3.3 利用导数研究函数的极值、最值专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题3.3　利用导数研究函数的极值、最值

1.（2027届广东肇庆高二下期期中）已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（ ）

A．在区间上单调递减    B．当时取得最大值

C．在区间上单调递增    D．当时取得极小值

2.函数 的极值点是 ，函数 的极值点 （填“存在”或“不存在”）．

3.（2027届四川成都高二下期期末）函数的最小值为________.

4.设函数有极值，则实数a的取值范围是（）

A．    B．

C．    D．

5.某箱子的容积与底面边长的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（ ）

A．30    B．40    C．50    D．以上都不对

序号	错误类型	错因诊断
1	将极值与最值混为一谈	概念理解不透彻
2	将极值点视为导函数零点	对极值点概念理解不够
3	求解最值时未考虑端点	求解步骤不充分掌握
4	含参问题存在遗漏	分类逻辑不够清晰

5

未考虑实际问题条件

审题不够清晰

纠正一  将极值与最值混为一谈

【错因解读】错误的主要原因是由于对极值与最值的定义理解不清

【典例1】已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（ ）

A．在区间上单调递减    B．当时取得最大值

C．在区间上单调递增    D．当时取得极小值

【解析导引】当时，，所以在和上单调递增，故A错误；

当时，，所以在和上单调递减，故C错误；

所以当和3时，取得极大值，

（易错提示：极大值并不一定是最大值）

又与的大小未知，故无法判断最大值，

当时，取得极小值，故B错误，D正确．

【补救措施】出现错误的原因是对极值与最值的概念理解不透彻．在解题时要注意极值是局部的，最值是整体的；最值不一定是极值，若函数 在区间 上只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.

【再练一个】（2026届广东广州高三下期期中）

1．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ）

A．为函数的一个零点

B．函数在区间上单调递减

C．为函数的一个极大值点

D．是函数的最大值

纠正二  将极值点视为导函数零点

【错因解读】错认为函数的极值点就是其导函数的零点，对极值点的理解不透彻．

【典例2】函数 的极值点是 ，函数 的极值点 （填“存在”或“不存在”）．

【解析导引】结合函数图象可知 的极值点是 ．

(易错提示：极值点处必须为导函数的变号零点，必须在定义域内）

因为 ，所以无变号零点，所以函数 不存在极值点．

【补救措施】可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，异号

【再练一个】

2．若是函数的极值点，则的值为（   ）

A． B．3 C．或3 D．或2

纠正三  求解最值时未考虑端点

【错因解读】确定函数单调区间后单纯只认为极小值点在区间内，而忽视函数的整体图象．

【典例3】函数的最小值为________.

【解析导引】函数，

则，

令，得或（舍），

当时，，则函数单调递减，

当时，，则函数单调递增，

则当时，函数有极小值，即最小值为.

【补救措施】函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；函数的最值必在极值点或区间端点处取得．