3.3.2 垂径定理（第2课时）（教学设计）数学新教材浙教版九年级上册

年级

九年级

学科

数学

课型

新授课

教材

浙教版九年级上册

教学目标

1.通过折纸操作、画图观察与逻辑推理，探究并理解垂径定理两个推论的形成过程，能准确表述两条推论的内容。

2.掌握两条推论的几何证明思路，分清推论的条件与结论，区分推论1中“弦不是直径”这个关键前提。

3.能运用垂径定理的推论完成简单几何推理，解决基础线段、弧相等的证明与计算问题。

教学重点

垂径定理两个推论的内容、证明思路及条件辨析；

运用推论构造基本直角三角形解决简单问题。

教学难点

理解推论1中“弦不是直径”的关键限制；

从实际问题中抽象出垂径定理模型进行推理与计算。

教材分析

本节教学内容源于浙教版九年级上册第三章《圆的基本性质》第三节《垂径定理》（第2课时）。主要内容包括：垂径定理的两个推论——推论1“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”，推论2“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”；两条推论的形成过程、证明思路与条件辨析；运用推论解决线段相等、弧相等、垂直关系及拱桥半径等简单几何证明与计算问题。

本课时承接垂径定理第1课时及圆的轴对称性，从赵州桥、折纸等情境提出“直径与弦、弧的位置和数量关系”的猜想，再将“平分弦”“平分弧”转化为等腰三角形三线合一及圆心角、弧、弦关系，经逻辑证明形成两条推论。其核心逻辑是“过圆心的直线—弦—弧”的对称关系，尤其需辨析推论1中“弦不是直径”的必要条件，防止误用。知识价值在于以圆的对称性统摄几何推理，为证明线段相等、弧相等、垂直关系提供模型，并通过半径、弦心距、半弦长构造直角三角形进行计算。教学重点为两条推论的内容与证明思路、条件辨析，以及运用基本模型解决简单问题。

学情分析

学生已学习圆的基本概念、圆的轴对称性、垂径定理第1课时、圆心角与弧弦关系，以及等腰三角形三线合一、勾股定理、全等三角形和垂直平分线等知识，具备一定的画图、猜想和简单证明经验。折纸观察、归纳推论内容相对较易，但用严谨符号语言表述条件与结论、完成证明仍需引导；辨析“弦不是直径”及构造反例是认知难点。实际问题中，学生容易混淆拱高、弦心距与半径的关系，设元列方程、构造直角三角形存在困难。教学中应借助图形变式、反例辨析和模型归纳，突出重点，突破难点。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【创设情景，引入新课】

教师出示赵州桥、园林月洞门、钟表等生活图片，引导：圆是自然界中最和谐的几何图形，建筑之美中蕴含深刻的数学原理。今天探索圆的奥秘。

思考一：桥拱的半径之谜
赵州桥的桥拱是一个巨大的圆弧。如果没有现代测量工具，你能利用几何知识计算出它的半径或桥拱的高度吗？试着画出它的几何模型。

思考二：弦与直径的秘密
在圆中任意画一条弦，能否找到一条直径，使其既垂直于这条弦，又能平分这条弦？动手试一试，你能发现其中的规律吗？

【师生活动】
教师：出示情境，提出“桥拱半径如何求”“弦与直径有何关系”。
学生：观察、画几何模型，尝试用弦、拱高、半径表示桥拱，并交流猜想。

以赵州桥桥拱半径问题激活测量与计算需求，以“弦与直径的秘密”聚焦“平分弦的直径”与“垂直”的关系，激发兴趣，明确两个推论的学习方向。

探究点1：垂径定理推论1

【问题引入】

在中，直径平分弦（不是直径）于点，观察与是否垂直，与、与是否相等。

通过折纸、画图、测量引发猜想，再连接半径构造等腰三角形完成证明，突出“平分弦（非直径）→垂直、平分弧”的转化，帮助学生辨析“弦不是直径”的关键条件，

连接后，是什么三角形？具有什么特殊身份？

若弦本身是直径，结论还一定成立吗？为什么？

【师生活动】

教师：演示折纸、画图，追问“由平分弦能否推出垂直、平分弧”。
学生：分组画图、测量、猜想；连接半径，利用等腰三角形性质尝试证明。

【详细过程】

现实模型：直径平分弦→抽象为等腰中为底边中线→由三线合一得垂直→由圆心角相等得弧相等。

已知：在中，直径交弦（不是直径）于点，。
求证：，、=。

证明：连接。
是半径，

，为等腰三角形。
，即是等腰底边上的中线。
，即。
，，

，

。
又，，，

。

【新知导出】

定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

【例题巩固】

【典例1】将半径为的如图折叠，折痕长为，为折叠后的中点，则的长为？

发展逻辑推理能力。