第一部分 分类训练18 图形的相似（2025年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

分类训练18 图形的相似 考点1　比例线段 　　　　　　　 　　　　　　　 考向1　平行线分线段成比例 1.(2025乐山)如图,l1∥l2∥l3,AB=2,DE=3,BC=4,则EF的长为 (　　) A.4 B.6 C.8 D.10 (第1题)　　(第2题) 2.(2025青海)如图,在△ABC中,DE∥BC,且AD=3,DB=2,则的值是　　　　.  考向2　黄金分割 3.(2024德阳)宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.已知四边形ABCD是黄金矩形(AB<BC),点P是边AD上一点,则满足PB⊥PC的点P的个数为 (　　) A.3 B.2 C.1 D.0 4.(2024泸州)如图,把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点B'处,AB'交CD于点E,则sin∠DAE的值为 (　　) A. B. C. D. (第4题)　　(第5题)　　 5.(2024山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且AB∥NP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处,且=.若NP=2 cm,则BC的长为　　　　cm(结果保留根号).  考点2　相似图形 6.(2025广东)如图,把△AOB放大后得到△COD,则△AOB与△COD的相似比是　　　　.  (第6题) 　　(第7题) 7.(2025甘肃)“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”风筝古称纸鸢,起源于春秋战国时期,风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录.为丰富校园生活,某校开展风筝制作活动,小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝,风筝的形状如图所示,其中对角线AC⊥BD.已知大、小风筝的对应边之比为3∶1.如果小风筝两条对角线的长分别为30 cm和35 cm,那么大风筝两条对角线长的和为　　　　cm.  考点3　相似三角形的判定与性质 考向1　“A”字型 8.(2025云南)如图,在△ABC中,已知D,E分别是AB,AC边上的点,且DE∥BC.若=,则= (　　) A. B. C. D. (第8题)　　(第9题)　　(第10题) 9.(2025河北)如图,在五边形ABCDE中,AE∥BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是 (　　) A.∠B+∠4=180° B.CD∥AB C.∠1=∠4　　 D.∠2=∠3 10.新课标开放性试题　(2024滨州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.添加条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是　　　　.(写出一种情况即可)  考向2　“8”字型 11.新课标跨学科试题　(2025内江)阿基米德曾说过:“给我一个支点,我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理:通过调整支点位置和力臂长度,用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲,这是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,另一端就会撬动石头.如图乙所示,动力臂OA=150 cm,阻力臂OB=50 cm,BD=20 cm,则AC的长度是 (　　) A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm 12.(2025威海)如图,△ABC的中线BE,CD交于点F,连接DE.下列结论错误的是 (　　) A.S△DEF=S△BCF B.S△ADE=S四边形BCED C.S△DBF=S△BCF D.S△ADC=S△AEB 　　　　　(第12题)　　　(第13题) 考向3　“一线三等角”型 13.(2025陕西)如图,正方形ABCD的边长为4,点E为AB的中点,点F在AD上,EF⊥EC,则△CEF的面积为(　　) A.10 B.8 C.5 D.4 14.(2025苏州)如图,在△ABC中,AC=3,BC=2,∠C=60°,D是线段BC上一点(不与端点B,C重合),连接AD,以AD为边,在AD的右侧作等边三角形ADE,线段DE与线段AC交于点F,则线段CF长度的最大值为　　　　.  　　　　(第14题)　(第15题)　 考向4　其他类型 15.(2025贵州)如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=2∶1,若DF=2,则AC的长为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 16.(2024连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为 (　　) A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 17.(2025连云港)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,AD平分∠CAB,BE⊥AD,E为垂足,则的值为 (　　) A.2 B. C. D. (第17题)　　　(第18题) 考点4　相似三角形的实际应用 18.新课标跨学科试题　(2024扬州)物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图,燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'.设AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A'B'的距离为　　　　cm.  19.新课标项目式学习　(2025河南)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位,革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动,记录如下. 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图 和测量 示意图 测量说明 如图,纪念碑AB位于有台阶的平台BC上,太阳光下,其顶端A的影子落在点D处,同一时刻,竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处,位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N,点N,E,A在一条直线上,纪念碑底部点B在观测者的水平视线上. 测量数据 DE=2.1 m, DF=2.1 m, DM=1 m,MN=1.2 m. 备注 点F,M,D,C在同一水平线上. 根据以上信息,解决下列问题. (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等,可得CD=CA,请说明理由. (2)求纪念碑AB的高度. (3)小红通过间接测量得到CD的长,进而求出纪念碑AB的高度约为18.5 m.查阅资料得知,纪念碑的实际高度为19.64 m.请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大?并分析误差较大的可能原因(写出一条即可). 20.(2024泰安)综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识,某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动. 【探究发现】 (1)同学们对一张矩形纸片进行折叠,如图(1),把矩形纸片ABCD翻折,使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上,折痕为EF,将纸片展平,连接BG.EF与BG相交于点H.同学们发现图形中四条线段成比例,即=,请你判断同学们的发现是否正确,并说明理由. 【拓展延伸】 (2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究,如图(2),BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线,同学们将该平行四边形纸片翻折,使点A的对应点G.点C的对应点H都落在对角线BD上,折痕分别是BE和DF.将纸片展平,连接EG,FH,FG.同学们探究后发现,若FG∥CD,则点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”,即BG2=BD·GD.请你判断同学们的发现是否正确,并说明理由. 21.(2024江西)综合与实践 如图,在Rt△ABC中,点D是斜边AB上的动点(点D与点A不重合),连接CD,以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE,∠DCE=90°,连接BE,==m. 【特例感知】 (1)如图(1),当m=1时,BE与AD之间的位置关系是　　　　　,数量关系是　　　　　.  【类比迁移】 (2)如图(2),当m≠1时,猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系,并证明猜想. 【拓展应用】 (3)在(1)的条件下,点F与点C关于DE对称,连接DF,EF,BF,如图(3).已知AC=6,设AD=x,四边形CDFE的面积为y. ①求y与x的函数表达式,并求出y的最小值; ②当BF=2时,请直接写出AD的长度. 　 图(1)　　　　　图(2)　　　　图(3) 22.新考法结合6等分点　(2025广安)已知△ABC的面积是1. (1)如图(1),若D,E分别是边BC和AC的中点,AD与BE相交于点F,则四边形CDFE的面积为　　　　;  (2)如图(2),若M,N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点,AM与BN相交于点G,则四边形CMGN的面积为　　　　.  图(1)　　　　　　图(2) 23.新考法几何与函数结合　(2025连云港)一块直角三角形木板,它的一条直角边BC长2 m,面积为1.5 m2. (1)甲、乙两人分别按图(1)、图(2)用它设计一个正方形桌面,请说明哪个正方形面积较大. (2)丙、丁两人分别按图(3)、图(4)用它设计一个长方形桌面.请分别求出图(3)、图(4)中长方形的面积y(m2)与DE的长x(m)之间的函数表达式,并分别求出面积的最大值. 图(1)　　　　　　　　　图(2) 图(3)　　　　　　　　　图(4) 分类训练18图形的相似 1 B　2 　3 D　4 A　 5 (-1) 【解析】在正方形MNPQ中,AN∥BP.又∵AB∥NP,∴四边形ABPN是平行四边形,∴AB=NP=2,∴BC=AB=-1. 6 1∶3　 7 195 【解析】大风筝两条对角线长的和是(30+35)×3=195(cm). 8 A　∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC(点拨:“A”字型相似),∴==.故选A. 要点归纳 ◀ ◀ ◀ 相似 模型 图示 “A” 字型 若DE∥BC,则△ADE∽△ABC. 若∠1=∠2,则△ADE∽△ABC. “8” 字型 若DE∥BC,则△ADE∽△ABC. 若∠B=∠D,则△ADE∽△ABC. 双垂 直型 △ADE∽△ABC. 一线 三等 角型 若∠1=∠2=∠3,则△ABC∽△CDE. 9 D　若△MAE∽△DCN,则∠CDN=∠AME,∴CD∥BM(点拨:逆推找条件).当CD∥BM时,结合AE∥BC,可得△DCN∽△MBN∽△MAE(点拨:验证“当CD∥BM时,△MAE∽△DCN”).可知选项A,C均可推出CD∥BM,选项B中的CD∥AB即为CD∥BM,故添加选项A,B,C中的一个条件后,均能判定△MAE∽△DCN.故选D. 10 ∠ADE=∠C(答案不唯一) 11 B　易证△AOC∽△BOD,∴=,即=,∴AC=60,∴AC的长度为60 cm. 12 B 13 C　 本题可利用“一线三直角”相似模型快速找到解题突破点: ∵E为AB的中点,∴AE=BE=2,∴CE==2.∵∠A=∠FEC=90°,∴∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠BEC=90°,∴∠AFE=∠BEC.又∠A=∠B=90°,∴△AEF∽△BCE(点拨:“一线三直角”相似模型),∴=,即=,∴EF=,∴S△CEF=EF·EC=××2=5.故选C. 14 如图,延长CB至点M,使CM=AC=3,连接AM,则△ACM是等边三角形,∴∠M=60°,AM=AC=3.设CD=x,则MD=3-x.∵△ADE是等边三角形,∴∠ADE=60°,∴∠1+∠2=120°.∵∠C=60°,∴∠3+∠2=120°,∴∠1=∠3.又∠M=∠C,∴△MAD∽△CDF(模型:“一线三等角”模型),∴=,∴CF===-(x-)2+,∴当x=时,CF最大,为. 15 C　∵△ABC∽△DEF,∴==.∵DF=2,∴=,∴AC=4. 16 D 17 A　如图,延长BE交AC的延长线于点F.∵AD平分∠CAB,∴∠FAE=∠BAE.又∵AE⊥BF,∴∠ABF=∠F,∴AF=AB,∴BE=EF(点拨:见角平分线+垂直,考虑“三线合一”).易证△ACD∽△BCF,∴==,∴===2.故选A. 18 20 【解析】由题意得,AB∥ A'B',∴△AOB∽△A'OB'(点拨:“8”字型相似),过点O作AB的垂线,交AB于点C,交A'B'于点C',则OC'⊥A'B'.易得=,即=,∴OC'=20,故小孔O到A'B'的距离为20 cm. 19 (1)∵太阳光线是平行光线,∴∠EFD=∠ADC. 又∠EDF=∠ACD=90°,∴△EFD∽△ADC, ∴=. ∵DF=DE,∴CD=CA. (2)记NB与DE的交点为P. 由题意知PN=DM=1,DP=BC=MN=1.2,BN=CM, PE=DE-DP=2.1-1.2=0.9. 设AB=x,则CD=CA=AB+BC=x+1.2, ∴BN=CM=CD+DM=x+1.2+1=x+2.2. 在Rt△PNE中,tan∠PNE===0.9. 在Rt△BNA中,∵tan∠BNA==0.9, ∴AB=0.9BN,∴x=0.9(x+2.2), 解得x=19.8. 答:纪念碑AB的高度约为19.8 m. (3)小红的结果误差较大.原因可能是平台底部点C不可直接到达,间接测量时产生了较大误差.(注:答案不唯一,合理即可) 20 (1)正确. 理由:如图,过点E作EM⊥BC于点M. ∵EF⊥BG,∴∠BHF=90°, ∴∠FBH+∠BFH=90°. ∵∠EMF=90°,∴∠MEF+∠BFH=90°, ∴∠FBH=∠MEF. 又∵∠EMF=∠C=90°, ∴△EMF∽△BCG, ∴=. ∵∠A=∠ABM=∠BME=90°, ∴四边形ABME是矩形,∴AB=EM, ∴=. (2)正确. 理由:∵CD∥FG, ∴△BCD∽△BFG,∠CDF=∠DFG, ∴=. 由折叠知∠CDF=∠BDF,∴∠DFG=∠BDF, ∴GD=GF,∴=. 又∵BG=AB=CD, ∴=, ∴BG2=BD·GD,点G为BD的一个“黄金分割点”. 21 (1)BE⊥AD　BE=AD(或填“垂直”“相等”) (2)BE⊥AD,BE=mAD. 证明:∵∠ACB=90°,∠DCE=90°, ∴∠ACD=∠BCE. 又∵=, ∴△BCE∽△ACD, ∴==m,∠EBC=∠DAC, ∴BE=mAD. ∵∠BAC+∠ABC=90°, ∴∠EBC+∠ABC=90°, 即∠ABE=90°, ∴BE⊥AD. (3)①方法一:由(1)知,当m=1时,BE=AD=x,BE⊥AD, CB=CA=6,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°, ∴AB===6, ∴BD=AB-AD=6-x, ∴DE2=BE2+BD2=x2+(6-x)2=2x2-12x+72. ∵点C与点F关于DE对称, ∴CD=CE=EF=DF, ∴四边形CDFE是正方形, ∴y=DE2=x2-6x+36, ∴y=(x-3)2+18, ∴当x=3时,y的最小值为18. 图(1) 方法二:如图(1),过点D作DG⊥AC于点G, ∴∠DGA=90°. ∵在Rt△ABC和Rt△CDE中, ==1, ∴CD=CE,CB=CA, ∴∠A=45°, ∴DG=AG=AD=x. ∵点C与点F关于DE对称, ∴CD=CE=EF=DF, ∴四边形CDFE是正方形. 在Rt△CDG中,CD2=CG2+DG2, ∴CD2=(6-x)2+(x)2, ∴y=x2-6x+36, ∴y=(x-3)2+18, ∴当x=3时,y的最小值为18. 方法三:如图(2),过点C作CG⊥AB于点G. ∵在Rt△ABC和Rt△CDE中,==1, ∴CD=CE,CB=CA, 图(2) ∴∠A=45°, ∴CG=AG=AC=3, ∴DG=3-x或DG=x-3. ∵点C与点F关于DE对称, ∴CD=CE=EF=DF, ∴四边形CDFE是正方形. 在Rt△CGD中,CD2=CG2+DG2, ∴CD2=(3-x)2+(3)2, ∴y=x2-6x+36, ∴y=(x-3)2+18, ∴当x=3时,y的最小值为18. ②2或4. 解法提示: 方法一:如图(3),过点C作CG⊥AB于点G,连接CF, 则△CBG和△CFD都是等腰直角三角形, ∴==,∠BCG=∠FCD=45°, ∴∠FCB=∠DCG, ∴△CFB∽△CDG, ∴=, ∴=, ∴x=2. 图(3)　　图(4) 如图(4),同理可得=, ∴=, ∴x=4, 综上,AD=2或4. 方法二:如图(5),连接CF交DE于点O,连接OB. ∵△CDE是等腰直角三角形,点C与点F关于DE对称, ∴CD=CE=FE=FD, ∴四边形CDFE是正方形, ∴OF=OC=OD. ∵∠CBE=∠CAD=45°,∠CBA=45°, ∴∠EBA=90°. ∵点O是DE的中点, ∴OB=OD, ∴OB=OC=OD=OF, ∴点B,C,D,F在以O为圆心,OB的长为半径的圆上, ∴∠CBF+∠CDF=180°. ∵∠CDF=90°, ∴∠CBF=90°. ∵BC=AC=6,BF=2, ∴CF===2, ∴y=2×2×=20, ∴x2-6x+36=20, ∴x1=2,x2=4, 即AD=2或4. 图(5)　　图(6) 方法三:如图(6),过点C作CG⊥AB于点G,连接CF交DE于点O,连接OB. ∵△CDE是等腰直角三角形,点C与点F关于DE对称, ∴CD=CE=FE=FD, ∴四边形CDFE是正方形, ∴OF=OC=OD. ∵∠CBE=∠CAD=45°,∠CBA=45°, ∴∠EBA=90°. ∵点O是DE的中点, ∴OB=OD, ∴OB=OC=OD=OF, ∴点B,C,D,F在以O为圆心,OB的长为半径的圆上, ∴∠CBF+∠CDF=180°. ∵∠CDF=90°, ∴∠CBF=90°. ∵BC=AC=6,BF=2, ∴CF===2, ∴CD=2. ∵AC=6, ∴CG=AG=3, ∴DG2=CD2-CG2=(2)2-(3)2=2, ∴DG=, ∴AD=AG-DG=2. 如图(7),同理可得AD=AG+DG=3+=4, 图(7) 综上,AD=2或4. 22 (1)　(2) 【解析】(1)连接DE,如图(1),∵D,E分别是边BC和AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB,DE=AB,∴△CDE∽△CBA,∴=()2=.∵△ABC的面积是1,∴S△CDE=.∵D是BC的中点,∴S△BDE=S△CDE=.∵DE∥AB,∴△DEF∽△ABF,∴==,∴BF=2EF,∴BE=BF+EF=3EF,∴==,∴S△DEF=,∴S四边形CDFE=S△DEF+S△CDE=+=.(2)如图(2),连接MN.∵M,N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点,∴CM=BC,CN=AC,∴==.又∵∠C=∠C,∴△CMN∽△CBA,∴=()2=,==,∠CMN=∠CBA,∴MN∥AB.∵△ABC的面积是1,∴S△CMN=.∵M是BC上靠近点C的6等分点,∴=5,∴==5,∴S△BMN=.∵MN∥AB,∴△MNG∽△ABG,∴==,∴BG=6NG,∴BN=BG+NG=7NG,∴==,∴S△MNG=,∴S四边形CMGN=S△MNG+S△CMN=+=. 图(1)　　　　　　　　　　图(2) 23 由BC=2 m,面积为1.5 m2,得AC=1.5 m,AB=2.5 m. (1)设正方形的边长为x m, 由题图(1)知,Rt△ADE∽Rt△ACB, 得=,即=,解得x=. 由题图(2)知,Rt△DEC∽Rt△ABC, 得==,即=, 所以DC=x,所以AD=AC-DC=-x, 由Rt△ADG∽Rt△ABC,得=,得=, 解得x=. 因为>,所以题图(1)中正方形面积较大. (2)在题图(3)中,由Rt△ADE∽Rt△ACB, 得==,所以AD=x,所以DC=AC-AD=, 所以y=DE·DC=x×=x(2-x)=-(x-1)2+. 当x=1时,长方形的面积有最大值,为 m2. 在题图(4)中,由Rt△DEC∽Rt△ABC,得==, 所以DC=x,所以DA=AC-DC=-x. 由Rt△ADG∽Rt△ABC,得==,所以DG=DA=(-x), 所以y=DE·DG=x×(-x)=-(x-)2+, 当x=时,长方形的面积有最大值,为 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $