备战2027年浙江中考数学一轮复习 第3讲 分式（讲义）

备战2027年浙江中考数学一轮复习 · 第3讲 分式 · 讲义 · 学生版 备战2027年浙江中考数学一轮复习 第一单元　数与式 第3讲　分式 学生版 班级：      　　姓名：      　　学号：       适用浙江全省统考　建议课时1课时　满分120分　考试时间120分钟 一、考点与配套练习对应表 讲义考点 核心内容 配套练习对应题号 考点1 分式的定义、分式有意义与无意义的条件 第1题、第11题、第20题 考点2 分式的基本性质、约分、通分、最简分式 第2题、第10题、第12题、第24题 考点3 分式的乘法、除法与乘方 第3题、第13题、第17题 考点4 同分母与异分母分式的加减 第4题、第7题、第14题、第19题、第23题 考点5 分式的化简求值、整体代入、分式表示实际量 第5题、第8题、第15题、第18题、第21题、第22题 考点6 分式值为零的条件、增根的成因与辨析 第6题、第9题、第16题、第20题、第24题 二、课标要求 1．了解分式的概念，能确定分式有意义、无意义以及分式值为零的条件。 2．理解分式的基本性质，能进行约分和通分，会把分式化为最简分式。 3．能进行简单的分式乘除运算和分式的乘方运算。 4．能进行简单的分式加减运算，掌握通分的方法。 5．能进行分式的化简求值，体会整体代入的思想方法。 6．了解分式方程增根的成因，能判断一个值是否为增根。 以上为依据义务教育数学课程标准2022年版数与式主题整理的要点，非逐字原文。 三、知识网络 分　式 概念 分式的定义、分母不为零、分子为零且分母不为零 基本性质 分子与分母同乘或同除以同一个不等于零的整式，分式的值不变 约分与通分 最简分式、最简公分母 乘除与乘方 分子乘分子、分母乘分母；除以一个分式等于乘它的倒数 加减 同分母直接加减，异分母先通分再加减 化简求值 先化简、后代值；条件多元时整体代入 四、考点梳理 考点1　分式的概念与有无意义 1．一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有   ，那么式子叫做分式。 2．分式有意义的条件是   ≠0；分式无意义的条件是   ＝0。 3．分式的值为零的条件是分子   ，且分母   。 考点2　分式的基本性质与约分通分 1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个     的整式，分式的值   。 2．把一个分式的分子与分母的     约去，叫做分式的约分，约分的结果应是最简分式或   。 3．把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的     的分式，叫做分式的通分，通分的关键是确定      。 4．最简公分母是各分母系数的     与所有字母（或因式）的     的积。 考点3　分式的乘除与乘方 1．·＝   。 2．÷＝      。 3．＝   ，n为正整数。 4．分式的乘除运算，能把分子分母分解因式的先     ，再约分，结果必须化为     。 考点4　分式的加减 1．同分母分式相加减：±＝   。 2．异分母分式相加减，先   化为     的分式，再按同分母的法则相加减。 3．分式加减的结果，能约分的要   ，必须化成     。 考点5　分式的化简求值 1．化简求值的一般步骤是先   、再   ，代入的值必须使原分式   。 2．条件中含多个字母时，常把所求式子变形后    代入，不必分别求出各字母的值。 3．化简的结果是分式时，代值前要先看   是否为零，防止代入使分式无意义的值。 考点6　分式值为零与增根辨析 1．分式的值为零，必须同时满足分子为   、分母   两个条件，缺一不可。 2．判断一个值是否使分式有意义，只需看它是否使   为零。 3．解分式方程时，去分母后所得整式方程的根，如果使原方程的分母为零，这个根叫做   ，必须   。 4．增根不是原方程的根，它产生的原因是去分母时两边同乘了一个     的整式。 五、典型例题 例1　分式有意义的条件 下列分式中，x取任意实数都有意义的是（　） A．　　B． C．　　D． 解析　分母为零时分式无意义，故题意要求分母恒不为零。≥1，对任意实数都大于零，A恒有意义；B在x＝1时无意义，C在x＝0时无意义，D在x＝1或x＝−1时无意义。故选A。 练一练1　若分式有意义，则x的取值范围是     。 例2　约分与最简分式 化简：。 解析　分子、分母先分解因式：分子＝(x＋2)(x−2)，分母＝，公因式是x−2。约去后得。约分约的是公因式，不能把分子分母中相同的项直接划掉；先分解再约，是分式约分的固定动作。 练一练2　化简：＝     。 例3　分式的乘除 计算：÷。 解析　除以一个分式等于乘它的倒数：原式＝·。先约去公因式a＋b，再把分母的ab与分子的约净，乘得a(a−b)，即−ab。乘除的关键是把除法转成乘法、把能分解的先分解，然后一次约净。 练一练3　计算：·＝     。 例4　异分母分式的加减 计算：−。 解析　分母−1可分解为(x＋1)(x−1)，最简公分母是(x＋1)(x−1)。通分得−，分子相减得x−1，与分母约去x−1，结果为。通分后能约分的必须约到最简，否则不算完成。 练一练4　计算：+＝     。 例5　分式的化简求值 先化简，再求值：÷，其中a＝3。 解析　先算括号内：＝；再把除法转成乘法，各分子分母分解后约分：·＝。当a＝3时，原式＝＝。化简必须做到最简再代值，中途代值一定算错。 练一练5　先化简，再求值：÷，其中a＝2。 例6　整体代入求值 已知a＋b＝3，ab＝1，求+的值。 解析　异分母相加先通分：+＝+＝。把a＋b＝3、ab＝1整体代入，得＝3。不必分别求出a、b，能把式子凑成已知的整块就整体代入。 练一练6　已知a＋b＝5，ab＝3，则+＝     。 例7　分式的值为零 若分式的值为零，则x的值是（　） A．3　　B．−3　　C．±3　　D．0 解析　分式值为零要同时满足两个条件：分子为零，且分母不为零。令分子−9＝0，得x＝±3；当x＝3时分母x−3＝0，分式无意义，必须舍去。故x＝−3，选B。只令分子为零就作答，是本题最常见的错。 练一练7　若分式的值为零，则x的值是     。 例8　增根的辨析 若关于x的方程+＝1有增根，则m的值是（　） A．−1　　B．1　　C．−3　　D．3 解析　增根是去分母后所得整式方程的根中，使原方程分母为零的那个根。最简公分母是x−3，令x−3＝0得x＝3，故增根只能是x＝3。先去分母：−＝1，两边同乘x−3得2−(x＋m)＝x−3，即2x＝5−m。把x＝3代入，6＝5−m，m＝−1。选A。 练一练8　若关于x的方程−＝2有增根，则m的值是     。 六、易错提醒 易错点 正确认识 判断是不是分式只看有没有分数线 关键看分母中是否含字母：是整式，是分式。 分式值为零只令分子为零 还须分母不为零。如值为零时x＝−3，不是±3。 约分时把分子分母中相同的项直接划掉 只能约公因式。要先把分子分解成(x＋1)(x−1)再约。 异分母加减不先通分，直接把分子相加 必须先通分，把分母化为最简公分母后再加减。 通分时只乘分母不乘分子 分子要乘同一个整式，否则分式的值被改变。 除法不转成乘法就约分 除以一个分式等于乘它的倒数，转化后再约分。 分式乘方只把分子乘方 ＝，分子分母都要乘方，系数也要乘方。 化简求值时先代值再算 先化简到最简再代值，且所代的值必须使原分式有意义。 把增根当作原方程的根保留 使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。 七、讲义同步练 限时20分钟　满分36分　本练与上面六个考点一一对应，错题按考点归档。 1．当x＝−2时，下列分式中有意义的是（　） A．　　B．　　C．　　D． 　 2．下列约分正确的是（　） A．＝　　B．＝0　　C．＝　　D．＝x−y 　 3．计算÷的结果是（　） A．　　B．　　C．　　D． 　 4．化简−的结果是（　） A．　　B．　　C．　　D．0 　 5．已知x＋y＝4，xy＝2，则+的值是（　） A．2　　B．4　　C．　　D．8 　 6．若分式的值为零，则x的值是（　） A．1　　B．−1　　C．±1　　D．0 　 7．若关于x的方程＝+1有增根，则m的值是（　） A．−3　　B．3　　C．−1　　D．1 　 8．若−＝2，则的值是（　） A．　　B．−　　C．4　　D．−4 　 9．若分式的值为零，则x＝     。 　 10．化简：＝     。 　 11．计算：·＝     。 　 12．计算：+＝     。 　 八、浙江中考命题透视 题位 考查内容 备考提示 2026年全卷 本讲未在解答题单独成题 2026年第17题位为实数计算，分式当年以工具形式出现 2025年解答第17题 分式化简求值　8分 该题位隔年轮考分式，2027年需重点准备 选择、填空 分式有意义的条件、值为零　3分 常与函数自变量取值范围合并考查 2026年浙江卷中，本讲没有在解答题里单独成题，第17题位考的是实数计算。但2025年同一个题位考的是分式化简求值，8分。题位是隔年轮换的，今年没考不等于明年不考；恰恰相反，分式化简求值一直是第17题最稳定的备选，属于必须练到不丢分的项目。 分式的分值还不止这一处。解分式方程要去分母，反比例函数的解析式是分式，锐角三角函数的运算结果也常是分式，这些内容都建立在本讲的约分、通分之上。学生在这些地方出错，追溯回去多半是通分时漏乘分子、约分时划错了项。 2027年备考定位：本讲求准，不求快。三条必须练成肌肉记忆：一是通分时分子必须同乘，二是约分前先把分子分母分解到底，三是代值前先看分母是否为零。把这三条守住，分式这一讲的分数就是稳拿的。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $备战2027年浙江中考数学一轮复习 · 第3讲 分式 · 讲义 · 教师版 备战2027年浙江中考数学一轮复习 第一单元　数与式 第3讲　分式 教师版 班级：      　　姓名：      　　学号：       适用浙江全省统考　建议课时1课时　满分120分　考试时间120分钟 一、考点与配套练习对应表 讲义考点 核心内容 配套练习对应题号 考点1 分式的定义、分式有意义与无意义的条件 第1题、第11题、第20题 考点2 分式的基本性质、约分、通分、最简分式 第2题、第10题、第12题、第24题 考点3 分式的乘法、除法与乘方 第3题、第13题、第17题 考点4 同分母与异分母分式的加减 第4题、第7题、第14题、第19题、第23题 考点5 分式的化简求值、整体代入、分式表示实际量 第5题、第8题、第15题、第18题、第21题、第22题 考点6 分式值为零的条件、增根的成因与辨析 第6题、第9题、第16题、第20题、第24题 二、课标要求 1．了解分式的概念，能确定分式有意义、无意义以及分式值为零的条件。 2．理解分式的基本性质，能进行约分和通分，会把分式化为最简分式。 3．能进行简单的分式乘除运算和分式的乘方运算。 4．能进行简单的分式加减运算，掌握通分的方法。 5．能进行分式的化简求值，体会整体代入的思想方法。 6．了解分式方程增根的成因，能判断一个值是否为增根。 以上为依据义务教育数学课程标准2022年版数与式主题整理的要点，非逐字原文。 三、知识网络 分　式 概念 分式的定义、分母不为零、分子为零且分母不为零 基本性质 分子与分母同乘或同除以同一个不等于零的整式，分式的值不变 约分与通分 最简分式、最简公分母 乘除与乘方 分子乘分子、分母乘分母；除以一个分式等于乘它的倒数 加减 同分母直接加减，异分母先通分再加减 化简求值 先化简、后代值；条件多元时整体代入 四、考点梳理 考点1　分式的概念与有无意义 1．一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 2．分式有意义的条件是分母≠0；分式无意义的条件是分母＝0。 3．分式的值为零的条件是分子等于零，且分母不等于零。 考点2　分式的基本性质与约分通分 1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 2．把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，约分的结果应是最简分式或整式。 3．把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，通分的关键是确定最简公分母。 4．最简公分母是各分母系数的最小公倍数与所有字母（或因式）的最高次幂的积。 考点3　分式的乘除与乘方 1．·＝。 2．÷＝·＝。 3．＝，n为正整数。 4．分式的乘除运算，能把分子分母分解因式的先分解因式，再约分，结果必须化为最简分式。 考点4　分式的加减 1．同分母分式相加减：±＝。 2．异分母分式相加减，先通分化为同分母的分式，再按同分母的法则相加减。 3．分式加减的结果，能约分的要约分，必须化成最简分式。 考点5　分式的化简求值 1．化简求值的一般步骤是先化简、再代值，代入的值必须使原分式有意义。 2．条件中含多个字母时，常把所求式子变形后整体代入，不必分别求出各字母的值。 3．化简的结果是分式时，代值前要先看分母是否为零，防止代入使分式无意义的值。 考点6　分式值为零与增根辨析 1．分式的值为零，必须同时满足分子为零、分母不为零两个条件，缺一不可。 2．判断一个值是否使分式有意义，只需看它是否使分母为零。 3．解分式方程时，去分母后所得整式方程的根，如果使原方程的分母为零，这个根叫做增根，必须舍去。 4．增根不是原方程的根，它产生的原因是去分母时两边同乘了一个值为零的整式。 五、典型例题 例1　分式有意义的条件 下列分式中，x取任意实数都有意义的是（　） A．　　B． C．　　D． 解析　分母为零时分式无意义，故题意要求分母恒不为零。≥1，对任意实数都大于零，A恒有意义；B在x＝1时无意义，C在x＝0时无意义，D在x＝1或x＝−1时无意义。故选A。 练一练1　若分式有意义，则x的取值范围是     。 例2　约分与最简分式 化简：。 解析　分子、分母先分解因式：分子＝(x＋2)(x−2)，分母＝，公因式是x−2。约去后得。约分约的是公因式，不能把分子分母中相同的项直接划掉；先分解再约，是分式约分的固定动作。 练一练2　化简：＝     。 例3　分式的乘除 计算：÷。 解析　除以一个分式等于乘它的倒数：原式＝·。先约去公因式a＋b，再把分母的ab与分子的约净，乘得a(a−b)，即−ab。乘除的关键是把除法转成乘法、把能分解的先分解，然后一次约净。 练一练3　计算：·＝     。 例4　异分母分式的加减 计算：−。 解析　分母−1可分解为(x＋1)(x−1)，最简公分母是(x＋1)(x−1)。通分得−，分子相减得x−1，与分母约去x−1，结果为。通分后能约分的必须约到最简，否则不算完成。 练一练4　计算：+＝     。 例5　分式的化简求值 先化简，再求值：÷，其中a＝3。 解析　先算括号内：＝；再把除法转成乘法，各分子分母分解后约分：·＝。当a＝3时，原式＝＝。化简必须做到最简再代值，中途代值一定算错。 练一练5　先化简，再求值：÷，其中a＝2。 例6　整体代入求值 已知a＋b＝3，ab＝1，求+的值。 解析　异分母相加先通分：+＝+＝。把a＋b＝3、ab＝1整体代入，得＝3。不必分别求出a、b，能把式子凑成已知的整块就整体代入。 练一练6　已知a＋b＝5，ab＝3，则+＝     。 例7　分式的值为零 若分式的值为零，则x的值是（　） A．3　　B．−3　　C．±3　　D．0 解析　分式值为零要同时满足两个条件：分子为零，且分母不为零。令分子−9＝0，得x＝±3；当x＝3时分母x−3＝0，分式无意义，必须舍去。故x＝−3，选B。只令分子为零就作答，是本题最常见的错。 练一练7　若分式的值为零，则x的值是     。 例8　增根的辨析 若关于x的方程+＝1有增根，则m的值是（　） A．−1　　B．1　　C．−3　　D．3 解析　增根是去分母后所得整式方程的根中，使原方程分母为零的那个根。最简公分母是x−3，令x−3＝0得x＝3，故增根只能是x＝3。先去分母：−＝1，两边同乘x−3得2−(x＋m)＝x−3，即2x＝5−m。把x＝3代入，6＝5−m，m＝−1。选A。 练一练8　若关于x的方程−＝2有增根，则m的值是     。 练一练答案　1．x≠−3　2．　3．　4．　5．　6．　7．1　8．0 六、易错提醒 易错点 正确认识 判断是不是分式只看有没有分数线 关键看分母中是否含字母：是整式，是分式。 分式值为零只令分子为零 还须分母不为零。如值为零时x＝−3，不是±3。 约分时把分子分母中相同的项直接划掉 只能约公因式。要先把分子分解成(x＋1)(x−1)再约。 异分母加减不先通分，直接把分子相加 必须先通分，把分母化为最简公分母后再加减。 通分时只乘分母不乘分子 分子要乘同一个整式，否则分式的值被改变。 除法不转成乘法就约分 除以一个分式等于乘它的倒数，转化后再约分。 分式乘方只把分子乘方 ＝，分子分母都要乘方，系数也要乘方。 化简求值时先代值再算 先化简到最简再代值，且所代的值必须使原分式有意义。 把增根当作原方程的根保留 使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。 七、讲义同步练 限时20分钟　满分36分　本练与上面六个考点一一对应，错题按考点归档。 1．当x＝−2时，下列分式中有意义的是（　） A．　　B．　　C．　　D． 答案　B　解析　把x＝−2代入分母：A与D的分母都是4−4＝0，C的分母是0，只有B的分母是8≠0。判断有无意义只看分母。 2．下列约分正确的是（　） A．＝　　B．＝0　　C．＝　　D．＝x−y 答案　C　解析　A应为；B应为1；D的分子分解后约去x−y，得x＋y；C把分子分母同除以公因式2，正确。 3．计算÷的结果是（　） A．　　B．　　C．　　D． 答案　A　解析　除以一个分式等于乘它的倒数：·＝。 4．化简−的结果是（　） A．　　B．　　C．　　D．0 答案　A　解析　最简公分母是−1，通分得＝。分子相减时注意后一项整体变号。 5．已知x＋y＝4，xy＝2，则+的值是（　） A．2　　B．4　　C．　　D．8 答案　A　解析　+＝＝＝2。通分后整体代入，不必求x、y各自的值。 6．若分式的值为零，则x的值是（　） A．1　　B．−1　　C．±1　　D．0 答案　B　解析　分子为零得x＝±1；x＝1时分母为0，分式无意义，舍去。故x＝−1。 7．若关于x的方程＝+1有增根，则m的值是（　） A．−3　　B．3　　C．−1　　D．1 答案　A　解析　先化为同分母：+＝1，去分母得3＋m＝x−2，即x＝m＋5。增根为x＝2，代入得m＝−3。 8．若−＝2，则的值是（　） A．　　B．−　　C．4　　D．−4 答案　A　解析　由−＝2得b−a＝2ab，即a−b＝−2ab。分子＝2(a−b)＋3ab＝−ab，分母＝(a−b)−2ab＝−4ab，故原式＝。 9．若分式的值为零，则x＝     。 答案　−1　解析　分子x＋1＝0得x＝−1，此时分母x−2＝−3≠0，符合条件。 10．化简：＝     。 答案　a−2　解析　分子是完全平方式，与分母约去a−2，得a−2。 11．计算：·＝     。 答案　　解析　分子乘分子、分母乘分母得，约去2ab，得。 12．计算：+＝     。 答案　1　解析　＝−，故原式＝＝1。异号分母先统一符号再相加。 八、浙江中考命题透视 题位 考查内容 备考提示 2026年全卷 本讲未在解答题单独成题 2026年第17题位为实数计算，分式当年以工具形式出现 2025年解答第17题 分式化简求值　8分 该题位隔年轮考分式，2027年需重点准备 选择、填空 分式有意义的条件、值为零　3分 常与函数自变量取值范围合并考查 2026年浙江卷中，本讲没有在解答题里单独成题，第17题位考的是实数计算。但2025年同一个题位考的是分式化简求值，8分。题位是隔年轮换的，今年没考不等于明年不考；恰恰相反，分式化简求值一直是第17题最稳定的备选，属于必须练到不丢分的项目。 分式的分值还不止这一处。解分式方程要去分母，反比例函数的解析式是分式，锐角三角函数的运算结果也常是分式，这些内容都建立在本讲的约分、通分之上。学生在这些地方出错，追溯回去多半是通分时漏乘分子、约分时划错了项。 2027年备考定位：本讲求准，不求快。三条必须练成肌肉记忆：一是通分时分子必须同乘，二是约分前先把分子分母分解到底，三是代值前先看分母是否为零。把这三条守住，分式这一讲的分数就是稳拿的。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $