万有引力应用及球内空腔构建稳恒力场递进式问题链 专项训练 -2027届高考物理二轮复习

万有引力及球内空腔稳恒力场问题链 模型一：球外情形（） 情境：物体在地球表面或外部高空，地球质量可视为集中于地心。 （1）求地球北极表面的重力加速度。 （2）若已知地球质量为，引力常量为，能否求出地球的平均密度？ （3）若北极重力加速度为，赤道重力加速度为（），求地球自转角速度。 （4）一颗卫星在半径为（）的圆轨道上运行，求其角速度。 模型二：球内情形（） 情境：物体进入地球内部，只有半径以内的球体质量对其产生引力（外层球壳引力相互抵消）。 （5）当物体距地心为（）时，对它有引力作用的那部分地球质量是多少？ （6）此时物体所受万有引力多大？ （7）忽略地球自转，物体距地心多大时，重力加速度变为地表的一半（即）？ （8）地球内部引力有何显著特征？ （9）类比弹簧，物体在地球内部运动时，其等效劲度系数为多大？ 模型三：球内挖去空腔（补偿法） 情境：地球内部有一个半径为的球形空腔，空腔球心距地心的距离为（且(d+R1<R），空腔完全在地球内部）。 （10）质量为的物体放在空腔内某点，它受到的万有引力还能直接用计算吗？如果不能，应用什么方法？ （11）设物体在空腔内某点，距地心为，距空腔球心为。分别写出完整地球对物体的引力和空腔部分对物体的引力的表达式（要求用形式推导），它们是否有共同系数？ （12）利用矢量关系（其中，，），求实际引力，并说明其结果有何特征。 （13）小球从空腔内某点由静止释放，它将做什么运动？加速度多大？ （14）若小球从空腔中离地心最远点由静止释放，运动到离地心最近点，求最大速度。 例题：均匀球体及球内空腔的重力场 某小行星可视为密度为、半径为的均匀球体。已知引力常量为，均匀球壳对位于壳内质点的万有引力为零。忽略小行星自转的影响。 （1）【对应模型一：球外情形】求小行星表面的重力加速度大小。 （2）【对应模型二：球内情形】若小行星内有一质点，其与球心相距（），求该质点所在处的重力加速度大小，并说明随变化的规律。 （3）【对应模型三：球内挖去空腔】如图乙所示，若在该小行星内部挖去一个球形空腔，空腔半径为，空腔球心与小行星球心的距离为，且。求空腔内任意一点的重力加速度的大小与方向（大小用表示）。 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 （1）答案： 在北极，万有引力全部提供重力： （2）答案： 可以。由且，联立得： （3）答案： 赤道上物体随地球自转，万有引力提供重力和向心力： 又，代入得： （4）答案： 万有引力提供向心力： 又，所以： （5）答案： 假设地球密度均匀，质量与体积成正比： （6）答案： 将视为集中于地心的质点，由万有引力公式： 又，所以： （7）答案： 内部重力加速度。令： （8）答案： · 引力大小（与距地心距离成正比）； · 引力方向始终指向地心； · 在球心处（），引力为零。 （9）答案： 由与胡克定律对比（对应）： （10）答案： 不能，因为质量分布不再具有球对称性。 应采用补偿法（填补法）： 1. 先假设空腔被填满，计算完整地球对物体的引力； 2. 再计算被挖去的“空腔球体”对物体的引力； 3. 实际引力为两者矢量差： （11）答案： 完整地球对物体的引力（只考虑半径以内的质量）： 有效质量： 引力（方向指向地心，即与方向相反）： 空腔部分对物体的引力（只考虑半径以内的空腔质量）： 空腔总质量： 空腔中对物体有引力作用的有效质量： 引力（方向指向空腔球心，即与方向相反）： 共同系数：两者都有共同系数。 （12）答案： 实际引力： 又，代入得： 特征： · 这是一个恒力（与物体在空腔内的位置无关）； · 方向：沿方向，即从空腔球心指向地心（注意：这个方向不一定沿径向指向地心，而是固定的方向）； · 大小：，与空腔半径无关； · 共同系数：。 （13）答案： 因为空腔内物体所受合力为恒力（大小、方向都不变），所以小球做匀加速直线运动，加速度： 方向沿（从空腔球心指向地心），大小： （14）答案： 恒力做功： 其中位移（空腔直径），， 又，所以： 总结：三个模型的统一线索 模型 有效质量 引力表达式 结论 球外（） 与成反比 球内（） 与成正比（简谐运动） 球内空腔 完整球减空腔 恒力（匀加速运动） 例题答案 （1）【模型一：球外情形】 小行星质量。 表面处万有引力等于重力： 所以 答案： （2）【模型二：球内情形】 距球心处的质点只受半径以内球体质量的引力，外层球壳对壳内质点引力为零。 半径以内的质量： 该部分质量对质点的引力提供该处的“重力”： 所以 规律：，即球内重力加速度大小与到球心的距离成正比；在球心处，。 答案： 且随线性增大，方向始终指向球心。 （3）【模型三：球内挖去空腔】 采用补偿法（叠加法）。 设空腔内任意一点为，令 第一步：完整球在点产生的重力加速度 由第（2）问结论， 方向由指向球心。 第二步：被挖去的空腔球体在点产生的重力加速度 空腔球体密度也为，其对点的引力等效于半径以内质量的作用： 方向由指向空腔球心。 第三步：实际重力加速度为两者矢量差 由于 且 所以 即 特征： · 大小： · 方向：沿方向，即由空腔球心指向小行星球心； · 与空腔内点的位置无关，空腔内为匀强引力场（恒力场）。 答案： 方向沿（由空腔球心指向小行星球心），空腔内各处重力加速度大小相等、方向相同。 $