第4章 平面直角坐标系（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材苏科版八年级上册

第4章 平面直角坐标系（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据各象限点的横坐标、纵坐标的符号特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，即可判断． 【详解】解：∵，， ∴点所在象限为第一象限． 2．如图是象棋棋盘的一部分，如果用坐标表示帅的位置，用坐标表示车的位置，那么坐标点表示的棋子是（    ） A．相 B．马 C．炮 D．兵 【答案】C 【分析】根据已知棋子帅的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，即可确定点表示的棋子． 【详解】解：帅的坐标为， 坐标原点位于帅的位置向左个单位，向上个单位处，如图， 点对应的棋子是炮． 3．根据下列表述，能确定具体位置的是（     ） A．万达影城1号厅6排 B．辽宁省锦州市 C．北纬，东经 D．南偏西 【答案】C 【分析】判断能否确定具体位置的核心是是否具备两个独立的定位数据． 【详解】解：A选项：仅给出万达影城1号厅6排，缺少座位号，无法确定具体位置， B选项：仅给出辽宁省锦州市，范围过大，无法确定具体位置， C选项：给出北纬、东经两个独立定位数据，可唯一确定具体位置， D选项：仅给出南偏西方向，缺少距离，无法确定具体位置． 4．如图，在直角坐标系中，是的角平分线，点的坐标是，，那么点到的距离是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】作交于点，根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，作交于点， 点的坐标是， ， 是的角平分线，，轴， ， 即点到的距离是． 5．已知坐标平面内的点，如果点A向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，那么平移后点A的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：∵点向左平移3个单位长度， ∴平移后点的横坐标为． ∵再向上平移4个单位长度， ∴平移后点的纵坐标为． ∴平移后点的坐标为． 6．若点在轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据轴上点的横坐标为0，求出m的值，再代入点的坐标，判断其所在象限 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点在第一象限． 7．如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，……依此规律跳动下去，点A第2026次跳动至的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形及已知点坐标，分别找出下标为奇数和偶数时点的坐标规律，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，，，，，， 归纳可得：当为正整数时，点的坐标为，点的坐标为， ， 点的坐标符合的规律，其中， 点的横坐标为，纵坐标为， 即 ． 8．重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三边中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点…“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有．如图，若，，，，以点A为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两个长方形的面积及各自的重心坐标，再代入公式求解即可． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，； ∴， ， ∴此“”形的重心坐标为． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若点在轴上，则的值为________． 【答案】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，列一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为， 即， 解得． 10．将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据点平移的规律：左右平移改变横坐标，右移横坐标加，上下平移改变纵坐标，下移纵坐标减，代入原坐标计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， ∴ 点的横坐标为，点的纵坐标为， 即得到的点的坐标为． 11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为． 与关于y轴对称，若与关于原点中心对称，是的对应点，则的坐标为___________． 【答案】 【分析】已知两个三角形关于y轴对称及原点中心对称，求对应点的坐标，直接利用y轴对称及原点中心对称的坐标性质求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于原点中心对称的两个对应点，横纵坐标均互为相反数， ∵与关于y轴对称，， ∴， ∵与关于原点中心对称，是的对应点， ∴的坐标为． 12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、．