4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等差数列的前n项和公式 第四章　4.2.2　等差数列的前n项和公式 <<< 第1课时 传说印度泰姬陵的陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(见右图)，奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 新课导入 1 2 3 21 想一想：图案中，第1层到第20层一共多少颗宝石？ 20 1+2+3+···+20   知识讲解 1 2 3 21 想一想：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？ 1+2+3+···+21   知识讲解 1 2 3 21 想一想：图案中，第1层到第n层一共多少颗宝石？ n 知识讲解 1 2 3 21 想一想：图案中，第1层到第n层一共多少颗宝石？ n 知识讲解 1 2 3 21 21 20 19 1 获得算法： 借助几何图形之直观性，把这个“三角形”倒置，与原图补成平行四边形. 想一想：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？ 知识讲解 ① 受此启发，我们得到下面的方法: ② 将上述两式相加，可得 倒序相加法 知识讲解 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d. 问题3 所以，等差数列{an}的前 n 项和公式为： Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋ ··· ＋ an Sn ＝ an ＋ an – 1 ＋ an – 2 ＋ ··· ＋ a1 ① ② 因为在等差数列{an}中，a1 ＋ an＝ a2 ＋ an – 1＝··· ＝an＋ a1， 所以，2Sn ＝(a1＋an) ＋ (a1 + an) ＋ ···＋ (a1 ＋an)＝n (a1＋an). 两式相加得：2Sn ＝(a1＋an) ＋ (a2 +an – 1)＋ ··· ＋ (an＋a1) 等差数列的前 n 项和公式 把等差数列的通项公式 an = a1 + (n – 1)d 代入上式，得： 如果等差数列{an}的首项a1，公差为d，那么该数列的前n项和公式为 知识讲解 　(课本例6)已知数列{an}是等差数列. (1)若a1=7，a50=101，求S50； 例 1   因为a1=7，a50=101，根据公式Sn=，可得 S50==2 700. 解： 因为a1=2，a2=，所以d=.根据公式Sn=na1+d，可得 S10=10×2+×=. 解： 11   把a1=，d=-，Sn=-5代入Sn=na1+d，得 -5=n+×. 整理，得n2-7n-60=0.解得n=12，或n=-5(舍去). 所以n=12. 解： 12 　在等差数列{an}中： (1)已知a6=10，S5=5，求a8和S10； 例 1 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定． 解得 ∴a8=a6+2d=10+2×3=16， S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85. 解 13 例题分析 例7 已知数列{an}是等差数列，若S10＝310，S20＝1220，求Sn. 书P21 解： 根据公式 ，得 解方程组得 所以 4a1+6d=6 8a1+28d=20 3. 在等差数列{an}中，已知S4=6，S8=20，求S16. 解： 根据公式 ，得 解方程组得 所以 书P22 练习 二 利用等差数列前n项和公式判断等差数列 问题4 将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？ 1°当A≠0（即d≠0）时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，即 Sn=An2+Bn，它的图像是抛物线y=Ax2+Bx上一群孤立的点. 2°当A=0（即d=0）时，Sn=na1，Sn是关于n的一次函数. A＞0 (d＞0)时，图像开口朝上，A<0 (d<0)时，图像开口朝下. 1. 性质1： 等差数列前n项和公式的函数特征： Sn= An2 + Bn 解法二： 练习 设 ，得 解方程组得 所以 S10=100A+10B=310 S20=400A+20B=1220 可以利用性质1 求解吗？ 书P21 例7 已知数列{an}是等差数列，若S10＝310，S20＝1220，求S30. 所以 　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 例 2 当n=1时，a1=S1=-1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5， 经检验，当n=1时，a1=-1满足上式， 故an=4n-5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4， 所以数列{an}是等差数列. 解 19 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列. 延伸探究1   ∵Sn=2n2-3n-1， ① 当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2； 当n≥2时，Sn-1=2-3-1， ② ①-②得an=Sn-Sn-1 =2n2-3n-1-[2-3-1] =4n-5， 经检验当n=1时，an=4n-5不成立， 故an= 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. 解： 20 2. 解： 书P24 练习     反 思 感 悟 22 等差数列中前n项和的最值问题 三 问题5 Sn= An2 + Bn 你能发现 Sn的最值情况吗？ 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最 值，使Sn取得最值的n可由不等式组__________ 确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最 值，使Sn取得最值的n可由不等式组_________ 确定. 大   小   知识梳理 (1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大值或最小值时的n不一定唯一. 注 意 点 <<< 26 　(课本例9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 例 3   方法一　由an+1-an=-2<0，得an+1<an，所以{an}是递减数列. 又由an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12，可知： 当n<6时，an>0； 当n=6时，an=0； 当n>6时，an<0. 所以S1<S2<…<S5=S6>S7>…. 也就是说，当n=5或6时，Sn最大. 因为S5=×[2×10+(5-1)×(-2)]=30，所以Sn的最大值为30. 解 27 　(课本例9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 例 3 (2)运用二次函数的性质求最值，注意n∈N*. 方法二　因为Sn=n2+n =-n2+11n=-+， 所以当n取与最接近的整数即5或6时，Sn最大，最大值为30. 解 28 　在等差数列{an}中，a1=25，S8=S18，求前n项和Sn的最大值. 例 3 方法一　因为S8=S18，a1=25， 所以8×25+d=18×25+d， 解得d=-2. 所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n =-(n-13)2+169. 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 解 29 　在等差数列{an}中，a1=25，S8=S18，求前n项和Sn的最大值. 例 3 方法二　同方法一，求出公差d=-2. 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. 因为a1=25>0， 由 又因为n∈N*， 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 解 30 　在等差数列{an}中，a1=25，S8=S18，求前n项和Sn的最大值. 例 3 方法三　因为S8=S18， 所以a9+a10+…+a18=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0. 所以当n=13时，Sn有最大值. 由a13+a14=0，得a1+12d+a1+13d=0， 解得d=-2， 所以S13=13×25+×(-2)=169， 所以Sn的最大值为169. 解 31 求数列{|an|}的前n项和 四 已知数列{an}的通项公式是an=4n-25，求数列{|an|}的前n项和Sn. 跟踪训练3 ∵an=4n-25， ∴an+1=4(n+1)-25，an+1-an=4， a1=4×1-25=-21， ∴数列{an}是以-21为首项，4为公差的等差数列. 由an≥0，得4n-25≥0，即n≥6， ∴数列{an}中前6项均小于零，从第7项起均大于零， ∴当n≤6时，|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+an) =-=-2n2+23n. 解 判断出哪些项为正，哪些项为负 33 当n≥7时，|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+a6)+(a7+a8+…+an) =(a1+a2+…+an)-2(a1+a2+…+a6) =-21n+×4-2× =2n2-23n+132. 故数列{|an|}的前n项和 Sn= 解 已知数列{an}的通项公式是an=4n-25，求数列{|an|}的前n项和Sn. 跟踪训练3     例 4 a1=S1=-×12+×1=101. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-3n +104. ∵n=1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104. 由an=-3n+104≥0得n≤34， 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. 解   35   例 4 方法一　①当n≤34时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n； ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an| =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an) =2S34-Sn 解 36   例 4 =2- =n2-n+3 502. 故Tn= 解 37 1.知识清单： (1)等差数列前n项和的有关计算. (2)利用等差数列前n项和公式判断等差数列. (3)等差数列中前n项和的最值问题. (4)含绝对值数列的前n项和. 2.方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法、函数法. 3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论. 课堂小结 $