专题04 锐角三角函数（6高频&4易错&4重难&6模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材沪科版

专题04 锐角三角函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(4类) 公式清单(9类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 锐角三角函数的定义 1. 在直角中，，设的对边为，邻边为，斜边为。 2. 正弦：。 3. 余弦：。 4. 正切：。 5. 、、统称为的三角函数。三角函数值是比值，没有单位。 知识点02 30°、45°、60°角的三角函数值 ，，。 ，，。 ，，。 记忆规律：正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小，正切值随角度增大而增大。 知识点03 用计算器求锐角三角函数值 1. 已知角度求三角函数值：输入角度，按对应的、、键即可得到函数值。 2. 已知三角函数值求角度：使用、、（反三角函数）键求解。 3. 计算器的计算结果一般为近似值，需根据题目要求取精确值或保留指定小数位数。 知识点04 解直角三角形 1. 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程。 2. 直角三角形中的三边关系（勾股定理）：。 3. 直角三角形中的边角关系：，，。 4. 直角三角形中的角角关系：（两锐角互余）。 5. 解直角三角形的条件：至少需要两个已知元素（其中至少有一个是边）。 知识点05 解直角三角形与实际问题 1. 仰角与俯角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角叫做仰角；视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角叫做俯角。 2. 方位角：从正北方向按顺时针方向转到目标方向线所成的角。如北偏东。 3. 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平距离的比叫做坡度，记作。坡度与坡角的关系：。 4. 解题步骤：①审题，理解题意，画出示意图；②将实际问题转化为解直角三角形的问题；③选择合适的三角函数关系列方程；④解方程求解，检验结果的合理性。 考点01 三角函数的定义与计算 考点内容：掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义及其在直角三角形中的边角比值关系，理解三角函数值随角度变化的增减性规律，并能运用同角三角函数的基本关系式进行简单的计算与转化。 常见考法： ①在直角三角形中，已知两边求三角函数值； ②已知三角函数值求角度或边长； ③在非直角三角形中，作高构造直角三角形求三角函数值； ④在坐标系中求某条线段与坐标轴夹角的三角函数值。 考点02 特殊角的三角函数值 考点内容：熟记  、 、 等特殊角的正弦、余弦、正切值，理解互余两角三角函数之间的关系，并能熟练进行含特殊角三角函数值的代数式化简与求值运算。 常见考法： ①直接求、、的三角函数值； ②含特殊角三角函数值的混合运算（化简求值）； ③利用特殊角的三角函数值判断角度大小。 考点03 解直角三角形 考点内容：综合运用勾股定理、直角三角形两锐角互余的性质以及锐角三角函数的定义，掌握在已知直角三角形中两个元素（至少包含一条边）的情况下，求解其余未知边长和角度的方法。 常见考法： ①已知两边求第三边及两个锐角； ②已知一边和一个锐角，求其他边和角； ③解直角三角形与勾股定理、全等三角形等知识综合。 考点04 解直角三角形的实际应用 考点内容：理解仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角及方位角等基本概念，能够将测量高度、航行距离、工程坡度等实际问题抽象为直角三角形模型，并通过作高构造直角三角形来解决相关的计算与设计问题。 常见考法： ①测量物体高度（仰角、俯角问题）； ②航行问题（方位角问题）； ③工程问题（坡度、坡比问题）； ④设计方案类问题（如设计楼梯、斜坡等）。 正弦定义 余弦定义 正切定义 平方关系 角函数值 ，， 角函数值 ，， 角函数值 ，， 互余关系 ， 坡度公式 辨析01 三角形的三条重要线段都是线段，不是直线或射线 辨析01 三角函数值没有单位 三角函数值是两条线段的比值，是一个纯数，没有单位。不能写成""等形式。 辨析02 不是乘以 是一个完整的符号，表示角的正弦值，不能理解为""乘以""。去掉""后""没有意义。 辨析03 角度越大，正弦值/正切值越大，但余弦值越小 在范围内： 角度增大 增大，减小，增大。 辨析04 互余两角的三角函数关系 若，则，，。 即一个角的正弦等于它余角的余弦，一个角的正切等于它余角的正切的倒数。 【题型一】根据定义求三角函数值 【例1】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴． 【变式1-1】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为________． 【答案】 【分析】根据图形可以得到，，，，然后根据勾股定理可以得到的长，从而可以计算出的值． 【详解】解：如图， 由图可得，，，，， ∴， ∴． 【例2】（26-27九年级上·全国·阶段检测）在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为的邻边与斜边的比，斜边已知，需先求邻边的长度． 【详解】解：∵在中，，，， ， ． 【变式2-1】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：， ∴． 【例3】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）在中，，，，那么的值是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 【变式3-1】（26-27九年级下·全国·单元复习）在中，，若，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，在中，，， ∴． 【题型二】由三角函数值求边长 【例1】（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解． 【详解】解：在中，． ，，， ． 【变式1-1】（26-27九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 【例2】（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）在中，，，则的长为（ 　 　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦的定义求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，在中，已知，，且，则___________，___________． 【答案】 12 9 【分析】先利用正弦的定义求出，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵在中，已知，，且， ∴，即，解得：， ∴． 【例3】在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正切的定义求出直角边的长，再利用勾股定理计算斜边的长度； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ． 【变式3-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）是直角三角形，，，则的长为_______． 【答案】2或 【分析】本题考查了正切的定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意，分两种情况讨论，再利用正切的定义即可求解． 【详解】解：①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ∴综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 【题型三】特殊角三角函数值的运算与应用 【例1】（2026·上海普陀·模拟预测）下列实数中，是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数与无理数的定义，根据定义判断各选项即可得到结果，有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：A、，是无限不循环小数，故A是无理数，不符合要求； B、是无限不循环小数，故B是无理数，不符合要求； C、是分数，属于有理数，故C符合要求； D、开方开不尽，是无限不循环小数，故D是无理数，不符合要求． 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1-2】（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ， ， 原式． 【变式1-3】（2025·上海嘉定·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值、特殊角的三角函数值，再分母有理化，再计算加减即可． 