如果平面内有一点D，使得四边形关于直线成轴对称图形，那么满足条件的点D坐标为_________． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质，若两点关于直线对称，则两点的连线被直线垂直平分，即两点横坐标相等，纵坐标的平均值等于2．结合点A、B、C的坐标可确定对应点关系，进而计算出点D的坐标． 【详解】解： ∵点、的纵坐标均为2， ∴A、B两点都在对称轴上，其对称点为自身． ∵四边形关于直线成轴对称图形， ∴点C与点D为一组对称点． 已知点C的坐标为，根据对称点坐标规律：点D的横坐标与点C的横坐标相等，即； 设点D的纵坐标为，可得， 计算得， ∴点D的坐标为． 13．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，则表示棋子“馬”的点的坐标为__________ ． 【答案】 【分析】根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系，即可得出结果. 【详解】解：由题意，画出坐标系如下所示， 由图可知：表示棋子“馬”的点的坐标为. 14．如图，正方形的边长为，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标为 __________ ． 【答案】 【分析】根据轴得到点的坐标，再根据正方形得到轴，继而得到点的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴点的纵坐标相同，均为， ∵正方形边长，，在右侧， ∴， ∴， ∵正方形中轴，， ∴点和点横坐标相同为， ∴， ∴点的坐标为． 15．在平面直角坐标系中，已知点，，且直线轴，则线段的长为________． 【答案】 【分析】平行于轴的直线上的所有点的纵坐标相等，据此求出的值，得到点的坐标，计算两点的横坐标差的绝对值即可得到线段的长． 【详解】解：直线轴， 点与点的纵坐标相等， 即， 解得， ∴，即， 线段的长为． 16．如图，在平面直角坐标系中将点第1次水平向右跳动1个单位至点，第2次竖直向上跳动3个单位至点，第3次水平向右跳动2个单位至点，第4次竖直向下跳动1个单位至点，第5次又水平向右跳动1个单位，第6次竖直向上跳动3个单位，…，依此规律跳动下去，则点A第2026次跳动至点对应的坐标是__________ 【答案】 【分析】通过计算前几次跳动后点的坐标，发现每4次跳动为一个循环组，每组横坐标增加3，纵坐标增加2.利用的商和余数，结合初始点或第2次跳动后的点坐标进行计算即可． 【详解】解：由题意及图形可知，点的跳动规律如下： 第1次跳动至点，横坐标加1，纵坐标不变； 第2次跳动至点，横坐标不变，纵坐标加3； 第3次跳动至点，横坐标加2，纵坐标不变； 第4次跳动至点，横坐标不变，纵坐标减1； 第5次跳动至点，横坐标加1，纵坐标不变； 第6次跳动至点，横坐标不变，纵坐标加3； 每4次跳动为一个循环组，一个循环组内横坐标增加，纵坐标增加 点的坐标可由点的坐标经过506个循环组得到 点的横坐标为，点的纵坐标为 点对应的坐标是． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．如图，以学校为参照点，请用方位角和实际距离分别表示新华书店、少年宫和超市的位置． 【答案】 新华书店在学校北偏西方向，实际距离学校处； 少年宫在学校南偏西方向，实际距离学校处； 超市在学校北偏东方向，实际距离学校处． 【详解】解：新华书店在学校北偏西方向，实际距离学校处； 少年宫在学校南偏西方向，实际距离学校处； 超市在学校北偏东方向，实际距离学校处． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点、、的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求，由图可知，，，； (2) 【分析】（）根据轴对称的性质画出图形即可； （）利用割补法计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 19．我国海军某舰艇编队在某海域展开实兵对抗训练，红蓝双方的对阵情况如图所示（图中表示）．对红方潜艇来说： (1)北偏东方向上有哪些目标？要确定蓝方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离红方潜艇的蓝方战舰有哪几艘？ (3)要确定每艘蓝方战舰的位置，各需要几个数据？ 【答案】(1)蓝方战舰B和小岛；蓝方战舰B与红方潜艇的距离 (2)蓝方战舰A，蓝方战舰C (3)各需要两个数据：距离和方向角 【分析】（1）根据示意图即可得第一问的答案，根据确定位置需要距离和方向角可得第二问的答案； （2）根据示意图即可得答案； （3）根据确定位置需要距离和方向角可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵确定位置需要距离和方向角， ∴要确定每艘蓝方战舰的位置，各需要两个数据：距离和方向角． 20．在如图所示的直角坐标系中，A，B，C，D都是网格中的格点． (1)写出点B与点C的坐标； (2)求四边形的面积． (3)已知点P在y轴上，若．则点P的坐标为 ． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）根据图象直接读出点的坐标即可； （2）结合图象将四边形分成三个三角形和一个矩形求解即可； （3）根据图象得出，设点，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据图形得：； （2）如图所示： 四边形的面积为：； （3）解：根据图象得：， ∴， ∵点P在y轴上， ∴设点， ∵， ∴， 解得：， ∴点或． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，交轴于点． (1)求的面积； (2)是轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点的坐标； (3)是坐标平面内一点，若与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）利用三角形面积公式求解即可； （2）利用三角形面积公式列式得到，再分两种情况讨论求解即可； （3）画出图形，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得， 解得， ∵，， ∴点的坐标为或； （3）解：如图：或或， ∴点的坐标为或或． 22．在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若点满足轴，且，求点的坐标； (2)若点在轴正半轴上，且，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使的值最小？若存在，请直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据轴，设点坐标为，结合两点之间的距离列出等式求解即可； （2）结合题意设点的坐标为，过点作轴于点，连接和，利用割补法列出方程求解即可； （3）设直线的解析式为，利用待定系数法求得解析式，令解得，即可确定为点，使的值最小． 【详解】（1）解：∵点，轴， ∴设点坐标为， ， ，解得或， ∴点坐标为或； （2）解：∵点在轴正半轴上， ∴设点的坐标为， 过点作轴于点，连接和，如图， ∵点，点，， ∴， 则， ，解得或（舍去）， ∴点坐标为； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵点、 分别在轴两侧， ∴连接与轴的交点即为所求点， 令，解得， ∴， 则点的坐标是时，使的值最小． 23．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，，，将长方形沿折痕折叠，使点落在上的点处，点在边上． (1)直接写出点的坐标； (2)求的长； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意直接求解即可； （2）由折叠性质及勾股定理求解即可； （3）由折叠性质及勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， 点的坐标为； （2）解：将长方形沿折痕折叠，使点落在上的点处， ， 在中，，则由勾股定理可得； （3）解：由（2）知，则， 设，则， 将长方形沿折痕折叠，使点落在上的点处，点在边上， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， 解得， 点的坐标为． 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，其中点的坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)将先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到．画出，并写出的三个顶点的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)如图所示：，，， (3) 【分析】（1）根据点坐标，结合网格特征，即可得出答案； （2）根据图形平移的性质写出各点坐标即可； （3）用所在长方形的面积减去个小三角形的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵点坐标为， ∴点的坐标是，点的坐标是． （2）解：由（1）可知，， ∵将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到， ∴，，， 如图所示：略 （3）解：∵，，， ∴． 25．在平面直角坐标系中，已知，且、满足，点为轴上一点，点为轴上一点． (1)直接写出点的坐标； (2)如图1，若点，，连接、、，求的度数； (3)如图2，若，点与点关于轴对称，点在第四象限，且为等边三角形，连接，直线与直线交于点，与轴交于点，请找出线段、、之间数量关系并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)解：， 证明：为等边三角形， ，， 又点与点关于轴对称， ， ， ， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 在上取点P关于y轴的对称点G，连接，则， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可知，从而可以求出，即可得到点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，过点A作轴于D，得到，证明，得是等腰直角三角形，得，由此求出； （3）由为等边三角形，及点与点关于轴对称，推出，，设，则，得到，即，在上取点P关于y轴的对称点G，连接，则，证是等边三角形，得，，进而证明，得，由此得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 点的坐标为； （2）解：如下图所示，作点关于轴的对称点，过点A作轴于D， 则， ， 点，，， 点的坐标为，， ∴，， ∴， ， ， ∴， 是等腰直角三角形， ， ； （3）略 26．在平面直角坐标系中，已知，且，，为线段的中点． (1)直接写出的值． (2)如图1，把点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度至点，当点恰好落在射线上时，求的值． (3)如图2，点在经过点且平行于轴的直线上，设其横坐标为，连接，记的面积为，当时，求的取值范围． 参考公式：若两点，则线段中点坐标为． 【答案】(1)的值为4，的值为，的值为 (2)当点恰好落在射线上时，的值为 (3)的取值范围为或 【分析】（1）根据算术平方根、绝对值的非负性，结合条件、即可求出、、的值． （2）设点向右平移个单位长度后，再向上平移个单位长度至点时交轴于点，根据、、的值求出、、， 再根据为线段的中点，求出，根据题目的平移规则求出，即可得， ，再根据A、B坐标求出，即可得，进而得，据此列方程解出即可． （3）记经过点且平行于轴的直线与轴交于，由（2）得：，，，根据点在经过点且平行于轴的直线上，设其横坐标为，即可得，再求出当是的延长线与经过点且平行于轴的直线的交点时，，接着根据割补法分别求出当、、、、、、时，的面积为，再根据，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴的值为4，的值为，的值为． （2）解：如图1， 设点向右平移个单位长度后，再向上平移个单位长度至点时交轴于点， 由（1）得：的值为4，的值为，的值为， ∴，，， ∵为线段的中点， ∴即：， ∵点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度至点， ∴即：， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴当点恰好落在射线上时，的值为． （3）解：记经过点且平行于轴的直线与轴交于， 由（2）得：，，， ∵点在经过点且平行于轴的直线上，设其横坐标为， ∴， ①当时，如图2， 过作轴的垂线交于，过作轴的垂线交直线于，过作轴的垂线交于， ∵，，，， ∴，，， ∴，，，，， ∴ ∴， ∵的面积为，当， ∴，解得：，与矛盾，故此种情况舍去． ②当时，即与重合，如图3， 过作轴的垂线交于，过作轴的垂线交直线于，则： ，， ∴， ∵的面积为，且， ∴当时，符合题意． ③当时，如图4， 过作轴的垂线交于，过作轴的垂线交直线于，则： ，，，，，， ∴ ∴， ∵的面积为，且， ∴，解得：， ∴， ∴记的面积为，当时，的取值范围为． 综合②③得，记的面积为，当时，的取值范围为． ④当时，如图5， 过作轴的垂线交的延长线于，则：，， ∴，与的面积为，且矛盾，故此种情况舍去． ⑤当是的延长线与经过点且平行于轴的直线的交点时，如图6， 由（2）得：， ∴ ， ∴， ∴， ∵时，、、共线，构不成， ∴此种情况舍去． ⑥当时，如图7， 过作轴的垂线交轴于，过作轴的垂线交直线于，则: ，，，，， ∴ ∴， ∵的面积为，且， ∴，解得：，与矛盾，舍去． ⑦当时，如图8， 过作轴的垂线，再过作轴的垂线，两垂线交于，则: ∴，，，， ∴， ∴， ∵的面积为，且， ∴，解得：， ∴记的面积为，当时，的取值范围为． 综上所述，记的面积为，当时，的取值范围为或． 27．综合与实践：已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧过点作，且． (1)【操作填空】如图，当点在线段上时，过点作于：找出始终与相等的角是________，与相等的线段是________，与相等的线段是________； (2)【探索延伸】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点（点不与点重合），以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形． ①如图，当点的坐标为时，求点的坐标． ②如图，当点在上移动时，连接，交轴于点．求证：． ③点在射线上运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的面积是________． 【答案】(1)与相等的角是，与相等的线段是，与相等的线段是 (2)① ②证明：如图，作轴于点，则， 由（1）得， ， 在和中， ， ， ． ③当是等腰三角形时，直接写出的面积是或 【分析】（1）由与得，用证，把转移为，再由把转化为； （2）①过作轴的垂线构造直角三角形，用证，由、定出点的坐标； ②沿用同一对全等得，再证即可得证； ③设，把、分别放进以坐标轴为直角边的直角三角形，按三种等腰情形分别求出，再求面积． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵点在上， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∵， ∴． 即与相等的角是，与相等的线段是，与相等的线段是； （2）①解：，， ， ∵点的坐标为， ， 是等腰直角三角形， ，， 如图，作轴于，则， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． ③解：设（），则，． 由（2）②的证明得，． 当时，，此时在的下方，； 当时，，此时在的上方，． ∴恒有，点的坐标为． 过点作轴于点，则，，，． 在中，； 在中，． ∵，， ∴的面积为． 当时，，无解，该情形不存在； 当时，由解得， 此时的面积为； 当时，由解得， 此时的面积为． ∴的面积为或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章平面直角坐标系（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C & 0 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.2 10.(0,) 11.(2,-4) 12.(3,3) 13.(4,3) 14.(2,8) 15.6 16.(1517,1012) 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17. 新华书店在学校北偏西40°方向，实际距离学校800m处： 少年宫在学校南偏西20°方向，实际距离学校1600m处； 超市在学校北偏东60°方向，实际距离学校1100m处. 【详解】解：新华书店在学校北偏西40°方向，实际距离学校1.6×500=800m处： 少年宫在学校南偏西20°方向，实际距离学校3.2×500=1600m处： 超市在学校北偏东90°-30°=60°方向，实际距离学校2.2×500=1100m处.--3分 1/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(1)解：如图所示， △4BG即为所求，由图可知， 4(-3,-2）B(0,-4)C(1,-1) 5 …3分 43210 3 45 (2)5.5 解.S。4c=4×3二2X137 ×4x1-×3x2=55.-5分 2 19.(1)蓝方战舰B和小岛；蓝方战舰B与红方潜艇的距离一一2分 (2)蓝方战舰A,蓝方战舰C-4分 (3)各需要两个数据：距离和方向角5分 解：，确定位置需要距离和方向角， ∴要确定每艘蓝方战舰的位置，各需要两个数据：距离和方向角 20.(1)B(-2,3),C(3,5) (2)28 (3)点P(0,3)或(0，-3) 【详解】(1)解：根据图形得：B(-2,3),C3,5),-1分 (2)如图所示： 1 四边形BCD的面f积为：Hm+Sc+S,cm+S形a三)×2x3+x2x5+x2x5+5x3=28 2 2 2/18 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 B E 2 A H G -5-4-3-2-19 3分 2345 X 2 4 5 (3)解：根据图象得：AD=9,BH=3, AD.BH=1x9x3=27 :.Sm=2 2 2 ,点P在y轴上， 设点P(0y), S.AWD=S.APD 8m40-9x 27 2, 解得：y=+3 点P0,3)或(0，-3).--5分 21.)c=5 2)点P的坐标为 ,4或0,6) 3点E的坐标为4，-)或3或3,3) 【详解】(4解，5x3+2x6-)=5:1分 (2)解：由题意得2PDx4=2x5, 3/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 解得PD=5, .1-5=-4,1+5=6, 点P的坐标为0-4)(0,6) 或 3分 △ABE≌△ABC△BAE,≌△ABC△BAE,≌△ABC (3)解：如图： 或 或 3 点E的坐标为4，-或3，或3,3 ，5分 22.(1)点P坐标为(-8,2)或(2,2) R03) 3)存在，（-1,0) 【详解】(1)解：：点A-3,2),AP∥x轴， 设点P坐标为(x,2) PA=5, x-(-3)=5 解得=2或=-8 ∴.点P坐标为(-8,2)或(2,2)；-1分 4/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：点在y轴正半轴上， 设点Q的坐标为(0)， 过点B作BH1y轴于点H,连接AH和BH,如图， B HP 4-32，点0，-2》，5a=8 ,点 .S△MB0=S△AHe+S△HBe-S△ABH=8 则2×1y-(2x刘-31+分×y-(2x1-2×k1-2-28, y+2卡5，，y=3.y=-7 ,解得或 （舍去)， 点卫坐标为(0,3)；-3分 (3)解：设直线1B的解析式为'=+6(k≠0) 「-3k+b=2 [k=-1 则k+b=-2,解得b=-1, ∴，直线AB的解析式为y=-x-1, ,点A、B分别在x轴两侧， ∴.连接AB与x轴的交点即为所求点M, 令-x-1=0,解得x=-1, .M(-1,0). 则点M的坐标是(-L,O)时，使MA+MB的值最小 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-X-1 A ……6分 B 23.35) (2)12 B13,2.4) 【详解】(1)解：1(3,0)C(0,5) ∴.BA=OC=5,BC=OA=13, ·点B的坐标为 13,5) ;-2分 (2)解：：将长方形OABC沿折痕CD折叠，使点B落在OA上的点E处， ∴.CE=CB=13. 在Rt△COE中， ∠C0E=90心，0C=5,CE=13,则由勾股定理可得0E=VGE-0C=132-了-12 ;4分 (3)解：由(2)知0E=12,则EA=OA-0E=13-12=1. 设AD=x,则BD=AB-AD=5-x, :将长方形OABC沿折痕CD折叠，使点B落在OA上的点E处，点D在AB边上， :DE=DB=5-x, 在Rt△ADE中，∠DAE=90°，则由勾股定理可得AE2+AD2=DE2, 1+x2=(5-x 解得x=2.4, ·点D的坐标为 13,2.4) ---6分 24.(1)(2,-).(4,3) 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2,△A'Bc A(0,0)B'(2,4)C"(-1,3) 如图所示： (3)5 【详解】(1)解：：C点坐标为，2) 、点A的坐标是(2，-)，点B的坐标是(4,3).…-2分 (2)解：由(1)可知A(2,-),B(43), ,将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△AB'C, .A'0,0),B'(2,4),C(-1,3). △AB'C'如图所示：略 (3)解：·A(2-),B(4,3),C0,2). ÷m-3x4x32x413-5.-6分 25.(-2,4) (2)45° 【详解】(1)解：a=v6-4+4-h-2 「b-4≥0 4-b20, ∴.b-4=0 .b=4, 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a=Vb-4+V√4-b-2=-2 点4的坐标为24) ;-1分 (2)解：如下图所示，作点B关于x轴的对称点M,过点A作AD1y轴于D, 则∠BCO=∠MCO ∴.∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠MCO=∠ACM, “点4(-24).B(0,2).c60) 点M的坐标为0-2），0C=6 .AD=2,DM=6,OM=2. .AD=OM,DM =OC .△ADM≌AMOC(SAS) ∴.AM=MC,∠AMD=∠OCM ∴.∠AMC=∠AMD+∠DMC=∠OCM+∠DMC=90°， ∴△AMC是等腰直角三角形， .∴.∠ACM=45° .∠AC0+∠BC0=45°： B 3分 (3)(3)解：PC=PD+PE, 证明：ABCE为等边三角形， .BC=BE=CE,∠BEC=∠CBE=∠BCE=6O°， 又：点B与点D关于x轴对称， ∴.BC=CD, 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BC=CD=BE=CE, .∴∠CDE=∠CED 设∠BED=a,则∠CDE=∠CED=60°+a, .∠EBC+∠BCD=∠CDE+∠BED. .60°+∠BCD=60°+a+a, .∠BCD=2a,即∠BCO=a, 在OC上取点P关于y轴的对称点G,连接BG、BP,则BP=BG=PD, ·.∠DPG=∠BPG=∠BGP .BGI PD .∠GBE=∠BED=a, ∴.∠BGP=∠GBC+∠BCG=60°-a+a=60°， ∴.△BGP是等边三角形， .∠PBG=60°=∠EBC,PG=PB=PD, .∠PBE=∠GBC. 又BP=BG,BE=BC, △BPE≌△BGC(SAS) .PE=GC .PC=PG+GC=PD+PE y B G -6分 26.(1)a的值为4，b的值为4，c的值为-3 (2)当点E恰好落在射线BA上时，d的值为 (3)t的取值范围为-11≤t≤-10或-1≤t≤0 9/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：…v4-a+c+3=0 a=4,c=-3, b+2a=4, .b=4-2a=4, ∴.a的值为4，b的值为-4，C的值为-3.--2分 (2)解：如图1， B M 图1 设点D向右平移a(0<d<6)个单位长度后，再向上平移6-)个单位长度至点E时交‘轴于M点， 由(1)得：a的值为4，b的值为-4，c的值为-3， :0,4).B(-4,0)c0,-3) ,D为线段BC的中点， m2- :点D向右平移a(0<d<6)个单位长度，再向上平移6-)个单位长度至点E。 4(2d6-a2d号 &w-94,0M-2+4 ·B(-40)A0,4 ..OA=OB=4. ..MB=OM+OB=-2+d+4=2+d, :.∠OBA=∠OAB=45°， 10/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠MBE=∠MEB=45°， .ME =MB, 小号d=2+d,解得：d-号 4 5 当点E恰好落在射线BA上时，d的值为4.-5分 (3)解：记经过点D且平行于x轴的直线与y轴交于Q, 由(2)得： 2. A(0,4).B(-4,0) ,点F在经过点D且平行于x轴的直线上，设其横坐标为， ①当1>0时，如图2， G HD 图2 过B作x轴的垂线交DF于H,过A作y轴的垂线交直线BH于G,过F作x轴的垂线交AG于T, 2.F-引.4o.4到，840 4引.c4,,T化 r44,-,服-G=G=4A灯=4 :.S.aw-FH.TF-FH-BH-AG:BG-TAT-TF 2 S-+4-+4-8-1=2+n, :△ABF的面积为S,当9≤S≤11， 11/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .9≤2+11≤11，解得：-1≤1≤0，与>0矛盾，故此种情况舍去. ②当t=0时，即F与Q重合，如图3， V G 图3 过B作x轴的垂线交DF于H,过A作y轴的垂线交直线BH于G,则： 0B=4,AR=1 2, S.ABF 2AF-0B=1, ,△ABF的面积为S,且9≤S≤11， 当=0时， S.ABF =11 符合题意 ③当4<1<0时，如图4， G----1 B F HDO C 图4 过B作x轴的垂线交DF于H,过A作y轴的垂线交直线BH于G,则： F见=-4,0=4+311 22,BG=4G=4BH=,OH=4, Sw=40-0-5fmBm-340-PQ-54G-aG 8e=22+40+1-8=2+n ,△ABF的面积为S,且9≤S≤11， .9≤21+11≤11，解得：-1≤t≤0， .-1≤t<0, 12118 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴记△ABF的面积为S,当9≤S≤11时，t的取值范围为-1≤1<0 综合②③得，记△ABF的面积为S,当9≤S≤11时，t的取值范围为1≤1≤0. ④当1=-4时，如图5， G-- B FD 图5 过A作y轴的垂线交FB的延长线于G,则：BF= 2,AG=4: S.w-2FB.AG-1x3 4=3,与△ABF的面积为S,且9≤S≤11矛盾，故此种情况舍去. Γ221 ⑤当F是AB的延长线与经过点D且平行于x轴的直线的交点时，如图6， F D C 图6 由(2)得：∠0BA=∠0AB=45°， :.∠QFA=∠QAF=45°， :0r=04-, 、0 2’ 2时，A、B、F共线，构不成△ABF, 此种情况舍去。 11 ⑥当2<1<-4时，如图7， 13118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 图7 过F作x轴的垂线交x轴于R,过A作y轴的垂线交直线FR于S,则： 2:R=4-4,R= AS=-t,FS= :SR=4, w.SF-R.R(R+S)S 21 2 2 ∴8m=4-(4-0-441-024n. 2 ,△ABF的面积为S,且9≤S≤11， 9<21+1≤11解得：≤1≤0，与)<1<4矛盾，舍去， ⑦当1<-2时，如图8 P 图8 过F作轴的垂线，再过A作'轴的垂线，两垂线交于P,则：P,4) 六MP=0F=4:08=OM=4,00- ,40=PF=4 2’ .S.w-AQ.AP-1FP.AP-10.OB-(OB+OF)OQ 2 2 8m号+4-834音2a- 14118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△ABF的面积为S,且9≤S≤11， .9≤-21-11≤11，解得：-11≤t≤-10， ∴记△ABF的面积为S,当9≤S≤11时，t的取值范围为-11≤1≤-10 综上所述，记△ABF的面积为S,当9≤S≤11时，t的取值范围为-11≤t≤-10或-1≤≤0.-10分 27.(1)与∠E相等的角是∠DAC,与HA相等的线段是CD,与HC相等的线段是BD (2)① D(6,4②证明：如图2，作DF1y轴于点F,则∠A0E=∠DFE=90°， \B F 图2 由(1)得△DBF≌ABCO(AAS) ∴.FD=OB=OA, 在△AEO和△DEF中， ∠AEO=∠DEF ∠AOE=∠DFE FD=OA ∴△AEO≌DEF(AAS) .AE=DE ③当△ACD是等腰三角形时，直接写出△ACD的面积是72或288 【详解】(1)解：，AE⊥AD, ∴.∠EAD=90°」 ,点H在AC上， ∴.∠EAH+∠CAD=∠EAD=90° :EH⊥AC, .∠AHE=90° 在RtAAEH中，∠AEH+∠EAH=90°， 15118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AEH=∠CAD. 在△AEH和△DCA中， ∠AHE=∠DCA ∠AEH=∠CAD AE=DA △AEH≌△DAC(AAS) .AH=CD,∠E=∠DAC ..AC=CB. .HC=AC-AH=CB-CD=BD 即与∠E相等的角是∠DAC,与HA相等的线段是CD,与HC相等的线段是；--3分 (2)①解： A-6,0)B(0,6) ..0A=OB=6. :点C的坐标为 -2,0) .0C=2」 :△CBD是等腰直角三角形， ∠CBD=90°.DB=BC, 如图1，作DP⊥y轴于P,则∠DPB=∠BOC=90°， B D 图1 .∠CBO+∠DBP=∠CBO+∠BCO=90° ∴.∠DBP=∠BCO, 在△DBP和△BCO中， 「∠DBP=∠BCO ∠DPB=∠BOC DB=BC· 16118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.ADBP≌ABCO(AAS) ∴.PB=OC=2,PD=OB=6, ∴.OP=OB-PB=6-2=4, .D(6,4) @解：设4C=m(m>0),则4(-6,0)，C(m-60) 由(2)②的证明得BF=CO,DF=OB=6 当m≤6时，C0=6-m,此时PF在B的下方，0F=0B-BF=6-(6-侧=m 当m>6时，C0=m-6,此时F在B的上方，OF=OB+BF=6+(m-6)=m ∴恒有0F=4C=m,点D的坐标为6，） 过点D作DK⊥x轴于点K,则K(6,0),DK=OF=m,AK=A0+OK=12,CK=2-m 在RtAAKD中，AD2=AK2+DK2=144+m2: 在RtACKD中，CD2=CK2+DK2=(2-m}+m DK⊥AC,AC=DK=m, ∴.△ACD的面积为m2÷2. 当AC=AD时，m2=144+m2,无解，该情形不存在； 当AC=CD时，由m=(2-m+m解得m=12 此时△ACD的面积为12÷2=72； 当AD=CD时，由4+m=2-m+m解得m=24, 此时△ACD的面积为242÷2=288. .△ACD的面积为72或288. 17118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 外 B D -11分 18/18 第4章 平面直角坐标系（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图是象棋棋盘的一部分，如果用坐标表示帅的位置，用坐标表示车的位置，那么坐标点表示的棋子是（    ） A．相 B．马 C．炮 D．兵 3．根据下列表述，能确定具体位置的是（     ） A．万达影城1号厅6排 B．辽宁省锦州市 C．北纬，东经 D．南偏西 4．如图，在直角坐标系中，是的角平分线，点的坐标是，，那么点到的距离是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知坐标平面内的点，如果点A向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，那么平移后点A的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．若点在轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，……依此规律跳动下去，点A第2026次跳动至的坐标是（） A． B． C． D． 8．重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点…“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有．如图，若，，，，以点A为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（     ） A． B． C． D． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若点在轴上，则的值为________． 10．将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点的坐标为________． 11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为． 与关于y轴对称，若与关于原点中心对称，是的对应点，则的坐标为___________． 12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、．如果平面内有一点D，使得四边形关于直线成轴对称图形，那么满足条件的点D坐标为_________． 13．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，则表示棋子“馬”的点的坐标为__________ ． 14．如图，正方形的边长为，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标为 __________ ． 15．在平面直角坐标系中，已知点，，且直线轴，则线段的长为________． 16．如图，在平面直角坐标系中将点第1次水平向右跳动1个单位至点，第2次竖直向上跳动3个单位至点，第3次水平向右跳动2个单位至点，第4次竖直向下跳动1个单位至点，第5次又水平向右跳动1个单位，第6次竖直向上跳动3个单位，…，依此规律跳动下去，则点A第2026次跳动至点对应的坐标是__________ 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．如图，以学校为参照点，请用方位角和实际距离分别表示新华书店、少年宫和超市的位置． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点、、的坐标； (2)求的面积． 19．我国海军某舰艇编队在某海域展开实兵对抗训练，红蓝双方的对阵情况如图所示（图中表示）．对红方潜艇来说： (1)北偏东方向上有哪些目标？要确定蓝方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离红方潜艇的蓝方战舰有哪几艘？ (3)要确定每艘蓝方战舰的位置，各需要几个数据？ 20．在如图所示的直角坐标系中，A，B，C，D都是网格中的格点． (1)写出点B与点C的坐标； (2)求四边形的面积． (3)已知点P在y轴上，若．则点P的坐标为 ． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，交轴于点． (1)求的面积； (2)是轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点的坐标； (3)是坐标平面内一点，若与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 22．在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若点满足轴，且，求点的坐标； (2)若点在轴正半轴上，且，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使的值最小？若存在，请直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，，，将长方形沿折痕折叠，使点落在上的点处，点在边上． (1)直接写出点的坐标； (2)求的长； (3)求点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，其中点的坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)将先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到．画出，并写出的三个顶点的坐标． (3)求的面积． 25．在平面直角坐标系中，已知，且、满足，点为轴上一点，点为轴上一点． (1)直接写出点的坐标； (2)如图1，若点，，连接、、，求的度数； (3)如图2，若，点与点关于轴对称，点在第四象限，且为等边三角形，连接，直线与直线交于点，与轴交于点，请找出线段、、之间数量关系并证明你的结论． 26．在平面直角坐标系中，已知，且，，为线段的中点． (1)直接写出的值． (2)如图1，把点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度至点，当点恰好落在射线上时，求的值． (3)如图2，点在经过点且平行于轴的直线上，设其横坐标为，连接，记的面积为，当时，求的取值范围． 参考公式：若两点，则线段中点坐标为． 27．综合与实践：已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧过点作，且． (1)【操作填空】如图，当点在线段上时，过点作于：找出始终与相等的角是________，与相等的线段是________，与相等的线段是________； (2)【探索延伸】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点（点不与点重合），以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形． ①如图，当点的坐标为时，求点的坐标． ②如图，当点在上移动时，连接，交轴于点．求证：． ③点在射线上运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的面积是________． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $