，MB=MC、NB=NC。由于CD<AC,由勾股定理得BD<AB,所以 NB<MB,M≠N。故直线MN为BC的垂直平分线。设其与BC交于F,则BF=CF=3。 AB=√102+6=2V34,所以CM=34,MF=V34-9=5。由于D是AC内点，CD<AC,由勾股定 理得BD<AB,于是NB<MB。M,N均在BC的A侧，且NF=NB-BF2<MB-BF=MF2,故 NF<MF,点序为F,N,M。 设F=X,则CN=MN=5-X,在R△CFN中，X+9=5-X,得x号，CN=号 又BD=2CN-兰.在aBCD中，CD=4-6-5.0<9<10,清足内点条件。 5 第15页共22页 四分层练习 基础巩固 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别为AB、AC的中点。下列结论中一定成立的 是()。 A.CM=AMB.CN=BNC.CM⊥ABD.CM平分∠ACB A 解答 M为斜边AB的中点，由斜边中线性质，CM=AM,故选A。 其余结论不一定成立。例如取AC=8、BC=6,则CN=4,BN=V42+62=2V13≠CN,又 AC≠BC,中线CM既不是高，也不是∠ACB的平分线。 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，且∠AMC=3∠ACM。求∠B的度数。 B A 解答 由AM=CM,设∠ACM=∠A=a,则∠AMC=3a。在△ACM中，++3a=180°，所以 a=36。故∠B=90-36=54。 第16页共22页 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12,M为AB的中点。若△ACM的周长为18，求AC的 长。 B M A 解答 由斜边中线性质，AM=CM=号AB,所以△ACM的周长为AC+AB=18。 设AC=x,则AB=18-x。由勾股定理，x2+12=(18-x2,解得x=5。此时AB=13,三边 5,12,13满足题设，故AC=5。 4.在△ABC中，M为BC的中点，AM=BM,AB=8,AC=6。求AM的长。 C B 解答 M为BC的中点且AM=BM,所以AM=号BC。由斜边中线性质的逆命题，∠BAMC=90。 由勾股定理，BC=V82+6=10,所以AM=5。 第17页共22页 方法运用 5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°。点P在线段AB内部，且PA=PC。求证：P是AB的中点。 解答 由PA=PC,得∠ACP=∠PAC=∠A。 又∠B=90-∠A,且∠PCB=90°-∠ACP,所以∠PCB=∠B=∠PBC,从而PC=PB。 因此PA=PB,又P∈AB,故P是AB的中点。 6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。M为AB的中点，点D在线段AC内部，且 MD⊥MC。求CD的长。 M D 解答 由勾股定理得AB=10,所以AM=CM=5。过M作MP⊥AC,垂足为P。 在等腰三角形AMC中，MP为底边上的高，因此AP=PC=4。在Rt△MPC中， MP=V52-42=3。 在Rt△CMD中，CD为斜边，所以CD>CM=5>CP,故D在P,A之间。设CD=x,则 PD=x-4。由勾股定理，在Rt△CMD中，MD2=x2-25;在Rt△MPD中，MD2=(x-4)2+9。 因此×-25=X-4+9,解得x=空。此值满足0<x<8,且D在P,A之间。此时 MD2=(号+32=25 =需，所以CM+MD=25+2-=CD,由句股定理的逆定理 1616 CM⊥MD,故该位置符合题意。 第18页共22页 7.在△ABC中，AD⊥BC,垂足D在线段BC内部。M、N分别为AB、AC的中点，且 DM=DN、DM⊥DN。求证：△ABC是等腰直角三角形。 A M B C D 解答 由两个直角三角形中的斜边中线性质，DM=号AB,DN=AC。由DM=DN得AB=AC。 又DM=AM、DN=AN,所以∠MDA=∠MAD=∠BAD,∠ADN=∠DAN=∠DAC· D为BC内点，故AD在∠MDN内部， ∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠MDA+∠ADN=∠MDN=90. 因此AB=AC且∠BAC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形。 第19页共22页 五综合提高 1.在锐角三角形ABC中，BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,BE与CF相交于三角形内部 的点H。点M,N分别是BC,AH的中点。求证：MN⊥EF。 M 分析 先找M能够连接的两个直角顶点，再检查这两个点是否也能与N组成直角三角形。关键是认出 第二条斜边并不是原三角形的一条边，而是AH。 解答 连接ME,MF,NE,NF。在Rt△BEC和Rt△BFC中，M为公共斜边BC的中点，所以 ME-MF-BC. 由A,E,C共线、B,E,H共线及BE⊥AC,得∠AEH=90°；同理，∠AFH=90°。 在△AEH和△AFH中，N为公共斜边AH的中点，所以NE=NF=号AH。 锐角三角形的垂足E,F分别在AC,AB内部，故E≠F。由前述等距关系，M,N都在线段EF的垂 直平分线上。M在边BC上，N在线段AH内部，也在△ABC内部，故M≠N。直线MN就是EF的 垂直平分线，所以MN⊥EF。 第20页共22页 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点。点D在射线CB上，且MD=CD。设 ∠CAB=a。 (1)用含α的式子表示∠CDM的度数；(2)当D在线段CB内部、与B重合、在CB的延长线上 时，α分别满足什么条件？ 图中仅表示一种可能的位置关系。 B(D D B M 分析 CM=BM与MD=CD对应的等腰三角形顶点不同。先分别求∠CMB和∠CMD,再用两条射线的 先后位置判断D是否越过B。 解答 由斜边中线性质，CM=BM。所以∠MCB=∠CBM=∠B=90°-a。由于D在射线CB上， ∠MCD=90°-a。 由MD=CD,得∠CMD=∠MCD=90-a,故∠CDM=180°-2(90°-a)=2a。 在△CMB中，∠CMB=180°-2(90°-a)=2a。 (2)若D是CB内点，射线MD位于∠CMB内部，则∠CMD<∠CMB,即90°-a<2,所以 30°<a<90°。反过来，若a在此范围，则∠CMD<∠CMB,结合D在射线CB上，可知D在线段 CB内部。 若D=B,则90°-=2Q,得a=30°；反之&=30°时射线MD与MB重合，故D=B。 若D在CB的延长线上，则∠CMD>∠CMB,得0°<a<30°，反向也成立。D=C不可能，因为此 时CD=0而MD=MC>0,所以三个位置已列全。 第21页共22页 3.A,C,D依次在同一直线上，BC⊥AD,AC=4,BC=6。点M,N分别为AB,BD的中点。当 CM⊥CN时，求CD的长。 B M 分析 两个斜边中点分居公共直角边的两侧，连接后不是作差而是作和。先利用等距确定M,N所在直 线，再将垂直条件转成勾股等式；最后必须验证所求位置确实能使两条中线垂直。 解答 取BC的中点E。在两个直角三角形中，MB=MC=AB,NB=NC=BD。所以M,N都在线段 BC的垂直平分线上，M,E,N共线，且MN⊥BC。 M,N分别位于BC两侧，故E在线段MN内部。AB=42+6=52,所以CM2=13。又CE=3,在 Rt△CEM中，ME=V13-9=2。 设EN=X,其中x>0,则MN=X+2,且CN=x2+9。由于CM⊥CN,在Rt△CMN中， (x+2=13+2+91,解得x号 因为BD=2CN,所以BD=4CN2=4(号}+9)=117。在R△BCD中，CD=V17-36=9。 反过来在规定的射线上取CD=9.仍可得ME=2.EN=号CM2=3.CN-,于是 MN2-(P-1=CM2+CN2。由勾股定理的逆定理，CM1CN,规定射线上到C的距离为9的 点只有一个，因此符合条件的点D存在且唯一。 第22页共22页