【详解】解： ． 【变式1-4】（26-27九年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【题型四】解直角三角形的基本计算 【例1】（25-26九年级上·上海宝山·期末）在中，，，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形、三角形的面积、勾股定理，先根据的值求出的长度，再用勾股定理求，再利用锐角三角函数的定义逐项分析即可判断． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故A选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故B选项说法正确，不符合题意； 如图，作的垂直平分线交于点， 则， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故C选项说法错误，符合题意； 在中，，， ∴， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（2026·上海·模拟预测）已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作垂线构造直角三角形，证，利用求出长度，在中算出． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 【变式1-2】（2025·上海普陀·二模）如图，在中，，是边的中点，过点作交边于点，如果，，那么________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得，根据等边三角形的判断得的等边三角形，所以，，可得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，．点D是边的中点，过点D作的垂线，与边相交于点E． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，利用同角的锐角三角函数值相等是关键． （1)由勾股定理求出，再根据斜边上的中线求出，，由余弦定理求出; （2)作交于H，在直角三角形中由勾股定理求出长，从而求出的正弦值． 【详解】（1）解：在中，， ∵点D是边的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∴． （2）解：过点E作，垂足为点H． ∵在中，，， ∴． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∴在中，． 【题型五】非直角三角形的有关计算 【例1】已知：如图，在△中，，，．求的长． 【答案】． 【分析】过A作AD⊥BC于D，在直角△ABD与直角△ACD中，设，BD与CD都可以用含有k的式子表示出来，根据BD＋CD＝BC即可得到一个关于k的方程，即可求得AC． 【详解】解：过点作于． 在△中，，， 设，则． 在△中，，， ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解非直角三角形，解题的关键是利用辅助线构造直角三角形，将一般三角形的问题转化为直角三角形来解决． 【变式1-1】如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 【变式1-2】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在中，，，． (1)求边的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，由，设，，利用勾股定理求出，，由，求出，最后由即可求出的长； （2）过点作，垂足为，由，求出，再由即可求出结果． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为， ，， 设，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴，， ， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点作，垂足为， ， ∴， ， ∴． 【题型六】仰角俯角问题 【例1】（25-26九年级上·上海崇明·期中）如图，小岛A在港口P的南偏西方向上，一艘船从港口P沿正南方向以每小时12海里的速度航行，1小时30分后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西的方向上．小岛A离港口P有多少海里（精确到0.1海里）？（参考数据：，，） 【答案】60.2海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题﹒过作，垂足为﹒根据题意求出海里，设海里，得到海里．在中，求出海里．列方程，解得， 即可求出海里，从而求出海里﹒ 【详解】解∶如图，过作，垂足为﹒ 由题意得（海里）， 设海里， ， 海里． 在中，∵， 海里． ， ． ， ∴（海里）， （海里）﹒ 答：小岛A离港口P约有60.2海里． 【变式1-1】（2026·上海松江·模拟预测）一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正西方向航行5小时后，到达位于灯塔的北偏西方向的处，那么该海轮这段时间航行的平均速度是____________海里/小时（结果保留根号）． 【答案】 【分析】过点作的垂线构造直角三角形，根据方位角得到直角三角形的内角，利用锐角三角函数求出的总长度，再根据平均速度公式计算结果． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，， 海里， 在中， ， ， 在 中， ， ， ∵航行时间为小时， ∴平均速度为（海里/小时）． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，监测点在距离道路的100米处，道路上的货车在监测点的北偏西的方向．道路上的汽车B在监测点的东北方向，此时货车A和汽车B相距___________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点作于点，在和中，利用三角函数解得的长度，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， 由题意，可知，（米）， 在中，可得， ∴（米）， 在中，可得， ∴（米）， ∴（米）， ∴此时货车A和汽车B相距米． 故答案为：． 【题型七】方位角问题 【例1】（2026·上海·中考真题）如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度与栏杆到建筑物的距离满足即为安全． (1)当米时，至少需要小于多少米？ (2)若在观测场测得的长是，的长为，在处观测的仰角为，求．（用含、、的代数式表示） 【答案】(1)至少需要小于米 (2) 【分析】（1）将代入中，解得，即可求解； （2）过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，，在中，，，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，当米时，，解得， ∴至少需要小于米； （2）解：如图所示，过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，， 在中，，， ∴，， ∴． 【变式1-1】（25-26九年级下·上海·阶段检测）如图1，为旗杆，测角仪高为米，利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为． (1)如果再用皮尺量得旗杆与测角仪底部的距离为米，求旗杆的高度．（用含字母及的式子表示） (2)如果只有上述测角仪，没有皮尺等其他的测量工具，如何测量与计算旗杆高度？（在图2中，画出测量示意图、标出需测量的数据，并说明测量的方法和计算旗杆高度．） 【答案】(1)米 (2)解：如图：利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为，将测角仪平放量出，再利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ，解得：， ∴米． 【分析】（1）由题意可得：，解直角三角形可得，再利用线段的和差即可解答； （2）如图：利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为，将测角仪平放量出，再利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为，易得，再解直角三角形可得、，再代入求得，进而求得的长即可． 【详解】（1）解：由题意可得：四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴，即， ∴米． （2）解：略 【变式1-2】（25-26九年级上·上海崇明·期末）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图），当其中一片风叶与塔架叠合时（即、、在同一直线上），在与塔底水平距离为米的处，测得塔架顶部的仰角为，风叶的端点的仰角为，点，，，，，在同一平面内．（参考数据：，，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到米） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，含角的直角三角形性质，掌握方程思想是解题关键． （1）在中，利用和，计算出； （2）设，作辅助线构造矩形，利用推出，用表示和的长度，再根据列方程求解，得到长度． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为米． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 设风叶的长度为， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ，即， 解得米． 答：风叶的长为米． 【题型八】坡度坡角问题 【例1】（2026·上海浦东新·模拟预测）如图，在斜坡的底部处测得点的仰角为（三点共线），从处出发沿斜坡前进米后到达处，此时测得点的仰角为，如果斜坡的坡度，那么的长为______米．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得，，再根据坡度求出，利用三角函数表示出和，设，根据得出，在中利用构建关于的方程求出的长，最后根据共线，在中求出，利用求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， 由题意可得，，， ∵斜坡坡度， ， ， 在中，， ，， ， ，， 为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ，， 在 中，， ， 即， 解得， ∵点在斜坡上， 三点共线， ∴， 在中，， ， ． 【变式1-1】（2026·上海奉贤·三模）如图，某水库大坝横断面的迎水坡的坡度，坝高米，那么迎水坡面的长度是_______米． 【答案】 【分析】根据坡度的定义求出，再用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，在中，的坡度，坝高米， ∴, 解得， ∴ 【变式1-2】（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，为了适应老年人乘坐轮椅进出小区的需求，某小区打算改造小区入口的斜坡．已知原斜坡竖直高度米，斜坡的坡比为，若改造后C点向左移动了2.8米，则新坡面的长度为______米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键． 根据坡度求出的长度，可得的长度，由勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴, ∴． 故答案为：． 【题型一】三个三角函数的定义辨析 【例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 易错警示：在确定某个角的三角函数时，将对边和邻边搞混，尤其是非直角顶点处的角。 纠正：先明确直角顶点和目标角，目标角的对边是不含直角顶点的那条边，邻边是含直角顶点的那条边（不是斜边）。 【变式1-1】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）在Rt中，，，，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，根据直角三角形中三角函数的定义，分别计算和的三角函数值，并验证各选项. 【详解】解：如下图所示， A选项：，，，，故A选项错误； B选项：，，，，故B选项错误； C选项：，，，，故C选项正确； D选项：，，，，故D选项错误． 故选：C. 【变式1-2】（25-26九年级上·上海·单元复习）在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义并能灵活运用． 利用锐角三角函数中正弦、余弦、正切的定义，对每个式子进行推导验证，判断其是否成立． 【详解】解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：； 正弦：； 余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． 【变式1-3】（24-25九年级下·上海·阶段检测）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握余切函数的定义即可解答． 根据余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：在中，，， ∴，即． 故选D． 【题型二】特殊角三角函数值记错 【例1】（2025·天津·模拟预测）的值等于（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的加法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先代入特殊角的三角函数值，再合并二次根式即可． 【详解】解：． 故选：B． 易错警示：混淆、、的三角函数值，如将误记为。 纠正：牢记规律——正弦值从小到大为、、，余弦值从大到小为、、，正切值为、、。 【变式1-1】39．（2025·上海静安·一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小，且， ∴． 故选：C． 【变式1-2】（2025·上海闵行·一模）用含特殊锐角的三角比的式子表示：_____． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据的正弦值等于求解即可． 【详解】解∶∵， ∴， 故答案为：． 【题型三】实际问题中角度与边长的对应关系搞错 【例1】（2026·云南昆明·二模）如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握，进行解答，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 易错警示：在仰角、俯角、方位角问题中，没有正确标注角度，导致三角函数关系列错。 纠正：画图时先画水平线和铅直线，将角度标注在正确位置。仰角/俯角都是视线与水平线的夹角，不是与铅直线的夹角。 【变式1-1】（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 【答案】 【分析】构造，设米，由坡度的定义可得米，使用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】解：如图，设米， ∵坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴， 解得（负根，舍去）， ∴物体被抬高了米． 【变式1-2】（2026·上海青浦·二模）如图，在中，，，点在边上，，且． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到为等腰直角三角形，再解即可； （2）过点作于点，分别解，求出，再由正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴为等腰直角三角形，， ∵ ∴ ∴； （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，． 【题型一】折叠背景下的锐角三角函数应用 【例1】（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图1，龙华寺外矗立着一座高塔，小立和同学们组成小组参加了测量该塔高度的课外实践活动． 如图2，同学们利用测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高米，小立在楼阳台处测得塔底的仰角为，在楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． (1)如图3，为得到仰角与俯角的正切值，小立在练习本上画了一个，，，．在边上取两点、，使，，量得，，．则 ________， ________， ________．（结果保留小数点后两位） (2)请根据小立的数据，计算该塔高度．（结果取整数） (3)小立的测量结果与该塔实际高度存在米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小立提出两条合理的改进建议．（总字数少于50字） 【答案】(1)；； (2)该塔高度约为 (3)①多次测量，然后取平均值；②更换精度更高的测量仪器． 【分析】（1）根据正切的定义进行计算即可； （2）作于点，于点，于点，设，容易判断四边形与四边形都是矩形，则．根据仰角和俯角的定义使用正切函数计算出与，利用的长解方程求出，再计算出与，求和即可得到； （3）从仪器精度和测量误差角度提出建议即可． 【详解】（1）解：在中，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴； （2）解：如图，作于点，于点，于点，设， 由题意可知，，，，， ∵，，，， ∴， ∴四边形与四边形都是矩形， ∴，，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴． 答：该塔高度约为． （3）略 【变式1-1】（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头都需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． (1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ (2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)9.9厘米 (2)不能 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用、矩形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，理解题意是解题的关键． （1）过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度； （2）过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，    则四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， ，， 小杜下蹲的最小距离． 答：小杜最少需要下蹲9.9厘米才能被识别； （2）解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，    则四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 小若踮起脚尖后头顶超出点N的高度为． 小若不能被识别． 【变式1-2】（2024·上海·三模）在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间：如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：） 【答案】地不受台风影响； 【分析】如图，过作于，过作于，交于，过作于， 由题意可得：，，求解，此时地不受台风影响；再求解，，，，此时地不受台风影响；从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，过作于，交于，过作于， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴此时地不受台风影响； 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时地不受台风影响； 综上：地不受台风影响． 【点睛】本题考查的是与方位角相关的解直角三角形的应用，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练的画出图形是解本题的关键． 【变式1-1】（2026·上海金山·一模） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道一休息平台一坡道）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为，水平长度最大，休息平台宽度最小，轮椅入口宽度最小． 甲 组 ，，． 乙 组 丙 组 休息平台宽为，轮椅入口宽为，点到连廊的距离为． (1)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（或），并判断是否安全； (2)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道、坡道）的坡度和坡高以及设计过程． 【答案】(1)坡度，坡高，不安全 (2)解：坡道的坡高为，坡度为，坡道的坡高为，坡度为，理由如下， 如图，当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S的距离为时，过点作，过点V作，可知四边形为矩形， 根据题意可知，， ， ∴， ， 当坡道的坡度为时，， 由（1）可知， 四边形为矩形， ，， ， 故坡道的坡度为， ， 故坡道符合题目要求． 【分析】（1）根据题意可知，，由勾股定理可得，即可求出坡度，再跟通用标准作比较，即可求解； （2）当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S的距离为时，过点V作，可知四边形为矩形，先求出，即可求出坡道的坡高和坡度，再求出，即可求出坡道的坡高和坡度． 【详解】（1）解：由图1可知，， ， ， 故原坡道的坡度为， ， 原坡道不安全． （2）略． 【变式1-4】（2026·上海静安·三模）综合与实践： 小张同学在物理课上学习了光的反射定律以及光的折射定律，他做了相关实验，想从数学角度进一步理解物理定律，他利用查到材料如下： 材料一：光的反射定律与折射定律 如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 光从空气射入水中会发生折射现象（如图2），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．    材料二：光的反射实验 如图3，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为． （参考数据：，，） 材料三：光的折射定律实验 如图4，为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图4，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得． 请你运用所学知识帮助小张同学填写实验数据清单：   （所有最后处理结果均保留3位有效数字） 【实验数据计算处理清单】： (1)根据材料一光的折射定律与材料三光的折射定律实验，可知水的折射率__________． (2)根据材料二光的反射定律与材料二光的反射定律实验： ①：点到平面镜的距离是________厘米． ②：移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，入射角的度数为__________． ③：在②的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_______厘米． 【答案】(1)1.33 (2)①；②；③ 【分析】（1）过点作交于点，根据题意得，，，推出，则有，证明四边形是矩形，得到，，再根据正弦的定义求出，，最后结合题意即可求出水的折射率的值； （2）①设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点，证明，则有，进而解直角三角形，即可求解； ②设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点，得出是等腰直角三角形，进而即可求解； ③作关于的对称点，连接，并延长交分别为，得出，，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图4，过点作交于点， ∵为一圆柱形敞口容器的纵切面， ∴，， ∵水面到达容器高度一半， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴，， 由题意得，入射角，折射角， ∴，， ∴； （2）解：①如图3，设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点， 则， 由光的反射定律可知，， 又 ∴， ∴， ∴， ∵入射角为， ∴， ∴， 即点到平面镜的距离是厘米； ②如图3，设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点， 则， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴入射角的度数为； ③如图3，作关于的对称点，连接，并延长交分别为， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即的长度是厘米； 【变式1-5】（25-26九年级上·上海青浦·期末）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位，车位的三面围墙及墙均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为，当前车门与车身夹角不小于时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有厘米的安全距离．(参考数据：，，，，，，，，．) 结合上述条件，回答下列问题： (1)当该汽车倒车停入车位区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由； (2)已知车库门前有一条平行于且与距离厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．(精确到1厘米) 【答案】(1) 如图，过前车门顶点向车身作垂线，垂足为点． 根据题意，车外后视镜完全打开时距离车身的距离为，， ∵车外后视镜完全打开时与墙之间有厘米的安全距离， ∴此时另一侧车身与墙之间的距离为， 则车身与墙之间的距离为 假设前车门与车身的夹角， 在中，， ∴． ∵， ∴驾驶员能顺畅地从车中出来； (2) 考虑极限状态，如图，前车门顶点在墙上，过点作，过点作，与交于点，容易得到 当前车门完全打开时与车身夹角为，即， 在中，，， ∴，． 由（1），，∴ 在中，，， ∴， ∴， ∵与人行道的距离为厘米，， ∴汽车不会占用到人行道． 【分析】（1）先根据车身宽度与后视镜安全距离，算出车身与墙的可用间距，假设车门与车身夹角为临界值，求出车门横向伸出的距离，比较伸出距离与可用间距，判断能否顺畅下车即可； （2）考虑极限状态，假设前车门顶在墙上，计算车门完全打开时的水平、垂直伸出长度，结合几何辅助线的线段关系，求出车头到的总距离，与人行道距离比较，判断是否占用． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，从题干和图形中提取信息和画出正确的示意图是解决问题的关键． 【题型二】折叠背景下的锐角三角形应用 【例1】（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）【阅读理解】如图，在四边形的边上任取一点点不与重合，分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 （1）如图，，求证：点是四边形的边上的相似点； （2）如图，在矩形中，、、、四点均在正方形网格的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的强相似点E； （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴， ， ∽， 点是四边形的边上的相似点； （2）如图， （3） 【分析】（1）根据三角形外角的性质证明和，得到； （2）根据题意分两种情况：点E靠近点A时，点E靠近点B时，画图即可； （3）根据强相似点定义得出，得出，根据折叠得出，，得出，根据三角函数定义得出，得出，即可求出，最后得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：点为靠近点A，边上的强相似点； ∵四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E为矩形的边上的强相似点； 同理点为靠近点B，边上的强相似点，如图所示： （3）解：∵点是四边形的边上的一个强相似点， ， ， 由折叠可知：， ，， ，， 在中，， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的综合应用，三角函数的定义，余角的性质，勾股定理，理解新定义、掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【变式1-1】（2026·上海杨浦·二模）将一张矩形纸片（如图），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段上的点H处，折痕交边于点F； ③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接． 如果，则___________． 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，证明，得到，，设，则，进而求出的长，折叠得到，平行加折叠，推出，倒角得到，进而得到，求出，进行求解即可． 【详解】解：由题意，作图如下： ∵矩形， ∴， ∵折叠，点B落在边上的点E处， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∵折叠，点D落在线段上的点H处， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴，即， ∴或（舍去）； ∴， ∴． 【变式1-2】综合与实践 【问题情境】 在数学活动课上，同学们以“折叠矩形”为主题开展数学活动．已知，在矩形中，，，点P是边上一点，将沿直线折叠，点A的对应点为点．    【操作发现】 操作一：如图①，当点P与点B重合时，过点作，交于点，连接，试判定四边形的形状，并说明理由； 操作二：如图②，当点落在边上时，______； 操作三：如图③，当点为中点时，延长交于点，连接，则______． 【答案】 操作一：四边形的形状为菱形，理由如下： 根据题意，将沿直线折叠，点A的对应点为点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 操作二： 操作三： 【分析】操作一：由折叠的性质可得，，结合平行线的性质可得，易得，即可证明，即可证明四边形为平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形为菱形”即可证明四边形为菱形； 操作二：由折叠的性质可得，，，在中，由勾股定理可解得，易得，设，则，在中，由勾股定理列式求解即可获得答案； 操作三：结合矩形的性质和折叠的性质，证明，由全等三角形的性质可得，设，则，，在中，由勾股定理可解得，在中，可求得的值． 【详解】解：操作一：略 操作二： ∵四边形为矩形，，， ∴，，， 由折叠的性质可得，，， ∴在中，， ∴， 设，则， ∴在中，， 即，解得， ∴． 故答案为：； 操作三： ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∵点为中点， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， ∴在中，可有， 即，解得， ， ∴在中，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题关键． 【题型三】旋转背景下的锐角三角形应用 【例1】（2025·上海·模拟预测）乘坐公交车时，同学们一定注意过公交车上的雨刮器．和往常汽车上同向摆动的雨刮器不同，公交车的雨刮器是对开式的．这种设计在保证清洁玻璃的同时，不会影响司机的正常驾驶．图1是一种较大型号的公交车的前挡风玻璃的简图，整块玻璃呈长方形（近似为一平面），其长为150厘米，宽为100厘米． (1)按照传统的对开式雨刮器的方式，假设两个相同规格的雨刮器（即长度相等）装在点A与点B并绕其旋转．当两个雨刮器的端点重合至点E（如图2）时，如果的最大内角为，求两个雨刮器扫过的面积．（结果保留根号与π） (2)小红在研究了对开式雨刮器后认为：这种雨刮器的半径过小，无法有效清洁玻璃上部的污渍．据此，她在原玻璃板上设计了一种新型雨刮器：如图3，取线段厘米，以点F为支点，构造移动装置（即与相连的装置）；是垂直于玻璃一边的清洁板，可以伸缩，用于清洁整块玻璃，在装置移动的过程中，与始终保持垂直，且．问：是否存在一个k，满足清洁板能够清洁的面积最大而不超过整个玻璃的边框？如果可以，求出此时k的值；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，二次函数的应用、解直角三角形，涉及扇形面积公式以及几何图形中的面积计算与最值问题．熟知与圆有关的性质和解直角三角形的相关知识是正确解题的关键． （1）根据已知条件确定扇形的半径和圆心角，然后运用扇形面积公式求解． （2）建立清洁板能够清洁的面积关于k的函数表达式，再通过求函数最值来判断是否存在满足条件的k值． 【详解】（1）解：作于， 中，， ，， 矩形中，， ， ， ； （2）解：存在这样的，设． 则， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 即，， 在时，应取最大值100． （此时最大，也最大）． 代入得，． 此时，．符合题意． 【变式1-1】（2023·上海虹口·一模）如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点分别固定在压柄与底板上，已知． (1)如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长； (2)现将压柄从图2的位置旋转到与成角（即），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号） （参考数据：；） 【答案】(1)cm (2)cm 【分析】（1）根据正切即为对边与邻边的比可得答案； （2）过点作，垂足为，在中，根据三角函数解直角三角形求出的值，根据求出的长度，然后根据勾股定理可得的长度． 【详解】（1）解：在中，， 答：此时的长约为5cm； （2）过点作，垂足为， 在中，， ， ∴， 在中，， 答：此时液压伸缩连接杆的长约为cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键． 【变式1-2】（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【答案】(1)米 (2) 不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； （2）略 【题型四】解直角三角形与函数综合 【例1】（25-26九年级上·上海崇明·期末）已知在中，，点是边上的一点，将沿着过点的直线翻折，点落在边上，记作点，折痕所在的直线与射线交于点，过点作，交射线于点． (1)如图1，当点和点重合时，求的长； (2)如图2，当点在边上时，设，求关于的函数解析式并写出定义域； (3)延长，交的延长线于点，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)，定义域为 (3)或 【分析】（1）首先在中，由、和，根据三角函数定义得，再通过勾股定理算出．因沿翻折后与重合，利用翻折性质可得、、，进而推出且．设，则、，在中，由勾股定理列方程，求解得，即； （2）由翻折性质得、、，结合得，通过“同角的余角相等”推出；再由角的和差关系得，进而判定，得到．在中，由和得，又，而，故．结合在上的边界条件，当与重合时，当与重合时，确定定义域为； （3）设，先由，根据相似得、，再分两种情况讨论等腰：①当在延长线上时，因，故，通过角的等量代换得，即，作得，结合列方程解得，进而；②当在线段上时，因，故，通过角的转化得，即，由勾股定理得，结合列方程解得，进而． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴. ∵沿着折叠得到， ∴，，， ∴，． 设，则，， 在中，由勾股定理得，解得，故； （2）解：由翻折性质知，，． ，， ，， ． ，， . ， ． 在中，，， ， 又，， ． 当点在上时，由（1），当与重合时，∴， 当点与点重合时，，∴， ∴定义域是． 综上，关于的函数解析式是，定义域是. （3）设，易得， ∴，即， ∴，． ①如图，点在的延长线上时， ∵， ∴只能，此时． 同（2）得到，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴． 在中作于，则， ∴，即， ∴， 解方程，得． 当，； ②如图，点在线段上时， ∵， ∴只能，此时， ∵， ∴，即， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题以直角三角形翻折为背景，主要考查直角三角形的性质、翻折的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的分类讨论，以及函数解析式的构建与定义域求解，重点考查几何图形中边与角的等量转化能力和分类讨论思想的应用． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，点C是上一点，四边形是矩形，点D和点E分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)求点C的坐标； (3)将矩形沿射线方向平移，点C，D，O，E的对应点分别为，，，，边始终平行于x轴． ①如图2，当点落在直线OC上时，的面积等于______； ②如图3，点是y轴上一点，在平移过程中，连接，，直接写成的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3)①8；②16 【分析】（1）根据一次函数图象经过的两个点和点，代入解析式即可求解； （2）根据，点C在直线上，设，则，代入直线解析式即可求解点C的坐标； （3）① 根据图形平移的特征，四边形是矩形平移之后还是矩形，利用对应线段的相互平行，证明，，得到为等腰三角形，是的高和中线，且垂直平分，，再根据，即可求出的高，面积即得解； ② 要求的最小值，通常是利用“两点之间线段最短”，利用对称性将其中一条线段进行转化．作点关于直线的对称点，连接，则，过点作，过点作，与交于点，通过构造平行四边形，得到，当，，三点共线时，的值最小，最小值为．然后利用中点坐标公式，求出点、的坐标，最后利用两点间的距离公式即可求出最小值为． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点 ， 解得：， 直线的函数表达式为：． （2）解： 点D和点E分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且， 设，则， 点C的坐标为， 点C在直线上， ，解得， 点C的坐标为． （3）解：① ，相交于点， 四边形是矩形，将矩形沿射线方向平移，边始终平行于x轴， 四边形也是矩形，且轴，轴， ，轴， ， 为的高， ，， ，又，， ， ，，即为等腰三角形，是的高和中线． ， ， ， ， ， ． ② 如图， 作点关于直线的对称点，连接，则，过点作，过点作，与交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ，当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 连接交直线于点，过点作轴于点，由对称性可知，， ， ， ， 点，点， ， 在中，， ，， ， ，即， 解得， 点横坐标为，又点在直线：上， ， 点， 是中点，设点， 则，即，解得， ，即，解得， 点横坐标为， 四边形是平行四边形， ，，， 点横坐标为， 点 ， ， 的最小值为16． 【点睛】本题综合考查了一次函数，矩形的性质，三角形全等，图形的平移变换，两条线段和的最值求取，两点间的距离公式，中点坐标公式，解直角三角形，熟练掌握相关性质，以及利用对称性构造平行四边形求线段的最值是解决问题的关键． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为1．求： (1)k的值； (2)利用图象求出时x的取值范围； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿平移，使点A、D分别平移到C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图象法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解：点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立， 解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移6个单位， ∴， 直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， 如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． ∴在中，． 【模型一】单直角三角形模型（直接解直角三角形） 【模型解读】 在直角中，，已知两个元素（至少一个边），直接利用三角函数或勾股定理求解。 核心结论：根据已知条件选择合适的三角函数关系式，一步到位求出未知元素。 适用场景：基础的测量问题、简单的实际应用场景。 【模型二】双直角三角形叠加模型（两个直角三角形共用一条边） 【模型解读】 两个直角三角形共用一条公共边（通常是高或底边），需要分别在两个三角形中建立关系。 核心结论：设公共边为，分别在两个直角三角形中用三角函数表示其他边，再利用总长度列方程。 适用场景：测量物体高度时观测点在两个不同位置，或两个角度观测问题。 【模型三】仰角俯角模型 【模型解读】 从高处或低处观测目标，视线与水平线形成仰角或俯角，构造直角三角形求解。 核心结论：仰角/俯角始终是视线与水平线的夹角。利用建立高度与水平距离的关系。 适用场景：测量建筑物高度、旗杆高度、山谷深度等。 仰角、俯角：如图，图中仰角是∠1，俯角是∠2 【模型四】方位角模型 【模型解读】 在航行或行走问题中，利用方位角（如北偏东）确定方向，构造直角三角形。 核心结论：方位角从正北方向顺时针度量。将方位角转化为直角三角形中的内角，利用三角函数求解距离。 适用场景：航行问题、行走路线问题、两个运动物体的距离计算。 方向角：如图，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°(或西北)方向 【模型五】坡度坡比模型 【模型解读】 在斜坡、堤坝、楼梯等问题中，坡度是核心关系。 核心结论：坡面、铅直高度、水平距离构成直角三角形，坡角是坡面与水平面的夹角。 适用场景：修路、建坝、设计楼梯等工程问题。 坡度(坡比)、坡角：如图，坡角为α，坡度(坡比)i＝tan α＝ 【模型六】构造直角三角形模型（作高法） 【模型解读】 在非直角三角形中，通过作高构造直角三角形，将一般三角形问题转化为解直角三角形问题。 核心结论：作高后形成两个直角三角形，利用公共高作为中间量，分别在两个直角三角形中建立三角函数关系。 适用场景：已知一般三角形的部分边角信息，求面积或其他元素。 技巧 一句话要点 确定对边、邻边、斜边 先找直角顶点和目标角，目标角对面是对边，含直角顶点的是邻边 特殊角函数值速记 正弦：、、（递增）；余弦反过来（递减） 解直角三角形的选法 已知两边用勾股定理；已知一边一角用三角函数；优先用原始数据 仰角俯角画图法 先画水平线，再画铅直线，视线与水平线的夹角就是仰角/俯角 坡度问题的转化 坡比，直接对应，转化为解直角三角形 互余角函数值转换 ，遇到余弦可以转化为正弦来简化计算 实际问题检验 求出的边长应为正值，角度在到之间，注意是否符合实际 混合运算化简 先代入特殊角函数值，再按先乘除后加减的顺序化简，注意的有理化 试卷第76页（共77页） 股份有限公6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 锐角三角函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(4类) 公式清单(9类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 锐角三角函数的定义 1. 在直角中，，的对边为，邻边为，斜边为。 2. ______=______。 3. ______=______。 4. ______=______。 5. 、 、 统称为的三角函数。三角函数值是 ，没有单位。 知识点02 30°、45°、60°角的三角函数值 ______，______，______。 ______，______，______。 ______，______，______。。 记忆规律：正弦值随角度增大而_________，余弦值随角度增大而_____，正切值随角度增大而_____。 知识点03 用计算器求锐角三角函数值 1. 已知角度求三角函数值：输入角度，按对应的、、键即可得到函数值。 2. 已知三角函数值求角度：使用、、（反三角函数）键求解。 3. 计算器的计算结果一般为近似值，需根据题目要求取精确值或保留指定小数位数。 知识点04 解直角三角形 1. 解直角三角形：在直角三角形中，由_________求出_________的过程。 2. 直角三角形中的三边关系（勾股定理）：_________。 3. 直角三角形中的边角关系：_________，_________，_________。 4. 直角三角形中的角角关系： （两锐角互余）。 5. 解直角三角形的条件：至少需要_________（其中至少有一个是边）。 知识点05 解直角三角形与实际问题 1. 仰角与俯角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角叫做_________；视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角叫做_________。 2. 方位角：从正北方向按_________方向转到目标方向线所成的角。如北偏东。 3. 坡度（坡比）：坡面的_________与_________的比叫做坡度，记作。坡度与坡角的关系：_________。 4. 解题步骤：①审题，理解题意，画出示意图；②将实际问题转化为解直角三角形的问题；③选择合适的三角函数关系列方程；④解方程求解，检验结果的合理性。 考点01 三角函数的定义与计算 考点内容：掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义及其在直角三角形中的边角比值关系，理解三角函数值随角度变化的增减性规律，并能运用同角三角函数的基本关系式进行简单的计算与转化。 常见考法： ①在直角三角形中，已知两边求三角函数值； ②已知三角函数值求角度或边长； ③在非直角三角形中，作高构造直角三角形求三角函数值； ④在坐标系中求某条线段与坐标轴夹角的三角函数值。 考点02 特殊角的三角函数值 考点内容：熟记  、 、 等特殊角的正弦、余弦、正切值，理解互余两角三角函数之间的关系，并能熟练进行含特殊角三角函数值的代数式化简与求值运算。 常见考法： ①直接求、、的三角函数值； ②含特殊角三角函数值的混合运算（化简求值）； ③利用特殊角的三角函数值判断角度大小。 考点03 解直角三角形 考点内容：综合运用勾股定理、直角三角形两锐角互余的性质以及锐角三角函数的定义，掌握在已知直角三角形中两个元素（至少包含一条边）的情况下，求解其余未知边长和角度的方法。 常见考法： ①已知两边求第三边及两个锐角； ②已知一边和一个锐角，求其他边和角； ③解直角三角形与勾股定理、全等三角形等知识综合。 考点04 解直角三角形的实际应用 考点内容：理解仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角及方位角等基本概念，能够将测量高度、航行距离、工程坡度等实际问题抽象为直角三角形模型，并通过作高构造直角三角形来解决相关的计算与设计问题。 常见考法： ①测量物体高度（仰角、俯角问题）； ②航行问题（方位角问题）； ③工程问题（坡度、坡比问题）； ④设计方案类问题（如设计楼梯、斜坡等）。 正弦定义 余弦定义 正切定义 平方关系 角函数值 ，， 角函数值 ，， 角函数值 ，， 互余关系 ， 坡度公式 辨析01 三角形的三条重要线段都是线段，不是直线或射线 辨析01 三角函数值没有单位 三角函数值是两条线段的比值，是一个纯数，没有单位。不能写成""等形式。 辨析02 不是乘以 是一个完整的符号，表示角的正弦值，不能理解为""乘以""。去掉""后""没有意义。 辨析03 角度越大，正弦值/正切值越大，但余弦值越小 在范围内： 角度增大 增大，减小，增大。 辨析04 互余两角的三角函数关系 若，则，，。 即一个角的正弦等于它余角的余弦，一个角的正切等于它余角的正切的倒数。 【题型一】三个三角函数的定义辨析 【例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 易错警示：在确定某个角的三角函数时，将对边和邻边搞混，尤其是非直角顶点处的角。 纠正：先明确直角顶点和目标角，目标角的对边是不含直角顶点的那条边，邻边是含直角顶点的那条边（不是斜边）。 【变式1-1】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）在Rt中，，，，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海·单元复习）在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】（24-25九年级下·上海·阶段检测）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【题型二】特殊角三角函数值记错 【例1】（2025·天津·模拟预测）的值等于（　　） A．1 B． C． D． 易错警示：混淆、、的三角函数值，如将误记为。 纠正：牢记规律——正弦值从小到大为、、，余弦值从大到小为、、，正切值为、、。 【变式1-1】39．（2025·上海静安·一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·上海闵行·一模）用含特殊锐角的三角比的式子表示：_____． 【题型三】实际问题中角度与边长的对应关系搞错 【例1】（2026·云南昆明·二模）如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 易错警示：在仰角、俯角、方位角问题中，没有正确标注角度，导致三角函数关系列错。 纠正：画图时先画水平线和铅直线，将角度标注在正确位置。仰角/俯角都是视线与水平线的夹角，不是与铅直线的夹角。 【变式1-1】（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 【变式1-2】（2026·上海青浦·二模）如图，在中，，，点在边上，，且． (1)求线段的长； (2)求的值． 【题型一】折叠背景下的锐角三角函数应用 【例1】（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图1，龙华寺外矗立着一座高塔，小立和同学们组成小组参加了测量该塔高度的课外实践活动． 如图2，同学们利用测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高米，小立在楼阳台处测得塔底的仰角为，在楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． (1)如图3，为得到仰角与俯角的正切值，小立在练习本上画了一个，，，．在边上取两点、，使，，量得，，．则 ________， ________， ________．（结果保留小数点后两位） (2)请根据小立的数据，计算该塔高度．（结果取整数） (3)小立的测量结果与该塔实际高度存在米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小立提出两条合理的改进建议．（总字数少于50字） 【变式1-1】（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头都需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． (1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ (2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据：，，，，） 【变式1-2】（2024·上海·三模）在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间：如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：） 【变式1-1】（2026·上海金山·一模） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道一休息平台一坡道）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为，水平长度最大，休息平台宽度最小，轮椅入口宽度最小． 甲 组 ，，． 乙 组 丙 组 休息平台宽为，轮椅入口宽为，点到连廊的距离为． (1)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（或），并判断是否安全； (2)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道、坡道）的坡度和坡高以及设计过程． 【变式1-4】（2026·上海静安·三模）综合与实践： 小张同学在物理课上学习了光的反射定律以及光的折射定律，他做了相关实验，想从数学角度进一步理解物理定律，他利用查到材料如下： 材料一：光的反射定律与折射定律 如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 光从空气射入水中会发生折射现象（如图2），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．    材料二：光的反射实验 如图3，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为． （参考数据：，，） 材料三：光的折射定律实验 如图4，为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图4，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得． 请你运用所学知识帮助小张同学填写实验数据清单：   （所有最后处理结果均保留3位有效数字） 【实验数据计算处理清单】： (1)根据材料一光的折射定律与材料三光的折射定律实验，可知水的折射率__________． (2)根据材料二光的反射定律与材料二光的反射定律实验： ①：点到平面镜的距离是________厘米． ②：移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，入射角的度数为__________． ③：在②的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_______厘米． 【变式1-5】（25-26九年级上·上海青浦·期末）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位，车位的三面围墙及墙均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为，当前车门与车身夹角不小于时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有厘米的安全距离．(参考数据：，，，，，，，，．) 结合上述条件，回答下列问题： (1)当该汽车倒车停入车位区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由； (2)已知车库门前有一条平行于且与距离厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．(精确到1厘米) 【题型二】折叠背景下的锐角三角形应用 【例1】（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）【阅读理解】如图，在四边形的边上任取一点点不与重合，分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 （1）如图，，求证：点是四边形的边上的相似点； （2）如图，在矩形中，、、、四点均在正方形网格的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的强相似点E； （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 【变式1-1】（2026·上海杨浦·二模）将一张矩形纸片（如图），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段上的点H处，折痕交边于点F； ③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接． 如果，则___________． 【变式1-2】综合与实践 【问题情境】 在数学活动课上，同学们以“折叠矩形”为主题开展数学活动．已知，在矩形中，，，点P是边上一点，将沿直线折叠，点A的对应点为点．    【操作发现】 操作一：如图①，当点P与点B重合时，过点作，交于点，连接，试判定四边形的形状，并说明理由； 操作二：如图②，当点落在边上时，______； 操作三：如图③，当点为中点时，延长交于点，连接，则______． 【题型三】旋转背景下的锐角三角形应用 【例1】（2025·上海·模拟预测）乘坐公交车时，同学们一定注意过公交车上的雨刮器．和往常汽车上同向摆动的雨刮器不同，公交车的雨刮器是对开式的．这种设计在保证清洁玻璃的同时，不会影响司机的正常驾驶．图1是一种较大型号的公交车的前挡风玻璃的简图，整块玻璃呈长方形（近似为一平面），其长为150厘米，宽为100厘米． (1)按照传统的对开式雨刮器的方式，假设两个相同规格的雨刮器（即长度相等）装在点A与点B并绕其旋转．当两个雨刮器的端点重合至点E（如图2）时，如果的最大内角为，求两个雨刮器扫过的面积．（结果保留根号与π） (2)小红在研究了对开式雨刮器后认为：这种雨刮器的半径过小，无法有效清洁玻璃上部的污渍．据此，她在原玻璃板上设计了一种新型雨刮器：如图3，取线段厘米，以点F为支点，构造移动装置（即与相连的装置）；是垂直于玻璃一边的清洁板，可以伸缩，用于清洁整块玻璃，在装置移动的过程中，与始终保持垂直，且．问：是否存在一个k，满足清洁板能够清洁的面积最大而不超过整个玻璃的边框？如果可以，求出此时k的值；如果不可以，请说明理由． 【变式1-1】（2023·上海虹口·一模）如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点分别固定在压柄与底板上，已知． (1)如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长； (2)现将压柄从图2的位置旋转到与成角（即），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号） （参考数据：；） 【变式1-2】（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【题型四】解直角三角形与函数综合 【例1】（25-26九年级上·上海崇明·期末）已知在中，，点是边上的一点，将沿着过点的直线翻折，点落在边上，记作点，折痕所在的直线与射线交于点，过点作，交射线于点． (1)如图1，当点和点重合时，求的长； (2)如图2，当点在边上时，设，求关于的函数解析式并写出定义域； (3)延长，交的延长线于点，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，点C是上一点，四边形是矩形，点D和点E分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)求点C的坐标； (3)将矩形沿射线方向平移，点C，D，O，E的对应点分别为，，，，边始终平行于x轴． ①如图2，当点落在直线OC上时，的面积等于______； ②如图3，点是y轴上一点，在平移过程中，连接，，直接写成的最小值为______． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为1．求： (1)k的值； (2)利用图象求出时x的取值范围； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿平移，使点A、D分别平移到C、F处，求图中阴影部分的面积． 【模型一】单直角三角形模型（直接解直角三角形） 【模型解读】 在直角中，，已知两个元素（至少一个边），直接利用三角函数或勾股定理求解。 核心结论：根据已知条件选择合适的三角函数关系式，一步到位求出未知元素。 适用场景：基础的测量问题、简单的实际应用场景。 【模型二】双直角三角形叠加模型（两个直角三角形共用一条边） 【模型解读】 两个直角三角形共用一条公共边（通常是高或底边），需要分别在两个三角形中建立关系。 核心结论：设公共边为，分别在两个直角三角形中用三角函数表示其他边，再利用总长度列方程。 适用场景：测量物体高度时观测点在两个不同位置，或两个角度观测问题。 【模型三】仰角俯角模型 【模型解读】 从高处或低处观测目标，视线与水平线形成仰角或俯角，构造直角三角形求解。 核心结论：仰角/俯角始终是视线与水平线的夹角。利用建立高度与水平距离的关系。 适用场景：测量建筑物高度、旗杆高度、山谷深度等。 仰角、俯角：如图，图中仰角是∠1，俯角是∠2 【模型四】方位角模型 【模型解读】 在航行或行走问题中，利用方位角（如北偏东）确定方向，构造直角三角形。 核心结论：方位角从正北方向顺时针度量。将方位角转化为直角三角形中的内角，利用三角函数求解距离。 适用场景：航行问题、行走路线问题、两个运动物体的距离计算。 方向角：如图，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°(或西北)方向 【模型五】坡度坡比模型 【模型解读】 在斜坡、堤坝、楼梯等问题中，坡度是核心关系。 核心结论：坡面、铅直高度、水平距离构成直角三角形，坡角是坡面与水平面的夹角。 适用场景：修路、建坝、设计楼梯等工程问题。 坡度(坡比)、坡角：如图，坡角为α，坡度(坡比)i＝tan α＝ 【模型六】构造直角三角形模型（作高法） 【模型解读】 在非直角三角形中，通过作高构造直角三角形，将一般三角形问题转化为解直角三角形问题。 核心结论：作高后形成两个直角三角形，利用公共高作为中间量，分别在两个直角三角形中建立三角函数关系。 适用场景：已知一般三角形的部分边角信息，求面积或其他元素。 技巧 一句话要点 确定对边、邻边、斜边 先找直角顶点和目标角，目标角对面是对边，含直角顶点的是邻边 特殊角函数值速记 正弦：、、（递增）；余弦反过来（递减） 解直角三角形的选法 已知两边用勾股定理；已知一边一角用三角函数；优先用原始数据 仰角俯角画图法 先画水平线，再画铅直线，视线与水平线的夹角就是仰角/俯角 坡度问题的转化 坡比，直接对应，转化为解直角三角形 互余角函数值转换 ，遇到余弦可以转化为正弦来简化计算 实际问题检验 求出的边长应为正值，角度在到之间，注意是否符合实际 混合运算化简 先代入特殊角函数值，再按先乘除后加减的顺序化简，注意的有理化 试卷第76页（共77页） 股份有限公6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $