弹簧连接体“分离—离墙”临界与能量分析问题链设计-2027届高考物理二轮复习

弹簧连接体“分离—离墙”临界与能量分析问题链设计 例1．如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量） （1）求B、C向左移动的最大距离和B、C分离时B的动能； （2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值； （3）若三物块都停止时B、C间的距离为，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与的大小； （4）若，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。 递进式问题链 第一层：受力与运动性质判断 (1)施加恒力的瞬间，判断是否保持静止，并说明理由；同时判断、能否被推动，写出推动条件。 (2)、向左运动过程中，弹簧处于什么状态？写出、整体所受合力随弹簧压缩量的表达式，并判断、做何种运动。 (3)求、向左运动过程中动能最大时弹簧的压缩量（用、、表示）。要求用两种方法：方法一利用简谐运动对称性，方法二利用功能关系。 (4)求、向左移动的最大距离，并说明与的关系。 第二层：分离特征与能量 (5)判断、在何处分离，分离时弹簧处于什么状态，并说明判断依据。 (6)从最大压缩到分离，以、和弹簧为系统，写出能量守恒方程（标注编号），并求分离时的动能。 第三层：A离墙的临界条件 (7)离开墙壁的条件是什么？此时弹簧处于什么状态？写出弹簧伸长量满足的方程。 (8)若刚要离开墙壁时的速度恰好为零，对从分离到该位置写出能量守恒方程（标注编号），并说明该条件对应恒力的最小值还是最大值。 (9)联立第(6)(8)问，列出求的关键方程（不必求解），并结合推动条件说明应取哪个根。 第四层：撤去恒力后的运动与图像 (10)撤去恒力后，弹簧仍处于压缩状态。定性判断：在弹簧恢复原长前，、是否会分离？说明理由。 (11)若，求撤去恒力瞬间弹簧的压缩量，并求此时的加速度（规定向右为正）。 (12)在情形下，写出弹簧恢复原长前的加速度随其向右位移的关系式；求弹簧恢复原长瞬间的加速度；并求分离后的加速度。 (13)在情形下，求从撤去恒力到停止运动的总位移，并在坐标系中画出向右运动过程中随变化的图像，标出关键点的坐标。 第五层：功与能量关系的比较 (14)若三物块都停止时、间的距离为，从、分离到停止运动，克服弹簧弹力做的功为。分别对、写动能定理方程，通过推导比较与的大小。 试卷第10页（共4页） 2 学科网（北京）股份有限公司 问题链答案 (1)思维引导：施加恒力瞬间弹簧尚未形变，弹力为零。A水平方向只受墙壁支持力和可能的地面摩擦力，无离墙趋势，保持静止。B、C整体受恒力F向左、摩擦力2f向右，需F>2f才能推动。 核心方程： A静止：弹簧弹力为零，墙壁支持力为零，A无运动趋势。 B、C推动条件： 最终结果：A保持静止；B、C能被推动的条件为 (2)思维引导：B、C向左运动压缩弹簧，弹簧处于压缩状态。对B、C整体受力分析：恒力F向左，弹簧弹力kx向右，摩擦力2f向右。 核心方程： 合力（向左为正）： 合力随x增大而线性减小，B、C先做加速度减小的加速运动，合力为零后做加速度增大的减速运动，整体为简谐运动的一部分。 最终结果：弹簧处于压缩状态； B、C做简谐运动（先加速后减速）。 (3)思维引导：动能最大处合力为零，即平衡位置。方法一：简谐运动以平衡位置为中心对称；方法二：功能关系求极值。 核心方程（方法一）： 平衡位置： B、C从原长由静止释放，到速度为零的最大位移，平衡位置为中点： 核心方程（方法二）： 从原长到用动能定理： 对关于配方或求导，最大值在 最终结果： (4)思维引导：从原长到最大位移，速度为零，用功能关系。 核心方程： 最终结果： 由第(3)问简谐运动对称性， (5)思维引导：B、C紧靠在一起运动，二者是否分离，取决于它们之间是否还存在相互作用的弹力。分离的临界特征是：二者之间没有相互作用力，且分离瞬间二者加速度仍然相同（此后加速度才不同）。以此两个条件对B、C分别受力分析，联立判断分离位置及弹簧状态。 核心方程： 设弹簧压缩量为（压缩为正），B、C之间作用力为。对C： 对B： 分离条件一：B、C之间无相互作用力， 分离条件二：分离瞬间二者加速度仍相同，即(1)(2)中的相等。将代入(1)(2)： 由(4)(5)得 即弹簧恢复原长、弹力为零时，B、C之间作用力恰好减为零，二者加速度仍同为 （方向向左，减速），此后弹簧被拉伸，B受向左拉力，加速度与C不同，二者分离。 最终结果： B、C在弹簧恢复原长处分离。分离时弹簧处于原长状态，弹力为零；分离瞬间B、C之间无相互作用力，且二者加速度仍相同，均为 此后弹簧被拉伸，B受向左弹力，加速度改变，B、C分离。 (6)思维引导：从最大压缩到分离（原长），弹簧弹性势能全部释放，转化为B、C的动能和克服摩擦力做功。 核心方程： 代入： 最终结果： (7)思维引导：A离开墙壁需要弹簧由压缩变为伸长，弹簧对A向右的拉力达到最大静摩擦力。 核心方程： 最终结果：A离开墙壁的条件是弹簧处于伸长状态，伸长量 (8)思维引导：A刚要离墙时B速度恰好为零，对应恒力最小值。对B从分离到该位置用能量守恒：初动能，末动能为零，弹簧弹性势能增加，克服摩擦力做功。 核心方程： 代入： 最终结果：该条件对应恒力的最小值；B需满足 (9)思维引导：联立第(6)问表达式与第(8)问临界值。 核心方程： 整理： 最终结果：关键方程为 解得 结合推动条件，取 (10)思维引导：撤去恒力后弹簧仍压缩，对B有向右推力，B推C一起向右。只要弹簧压缩，B对C有向右推力，二者不分离。 核心方程： 弹簧恢复原长前： 最终结果：弹簧恢复原长前B、C不会分离，因为B对C始终有向右推力。 (11)思维引导：，由第(4)问求撤去恒力瞬间压缩量。撤去瞬间B、C速度为零，弹簧弹力向右，摩擦力向左。 核心方程： 撤去瞬间对B、C整体： 最终结果： （方向向右） (12)思维引导：以撤去恒力位置为原点、向右为正，设C向右位移，弹簧压缩量为。对B、C整体用牛顿第二定律。 核心方程： 恢复原长前： 代入： 恢复原长瞬间： 分离后C仅受摩擦力： 最终结果： 恢复原长瞬间 分离后 (13)思维引导：从撤去恒力到分离用动能定理求分离速度，分离后C用动能定理求减速位移。 核心方程： 撤去恒力到分离： 代入： 分离后C： 总位移： 最终结果：C停止于 图像为： ：直线 从到； ：水平线 (14)思维引导：分离后B先向右再被弹簧拉回向左，路程大于C的位移与之差。分别对B、C写动能定理。 核心方程： 对B： 对C： 由(1)(2)： 运动关系： 最终结果： 练习1．如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止．现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动．已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内．（弹簧的弹性势能可表示为：Ep＝kx2，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量） （1）求B、C向左移动的最大距离x0和B、C分离时B的动能Ek； （2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值Fmin； （3）若三物块都停止时B、C间的距离为xBC，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与fxBC的大小； 练习2．如图所示，三个可视作质点的小物块A、B、C放置在水平地面上，质量关系为，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为。（弹簧的弹性势能可表示为：，为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量） (1)求B、C向左移动的最大距离和B、C分离时B的动能； (2)为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值； (3)若三物块都停止时B、C间的距离为，从B、C分离到B、C均停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为，通过推导比较与的大小。 练习题参考答案 例1．（1）；；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中，以B、C和弹簧为研究对象，由功能关系得 弹簧恢复原长时B、C分离，从弹簧最短到B、C分离，以B、C和弹簧为研究对象，由能量守恒得 联立，解得， （2）当A刚要离开墙时，设弹簧的伸长量为，以A为研究对象，由平衡条件得 若A刚要离开墙壁时B的速度恰好等于零，这种情况下恒力为最小值，从弹簧恢复原长到A刚要离开墙的过程中，以B和弹簧为研究对象，由能量守恒得 结合第（1）问结果可知 根据题意舍去 所以恒力的最小值为 （3）从B、C分离到B停止运动，设B的路程为，C的位移为，以B为研究对象，由动能定理得 以C为研究对象，由动能定理得 由B、C得运动关系得 联立，解得 （4）小物块B、C向左运动过程中，由动能定理得 解得撤去恒力瞬间弹簧弹力为 则坐标原点的加速度为 之后C开始向右运动过程（B、C系统未脱离弹簧）加速度为 可知加速度随位移为线性关系，随着弹簧逐渐恢复原长，减小，减小，弹簧恢复原长时，B和C分离，之后C只受地面的滑动摩擦力，加速度为 负号表示C的加速度方向水平向左；从撤去恒力之后到弹簧恢复原长，以B、C为研究对象，由动能定理得 脱离弹簧瞬间后C速度为，之后C受到滑动摩擦力减速至0，由能量守恒得 解得脱离弹簧后，C运动的距离为 则C最后停止的位移为 图像如图所示 练习1．（1）；；（2）；（3） 【详解】（1）从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中，以B、C和弹簧为研究对象，由功能关系得 弹簧恢复原长时B、C分离，从弹簧最短到B、C分离，以B、C和弹簧为研究对象，由能量守恒定律得 联立方程解得 （2）当A刚要离开墙时，设弹簧的伸长量为x，以A为研究对象，由平衡条件得 若A刚要离开墙壁时B的速度恰好等于零，这种情况下恒力为最小值Fmin，从弹簧恢复原长到A刚要离开墙的过程中，以B和弹簧为研究对象， 由能量守恒定律得 结合第（1）问结果可知 要确保能推动BC，应有 故舍去 所以恒力的最小值为 （3）从B、C分离到三物块都停止，设B的路程为xB，C的位移为xC，以B为研究对象， 由动能定理得 以C为研究对象，由动能定理得 由B、C的运动关系得 联立可知 练习2．(1)， (2) (3) 【详解】（1）设A、B、C的滑动摩擦力为、、，从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中，以B、C和弹簧为研究对象，有 解得 弹簧恢复原长时B、C分离，从弹簧最短到B、C分离，以B、C和弹簧为研究对象有 解得 （2）当A刚要离开墙时，设弹簧的伸长量为，以为研究对象，由平衡条件得 若A刚要离开墙壁时B的速度恰好等于零，这种情况下恒力为最小值，从弹簧恢复原长到A刚要离开墙的过程中，以B和弹簧为研究对象，有 结合第（1）问的结果求得， 要确保开始能推动BC，应有 故舍去，所以恒力的最小值为 （3）从B、C分离到三物块都停止，设B的路程为，的位移为，以B为研究对象，有 以C为研究对象，有 由B、C的运动关系得 联立有 可知 $