专题 5.1 等可能条件下的概率全章复习讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题 5.1 等可能条件下的概率全章复习讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标与重难点 1 二.知识梳理与解读 1 【知识点一】等可能事件与概率公式 1 【知识点二】列表法、树状图法求概率 2 【知识点三】用频率估计概率（标记重捕法） 2 三、题型精析【夯实基础】 2 【题型1】等可能结果的判断与概率公式 2 【题型2】几何概率 3 【题型3】列表法求概率 4 【题型4】树状图法求概率 5 【题型5】用频率估计概率 6 四、题型精析（综合提升） 7 【题型1】放回与不放回 7 【题型2】“至少和至多”与对立事件 8 【题型3】抽签的公平性与方案设计 9 【题型4】综合应用（几何、路线、分组） 10 五、中考链接 11 一.学习目标重难点 学习目标与重难点 1.理解等可能事件的意义，掌握概率公式 ，能求简单随机事件的概率； 2.会用列表法、树状图法列举等可能结果，求两次及多次随机试验的概率； 3.会用频率估计概率，能运用“标记重捕法”等解决实际问题。 重点：的应用；列表法、树状图法求概率。 难点：正确区分“放回”与“不放回”；用频率估计概率并建立方程求解。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等可能事件与概率公式 一般地，如果一次随机试验所有可能发生的结果共有 n 个，且每个结果出现的机会均等，则称这 n 个事件的发生是等可能的，其中每个事件发生的概率都是 。若事件 A 包含其中的 m 个等可能结果，则事件 A 发生的概率 （0≤m≤n，故 0≤P（A）≤1）。 ⚠️ 易错警示： ①只有“基本结果”机会均等时才能用 ，若事件所含结果数不等（如“摸到红球”与“摸到白球”个数不同），不能直接等分；②概率是一个比值，总有 0≤P（A）≤1。 【知识点二】列表法、树状图法求概率 列表法适合两次试验，把每次试验的结果组成有序数对填入表格，做到不重不漏；树状图法直观，适合两次及两次以上试验，把每次试验的分支逐层展开。对大小、形状相同的小球等，可通过“贴标签”（编号）转化为等可能结果。 ⚠️ 易错警示： ①用列表或树状图时易漏列、重列结果，应先确定每一步的结果数再分层展开；②不放回时，第二次可选结果数比第一次少 1，总结果数为 ；有放回时保持不变，总结果数为 。 【知识点三】用频率估计概率（标记重捕法） 当试验次数很大时，事件发生的频率稳定于其概率，可用频率作为概率的估计值。如“标记重捕法”：设总数 N，先标记 m 个放回，充分混合后再捕 n 个，其中 k 个带标记，则 ，得 N≈。 ⚠️ 易错警示： ①频率是概率的估计值，不一定等于概率；②试验次数要足够大，频率才趋于稳定；③标记后要放回并充分混合均匀再捕捞，样本才具有代表性。 三、题型精析【夯实基础】 【题型1】等可能结果的判断与概率公式 【例题1】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）某路口交通信号灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯20秒，黄灯4秒．当人或车随机经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最小？为什么？ 【变式1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级上·河南开封·开学考试）把红、黄两种颜色的球各个放到一个袋子里．至少取出__________个球，可以保证取到两个颜色相同的球．如果把个红球和个黄球放进袋子，任意摸出一个球，摸出__________球的可能性大． 【变式3】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同） （1）求小强抽到写有数字2的卡片的概率． （2）你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 【题型2】几何概率 【例题2】（2025九年级上·全国·专题练习）在一块长、宽的长方形草坪上，有一条宽的长方形小路（小路平行于草坪的长，且贯穿草坪）．随机在草坪上撒一把种子（种子落在草坪任意位置的可能性相等），求种子落在小路上的概率． 【变式1】（25-26九年级上·云南德宏·期末）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（      ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，一块木板由个大小相等的小正方形构成，若随机向木板上投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为_______． 【变式3】（73第三章概率初步学业质量自我评价）小明操纵一辆遥控汽车在如图所示的圆内运动，遥控汽车开动后随意停止（遥控汽车可看作一个点）．遥控汽车停在黄色区域与停在绿色区域的概率是否相等？停在红色区域的概率是多少？    【题型3】列表法求概率 【例题3】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）一个不透明的箱子中装着分别标有“”、“”、“”的卡片各一张，这些卡片除标写的字母外完全相同．甲从中随机抽取一张，记下结果后放回，乙再从中随机抽取一张． （1）甲抽到标有“”的卡片的概率为______； （2）求甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）小明和小红玩摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再摸出一个球．若两次都摸到红球，则小红赢，否则小明赢．则小红赢的概率是________，这个游戏对双方________（填“公平”或“不公平”）． 【变式3】（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． （1）为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． （2）利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 【题型4】树状图法求概率 【例题4】（24-25九年级上·云南德宏·期末）近几年，德宏的旅游业发展持续火爆．某数学小组制作了四张芒市旅游景点卡片，如图，分别是“勐焕大金塔”、“勐焕银塔”、“勐巴娜西珍奇园”、“傣族古镇”（依次用字母A、B、C、D表示这四个景点），卡片除正面内容不同之外，其余均相同，背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）将四张卡片背面朝上，洗匀后，从中随机抽取一张，恰好抽到“B．勐焕银塔”的概率是______； （2）若小明先从A、B、C、D这4张卡片中随机抽取一张卡片，记下内容后背面朝上放回，洗匀后，再由小亮从中随机抽取一张卡片，请用列表或树状图的方法求他俩抽到相同景点的概率． 【变式1】（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并分别标上，2和，，8这5个数字，同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上时重转），转动停止后，两个指针指向的数字之和为正数的概率是___________． 【变式3】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分-91分、90分-81分、80分-71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． （1）由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是______人； （2）请补全条形统计图，由图可知m的值为______； （3）初三年级将在本次比赛获得满分的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人进行交流分享，若每个学生被抽取的可能性相等，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【题型5】用频率估计概率 【例题5】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． （2）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【变式1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有_________棵． 【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． （1）估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； （2）若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 四、题型精析（综合提升） 【题型1】放回与不放回 【例题1】（26-27九年级上·甘肃·期中）在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品． （1）用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； （2）求出获奖的概率； （3）如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上赚走多少钱？ 【变式1】（2026·福建漳州·模拟预测）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中不放回地随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·重庆·期中）已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为______． 【变式3】（2026·陕西渭南·二模）西安、南京、北京、洛阳是中国四大古都．小丽和家人计划暑假从A．西安、B．南京、C．北京、D．洛阳这四大古都中随机选择两个游玩，她准备了四张除正面所印古都不同外，其余完全相同的卡片（如图所示），将其背面朝上洗匀放置在桌面上，小丽先从四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张． （1）“小丽抽取的卡片正面是上海”是________事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） （2）用列表或画树状图的方法，求小丽抽取的两张卡片正面恰好是A．西安和C．北京的概率．（不分先后顺序） 【题型2】“至少和至多”与对立事件 【例题2】（2026·江西·模拟预测）在一个不透明的袋中装有4个小球，其中2个红球、1个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同． （1）从袋中任意摸出1个球，求摸到红球的概率； （2）从袋中任意摸出2个球，求至少摸到1个红球的概率（请用列表法或树状图法说明）． 【变式1】（2026·浙江绍兴·三模）有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）某团队的图像分类模型训练集中，包含1条标记为“类别A”的标注数据、2条标记为“类别B”的标注数据和3条标记为“类别C”的标注数据（标注数据除类别标签外，图像内容、格式等特征完全相同）．将数据集随机打乱后抽取1条用于模型测试，若要使抽到“类别A”标注数据的概率最大，至少需要向训练集中增加______条“类别A”的标注数据． 【变式3】（25-26九年级上·湖南湘西·期中）把一枚质地均匀的骰子投两次，解答下列问题 （1）计算两次点数相同的概率； （2）计算两次中至少出现一次点数为4的概率； （3）某兴趣小组开展猜两次点数和的游戏，猜中有奖，如果你是小组一员，你猜几？为什么？ 【题型3】抽签的公平性与方案设计 【例题3】（2026·云南楚雄·三模）小悦和同学们玩摸球游戏，在一个不透明的袋子里装有红球、黄球、蓝球各1个（除颜色不同外，其他无差别），请回答下列问题． （1）小悦根据游戏规则画出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是：随机摸出　　　　个球后　　　（填“放回”或“不放回”），再随机摸出　　　个球； （2）袋中球的数量不变，若要使两次均摸出蓝球的概率为，应怎样改变游戏规则？ 【变式1】（25-26八年级上·广东茂名·开学考试）用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2026·上海杨浦·二模）有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【变式3】（2026·福建厦门·一模）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示． 的值 1 2 4 实际付款 9折 8折 7折 （1）若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率； （2）某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠． 【题型4】综合应用（几何、路线、分组） 【例题4】（25-26九年级上·云南德宏·期末）年月日下午，在云南省德宏州芒市的泼水广场上，当地举办了民族文化展演活动．某电视台记者计划从以下四个极具民族特色的舞蹈中选取进行报道：“孔雀舞”，“象脚鼓舞”，“景颇刀舞”和“德昂水鼓舞”．请根据题目要求回答下列问题： （1）若记者从中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率是 ； （2）若记者决定选取两个不同的舞蹈进行报道，具体流程为：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个．请用列表法或画树状图法，求出记者选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 【变式1】（25-26七年级下·山东威海·期末）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽芜湖·三模）天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 【变式3】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）翩跹彩蝶，意蕴清雅．在古典意象中，有四种颇具美感的蝴蝶：青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶．老师将印有这四种蝴蝶的张卡片背面朝上置于桌面，请同学上台随机抽取一张，介绍这种蝴蝶的风姿． （1）若随机抽取一张卡片，求抽中“云粉蝶”的概率． （2）老师取出印有“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片，邀请小蛟和小甬进行有放回地抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到同种蝴蝶的概率． 五、中考链接 一、单选题 1．（2026·四川巴中·中考真题）一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取一个球，取出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古·中考真题）阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）万亩，成活率已经达到．下列说法正确的是（   ） A．种植10棵梭梭，一定有9棵成活 B．种植9棵梭梭，一定有1棵成活 C．种植1棵梭梭，一定不能成活 D．种植1棵梭梭，不一定能成活 3．（2026·河北·中考真题）掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为的概率相等，则（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 二、填空题 4．（2026·山东淄博·中考真题）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 5．（2026·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为__________． 6．（2026·宁夏·中考真题）一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． 三、解答题 7．（2026·吉林长春·中考真题）长春2027年第33届世界大学生冬季运动会的会徽主体形态是中国书法草书“长”字的抽象变形，吉祥物为“吉冰”“吉雪”．将三张分别印有会徽（记为A）、“吉冰”（记为B）、“吉雪”（记为C）图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中任意取出1张卡片记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用画树状图（或列表）的方法，求取出的两张卡片图案相同的概率． 8．（2026·江苏镇江·中考真题）小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． （1）小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． （2）小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.1 等可能条件下的概率全章复习讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标与重难点 1 二.知识梳理与解读 1 【知识点一】等可能事件与概率公式 1 【知识点二】列表法、树状图法求概率 2 【知识点三】用频率估计概率（标记重捕法） 2 三、题型精析【夯实基础】 2 【题型1】等可能结果的判断与概率公式 2 【题型2】几何概率 4 【题型3】列表法求概率 6 【题型4】树状图法求概率 9 【题型5】用频率估计概率 13 四、题型精析（综合提升） 15 【题型1】放回与不放回 15 【题型2】“至少和至多”与对立事件 18 【题型3】抽签的公平性与方案设计 21 【题型4】综合应用（几何、路线、分组） 24 五、中考链接 27 一.学习目标重难点 学习目标与重难点 1.理解等可能事件的意义，掌握概率公式 ，能求简单随机事件的概率； 2.会用列表法、树状图法列举等可能结果，求两次及多次随机试验的概率； 3.会用频率估计概率，能运用“标记重捕法”等解决实际问题。 重点：的应用；列表法、树状图法求概率。 难点：正确区分“放回”与“不放回”；用频率估计概率并建立方程求解。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等可能事件与概率公式 一般地，如果一次随机试验所有可能发生的结果共有 n 个，且每个结果出现的机会均等，则称这 n 个事件的发生是等可能的，其中每个事件发生的概率都是 。若事件 A 包含其中的 m 个等可能结果，则事件 A 发生的概率 （0≤m≤n，故 0≤P（A）≤1）。 ⚠️ 易错警示： ①只有“基本结果”机会均等时才能用 ，若事件所含结果数不等（如“摸到红球”与“摸到白球”个数不同），不能直接等分；②概率是一个比值，总有 0≤P（A）≤1。 【知识点二】列表法、树状图法求概率 列表法适合两次试验，把每次试验的结果组成有序数对填入表格，做到不重不漏；树状图法直观，适合两次及两次以上试验，把每次试验的分支逐层展开。对大小、形状相同的小球等，可通过“贴标签”（编号）转化为等可能结果。 ⚠️ 易错警示： ①用列表或树状图时易漏列、重列结果，应先确定每一步的结果数再分层展开；②不放回时，第二次可选结果数比第一次少 1，总结果数为 ；有放回时保持不变，总结果数为 。 【知识点三】用频率估计概率（标记重捕法） 当试验次数很大时，事件发生的频率稳定于其概率，可用频率作为概率的估计值。如“标记重捕法”：设总数 N，先标记 m 个放回，充分混合后再捕 n 个，其中 k 个带标记，则 ，得 N≈。 ⚠️ 易错警示： ①频率是概率的估计值，不一定等于概率；②试验次数要足够大，频率才趋于稳定；③标记后要放回并充分混合均匀再捕捞，样本才具有代表性。 三、题型精析【夯实基础】 【题型1】等可能结果的判断与概率公式 【例题1】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）某路口交通信号灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯20秒，黄灯4秒．当人或车随机经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最小？为什么？ 【答案】遇到红灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小．理由如下： ∵ 红绿灯一个周期的总时长为秒， ∴，，， ∵， ∴ 随机经过该路口时，遇到红灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小. 【分析】比较三种信号灯的持续时长概率，时长概率越大，遇到的可能性越大． 解：略． 【变式1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：袋子中装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，总球数为． 随机摸出一个球是红球的概率为． 【变式2】（26-27七年级上·河南开封·开学考试）把红、黄两种颜色的球各个放到一个袋子里．至少取出__________个球，可以保证取到两个颜色相同的球．如果把个红球和个黄球放进袋子，任意摸出一个球，摸出__________球的可能性大． 【答案】 黄 解：考虑最不利情况，取出红、黄球各个，此时共取出 个球，再取出个球，一定能得到两个颜色相同的球，计算得至少取出的球数为个； 袋子中黄球数量是，红球数量是， ∵，黄球数量更多， ∴ 摸出黄球的可能性大． 【变式3】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同） （1）求小强抽到写有数字2的卡片的概率． （2）你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）解：公平，理由如下： 共有8种等可能性结果，抽到数字是3的倍数的卡片有3，3，3，6共4种情况，抽到数字不是3的倍数的卡片有1，2，2，5共4种情况， （小强获得参赛名额）（小丽获得参赛名额）； 答：这个抽签方法对小强和小丽是公平的． 【分析】（1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小强和小丽获得参赛名额的概率，再比较大小即可解答． （1）解：（抽到数字2）． （2）略 【题型2】几何概率 【例题2】（2025九年级上·全国·专题练习）在一块长、宽的长方形草坪上，有一条宽的长方形小路（小路平行于草坪的长，且贯穿草坪）．随机在草坪上撒一把种子（种子落在草坪任意位置的可能性相等），求种子落在小路上的概率． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，分别求出总面积为，小路面积，然后通过概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：总面积：， 小路面积：， 种子落在小路上的概率为：． 答：种子落在小路上的概率为． 【变式1】（25-26九年级上·云南德宏·期末）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 解：设太极图的总面积为． 太极图是中心对称图形，黑色部分与白色部分面积相等． 白色部分的面积为． 此点取自白色部分的概率． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，一块木板由个大小相等的小正方形构成，若随机向木板上投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式，根据几何概率的求法：落在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，即可求解． 解：将小正方形的边长视为单位“”， 则阴影部分的面积为， 个大小相等的小正方形的总面积为， 故击中阴影部分的概率是． 【变式3】（73第三章概率初步学业质量自我评价）小明操纵一辆遥控汽车在如图所示的圆内运动，遥控汽车开动后随意停止（遥控汽车可看作一个点）．遥控汽车停在黄色区域与停在绿色区域的概率是否相等？停在红色区域的概率是多少？    【答案】遥控汽车停在黄色区域与停在绿色区域的概率不相等，停在红色区域的概率是 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．先分别求出整个圆的面积、绿色区域的面积、黄色区域的面积、红色区域的面积，再利用概率公式计算即可得． 解：由题意得：整个圆的面积为， 绿色区域的面积为， 黄色区域的面积为， 红色区域的面积为， 所以遥控汽车停在黄色区域的概率为， 停在绿色区域的概率为， 停在红色区域的概率为， 所以遥控汽车停在黄色区域与停在绿色区域的概率不相等，停在红色区域的概率是． 答：遥控汽车停在黄色区域与停在绿色区域的概率不相等，停在红色区域的概率是． 【题型3】列表法求概率 【例题3】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）一个不透明的箱子中装着分别标有“”、“”、“”的卡片各一张，这些卡片除标写的字母外完全相同．甲从中随机抽取一张，记下结果后放回，乙再从中随机抽取一张． （1）甲抽到标有“”的卡片的概率为______； （2）求甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据随机事件概率的定义进行计算即可； （2）先利用列表法将所有可能的结果列举出来，然后筛选符合题目要求的结果进行计算即可． （1）解：甲抽卡片一共有3种等可能的情况，分别是“”、“”、“”，则抽到“”的概率为； （2）解： 一共有９种等可能的情况，其中甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的情况有3种，则甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率为． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意列表列举所有等可能结果，再根据事件概率的计算公式求解即可． 解：根据题意列表如下： E F G H A B C D 共有16种等可能结果，其中两人恰好选中同一根绳子的等可能结果分别是，，，，共4种，所以两人恰好选中同一根绳子的概率是． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）小明和小红玩摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再摸出一个球．若两次都摸到红球，则小红赢，否则小明赢．则小红赢的概率是________，这个游戏对双方________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】 不公平 【分析】先列出表格，得出摸球所有等可能结果，计算小红和小明赢的概率，比较概率大小判断游戏公平性即可． 解：根据题意列表如下： 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） ∵所有等可能结果有9种，其中两次都摸到红球的4种，其他的有5种， ∴小红赢的概率为，小明赢的概率为， ∵， ∴游戏对双方不公平． 【变式3】（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． （1）为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． （2）利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 【答案】（1）①0.48；②0.4；（2）． 【分析】（1）① 因为频率=参加项目人数÷调查总人数，所以对应调查总人数为200时，用该组参加人数除以200即可得到所缺频率．② 因为大量重复试验时频率会逐渐稳定在概率附近，所以选取调查总人数最大的组对应的频率，按要求精确到0.1得到估算概率． （2）首先确定甲、乙各自分配项目的所有等可能结果，通过列表或画树状图枚举所有情况；再找出恰好有一人被分配到C项目的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到对应概率． （1）解：① 频率的计算公式为：， 代入对应数据得：． ② 当试验总人数越大，频率会逐渐稳定在某个常数附近， 观察表格里的频率随样本量增大逐步趋近于0.405， 精确到0.1后结果为0.4． ∴本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率为0.4． （2）解： 甲            乙 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的结果有6种， ∴P（甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目）． 【题型4】树状图法求概率 【例题4】（24-25九年级上·云南德宏·期末）近几年，德宏的旅游业发展持续火爆．某数学小组制作了四张芒市旅游景点卡片，如图，分别是“勐焕大金塔”、“勐焕银塔”、“勐巴娜西珍奇园”、“傣族古镇”（依次用字母A、B、C、D表示这四个景点），卡片除正面内容不同之外，其余均相同，背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）将四张卡片背面朝上，洗匀后，从中随机抽取一张，恰好抽到“B．勐焕银塔”的概率是______； （2）若小明先从A、B、C、D这4张卡片中随机抽取一张卡片，记下内容后背面朝上放回，洗匀后，再由小亮从中随机抽取一张卡片，请用列表或树状图的方法求他俩抽到相同景点的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有种等可能结果，两人抽到相同景点有4种，再根据概率公式求解即可． （1）解：∵四张卡片（A、B、C、D）除正面内容不同之外，其余均相同， ∴恰好抽到“B．勐焕银塔”的概率是， （2）解：画树状图如下， 由树状图知，共有种等可能的结果，两人抽到相同景点有4种， 他俩抽到相同景点的概率． 【变式1】（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确颜色都变化即两种溶液均能使酚酞变红，通过作树状图得到所有等可能结果，结合概率公式求解即可． 解：将蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，其中能使酚酞溶液变色的是，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中颜色恰好都发生变化的结果有2种， ∴所求概率为． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并分别标上，2和，，8这5个数字，同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上时重转），转动停止后，两个指针指向的数字之和为正数的概率是___________． 【答案】 【分析】先根据题意画出树状图，再根据概率的计算公式求解即可． 解：画树状图如下： 共有6种等可能性结果，其中两个指针指向的数字之和为正数的等可能结果共有2种，所以两个指针指向的数字之和为正数的概率是． 【变式3】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分-91分、90分-81分、80分-71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． （1）由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是______人； （2）请补全条形统计图，由图可知m的值为______； （3）初三年级将在本次比赛获得满分的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人进行交流分享，若每个学生被抽取的可能性相等，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】（1）500；210；（2）补全条形统计图为： （3）甲、乙同时被选中的概率为 【分析】（1）用A等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用总人数乘以C等级人数所占的百分比得到C等级人数； （2）根据C等级人数补全条形统计图；用1分别减去A、B、C等级的百分比得到D等级所占的百分比，从而确定m的值； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出甲、乙同时被选中的结果数，然后根据概率公式计算． （1）解：（名）， 所以该校初三共500名学生， 比赛成绩等级为C级的学生人数为（名）； （2）解：图略， D等级人数所占的百分比为， 所以； （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果数为2种， 所以甲、乙同时被选中的概率为． 【题型5】用频率估计概率 【例题5】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． （2）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【答案】（1）0.6；（2）10 （1）解：根据表中数据，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； （2）解：估算盒子里原来约有白球（个）， ∵放入的x个球中白球只有1个， ∴， 解得， 答：可以推测出x最有可能是10． 【变式1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以大量重复试验的频率估计概率，可先计算不达标频率，再推导达标概率． 解：∵共完成次检测，其中次检测到的元件耐压不达标， ∴不达标检测的频率为， ∴可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率为． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有_________棵． 【答案】800 【分析】观察折线统计图，发现随着移植数量增加，成活频率在0.8附近波动并趋于稳定，据此估计成活概率，再计算1000棵的成活数． 解：由折线统计图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.8附近． ∴ 这种树苗成活的概率约为0.8． ∵ 移植这种树苗1000棵， ∴ 成活的大约有 （棵）． 【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． （1）估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； （2）若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 【答案】（1）估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率为；（2）估计该保护区共有野兔1800只，野鸡700只 【分析】（1）利用第一次捕捉样本中野鸡的频率估计所求概率； （2）依据标记重捕法的比例关系，分别列等式求解野兔和野鸡的总数． （1）解：∵随机捕捉的100只动物中，野鸡有40只， ∴样本中捕捉一只动物是野鸡的频率为， ∴估计随机捕捉一只动物是野鸡的概率为； （2）解：设该保护区野兔总数为只，野鸡总数为只， ∵第一次标记野兔60只，重捕的360只野兔中带标记的有12只， ∴， 解得； ∵第一次标记野鸡40只，重捕的140只野鸡中带标记的有8只， ∴， 解得； 答：该保护区约有野兔1800只，野鸡700只． 四、题型精析（综合提升） 【题型1】放回与不放回 【例题1】（26-27九年级上·甘肃·期中）在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品． （1）用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； （2）求出获奖的概率； （3）如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上赚走多少钱？ 【答案】（1）解：列表如下，共有种等可能的结果数； 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）；（3）元 【分析】（1）通过列表的方式列举出所有可能的摸球结果即可； （2）先找出两次都摸白球的结果数，再根据概率公式计算即可； （3）将摊主的收入减去送出奖品的金额，即可得到摊主的盈利情况． 解：（1）共有种等可能的结果数，表略； （2）解：由（1）可得，共有36种等可能的结果数，其中前后两次摸得的都是白球的结果数为9， 所以获奖的概率为； （3）解：（元）， 答：摊主可能会从这些人身上赚走元． 【变式1】（2026·福建漳州·模拟预测）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中不放回地随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的情况有种情况，所以这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为． 解：画树状图，如下图所示： 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的情况有种情况， 这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为． 【变式2】（25-26九年级上·重庆·期中）已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了不放回抽样的概率计算，解题的关键是掌握列表法或树状图求概率． 利用树状图或列表法求概率即可． 解：画树状图如下： 等可能出现的情况共有12种，符合条件的有2种， 因此，恰好两张均摸到一等奖券的概率为， 故答案为：． 【变式3】（2026·陕西渭南·二模）西安、南京、北京、洛阳是中国四大古都．小丽和家人计划暑假从A．西安、B．南京、C．北京、D．洛阳这四大古都中随机选择两个游玩，她准备了四张除正面所印古都不同外，其余完全相同的卡片（如图所示），将其背面朝上洗匀放置在桌面上，小丽先从四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张． （1）“小丽抽取的卡片正面是上海”是________事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） （2）用列表或画树状图的方法，求小丽抽取的两张卡片正面恰好是A．西安和C．北京的概率．（不分先后顺序） 【答案】（1）不可能；（2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中小丽抽取的两张卡片正面恰好是A．西安和C．北京的结果有2种， 小丽抽取的两张卡片正面恰好是A．西安和C．北京的概率为． 【分析】（1）直接根据事件的定义分析求解，即可解题； （2）根据题意画出树状图，得到总共有12种等可能的结果，以及其中小丽抽取的两张卡片正面恰好是A．西安和C．北京的结果数，再由概率公式求解即可． （1）解：四张卡片正面分别是西安、南京、北京、洛阳，没有上海， “小丽抽取的卡片正面是上海”是不可能事件； （2）略 【题型2】“至少和至多”与对立事件 【例题2】（2026·江西·模拟预测）在一个不透明的袋中装有4个小球，其中2个红球、1个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同． （1）从袋中任意摸出1个球，求摸到红球的概率； （2）从袋中任意摸出2个球，求至少摸到1个红球的概率（请用列表法或树状图法说明）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． （1）解：∵从袋中任意摸出1个球共有4种等可能结果，其中摸到红球的结果数为2， ∴摸到红球的概率为=； （2）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，至少摸到1个红球的结果数为10， ∴至少摸到1个红球的概率为． 【变式1】（2026·浙江绍兴·三模）有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】可采取把9个球三三组合，共分成3个组去称，用天平每次称两组，则：二二选一，两次即可． 解：把9个小球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组： ①若天平平衡，则重球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则重球就是第三个，若不平衡，重的一边就是重球； ②若天平不平衡，则重球在重的一边，第二次称重的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是重球，若不平衡，重的一边就是重球． 综上所述，至少需要天平的次数是2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二分法的应用，理解二分法是解答关键． 【变式2】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）某团队的图像分类模型训练集中，包含1条标记为“类别A”的标注数据、2条标记为“类别B”的标注数据和3条标记为“类别C”的标注数据（标注数据除类别标签外，图像内容、格式等特征完全相同）．将数据集随机打乱后抽取1条用于模型测试，若要使抽到“类别A”标注数据的概率最大，至少需要向训练集中增加______条“类别A”的标注数据． 【答案】 解：原有标注数据中，类别A有条，类别B有条，类别C有条，总数量为（条）， 设至少需要向训练集中增加条“类别A”的标注数据，为正整数，增加后，类别A的数量为条，总数据数量为条， 要使抽到“类别A”的概率最大，只需类别A的数量分别大于类别B和类别C的数量， 列不等式组得， 解得， 因此的最小整数值为． 【变式3】（25-26九年级上·湖南湘西·期中）把一枚质地均匀的骰子投两次，解答下列问题 （1）计算两次点数相同的概率； （2）计算两次中至少出现一次点数为4的概率； （3）某兴趣小组开展猜两次点数和的游戏，猜中有奖，如果你是小组一员，你猜几？为什么？ 【答案】（1）两次点数相同的概率为；（2）至少有一个骰子点数为4的概率为；（3）猜两次点数和为7，因为猜中的概率最大 【分析】（1）列表展示同时掷两个质地均匀的骰子共有36种情况，满足两次点数相同的结果有6种，据此可以求得两次点数相同的概率． （2）满足两次中至少出现一次点数为4的结果共有11个，即可求得至少有一个骰子点数为4的概率． （3）列表展示两次点数和出现的频次，取出现频次最高的即可． 本题考查了列表法求概率，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键． （1）解：同时掷两个质地均匀的骰子共有36种情况： 1 2 3 4 5 6 1 1、1 1、2 1、3 1、4 1、5 1、6 2 2、1 2、2 2、3 2、4 2、5 2、6 3 3、1 3、2 3、3 3、4 3、5 3、6 4 4、1 4、2 4、3 4、4 4、5 4、6 5 5、1 5、2 5、3 5、4 5、5 5、6 6 6、1 6、2 6、3 6、4 6、5 6、6 满足两次点数相同的结果有6种，即：． ∴两次点数相同的概率为． （2）满足两次中至少出现一次点数为4的结果共有11个， 即． ∴至少有一个骰子点数为4的概率为． （3）两次点数和的结果如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 其中和数为7出现的频数最多，为6次，猜中的概率最大，概率为． 故猜两次点数和为7，因为猜中的概率最大． 【题型3】抽签的公平性与方案设计 【例题3】（2026·云南楚雄·三模）小悦和同学们玩摸球游戏，在一个不透明的袋子里装有红球、黄球、蓝球各1个（除颜色不同外，其他无差别），请回答下列问题． （1）小悦根据游戏规则画出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是：随机摸出　　　　个球后　　　（填“放回”或“不放回”），再随机摸出　　　个球； （2）袋中球的数量不变，若要使两次均摸出蓝球的概率为，应怎样改变游戏规则？ 【答案】（1）1，不放回，1；（2）随机摸出1个球后放回袋中，再随机摸出1个球 【分析】（1）根据树状图即可解答； （2）根据概率公式即可得出答案． （1）解：根据树状图可知此次摸球的游戏规则是：随机摸出1个球后不放回，再随机摸出1个球； （2）解：∵袋子里装有红球、黄球、蓝球各1个， ∴随机摸出1个球是蓝球的概率为， 若要使两次均摸出蓝球的概率为，则树状图为： 游戏规则应该变为随机摸出1个球后放回袋中，再随机摸出1个球． 【变式1】（25-26八年级上·广东茂名·开学考试）用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查判断游戏是否公平，解题的关键是看游戏中双方赢的概率是否相等．根据题中图片，逐个分析即可求解． 解：第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平； 第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 综上所述，公平的方式有3种； 故选C． 【变式2】（2026·上海杨浦·二模）有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【答案】甲 【分析】分别计算甲五次内恰好抽中一次的概率与乙五次内恰好抽中一次的概率，比较两者大小即可得到结果． 解：甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得， 甲五次内恰好抽中一次的概率为； 乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和， 乙五次内恰好抽中一次的概率为 ， ∴， 抽五次后抽中一次概率更大的是甲． 【变式3】（2026·福建厦门·一模）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示． 的值 1 2 4 实际付款 9折 8折 7折 （1）若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率； （2）某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠． 【答案】（1）；（2）选择方案一更为实惠 【分析】（1）利用列表法列出所有等可能的抽取结果，数出获得8折优惠的结果数，根据概率公式计算概率即可； （2）分别计算方案一的实际付款金额，和方案二的平均实际付款金额，比较大小后即可判断哪种方案更实惠． （1）解：列表得所有抽取两张的等可能结果如下： 第一次第二次    乘积 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之积（即获得8折优惠）的结果有8种． 所以获得8折优惠的概率为． （2）解：若顾客选择方案一，购物金额为300元，实际付款为： （元） 若顾客选择方案二，由（1）可知： ，对应9折，实际付款元 ，对应8折，实际付款元 ，对应7折，实际付款元 方案二的平均实际付款为： （元） 因为， 所以顾客选择方案一更为实惠． 【题型4】综合应用（几何、路线、分组） 【例题4】（25-26九年级上·云南德宏·期末）年月日下午，在云南省德宏州芒市的泼水广场上，当地举办了民族文化展演活动．某电视台记者计划从以下四个极具民族特色的舞蹈中选取进行报道：“孔雀舞”，“象脚鼓舞”，“景颇刀舞”和“德昂水鼓舞”．请根据题目要求回答下列问题： （1）若记者从中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率是 ； （2）若记者决定选取两个不同的舞蹈进行报道，具体流程为：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个．请用列表法或画树状图法，求出记者选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据等可能事件的概率公式计算即可． （2）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到其中选中“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的次数，计算即可. （1）解：从四个舞蹈中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率为； （2）解：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个，画树状图如下： ∴共有种等可能的结果， 其中选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的次数有：，共种， ∴选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 【变式1】（25-26七年级下·山东威海·期末）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可． 解：整个图形面积， 阴影部分面积， ∴小球停在阴影区域的概率， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 【变式2】（2026·安徽芜湖·三模）天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡，使用画树状图法计算概率即可． 解：， ∴需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中和为的情况有种， ∴天平恢复平衡的概率为． 【变式3】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）翩跹彩蝶，意蕴清雅．在古典意象中，有四种颇具美感的蝴蝶：青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶．老师将印有这四种蝴蝶的张卡片背面朝上置于桌面，请同学上台随机抽取一张，介绍这种蝴蝶的风姿． （1）若随机抽取一张卡片，求抽中“云粉蝶”的概率． （2）老师取出印有“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片，邀请小蛟和小甬进行有放回地抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到同种蝴蝶的概率． 【答案】（1）抽中“云粉蝶”的概率为；（2）两人抽到同种蝴蝶的概率为． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）设“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片分别为A、B、C、D，然后根据题意画树状图得出所有等可能的结果数以及两人抽到同种蝴蝶的结果数，再利用概率公式求解即可． （1）解：若随机抽取一张卡片，有4种结果，抽中“云粉蝶”的情况只有一种，抽中“云粉蝶”的概率为． （2）解：设“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片分别为A、B、C、D， 根据题意画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能的结果，其中两人抽到同种蝴蝶的结果有4种， 所以两人抽到同种蝴蝶的概率为． 五、中考链接 一、单选题 1．（2026·四川巴中·中考真题）一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取一个球，取出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率的计算，根据概率公式，随机事件的概率等于所求情况数除以所有可能的总情况数，代入计算即可． 解：∵布袋中有8个红球和16个黑球， ∴球的总个数为， ∴取出红球的概率为． 2．（2026·内蒙古·中考真题）阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）万亩，成活率已经达到．下列说法正确的是（   ） A．种植10棵梭梭，一定有9棵成活 B．种植9棵梭梭，一定有1棵成活 C．种植1棵梭梭，一定不能成活 D．种植1棵梭梭，不一定能成活 【答案】D 【分析】考查概率的意义．概率表示事件发生的可能性大小，不代表确定性结果．成活率意味着成活的可能性很大，但具体到每一次种植，结果是不确定的． 解：成活率表示在大量重复试验中，成活的可能性为，属于随机事件，并非必然事件或不可能事件 ．种植棵梭梭，不一定有棵成活，故A错误； 种植棵梭梭，成活数量不确定，故B错误； 种植棵梭梭，可能成活也可能不成活，故C错误，D正确． 3．（2026·河北·中考真题）掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为的概率相等，则（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 【答案】D 【分析】通过列表法计算各选项概率即可得解． 解：列表如下： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∴掷两枚质地均匀的骰子，所有等可能结果共有种，点数之和为的结果只有种， ∴点数之和为2的概率为． 对各选项逐一验证：当时，共种，，排除A； 当时，共种，，排除B； 当时，共种，，排除C； 当时，共种，，与点数和为2的概率相等． ∴． 二、填空题 4．（2026·山东淄博·中考真题）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 【答案】 【分析】由题意可知书房里所有地砖的数量以及黑色地砖的数量，代入概率公式即可求解． 解：由题意可知，书房里地砖共有块，其中黑色地砖有块， 小球停在黑砖上的概率为． 5．（2026·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为__________． 【答案】 【分析】先计算袋子中球的总数量，确定红球的数量，再根据概率的定义计算结果． 解：袋子中球的总个数为，其中红球的个数为，因此摸到红球的概率为． 6．（2026·宁夏·中考真题）一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． 【答案】/0.5 【分析】利用画树状图法求解即可． 解：根据题意，画树状图如下： 一共有4种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色小球的等可能性一共有2种， 故两次都摸到相同颜色的小球的概率是． 三、解答题 7．（2026·吉林长春·中考真题）长春2027年第33届世界大学生冬季运动会的会徽主体形态是中国书法草书“长”字的抽象变形，吉祥物为“吉冰”“吉雪”．将三张分别印有会徽（记为A）、“吉冰”（记为B）、“吉雪”（记为C）图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中任意取出1张卡片记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用画树状图（或列表）的方法，求取出的两张卡片图案相同的概率． 【答案】取出的两张卡片图案相同的概率为 【分析】根据有放回的抽取规则列出所有等可能结果，进而求出取出的两张卡片图案相同的概率． 解：列表为： 第一次第二次 共有种等可能情况，其中，取出的两张卡片图案相同的情况有种，故取出的两张卡片图案相同的概率． 8．（2026·江苏镇江·中考真题）小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． （1）小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． （2）小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）等可能事件概率，所求区域份数÷总份数． （2）用列表列出全部等可能情况，数出符合条件的情况，然后根据概率公式计算即可． （1）解：因为音名转盘平均分成2份，A占1份， 所以指针落在A区域的概率：． （2）解：用列表法： 音符音名 A B 所有等可能结果共6种， 满足B且的结果只有1种． 答：音名转盘指针落在B区域且音符转盘指针落在区域的概率为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $