云南省普通高等学校面向中等职业学校毕业生招生考试〈2027届10月联考〉（数学）试卷

云南省普通高等学校面向中等职业学校毕业生招生考试 （2027届10月联考）数学试卷 满分：100分 考试时间：90分钟 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，满分45分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 3．已知角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 4．已知命题，命题，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知等边三角形的边长为2，则（ ） A． B． C． D． 6．函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 8．过点且与直线平行的直线方程是（ ） A． B． C． D． 9．圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 10．甲、乙两名同学各自从3道不同的题目中随机抽取一道作答，且每道题被抽到的机会均等，则两人抽到不同题目的概率是（ ） A． B． C． D． 11．下列函数图象中，表示偶函数的是（ ） A． B． C． D． 12．双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 13．已知等差数列中，，，则（ ） A．57 B．60 C．51 D．54 14．计算的值为（ ） A．6 B．10 C．5 D．12 15．已知是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ） A．6 B．4 C．2 D．9 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 16．已知函数，则________． 17．________． 18．已知表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________． 19．在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，则________． 20．已知等比数列中，，，则________． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，满分40分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．（本小题满分10分） （1）计算：； （2）已知，且是第二象限角，求与的值． 22．（本小题满分10分） 已知数列满足，． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式及前项和． 23．（本小题满分10分） 已知圆（如图1），直线． （1）求圆的圆心坐标与半径； （2）求直线被圆截得的弦长． 24．（本小题满分10分） 已知二次函数（如图2）． （1）求函数图象的顶点坐标与对称轴方程； （2）当时，求的最大值与最小值； （3）求不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省普通高等学校面向中等职业学校毕业生招生考试 〈2027届10月联考〉数学试卷参考答案及解析 全卷共 3 个大题、24 个小题，满分 100 分。 一、单项选择题（本大题共 15 小题，每小题 3 分，满分 45 分） 1．【答案】B 【解析】集合 与集合 的公共元素为 和 ，所以 ．故选 B． 2．【答案】D 【解析】要使函数有意义，需 且 ，即 且 ，所以定义域为 ．故选 D． 3．【答案】A 【解析】由 得 ，所以 ，，故 ．故选 A． 4．【答案】B 【解析】命题 即 ，其解集为 ；命题 的解集为 ．当 时必有 ，即 能推出 ，所以 是 的必要条件；而 满足 但不满足 ，所以 不是 的充分条件．故 是 的必要不充分条件．故选 B． 5．【答案】C 【解析】等边三角形 中， 与 的夹角为 ．由 ，得 ．故选 C． 6．【答案】C 【解析】函数 中 ，所以最小正周期 ．故选 C． 7．【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，即 ，解得 ．故选 A． 8．【答案】A 【解析】直线 的斜率为 ，所求直线与它平行，故斜率也为 ．由点斜式得 ，即 ，也就是 ．故选 A． 9．【答案】A 【解析】将方程配方得 ，所以圆心坐标为 ，半径为 ．故选 A． 10．【答案】B 【解析】甲、乙各抽一道，所有等可能结果共有 种；两人抽到不同题目的结果有 种，所以所求概率 ．故选 B． 11．【答案】C 【解析】偶函数的图像关于 轴对称．选项 A 的图像关于原点对称，是奇函数；选项 B、D 的图像既不关于 轴对称，也不关于原点对称；选项 C 的图像关于 轴对称，是偶函数．故选 C． 12．【答案】A 【解析】双曲线 中 ，，即 ，，所以渐近线方程为 ．故选 A． 13．【答案】A 【解析】设公差为 ，由 得 ，，所以 ，．于是 ．故选 A． 14．【答案】A 【解析】，，所以原式 ．故选 A． 15．【答案】A 【解析】设椭圆的长半轴长为 ，由 得 ，，故 ．由椭圆的定义 ，得 ．故选 A． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 16．【答案】 【解析】令 ，得 ，所以 ． 17．【答案】 【解析】原式 ． 18．【答案】 【解析】设正方体的棱长为 ，由表面积 得 ．正方体的体对角线就是其外接球的直径，即 ，所以 ．于是球的体积 ． 19．【答案】 【解析】由正弦定理 得 ． 20．【答案】 【解析】设公比为 ，由 得 ，即 ．所以 ． 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，满分 40 分） 21．【答案】(1) ；(2) ，． 【解析】(1) 因为 ，，，所以原式 ． (2) 因为 是第二象限角，所以 的值为负．由 得 ，． 22．【答案】(1) 证明见解析；(2) ，． 【解析】(1) 证明：由 得 ，所以 ，即比值为与 无关的常数 ．又 ，所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列． (2) 由(1)得 ，所以 ．于是 ，即 ．检验：当 时，，结果正确． 23．【答案】(1) 圆心为 ，半径为 ；(2) 弦长为 ． 【解析】(1) 将圆的方程配方：，即 ．所以圆心为 ，半径 ． (2) 圆心 到直线 的距离 ．由图1可见直线 与圆 相交，由 也可以判知相交，所以直线 被圆 截得的弦长为 ． 图1 24．【答案】(1) 顶点为 ，对称轴为 ；(2) 最大值为 ，最小值为 ；(3) ． 【解析】(1) ，由图2可见函数图像开口向上，顶点坐标为 ，对称轴方程为 ． (2) 函数图像的对称轴 在区间 内，所以最小值 ；又 ，，所以最大值 ． (3) 由 得 ，解得 小于 或 大于 ，所以不等式的解集为 ． 图2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $