内容正文：
第1章 图形的相似 单元测试卷（提高卷）
2026—2027学年湘教版九年级数学上册
时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
注意事项：
1．本试卷共三大题24小题，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前请将姓名、班级、考号填写清楚；
解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项）
1．若，则k的值为（ ）
A．2 B．-1 C．2或-1 D．1
2．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD＝DF＝FB，则（ ）
A．1∶2∶3 B．1∶3∶5 C．1∶4∶9 D．1∶3∶9
3．△A′B′C′与△ABC以原点O为位似中心，相似比为2∶1（△A′B′C′∶△ABC）。若A(2，-3)，则点A′的坐标为（ ）
A．(4，-6) B．(-4，6) C．(4，-6)或(-4，6) D．(4，-6)或(4，6)
4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于D。有下列结论：①AB＝10；；；。其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，P为边AB上的一个动点，连接PD、PC。若△PAD与△PBC相似，则满足条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，D在AB上，E在AC上，且∠AED＝∠B。若AE＝3，AD＝4，AC＝6，则AB的长为（ ）
A． B．8 C．2 D．
7．两个相似三角形一组对应中线长分别为4和6，较小三角形的面积为12，则较大三角形的面积为（ ）
A．27 B．18 C． D．36
8．如图，在平行四边形ABCD中，E在DC上，DE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶FD＝（ ）
A．2∶3 B．3∶2 C．5∶2 D．5∶3
9．两个相似三角形对应角平分线的比为2∶5，面积之和为116，则较大三角形的面积为（ ）
A．100 B．80 C．60 D．90
10．如图，在△ABC中，∠B＝30°，D为AB的中点，DE⊥AB交BC于点E，F为DE上一点，且FA＝FC。有下列结论：①∠FAD＋∠FCE＝30°；②△FAC为等边三角形；③2FD＝CE-EF；。其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，△ABC中，BC＝15，高AN＝22.5。在△ABC内由下而上依次放置边长为3的正方形（一边在BC上，上边两端点落在AB、AC上），逐个叠放。则从上往下数，第________个正方形是这样“恰好卡住”的（即该正方形上边所在小三角形与△ABC相似）。
12．在△ABC中，DE∥BC，且AE∶EC＝2∶3，则________。
13．△ABC∽△A′B′C′，相似比为2∶3，若两三角形周长之差为15，则△A′B′C′的周长为________。
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，正方形DEFG内接于△ABC（D、E在BC上，G在AB上，F在AC上），则正方形边长为________。
15．在△ABC中，D为AB上一点，且∠ACD＝∠B，AD＝2，DB＝3，则AC＝________。
16．△A′B′C′与△ABC关于原点位似，相似比为2∶1（△A′B′C′∶△ABC）。若A(2，1)，则点A′的坐标为________。
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知三角形三边之比a∶b∶c＝5∶12∶13，且周长为60。求a、b、c的值，判断这个三角形的形状，并求它的面积。
18．（8分）如图，在△ABC中，D在AB上，∠ACD＝∠B。（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝4，AB＝9，求AC的长；（3）若AD＝4，AC＝6，求AB的长。
（18）题图
19．（8分）在△ABC中，DE∥BC，，且梯形DBCE的面积为32。求△ABC的面积，并求AD∶AB。
（19）题图
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8。点P从A沿AB向B每秒2个单位，点Q同时从B沿BC向C每秒1个单位。（1）出发几秒后△PBQ与△ABC相似？（2）在上述运动中，求△PBQ面积的最大值。
（20）题图
21．（10分）如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF。（1）求证：AE²＝EG·ED；（2）求证：BC²＝2DF·BF。
（21）题图
22．（10分）如图，在△ABC中，BC＝12，高AH＝8。要裁出一个矩形DEFG（D、E在BC上，G在AB上，F在AC上），并使矩形邻边之比DG∶GF＝1∶2。求矩形的两条邻边长。
（22）题图
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB＝90°，E为AB的中点，CE与BD交于点F。（1）求证：△ABD∽△DBC；（2）求证：DE∥BC；（3）若DF∶BF＝2∶3，BD＝6，求DE的长。
（23）题图
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A(0，4)，B(3，0)。（1）求AB的长及△AOB的面积；（2）点C在x轴上（不与O、B重合），若以A、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，求点C的所有坐标；（3）点P从O出发沿x轴正方向、点Q从A出发沿AO向O移动，速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒（0＜t＜4）。当t为何值时，△OPQ与△AOB相似？（4）在（3）的条件下，求△OPQ的面积S与t的函数关系式及S的最大值。
（24）题图
第1章 图形的相似 单元测试卷（提高卷）
参考答案与解析
一、选择题
1．【答案】C
【解析】由得a+b＝kc，同理b+c＝ka，c+a＝kb，三式相加得2(a+b+c)＝k(a+b+c)。若a+b+c≠0，则k＝2；若a+b+c＝0，则a+b＝-c，此时k＝(a+b)/c＝-1。故k＝2或-1，选C。
2．【答案】B
【解析】∵DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，∴AD∶AB＝1∶3，。设，则，，故，，比为1∶3∶5，选B。
3．【答案】C
【解析】以原点为位似中心、相似比为2的位似变换，对应点坐标为原坐标乘2或乘-2，故A′(4，-6)或(-4，6)，选C。
4．【答案】C
【解析】AB＝＝10，①正确；，②正确；，③错误；，④正确。共3个正确，选C。
5．【答案】C
【解析】设AP＝x，PB＝8-x。①∠APD＝∠BPC时，，解得；②∠APD＝∠CPB（对应顶点交换）时，，即x(8-x)＝12，x＝2或x＝6。共3个点，选C。
6．【答案】A
【解析】∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB（AA），，即，解得，选A。
7．【答案】A
【解析】对应中线比为4∶6＝2∶3，面积比，故较大三角形面积，选A。
8．【答案】C
【解析】∵AB∥DC，∴△ABF∽△EDF，，选C。
9．【答案】A
【解析】面积比，设较小面积为4x，较大为25x，4x＋25x＝116，x＝4，较大面积，选A。
10．【答案】D
【解析】由FA＝FC及DE⊥AB、∠B＝30°可证：①∠FAD＝∠FCA；又∠FCE＝∠FCA＋∠ACE可推出∠FAD＋∠FCE＝∠ACB＝60°的一半关系，经核算①②③④四个结论均正确（②由FA＝FC＝FB及∠B＝30°可得△FAC等边；③由DE为AB中垂线及30°角关系可得；④由等底同高关系可得），选D。
二、填空题
11．【答案】6
【解析】正方形上边所在小三角形与△ABC相似，设第n个正方形上方小三角形的高为h。正方形上边长3对应底15，，h＝4.5。第n个正方形上边距BC的高度为(n-1)×3＋3＝3n，故h＝22.5-3n＝4.5，n＝6。
12．【答案】4∶21
【解析】AE∶EC＝2∶3，AE∶AC＝2∶5，，故。
13．【答案】45
【解析】周长比为2∶3，差为1份对应15，故△A′B′C′周长。
14．【答案】
【解析】设正方形边长x。BC边上的高。由△AGF∽△ABC，，解得。
15．【答案】
【解析】∠ACD＝∠B，∠A公共，∴△ACD∽△ABC，，。
16．【答案】(4，2)或(-4，-2)
【解析】位似比为2，A′坐标为(4，2)或(-4，-2)。
三、解答题
17．【答案】a＝10，b＝24，c＝26；直角三角形；面积为120。
【解析】设a＝5k，b＝12k，c＝13k（设k法，2分）。由5k＋12k＋13k＝60，得30k＝60，k＝2，∴a＝10，b＝24，c＝26（2分）。∵，∴它是直角三角形（2分），面积（2分）。
18．【答案】（1）证明见解析；（2）AC＝6；（3）AB＝9。
【解析】（1）∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A（公共角），∴△ACD∽△ABC（AA，3分）。
（2）由相似得，∴AC＝6（3分）。
（3）由，即36＝4·AB，∴AB＝9（2分）。
19．【答案】；AD∶AB＝1∶3。
【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。由，得（4分）。设，则8x＝32，x＝4，∴（2分）。又，∴AD∶AB＝1∶3（2分）。
20．【答案】（1）秒或秒；（2）最大值为。
【解析】设出发t秒，则PB＝10-2t，BQ＝t。
（1）①△PBQ∽△ABC时，，；②△PBQ∽△CBA时，，。两解均在0＜t≤5内（6分）。
（2）∠B＝90°，，故时S最大（2分）。
21．【答案】证明见解析。
【解析】（1）∵AF⊥BC，E是Rt△AFB斜边AB的中点，∴AE＝FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，2分），∴∠EAG＝∠EFA。∵菱形中AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°。∵DE⊥EF，∠FEG＝90°＝∠DAG，且∠AGD＝∠FGE，∴△ADG∽△FEG（AA），得∠ADG＝∠EFG（2分）。∵G在AF上，∠EFG＝∠EFA＝∠EAG；又∠AEG＝∠DEA（公共角），∴△AEG∽△DEA（AA，3分），，即（1分）。
（2）由AE＝FE及，得，即，又∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF（两边成比例且夹角相等，1分），得∠EFG＝∠EDF。又∠DEF＝∠AFB＝90°，∠EFG＝∠ABF，∴△ABF∽△DFE（AA，1分），。∵AB＝BC，，代入得，即（1分）。
22．【答案】矩形两邻边长为和。
【解析】设DG＝x，则GF＝2x。∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC（3分）。相似三角形对应高之比等于相似比，即（3分），。解得6(8-x)＝8x，48＝14x，，（2分）。答：矩形两邻边为和（2分）。
23．【答案】（3）。
【解析】（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC。又∠ADB＝∠DCB＝90°，∴△ABD∽△DBC（AA，2分）。
（2）∵∠ADB＝90°，E为AB的中点，（直角三角形斜边上的中线，2分），∴∠EDB＝∠ABD。又∠ABD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠DBC，∴DE∥BC（内错角相等，2分）。
（3）由DE∥BC，得△DEF∽△BCF，（1分）。又△ABD∽△DBC，，即（1分）。设DE＝2k，则BC＝3k，AB＝2DE＝4k，代入AB·BC＝36得，，（负值舍去），故（2分）。
24．【答案】（1）AB＝5，；（2）C(-3，0)、、；（3）或；（4），最大值为2。
【解析】（1），（2分）。
（2）Rt△AOC的直角在O，直角边为OA＝4与OC＝|c|；Rt△AOB的直角边为3与4。①4与4对应、|c|与3对应时，|c|＝3，得C(-3，0)（C(3，0)即点B，舍去）；②4与3对应、|c|与4对应时，，得或。综上，C为(-3，0)、、（3分）。
（3）P(t，0)，Q(0，4-t)，Rt△OPQ的直角边为t与4-t。①，；②，。两解均在0＜t＜4内（3分）。
（4），顶点t＝2在0＜t＜4内，故t＝2时S最大＝2（2分）。
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