专题25.1 二次函数（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级下册

专题25.1 二次函数 教学目标 1.理解二次函数的定义及三个特征，能正确识别二次函数。 2.掌握二次函数的一般形式及各项系数，能写出各项与系数。 3.会求二次函数在某自变量取值时的函数值。 4.能根据实际问题列出二次函数关系式，并确定自变量的取值范围。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的定义及识别 （2）根据实际问题列二次函数关系式 （3）用待定系数法求系数 2.难点 （1）判断一个函数是否为二次函数 （2）根据实际问题建模并确定自变量的取值范围 （3）几何图形、销售利润等背景下的函数关系式 知识点01：二次函数的定义 1.定义：形如 （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数。 2.三个特征： （1）函数关系式中关于自变量的式子是 ； （2）化简后自变量的最高次数是 ； （3）二次项系数a 。 3.注意：判断是否为二次函数，须先把函数解析式化简，再看是否满足以上三个特征；当a＝0时，若b≠0，则为一次函数。 【即学即练】 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点02：二次函数的一般形式与各项 1.一般形式：任何一个二次函数都可以化成（a、b、c是常数，a≠0）的形式，称为二次函数的 。 2.各项名称：称为 ，a是 ；称为 ，b是 ；c称为 。 3.特殊形式：当b＝0、c≠0时，为；当b≠0、c＝0时，为；当b＝0、c＝0时，为。 4.自变量的取值范围：一般情况下是全体实数，实际问题中还需使实际问题有意义。 【即学即练】 1．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．2，，1 B．2，3，1 C．1，3，2 D．1，，2 知识点03：列二次函数关系式（建模） 1.步骤： （1）审清题意，找出已知量、未知量及它们之间的关系，把文字、图形语言转化为 ； （2）找出等量关系，用等式表示常量和变量之间的关系； （3）设出变量字母，把等式用含字母的关系式替换，并写成用自变量表示因变量的形式； （4）根据实际问题确定自变量的取值范围。 2.常见类型：几何图形面积公式（如、）、物理公式（如自由落体）、利润与售价关系等。 【即学即练】 1．一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 题型01 识别二次函数 把函数解析式化简，检查是否满足整式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0三个特征。 【典例1】.（2026九年级上·上海·专题练习）下列函数中，是关于的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】.（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列函数，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】.（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型02 由二次函数的定义求字母的值 令自变量最高次数为2且二次项系数不为0，列方程或不等式组，注意排除使二次项系数为0的情况。 【典例2】.（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则的值为__________． 【变式1】.（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）已知是二次函数，则________． 【变式2】.（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知函数是关于的二次函数，则的取值范围是___． 【变式3】.（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）若是关于的二次函数，则________． 题型03 写出二次函数的一般形式及各项系数 把解析式化为的一般形式，再分别写出二次项系数、一次项系数和常数项。 【典例3】.（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 【变式1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的二次项系数是_________，一次项系数是_____，常数项是_______． 【变式2】.（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ）． A．1，，5 B．1，3，5 C．5，3，1 D．5，，1 【变式3】.（2026九年级上·全国·专题练习）将二次函数 化为一般形式为___________，其中二次项系数为___________，一次项系数为___________，常数项为___________． 题型04 根据几何图形列二次函数关系式 用边长、半径等设变量，按面积、周长、体积公式列式，注意化为一般形式并确定自变量取值范围。 【典例4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点O是斜边上一点，四边形是正方形．设，正方形的边长为y，则y与x的函数解析式为___________． 【变式1】.（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，矩形的长是、宽是，如果将长和宽都增加，矩形面积变成． (1)求与之间的函数解析式（要求化为一般式）； (2)当长和宽都增加多少时，矩形的面积变成？ 【变式2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）完成以下问题： (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式． (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x．写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式． 【变式3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，矩形绿地的两边长各增加，扩充后的绿地面积为，写出y关于x的函数解析式． 题型05根据销售利润问题列二次函数关系式 用"每件利润×销售量＝总利润"，设售价（降价）为变量，把每件利润与销售量表示出来再相乘列式。 【典例5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 【变式1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）年，我国全年完成造林面积万；年，我国全年完成造林面积比年增长约． (1)年，我国全年完成造林面积大约是多少（结果精确到1万）? (2)如果年和年我国全年完成造林面积年均增长率为x，年我国全年完成造林面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【变式2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）销售末期，商家决定降价销售，已知这款护眼灯的进价为元/台，当销售单价为元/台时，每天能卖出台，若每降价元，每天可多卖出台．设每台护眼灯的销售单价下降元，每天的利润为元，则与 之间的函数解析式为__________________． 【变式3】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）某商品原价 80元，每天可卖30件；每涨价1元，每天少卖2件．设涨价x元，每天的销售额y元，则y与x的关系式为（     ） A． B． C． D． 题型06 根据增长率问题列二次函数关系式 设增长（降低）率为x，按连续增长（降低）模型列式，再展开为一般形式。 【典例6】.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）设人民币一年期定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存．如果本金是30000元，写出两年后的本息之和y（单位：元）关于年利率x的函数解析式． 【变式2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某商场一月份的销售额为50万元，二、三月份每月销售额的平均增长率为x，写出三月份的销售额y（单位：万元）关于x的函数解析式． 【变式3】.（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）某出版社一月份发行65万册新书，如果从二月份起，每月发行量的增长率都为，那么三月份的发行量（万册）与的函数表达式是______． 一、单选题 1．下列函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．2 C．1 D．或0 3．在中，边的长为边上的高比长的2倍多1，则的面积与之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．函数的一次项系数是______． 5．若函数是关于的二次函数，则的取值范围是__________． 6．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 三、解答题 7．已知函数（为常数）是二次函数，求的值． 8．已知是关于的函数． (1)若这个函数是反比例函数，求的值； (2)若这个函数是二次函数，求的值． 9．已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． (1)分别写出S与x，V与x之间的关系式； (2)对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 1．已知函数． (1)当为何值时，此函数是关于的二次函数？ (2)当为何值时，此函数是关于的一次函数？ (3)当满足什么条件时，此函数是关于的正比例函数？ 2．若二次函数的图象开口向下，求m的值． 晓丽的解题过程如下： 解：是二次函数， ， 解得或． 请问晓丽的解题过程正确吗?如果不正确，请写出正确的解题过程． 3．如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)写出的面积关于移动时间t秒的函数关系式，并写出t的取值范围． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.1 二次函数 教学目标 1.理解二次函数的定义及三个特征，能正确识别二次函数。 2.掌握二次函数的一般形式及各项系数，能写出各项与系数。 3.会求二次函数在某自变量取值时的函数值。 4.能根据实际问题列出二次函数关系式，并确定自变量的取值范围。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的定义及识别 （2）根据实际问题列二次函数关系式 （3）用待定系数法求系数 2.难点 （1）判断一个函数是否为二次函数 （2）根据实际问题建模并确定自变量的取值范围 （3）几何图形、销售利润等背景下的函数关系式 知识点01：二次函数的定义 1.定义：形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数。 2.三个特征： （1）函数关系式中关于自变量的式子是整式； （2）化简后自变量的最高次数是2； （3）二次项系数a不为0。 3.注意：判断是否为二次函数，须先把函数解析式化简，再看是否满足以上三个特征；当a＝0时，若b≠0，则为一次函数。 【即学即练】 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、中的最高次数为2，右边为整式，是二次函数； B、中的最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； C、是一元二次方程，不是关于的函数，不是二次函数； D、的右边为分式，是反比例函数，不是二次函数． 知识点02：二次函数的一般形式与各项 1.一般形式：任何一个二次函数都可以化成（a、b、c是常数，a≠0）的形式，称为二次函数的一般形式。 2.各项名称：称为二次项，a是二次项系数；称为一次项，b是一次项系数；c称为常数项。 3.特殊形式：当b＝0、c≠0时，为；当b≠0、c＝0时，为；当b＝0、c＝0时，为。 4.自变量的取值范围：一般情况下是全体实数，实际问题中还需使实际问题有意义。 【即学即练】 1．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．2，，1 B．2，3，1 C．1，3，2 D．1，，2 【答案】D 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 知识点03：列二次函数关系式（建模） 1.步骤： （1）审清题意，找出已知量、未知量及它们之间的关系，把文字、图形语言转化为数学符号语言； （2）找出等量关系，用等式表示常量和变量之间的关系； （3）设出变量字母，把等式用含字母的关系式替换，并写成用自变量表示因变量的形式； （4）根据实际问题确定自变量的取值范围。 2.常见类型：几何图形面积公式（如、）、物理公式（如自由落体）、利润与售价关系等。 【即学即练】 1．一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为， ∴另一条直角边长为， ∵面积为， ∴与的函数解析式是． 题型01 识别二次函数 把函数解析式化简，检查是否满足整式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0三个特征。 【典例1】.（2026九年级上·上海·专题练习）下列函数中，是关于的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，逐一分析每个选项的函数形式即可． 【详解】解：选项：不是整式，不符合题意； 选项：当时，不是二次函数，不符合题意； 选项：是二次函数，符合题意； 选项：不是整式，不符合题意． 【变式1】.（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不能仅通过表达式表面是否含判断，需先化简各选项，再结合二次函数的定义逐一验证． 【详解】解：A选项，的右边为分式，不是整式，不是二次函数． B选项，化简得，的最高次数为1，是一次函数． C选项，化简得，右边为整式，的最高次数为2，且二次项系数为，是二次函数． D选项，中的最高次数为1，是一次函数． 【变式2】.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列函数，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据二次函数的三个特征：整式形式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0，逐一判断各选项． 【详解】解：A选项，自变量最高次数为1，不符合题意， B选项，自变量最高次数为2且二次项系数不为0，符合题意， C选项，自变量在分母上，不符合题意， D选项自变量最高次数为3，不符合题意． 【变式3】.（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：未限定，当时不是二次函数； 选项B：不是整式函数，不是二次函数； 选项C：是整式且二次项系数不为0，是二次函数； 选项D：是一次函数，不是二次函数． 题型02 由二次函数的定义求字母的值 令自变量最高次数为2且二次项系数不为0，列方程或不等式组，注意排除使二次项系数为0的情况。 【典例2】.（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据二次函数定义可知未知数最高次数为2，二次项系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴， ∴． 【变式1】.（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）已知是二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义列出关于的方程求解，注意二次项系数不为零的要求． 【详解】解：由二次函数的定义可得，，解得，故． 【变式2】.（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知函数是关于的二次函数，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据二次函数定义，二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 函数是关于的二次函数， ∴ 二次项系数不为，可得 ， 解得． 【变式3】.（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）若是关于的二次函数，则________． 【答案】或 【分析】二次函数需要满足两个条件，一是x的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴x的次数等于，可得方程：， 解得，即或， ∵二次项系数不能为， ∴，解得， 和都满足， 因此或． 题型03 写出二次函数的一般形式及各项系数 把解析式化为的一般形式，再分别写出二次项系数、一次项系数和常数项。 【典例3】.（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 【答案】 【分析】根据二次函数的一般形式（为常数，），对比给定函数即可得到对应系数． 【详解】解：二次函数，与一般形式对比可得 二次项系数， 一次项系数， 常数项． 【变式1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的二次项系数是_________，一次项系数是_____，常数项是_______． 【答案】 0 【分析】将原式整理为二次函数的一般形式，再对应找到各系数即可． 【详解】解：将原式按的降幂排列，整理为二次函数的一般形式：， ∵二次函数一般式中，为二次项系数，为一次项系数，为常数项， ∴可得二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【变式2】.（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ）． A．1，，5 B．1，3，5 C．5，3，1 D．5，，1 【答案】D 【分析】将函数整理为的一般形式，再对应确定各项系数． 【详解】解：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【变式3】.（2026九年级上·全国·专题练习）将二次函数 化为一般形式为___________，其中二次项系数为___________，一次项系数为___________，常数项为___________． 【答案】 2 1 【分析】明确二次函数一般形式为（），所以需要先将给定的乘积形式展开．运用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项得到一般形式．对照一般形式，直接对应找出二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：∵， ∴二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为． 题型04 根据几何图形列二次函数关系式 用边长、半径等设变量，按面积、周长、体积公式列式，注意化为一般形式并确定自变量取值范围。 【典例4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点O是斜边上一点，四边形是正方形．设，正方形的边长为y，则y与x的函数解析式为___________． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质得，再表示出，，然后说明，可得，最后代入整理可得关系式． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴，则． ∵， ∴， ∴， 即， 整理，得． 【变式1】.（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，矩形的长是、宽是，如果将长和宽都增加，矩形面积变成． (1)求与之间的函数解析式（要求化为一般式）； (2)当长和宽都增加多少时，矩形的面积变成？ 【答案】(1)； (2)当长和宽都增加时，矩形的面积变成． 【分析】，根据题意，直接运用矩形面积，即可得出与的函数表达式； 把代入中求出的表达式，解方程得出边长增加的长度． 【详解】（1）解：由题意得， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：令，则， 解得，（负值舍去）， 答：当长和宽都增加时，矩形的面积变成． 【变式2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）完成以下问题： (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式． (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x．写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆柱表面积公式列式即可； （2）当年销售量等于上年度销售量乘以年平均下降率，由此列式求解． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，一年后的年销售量为：， 两年后产品的年销售量 ． 【变式3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，矩形绿地的两边长各增加，扩充后的绿地面积为，写出y关于x的函数解析式． 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． 题型05根据销售利润问题列二次函数关系式 用"每件利润×销售量＝总利润"，设售价（降价）为变量，把每件利润与销售量表示出来再相乘列式。 【典例5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 【答案】 【分析】根据总销售额每件售价每星期销售量，分别得到涨价后的售价和销售量，即可列出函数关系式． 【详解】解：∵每件商品原售价为元，涨价元后，每件售价为元， ∵原每星期可卖出件，每涨价元少卖出件，涨价元后，每星期销售量为件， ∴总销售额等于售价乘以销售量，可得， 即． 【变式1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）年，我国全年完成造林面积万；年，我国全年完成造林面积比年增长约． (1)年，我国全年完成造林面积大约是多少（结果精确到1万）? (2)如果年和年我国全年完成造林面积年均增长率为x，年我国全年完成造林面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1) 万 (2) 【分析】（1）年造林面积等于年造林面积加上增长的面积； （2）年造林面积等于年造林面积乘以． 【详解】（1）解：依据题意得： （万） 万 万 答：2024年，我国全年完成造林面积大约是万； （2）依题意得： 【变式2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）销售末期，商家决定降价销售，已知这款护眼灯的进价为元/台，当销售单价为元/台时，每天能卖出台，若每降价元，每天可多卖出台．设每台护眼灯的销售单价下降元，每天的利润为元，则与 之间的函数解析式为__________________． 【答案】 【分析】根据总利润等于每台利润乘以销售量，分别表示出降价后每台的利润和每天的销售量，相乘整理即可得到函数解析式． 【详解】解：∵每台护眼灯进价为元，原销售单价为元，单价下降元， ∴每台的利润为， ∵原本每天可卖出台，每降价元每天多卖出台， ∴降价元后每天的销售量为台， ∵总利润 每台利润销售量， ∴， 展开整理得， ∵利润非负，为非负数， ∴， ∴， 即与之间的函数解析式为． 【变式3】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）某商品原价 80元，每天可卖30件；每涨价1元，每天少卖2件．设涨价x元，每天的销售额y元，则y与x的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据销售额=单价×销量，列函数关系式即可． 【详解】解：设涨价x元，则涨价后单价为元，每天销量为件， 根据销售额=单价×销量，则由题意得：． 题型06 根据增长率问题列二次函数关系式 设增长（降低）率为x，按连续增长（降低）模型列式，再展开为一般形式。 【典例6】.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：1月的研发资金题目直接给出，为10万元； 2月比1月增长率为x，因此2月研发资金月资金×（增长率），即万元； 3月比2月增长率同样为x，因此3月研发资金月资金×（增长率），即 万元； 把三个月的资金相加，得到一季度总研发资金的函数关系式：． 【变式1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）设人民币一年期定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存．如果本金是30000元，写出两年后的本息之和y（单位：元）关于年利率x的函数解析式． 【答案】 【分析】以第一年的本息和为第二年的本金，计算即可得到函数解析式． 【详解】解：一年到期后，本息之和为元， 则两年后的本息之和为元， 即 【变式2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某商场一月份的销售额为50万元，二、三月份每月销售额的平均增长率为x，写出三月份的销售额y（单位：万元）关于x的函数解析式． 【答案】 【分析】根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一月份的销售额为50万元即可求出函数解析式． 【详解】解：根据题意可得二月份的销售额为万元， 则三月份的销售额为万元， 即 【变式3】.（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）某出版社一月份发行65万册新书，如果从二月份起，每月发行量的增长率都为，那么三月份的发行量（万册）与的函数表达式是______． 【答案】 【分析】已知一月份发行量和每月增长率，依次计算出二月份、三月份发行量，即可得到与的函数表达式． 【详解】解：∵一月份发行量为万册，且从二月份起，每月发行量的增长率都为， ∴二月份的发行量为（万册）， ∴三月份的发行量为（万册）， 即三月份的发行量（万册）与的函数表达式是． 一、单选题 1．下列函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫作二次函数；据此逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．，自变量最高次为，不是二次函数，故该选项不符合题意， B．，分母含自变量，不是整式函数，不是二次函数，故该选项不符合题意， C．是整式函数，且自变量最高次为2，是二次函数，故该选项符合题意， D．自变量最高次为3，不是二次函数，故该选项不符合题意． 2．若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．2 C．1 D．或0 【答案】D 【详解】解：∵ 函数是关于的二次函数， ∴ 二次项系数不为0， ∴，解得且， ∴的值不可能是或． 3．在中，边的长为边上的高比长的2倍多1，则的面积与之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的长为，边上的高比长的2倍多1，， ∴边上的高为， ∴． 二、填空题 4．函数的一次项系数是______． 【答案】 【详解】解：函数的一次项系数为． 5．若函数是关于的二次函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将函数整理为一般形式，根据二次函数的定义，令二次项系数不为即可求解． 【详解】解：， ∵该函数是关于的二次函数， ∴， ∴． 6．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 三、解答题 7．已知函数（为常数）是二次函数，求的值． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数要求自变量最高次数为2，并且二次项系数不能等于0，据此列出方程组求解，舍去不符合条件的解． 【详解】解：函数（为常数）是二次函数， 且． 由，得， 解得或． 由，得 ． 综上，． 8．已知是关于的函数． (1)若这个函数是反比例函数，求的值； (2)若这个函数是二次函数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义，列式计算即可； （2）根据二次函数的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵是关于的反比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． 9．已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． (1)分别写出S与x，V与x之间的关系式； (2)对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 【答案】(1)； (2)和都是关于的二次函数 【分析】（1）直接利用长方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， ； （2）解：根据二次函数的定义，可知是关于的二次函数， 是关于的二次函数， 即和都是关于的二次函数． 1．已知函数． (1)当为何值时，此函数是关于的二次函数？ (2)当为何值时，此函数是关于的一次函数？ (3)当满足什么条件时，此函数是关于的正比例函数？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据二次函数的定义，可得答案； （2）根据一次函数的定义，可得答案； （3）根据正比例函数的定义，可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 当时，此函数是关于的二次函数． （2）解：由题意，得且， 解得， 当时，此函数是关于的一次函数． （3）解：由题意，得且，， 解得，， 当，时，此函数是关于的正比例函数． 2．若二次函数的图象开口向下，求m的值． 晓丽的解题过程如下： 解：是二次函数， ， 解得或． 请问晓丽的解题过程正确吗?如果不正确，请写出正确的解题过程． 【答案】解：晓丽的解题过程不正确．正确的解题过程如下： 是二次函数， 且 ， 解得或且 ， ∵抛物线开口向下， ， 解得， ． 【分析】根据二次函数的定义可得二次项次数为2且二次项系数不为零，据此求出的值，再根据函数的图象开口向下得到二次项系数为负数，据此可确定的最终值． 【详解】略 3．如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)写出的面积关于移动时间t秒的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)5； (2)t的值为或 (3) 【分析】（1）在中由勾股定理算出；再根据动点速度与运动时间t，由得出； （2）分两种对应情况：当时，，列比例式求解；当时，，列比例式求解； （3）作辅助线，由证，通过比例式求出高；代入三角形面积公式化简，结合Q点到C点停止的条件，确定t的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 由题意得，点P移动速度为，移动时间为t秒， ∴， ∴； （2）解：当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ ， 解得； 当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ 解得， 综上所述，当t的值为或时，与相似； （3）解：过点P作，垂足为H，如图： 则， ， ， ， ， ∴， ∵，，， ∴ 解得， ∴的面积 ， 由题意得，点Q从B移动到C停止，，速度为， ∴t的取值范围是． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $