4.3整式·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题03 整式 培优进阶讲义 浙教版七年级上册　第4章　代数式 一、本讲题型目录 题型 题型名称 考查核心（知识点） 考频 对应集训 一 整式的识别 单项式、多项式、整式的界限 高频 1—2 二 单项式的系数与次数 系数含符号、次数为指数和 高频 3—6 三 多项式的项、项数与次数 几次几项式、常数项、项系数 高频 7—9 四 由概念求字母的值 把「几次几项」翻译成式子 中频 10—11 五 结论开放性问题 按条件凑次数、项数与系数 中频 12 六 整式中的规律探究 符号、系数、指数三条线 高频 13—15 二、核心知识速记 表1　整式家族的边界：谁是谁，谁都不是 式子 它是什么 判断理由 单项式 数与字母的积 单项式 单独一个数也是单项式 单项式 单独一个字母也是单项式 多项式 几个单项式的和 多项式 分母是数字 2，本质是 乘 ，仍是和 都不是 分母含字母，不是整式 都不是 分母含字母，不是整式 都不是 字母在根号里，不是整式 一句话记牢：分母里有没有字母是分水岭——分母是数字，照旧是整式；分母含字母，直接出局。 表2　单项式的系数与次数速查（易错点全在这里） 单项式 系数 次数 关键提示 常规情形：系数 3，次数 2＋1 系数 1 省略不写，但被问就要答 1 系数 −1 省略，别答「没有系数」 是数字，不是字母，不算进次数 先算 ，系数是 −8 不是 −2 次数＝所有字母指数之和：2＋3 0 也是单项式，系数与次数都为 0 口诀：系数看数字（带符号、带 π），次数看字母（全加起来）。 表3　多项式必答的五个问题（以 为例） 问什么 怎么找 这道题的答案 有几项 连着符号一起拆，拆成几个单项式 、、，共 三项 是几次 各项次数中最大的那个 三项次数为 3、1、0，故是三次 常数项 不带字母的那一项（带符号） 某项的系数 该项的数字因数（带符号） 一次项 的系数是 各项系数和 所有项的系数相加（常数项也算） 「几次几项式」的读法：先数次、再数项，如「三次三项式」＝最高次项三次、一共三项。 【即时小练】　3 道基础题　限时 5 分钟　（答案见附录） 1．下列各式中，是单项式的有＿＿＿＿（填序号）：① 　② 　③ 　④ 　⑤ 答：＿＿＿＿＿＿ 2． 的系数是＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿。 答：＿＿＿＿＿＿ 3．多项式 是＿＿次＿＿项式，常数项是＿＿＿＿。 答：＿＿＿＿＿＿ 三、题型精讲 📌　题型一：整式的识别 🔍 考查核心：分清单项式、多项式、整式与非整式的界限。考频：高频，选择、填空为主。 📝 解题三步模板 第 1 步　看是不是积：数与字母的积、或单独一个数 / 一个字母 → 单项式。 第 2 步　看是不是和：几个单项式相加 → 多项式；单项式与多项式合称整式。 第 3 步　看分母：分母含字母（）或字母在根号里（）→ 都不是整式。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：把 当成「不是整式」。分母是数字 2，它仍是多项式。 · 陷阱二：漏掉单独一个数或字母——、、 都是单项式。 📖 典例精讲 【题目】下列各式中：① 　② 　③ 　④ 　⑤ 　⑥ 　⑦ 　⑧ (1) 单项式有哪些？(2) 多项式有哪些？(3) 整式有哪些？ 👉 思路点拨：先扫一遍分母有没有字母，把 ②⑦ 挑出去，剩下的再按「积还是和」分类。 ✍️ 规范解析：② 的分母含字母、⑦ 的字母在根号里，这两个都不是整式，先排除。【得分点：排除 ②⑦】 (1) ① 是 ，属数与字母的积；④ 、⑤ 、⑧ 同理，都是单项式。【得分点：④ 单独一个数也算，漏答常见】 (2) ③ 是两个单项式的和，⑥ 的分母是数字 2，本质仍是和——所以多项式是 ③⑥。【得分点：⑥ 判对是本题分水岭】 (3) 整式＝单项式＋多项式，即 ①③④⑤⑥⑧。【得分点：不能把 ②⑦ 算进去】 ✅ 标准答案：(1) ①④⑤⑧；(2) ③⑥；(3) ①③④⑤⑥⑧。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　指出下列各式是单项式、多项式，还是都不是：、、、、。 变式2【能力提升】　在 、、、、、 中，整式的个数是（　　） A．2 个　　　B．3 个　　　C．4 个　　　D．5 个 变式3【培优压轴】　判断 与 哪一个是单项式，并说明理由；再总结「分母是数字」与「分母含字母」的区别。 【教师提示 · 讲评建议】 建议 6 分钟。让学生先用笔圈出所有分母，把含字母的划掉，剩下的再分「积 / 和」，正确率能提一大截。 是重点，学生凭「有分数线」就判它不是整式。追问一句「除以 2 是不是除以字母」，问题就破了。 变式 2 用排除法讲最快：三个分母含字母的一划，答案自己就出来了。 📌　题型二：单项式的系数与次数 🔍 考查核心：找系数（数字因数）与次数（字母指数之和）。考频：高频，几乎每卷必考。 📝 解题三步模板 第 1 步　定系数：把字母全部去掉，剩下的数字因数就是系数（符号、 都算在里面）。 第 2 步　定次数：把所有字母的指数加起来，与系数无关。 第 3 步　查三处：系数是不是 1 或 ？有没有 ？有没有 这种要先算的乘方？ ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一： 的系数写成 1。 是数字，系数就是 ，次数只有 2。 · 陷阱二： 的系数写成 。先算 ，系数是 。 📖 典例精讲 【题目】指出下列单项式的系数和次数： (1) 　　(2) 　　(3) 　　(4) 👉 思路点拨：把字母遮住，剩下的就是系数；把系数遮住，字母的指数加起来就是次数——遮两次，答案就出来了。 ✍️ 规范解析：(1) 系数 ，次数 。【得分点：次数是字母指数之和，不是最大指数】 (2) 系数 1，次数 1。【得分点：系数 1 省略不写，但被问要答 1，不能答「没有」】 (3) 系数 ，次数 3。【得分点： 是数字，计入系数、不计入次数】 (4) 系数 ，次数 。【得分点：先算 ，符号跟着 走】 ✅ 标准答案：(1) 系数 ，次数 3；(2) 系数 1，次数 1；(3) 系数 ，次数 3；(4) 系数 ，次数 3。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　 的系数是＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿。 变式2【能力提升】　已知单项式 的系数是 ，次数是 ，求 的值。 变式3【培优压轴】　已知 是关于 、、 的五次单项式，求 的值。 【教师提示 · 讲评建议】 建议 7 分钟。这是本章失分最集中的一课，四个小题分别对应四类易错，建议逐个板演。 那问必须停一下：问全班「 是字母还是数？」学生答「数」之后，系数是 就顺理成章。 变式 2 的符号是隐形杀手，很多学生算出 ，看起来对，其实是碰巧——要让他们把 写出来。 📌　题型三：多项式的项、项数与次数 🔍 考查核心：读出一个多项式是几次几项式、常数项、某项系数。考频：高频，选择、填空必考。 📝 解题三步模板 第 1 步　连符号拆项：把多项式拆成几个带符号的单项式，一项一项写出来。 第 2 步　数次取最大：算出每一项的次数，最大的那个就是多项式的次数。 第 3 步　数项看个数：拆出几项就是几项式；不带字母的那项是常数项。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：拆项时把符号丢掉， 写成 ，系数就全错了。 · 陷阱二：把「几次」当成本项次数相加，或只看第一项的次数。 📖 典例精讲 【题目】对于多项式 ： (1) 它是几次几项式？(2) 最高次项是什么？(3) 常数项是什么？(4) 一次项的系数是多少？ 👉 思路点拨：先连着符号把三项拆出来写成一行：、、，后面几个问题全都看这一行。 ✍️ 规范解析：(1) 三项的次数分别是 3、1、0，最大是 3，所以是三次三项式。【得分点：次数看最高项，项数看个数】 (2) 最高次项是 。【得分点：要写全，含系数】 (3) 常数项是 1。【得分点：不带字母那一项，别把系数 3 当常数项】 (4) 一次项是 ，系数是 。【得分点：连着符号，答 2 不得分】 ✅ 标准答案：(1) 三次三项式；(2) ；(3) ；(4) 。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　多项式 是＿＿次＿＿项式，常数项是＿＿＿＿。 变式2【能力提升】　多项式 的各项分别是＿＿＿＿＿＿，各项系数的和是＿＿＿＿。 变式3【培优压轴】　对于多项式 ： (1) 它是几次几项式？(2) 一次项的系数是多少？(3) 各项系数和是多少？ 【教师提示 · 讲评建议】 建议 8 分钟。「连符号拆项」这一动作要当堂训练：让全班把三项拆出来写在草稿纸上，再回答后面的问题。 「几次」与「几项」混淆是主要失分点，板书时把两个词并排写，中间画一条竖线分开。 变式 3 是开放题，答案不唯一，可让两名学生上黑板各写一个，全班一起按四条逐条验收。 📌　题型四：由概念求字母的值 🔍 考查核心：把「几次几项」翻译成关于字母的式子，再求字母。考频：中频，多在选择、填空压轴位置。 📝 解题三步模板 第 1 步　找最高次项：把所有项的次数都算出来，哪个含字母指数、哪个是常数次，一眼分清。 第 2 步　列式等于：令最高次项的次数等于题目给的总次数，得到一个简单式子。 第 3 步　代回检验：把求出的字母代回去，确认项数、次数都对得上。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：最高次项找错。有些题的最高次项藏在中间，不是第一项。 · 陷阱二：算完不检验，字母取了不该取的值（会让某项消失，项数就不对了）。 📖 典例精讲 【题目】已知关于 、 的多项式 是五次四项式，求 的值。 👉 思路点拨：先把四项的次数逐个写出来（4、4、、0），再看谁的次数里带字母——带字母的那项才是突破口。 ✍️ 规范解析：四项的次数： 是 ； 是 4； 是 ； 是 0。【得分点：四项次数逐个算出】 多项式是五次，所以最高次项的次数是 5。前三项中只有第三项含字母，故 。【得分点：判断出突破口】 解得 。【得分点：结果】 检验： 时第三项为 ，次数 5，与其余三项都不同类，四项成立。 ✅ 标准答案：。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　若 是关于 、 的五次单项式，求 的值。 变式2【能力提升】　已知关于 、 的多项式 是六次四项式，求 的值。 变式3【培优压轴】　已知 是关于 、 的五次四项式，求 的值。 【教师提示 · 讲评建议】 建议 8 分钟。要求学生把四项的次数全部写在旁边再动笔，这是本题型唯一有效的习惯。 变式 3 考的是耐心：两个三次项会让学生以为最高次就是 3，一定要问「第一项的次数里有没有字母？」 检验环节不能省：讲评时故意取一个不合适的值（如 ）代回去，让学生看到某项消失、项数变了。 📌　题型五：结论开放性问题 🔍 考查核心：按给定条件造出一个整式，答案不唯一。考频：中频，多在选择、填空压轴位置。 📝 解题三步模板 第 1 步　拆条件：把「几次」「几项」「系数是多少」「含哪些字母」「有没有常数项」逐条列出来。 第 2 步　先定次数：先凑出最高次项，把次数这条硬指标坐实。 第 3 步　再凑项数与系数：补足项数，最后逐条回头验收四个条件。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：只满足其中两三条就交卷——本题的评分标准是四条全中。 · 陷阱二：要求「每项都含字母 、」时漏写，例如只写 就不合要求。 📖 典例精讲 【题目】写出一个只含字母 、 的四次三项式，要求各项系数都是 2，且不含常数项。 👉 思路点拨：先保证每项都是四次（这是最容易漏的一条），再凑三项，最后统一乘 2。 ✍️ 规范解析：定次数：每项都要是四次，可选 、、。【得分点：每项次数都得凑够 4】 定项数：取其中三项，正好三项式。【得分点：项数不能多也不能少】 定系数：每项前面乘 2 → 。【得分点：系数为 2，不是 1】 验收：只含 、　√；三项　√；每项四次　√；系数都是 2 且无常数项　√。 ✅ 标准答案：（答案不唯一）。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　写出一个只含字母 的二次三项式，且常数项为 。 变式2【能力提升】　写出一个五次三项式，要求最高次项的系数为 ，常数项为 4。 变式3【培优压轴】　写出一个同时满足下列条件的多项式： ① 只含字母 、；② 是三次四项式；③ 各项系数之和为 0；④ 不含常数项。 【教师提示 · 讲评建议】 建议 6 分钟。开放题的讲法不是「对答案」，而是逐条验收：让全班拿同一份答案，把四个条件一条条打勾。 变式 3 的「系数和为 0」是难点，可提示「有正有负才可能抵消」，让学生先定符号再定项。 鼓励不同答案：请三名学生写三个不同的式子，只要四条全中就算对，这个环节最能破除「只有标准答案」的思维定式。 📌　题型六：整式中的规律探究 🔍 考查核心：从单项式或多项式序列中找符号、系数、指数三条线的规律。考频：高频，多在压轴题。 📝 解题三步模板 第 1 步　分三条线：把每个式子拆成「符号 + 系数 + 字母次数」三部分，分列写在草稿上。 第 2 步　各找各的：符号看正负交替，系数看差分或倍数，字母次数看与序号的关系。 第 3 步　合起来验：把三条线拼成第 个式子，用 、 代回去核对。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：符号规律搞反。第 1 项是负号时，是 ；第 1 项是正号时，是 。 · 陷阱二：三个部分只找对了两个，合起来就对不上——必须回代验证。 📖 典例精讲 【题目】按规律排列的一组单项式：，，，，… (1) 第 5 个单项式是什么？(2) 第 个单项式是什么？ 👉 思路点拨：拆三条线看：符号全是正；系数 1、3、5、7 每次加 2；字母指数 1、2、3、4 正好等于序号。 ✍️ 规范解析：(1) 系数每次加 2，第 5 个系数是 9；指数等于序号，是 5，所以第 5 个是 。【得分点：结果】 (2) 系数是第 个奇数，即 ；指数是 ，所以第 个是 。【得分点：写出两条规律】 验证： 得 ， 得 ，与题设一致。 ✅ 标准答案：(1) ；(2) 。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　按规律排列的单项式：，，，，…　(1) 第 6 个单项式是什么？(2) 第 个呢？ 变式2【能力提升】　按规律排列的单项式：，，，，…　第 个单项式是什么？ 变式3【培优压轴】　按规律排列的一组多项式：，，，，… (1) 第 个多项式是什么？ (2) 求第 20 个多项式，并求当 时它的值。 【教师提示 · 讲评建议】 建议 9 分钟。三段式（符号 / 系数 / 指数）要在黑板上画成三列，让学生填，比空想快得多。 符号最易错：强调「看第 1 项的符号」定 还是 ，并让学生用 自检。 变式 3 是双知识点题（规律 + 求值），可提醒学生「这题用上了上一讲的本事」，做一次跨讲串联。 四、课后分层集训 基础题（★　对应题型一～题型三） 1．（★）下列各式中，是单项式的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．（★）单项式 的系数和次数分别是（　　） A．，3　　　B．，4　　　C．，4　　　D．，3 3．（★）指出单项式 的系数和次数。 4．（★）多项式 是（　　） A．二次三项式　　B．三次三项式　　C．三次二项式　　D．四次三项式 中档题（★★　对应题型二～题型五） 5．（★★）在 、、、、、 中，整式的个数是（　　） A．3 个　　　B．4 个　　　C．5 个　　　D．6 个 6．（★★）已知 是关于 、 的六次单项式，求 的值。 7．（★★）已知 是关于 、 的五次单项式，求 的值。 8．（★★）多项式 的各项系数和是多少？ 9．（★★）对于多项式 ： (1) 它是几次几项式？(2) 最高次项是什么？(3) 常数项是什么？(4) 各项系数和是多少？ 10．（★★）已知关于 、 的多项式 是四次三项式，求 的值。 11．（★★）已知 是关于 、 的五次三项式，求 的值。 12．（★★）写出一个只含字母 、 的五次三项式，要求：各项系数都是 ，且不含常数项。 压轴题（★★★　对应题型六） 13．（★★★）按规律排列的一组单项式：，，，，… (1) 第 6 个单项式是什么？(2) 第 个单项式是什么？(3) 第 10 个单项式的系数是多少？ 14．（★★★）按规律排列的一组多项式：，，，，… (1) 第 个多项式是什么？(2) 第 9 个多项式是什么？ 15．（★★★）按规律排列的一组单项式：，，，，… (1) 第 个单项式是什么？ (2) 第 100 个单项式是什么？ (3) 第 100 个与第 101 个单项式的系数之和是多少？ 五、本讲避坑清单 1．　 是数字不是字母： 的系数是 ，次数是 2。 2．　系数是 1 或 −1 时省略不写，但被问到必须答 1 或 −1，不能答「没有系数」。 3．　次数是全部字母指数之和，不是某一个字母的指数，更不是各项次数相加。 4．　拆多项式的项要连着符号： 的系数是 ，不是 2。 5．　分母含字母就不是整式：、 都不属于整式。 六、附录·参考答案与提示 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 使用说明：本附录给出全部题目的完整解析，可直接用于讲评。 一、即时小练答案 1．①④⑤　（②分母含字母，不是整式；③是多项式） 2．系数是 ，次数是 3　（ 是数字，不计入次数） 3．三次三项式，常数项是 5 二、典例与变式答案 【题型一】整式的识别 典例：(1) ①④⑤⑧；(2) ③⑥；(3) ①③④⑤⑥⑧。 变式1【基础巩固】　单项式：、；多项式：；都不是：、。 ，分母是数字，属单项式； 是单独一个数，也是单项式。 是三个单项式的和，属多项式。 与 的分母都含字母，都不是整式。 变式2【能力提升】　B（3 个）。 逐个查分母：、、 的分母都含字母，三个都出局。 剩下 （多项式）、（单项式）、（单项式），都是整式。 共 3 个，选 B。 变式3【培优压轴】　 是单项式， 不是。 ，它是数字 与字母 的积，符合单项式定义。 的分母上有字母 ，不是数与字母的积，也不是几个单项式的和，所以连整式都不是。 结论：同样的分数线，分母是数字只是「除以一个数」，仍是整式；分母含字母就跳出了整式的范围。 【题型二】单项式的系数与次数 典例：(1) 系数 ，次数 3；(2) 系数 1，次数 1；(3) 系数 ，次数 3；(4) 系数 ，次数 3。 变式1【基础巩固】　系数 ，次数 5。 去掉字母，剩下 ，所以系数是 。 字母指数之和 ，所以次数是 5。 变式2【能力提升】　。 系数 ，次数 。 所以 。注意符号要带着走，别把 当成 。 变式3【培优压轴】　。 三个字母的指数分别是 2、1、，次数是它们的和：。 由题意 ，所以 。 检验： 时次数为 5，符合题意。 【题型三】多项式的项、项数与次数 典例：(1) 三次三项式；(2) ；(3) ；(4) 。 变式1【基础巩固】　三次三项式，常数项是 5。 三项 、、 的次数分别是 3、2、0，最高是 3，所以是三次三项式。 常数项是不带字母的 。 变式2【能力提升】　各项为 、、；系数和是 1。 连符号拆项得 、、，三项系数分别是 、、。 系数和 。注意常数项 也要算进系数和。 变式3【培优压轴】　(1) 三次四项式；(2) ；(3) 。 (1) 四项的次数分别为 3、2、1、0，最高三次，共四项 → 三次四项式。 (2) 一次项是 ，系数为 （要连着符号）。 (3) 四项系数分别是 、2、、1，和为 。 易错：这一题有三项都带负号，连符号拆项是最容易翻车的地方，建议先拆成一行再作答。 【题型四】由概念求字母的值 典例：。 变式1【基础巩固】　。 次数为 。 由 得 。 检验： 时次数为 5，符合。 变式2【能力提升】　。 四项次数依次是 、3、3、0。 最高次是 ，由 得 。 检验： 时第一项 是六次，四项互不同类，成立。 变式3【培优压轴】　。 四项次数：、3、3、0。 因为多项式是五次的，且只有第一项的次数带字母，所以 ，得 。 易错：第二项、第三项都是三次，容易被误当成最高次；要看清第一项的次数里含 。 检验： 时第一项 为五次，且与 不同类，四项成立。 【题型五】结论开放性问题 典例：（答案不唯一）。 变式1【基础巩固】　如 （答案不唯一）。 二次三项式要有三项，其中最高次项是二次，所以形如 。 中间项系数任取一个非零数即可，如 。 变式2【能力提升】　如 （答案不唯一）。 基本骨架：（保证五次且系数 ）、再加一个中间项、最后 （常数项）。 中间项只要不是五次、不与前后两项同类即可，如 。 变式3【培优压轴】　如 （答案不唯一）。 ① 只含 、；② 四项且每项都是三次：、、、 四个恰好凑齐四次项，取全部四项。 ③ 系数和要为 0：把四个系数取成 、、、，和正好为 0；④ 没有常数项，天然满足。 结果如 。这一问的关键是「系数和为零」要靠正负搭配凑，不能随便写。 【题型六】整式中的规律探究 典例：(1) ；(2) 。 变式1【基础巩固】　(1) ；(2) 。 三条线：符号是「负、正、负、正」，第 1 项为负，故符号为 ；系数是 1、2、3、4，即 ；指数也是 。 第 个是 ； 时得 。 验证： 得 ， 得 ，符合。 变式2【能力提升】　。 字母指数等于序号，是 ；这一点最好找，先定下来。 系数的分子是 1、2、3、4 → ；分母是 2、5、10、17，相邻差为 3、5、7，符合 （）。 所以第 个是 。验证 得 ，正确。 变式3【培优压轴】　(1) ；(2) ，当 时值为 。 观察每一项：第一项的次数 1、2、3、4 与序号相同，是 ；常数项是 1、2、3、4，也是 。 所以第 个多项式是 。第 20 个是 。 当 时，值为 。 衔接：这一问把 4.2 的「代入求值」用上了——先找规律，再代值。 三、课后分层集训答案 基础题 1．　B。 A 的分母含字母，不是整式；C 是多项式；D 的字母在根号里，也不是整式。 B 中 ，分母是数字，属单项式，选 B。 2．　B。 系数是数字因数， 要算进去：系数为 。 次数是字母指数之和：。选 B。 易错：把 当成字母，就会误选 C。 3．　系数 ，次数 3。 去掉字母得 ，即系数；字母指数之和 ，即次数。 4．　B。 三项的次数分别是 、、0，最高是 3，所以是三次。 一共三项，所以是三次三项式，选 B。 中档题 5．　B（4 个）。 与 的分母含字母，两个都不是整式，先排除。 剩下 （单项式）、（多项式）、（单项式）、（单项式），共 4 个，选 B。 6．　。 次数为 ，由 得 。 7．　。 次数为 ，由 得 。 8．　。 三项是 、、，系数分别是 、1、。 系数和 。注意 的系数是 1，常数项 也要算。 9．　(1) 三次三项式；(2) ；(3) ；(4) 。 (1) 三项次数为 3、2、0，最高三次，共三项 → 三次三项式。 (2) 最高次项是 ，要连着系数一起写。 (3) 常数项是 ，符号不能丢。 (4) 三项系数为 、3、，和为 。 10．　。 三项次数依次为 、2、0。 由最高次为 4 得 ，所以 。 检验： 时第一项为 ，四次，且与 不同类，三项成立。 11．　。 三项次数依次为 、3、0。 由最高次为 5，且只有第一项含字母 ，得 ，所以 。 检验： 时第一项 为五次，与 不同类，仍是三项。 12．　如 （答案不唯一）。 逐条凑：三项、每项次数都是 5、系数全取 、不加常数项。 例如 ：三项都是五次，系数都是 ，无常数项，全部满足。 注意： 的系数是 ，不是「没有系数」。 压轴题 13．　(1) ；(2) ；(3) 29。 三条线：符号全为正；系数 2、5、8、11 每次加 3；字母指数 1、2、3、4 等于序号。 (1) 系数继续加 3 得 17，指数为 6，即 。 (2) 系数是 ，指数是 ，即 。 (3) 时系数为 。 验证： 得 ， 得 ，符合。 14．　(1) ；(2) 。 这里有个坑：常数项等于序号 ，但次数比序号大 1（第 1 个是二次，第 2 个是三次）。 (1) 次数为 ，常数项为 ，所以第 个是 。 (2) 时是 。 验证： 得 ， 得 ，与题设一致。 15．　(1) ；(2) ；(3) 。 三条线：符号是「负、正、负、正」，第 1 项为负，故符号为 ；系数绝对值等于序号 ；指数也是 。 (1) 第 个是 。 (2) 是偶数，，故为 。 (3) 第 100 个的系数是 100（偶数项为正）；第 101 个的系数是 （奇数项为负）。和为 。 关键：符号规律一旦定错，三问全错——务必用 自检一次。 $ 专题03 整式 培优进阶讲义 浙教版七年级上册　第4章　代数式 一、本讲题型目录 题型 题型名称 考查核心（知识点） 考频 对应集训 一 整式的识别 单项式、多项式、整式的界限 高频 1—2 二 单项式的系数与次数 系数含符号、次数为指数和 高频 3—6 三 多项式的项、项数与次数 几次几项式、常数项、项系数 高频 7—9 四 由概念求字母的值 把「几次几项」翻译成式子 中频 10—11 五 结论开放性问题 按条件凑次数、项数与系数 中频 12 六 整式中的规律探究 符号、系数、指数三条线 高频 13—15 二、核心知识速记 表1　整式家族的边界：谁是谁，谁都不是 式子 它是什么 判断理由 单项式 数与字母的积 单项式 单独一个数也是单项式 单项式 单独一个字母也是单项式 多项式 几个单项式的和 多项式 分母是数字 2，本质是 乘 ，仍是和 都不是 分母含字母，不是整式 都不是 分母含字母，不是整式 都不是 字母在根号里，不是整式 一句话记牢：分母里有没有字母是分水岭——分母是数字，照旧是整式；分母含字母，直接出局。 表2　单项式的系数与次数速查（易错点全在这里） 单项式 系数 次数 关键提示 常规情形：系数 3，次数 2＋1 系数 1 省略不写，但被问就要答 1 系数 −1 省略，别答「没有系数」 是数字，不是字母，不算进次数 先算 ，系数是 −8 不是 −2 次数＝所有字母指数之和：2＋3 0 也是单项式，系数与次数都为 0 口诀：系数看数字（带符号、带 π），次数看字母（全加起来）。 表3　多项式必答的五个问题（以 为例） 问什么 怎么找 这道题的答案 有几项 连着符号一起拆，拆成几个单项式 、、，共 三项 是几次 各项次数中最大的那个 三项次数为 3、1、0，故是三次 常数项 不带字母的那一项（带符号） 某项的系数 该项的数字因数（带符号） 一次项 的系数是 各项系数和 所有项的系数相加（常数项也算） 「几次几项式」的读法：先数次、再数项，如「三次三项式」＝最高次项三次、一共三项。 【即时小练】　3 道基础题　限时 5 分钟　（答案见附录） 1．下列各式中，是单项式的有＿＿＿＿（填序号）：① 　② 　③ 　④ 　⑤ 答：＿＿＿＿＿＿ 2． 的系数是＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿。 答：＿＿＿＿＿＿ 3．多项式 是＿＿次＿＿项式，常数项是＿＿＿＿。 答：＿＿＿＿＿＿ 三、题型精讲 📌　题型一：整式的识别 🔍 考查核心：分清单项式、多项式、整式与非整式的界限。考频：高频，选择、填空为主。 📝 解题三步模板 第 1 步　看是不是积：数与字母的积、或单独一个数 / 一个字母 → 单项式。 第 2 步　看是不是和：几个单项式相加 → 多项式；单项式与多项式合称整式。 第 3 步　看分母：分母含字母（）或字母在根号里（）→ 都不是整式。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：把 当成「不是整式」。分母是数字 2，它仍是多项式。 · 陷阱二：漏掉单独一个数或字母——、、 都是单项式。 📖 典例精讲 【题目】下列各式中：① 　② 　③ 　④ 　⑤ 　⑥ 　⑦ 　⑧ (1) 单项式有哪些？(2) 多项式有哪些？(3) 整式有哪些？ 👉 思路点拨：先扫一遍分母有没有字母，把 ②⑦ 挑出去，剩下的再按「积还是和」分类。 ✍️ 规范解析：② 的分母含字母、⑦ 的字母在根号里，这两个都不是整式，先排除。【得分点：排除 ②⑦】 (1) ① 是 ，属数与字母的积；④ 、⑤ 、⑧ 同理，都是单项式。【得分点：④ 单独一个数也算，漏答常见】 (2) ③ 是两个单项式的和，⑥ 的分母是数字 2，本质仍是和——所以多项式是 ③⑥。【得分点：⑥ 判对是本题分水岭】 (3) 整式＝单项式＋多项式，即 ①③④⑤⑥⑧。【得分点：不能把 ②⑦ 算进去】 ✅ 标准答案：(1) ①④⑤⑧；(2) ③⑥；(3) ①③④⑤⑥⑧。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　指出下列各式是单项式、多项式，还是都不是：、、、、。 变式2【能力提升】　在 、、、、、 中，整式的个数是（　　） A．2 个　　　B．3 个　　　C．4 个　　　D．5 个 变式3【培优压轴】　判断 与 哪一个是单项式，并说明理由；再总结「分母是数字」与「分母含字母」的区别。 📌　题型二：单项式的系数与次数 🔍 考查核心：找系数（数字因数）与次数（字母指数之和）。考频：高频，几乎每卷必考。 📝 解题三步模板 第 1 步　定系数：把字母全部去掉，剩下的数字因数就是系数（符号、 都算在里面）。 第 2 步　定次数：把所有字母的指数加起来，与系数无关。 第 3 步　查三处：系数是不是 1 或 ？有没有 ？有没有 这种要先算的乘方？ ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一： 的系数写成 1。 是数字，系数就是 ，次数只有 2。 · 陷阱二： 的系数写成 。先算 ，系数是 。 📖 典例精讲 【题目】指出下列单项式的系数和次数： (1) 　　(2) 　　(3) 　　(4) 👉 思路点拨：把字母遮住，剩下的就是系数；把系数遮住，字母的指数加起来就是次数——遮两次，答案就出来了。 ✍️ 规范解析：(1) 系数 ，次数 。【得分点：次数是字母指数之和，不是最大指数】 (2) 系数 1，次数 1。【得分点：系数 1 省略不写，但被问要答 1，不能答「没有」】 (3) 系数 ，次数 3。【得分点： 是数字，计入系数、不计入次数】 (4) 系数 ，次数 。【得分点：先算 ，符号跟着 走】 ✅ 标准答案：(1) 系数 ，次数 3；(2) 系数 1，次数 1；(3) 系数 ，次数 3；(4) 系数 ，次数 3。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　 的系数是＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿。 变式2【能力提升】　已知单项式 的系数是 ，次数是 ，求 的值。 变式3【培优压轴】　已知 是关于 、、 的五次单项式，求 的值。 📌　题型三：多项式的项、项数与次数 🔍 考查核心：读出一个多项式是几次几项式、常数项、某项系数。考频：高频，选择、填空必考。 📝 解题三步模板 第 1 步　连符号拆项：把多项式拆成几个带符号的单项式，一项一项写出来。 第 2 步　数次取最大：算出每一项的次数，最大的那个就是多项式的次数。 第 3 步　数项看个数：拆出几项就是几项式；不带字母的那项是常数项。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：拆项时把符号丢掉， 写成 ，系数就全错了。 · 陷阱二：把「几次」当成本项次数相加，或只看第一项的次数。 📖 典例精讲 【题目】对于多项式 ： (1) 它是几次几项式？(2) 最高次项是什么？(3) 常数项是什么？(4) 一次项的系数是多少？ 👉 思路点拨：先连着符号把三项拆出来写成一行：、、，后面几个问题全都看这一行。 ✍️ 规范解析：(1) 三项的次数分别是 3、1、0，最大是 3，所以是三次三项式。【得分点：次数看最高项，项数看个数】 (2) 最高次项是 。【得分点：要写全，含系数】 (3) 常数项是 1。【得分点：不带字母那一项，别把系数 3 当常数项】 (4) 一次项是 ，系数是 。【得分点：连着符号，答 2 不得分】 ✅ 标准答案：(1) 三次三项式；(2) ；(3) ；(4) 。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　多项式 是＿＿次＿＿项式，常数项是＿＿＿＿。 变式2【能力提升】　多项式 的各项分别是＿＿＿＿＿＿，各项系数的和是＿＿＿＿。 变式3【培优压轴】　对于多项式 ： (1) 它是几次几项式？(2) 一次项的系数是多少？(3) 各项系数和是多少？ 📌　题型四：由概念求字母的值 🔍 考查核心：把「几次几项」翻译成关于字母的式子，再求字母。考频：中频，多在选择、填空压轴位置。 📝 解题三步模板 第 1 步　找最高次项：把所有项的次数都算出来，哪个含字母指数、哪个是常数次，一眼分清。 第 2 步　列式等于：令最高次项的次数等于题目给的总次数，得到一个简单式子。 第 3 步　代回检验：把求出的字母代回去，确认项数、次数都对得上。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：最高次项找错。有些题的最高次项藏在中间，不是第一项。 · 陷阱二：算完不检验，字母取了不该取的值（会让某项消失，项数就不对了）。 📖 典例精讲 【题目】已知关于 、 的多项式 是五次四项式，求 的值。 👉 思路点拨：先把四项的次数逐个写出来（4、4、、0），再看谁的次数里带字母——带字母的那项才是突破口。 ✍️ 规范解析：四项的次数： 是 ； 是 4； 是 ； 是 0。【得分点：四项次数逐个算出】 多项式是五次，所以最高次项的次数是 5。前三项中只有第三项含字母，故 。【得分点：判断出突破口】 解得 。【得分点：结果】 检验： 时第三项为 ，次数 5，与其余三项都不同类，四项成立。 ✅ 标准答案：。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　若 是关于 、 的五次单项式，求 的值。 变式2【能力提升】　已知关于 、 的多项式 是六次四项式，求 的值。 变式3【培优压轴】　已知 是关于 、 的五次四项式，求 的值。 📌　题型五：结论开放性问题 🔍 考查核心：按给定条件造出一个整式，答案不唯一。考频：中频，多在选择、填空压轴位置。 📝 解题三步模板 第 1 步　拆条件：把「几次」「几项」「系数是多少」「含哪些字母」「有没有常数项」逐条列出来。 第 2 步　先定次数：先凑出最高次项，把次数这条硬指标坐实。 第 3 步　再凑项数与系数：补足项数，最后逐条回头验收四个条件。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：只满足其中两三条就交卷——本题的评分标准是四条全中。 · 陷阱二：要求「每项都含字母 、」时漏写，例如只写 就不合要求。 📖 典例精讲 【题目】写出一个只含字母 、 的四次三项式，要求各项系数都是 2，且不含常数项。 👉 思路点拨：先保证每项都是四次（这是最容易漏的一条），再凑三项，最后统一乘 2。 ✍️ 规范解析：定次数：每项都要是四次，可选 、、。【得分点：每项次数都得凑够 4】 定项数：取其中三项，正好三项式。【得分点：项数不能多也不能少】 定系数：每项前面乘 2 → 。【得分点：系数为 2，不是 1】 验收：只含 、　√；三项　√；每项四次　√；系数都是 2 且无常数项　√。 ✅ 标准答案：（答案不唯一）。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　写出一个只含字母 的二次三项式，且常数项为 。 变式2【能力提升】　写出一个五次三项式，要求最高次项的系数为 ，常数项为 4。 变式3【培优压轴】　写出一个同时满足下列条件的多项式： ① 只含字母 、；② 是三次四项式；③ 各项系数之和为 0；④ 不含常数项。 📌　题型六：整式中的规律探究 🔍 考查核心：从单项式或多项式序列中找符号、系数、指数三条线的规律。考频：高频，多在压轴题。 📝 解题三步模板 第 1 步　分三条线：把每个式子拆成「符号 + 系数 + 字母次数」三部分，分列写在草稿上。 第 2 步　各找各的：符号看正负交替，系数看差分或倍数，字母次数看与序号的关系。 第 3 步　合起来验：把三条线拼成第 个式子，用 、 代回去核对。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：符号规律搞反。第 1 项是负号时，是 ；第 1 项是正号时，是 。 · 陷阱二：三个部分只找对了两个，合起来就对不上——必须回代验证。 📖 典例精讲 【题目】按规律排列的一组单项式：，，，，… (1) 第 5 个单项式是什么？(2) 第 个单项式是什么？ 👉 思路点拨：拆三条线看：符号全是正；系数 1、3、5、7 每次加 2；字母指数 1、2、3、4 正好等于序号。 ✍️ 规范解析：(1) 系数每次加 2，第 5 个系数是 9；指数等于序号，是 5，所以第 5 个是 。【得分点：结果】 (2) 系数是第 个奇数，即 ；指数是 ，所以第 个是 。【得分点：写出两条规律】 验证： 得 ， 得 ，与题设一致。 ✅ 标准答案：(1) ；(2) 。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　按规律排列的单项式：，，，，…　(1) 第 6 个单项式是什么？(2) 第 个呢？ 变式2【能力提升】　按规律排列的单项式：，，，，…　第 个单项式是什么？ 变式3【培优压轴】　按规律排列的一组多项式：，，，，… (1) 第 个多项式是什么？ (2) 求第 20 个多项式，并求当 时它的值。 四、课后分层集训 基础题（★　对应题型一～题型三） 1．（★）下列各式中，是单项式的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．（★）单项式 的系数和次数分别是（　　） A．，3　　　B．，4　　　C．，4　　　D．，3 3．（★）指出单项式 的系数和次数。 4．（★）多项式 是（　　） A．二次三项式　　B．三次三项式　　C．三次二项式　　D．四次三项式 中档题（★★　对应题型二～题型五） 5．（★★）在 、、、、、 中，整式的个数是（　　） A．3 个　　　B．4 个　　　C．5 个　　　D．6 个 6．（★★）已知 是关于 、 的六次单项式，求 的值。 7．（★★）已知 是关于 、 的五次单项式，求 的值。 8．（★★）多项式 的各项系数和是多少？ 9．（★★）对于多项式 ： (1) 它是几次几项式？(2) 最高次项是什么？(3) 常数项是什么？(4) 各项系数和是多少？ 10．（★★）已知关于 、 的多项式 是四次三项式，求 的值。 11．（★★）已知 是关于 、 的五次三项式，求 的值。 12．（★★）写出一个只含字母 、 的五次三项式，要求：各项系数都是 ，且不含常数项。 压轴题（★★★　对应题型六） 13．（★★★）按规律排列的一组单项式：，，，，… (1) 第 6 个单项式是什么？(2) 第 个单项式是什么？(3) 第 10 个单项式的系数是多少？ 14．（★★★）按规律排列的一组多项式：，，，，… (1) 第 个多项式是什么？(2) 第 9 个多项式是什么？ 15．（★★★）按规律排列的一组单项式：，，，，… (1) 第 个单项式是什么？ (2) 第 100 个单项式是什么？ (3) 第 100 个与第 101 个单项式的系数之和是多少？ 五、本讲避坑清单 1．　 是数字不是字母： 的系数是 ，次数是 2。 2．　系数是 1 或 −1 时省略不写，但被问到必须答 1 或 −1，不能答「没有系数」。 3．　次数是全部字母指数之和，不是某一个字母的指数，更不是各项次数相加。 4．　拆多项式的项要连着符号： 的系数是 ，不是 2。 5．　分母含字母就不是整式：、 都不属于整式。 六、附录·参考答案与提示 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 使用说明：变式 1 给完整解析，变式 2 给关键步骤，变式 3 只给提示；课后集训按「基础给结果、中档给关键步骤、压轴给提示」分档。 一、即时小练答案 1．①④⑤　（②分母含字母，不是整式；③是多项式） 2．系数是 ，次数是 3　（ 是数字，不计入次数） 3．三次三项式，常数项是 5 二、典例与变式答案 【题型一】整式的识别 典例：(1) ①④⑤⑧；(2) ③⑥；(3) ①③④⑤⑥⑧。 变式1【基础巩固】　，分母是数字，属单项式； 是单独一个数，也是单项式。 是三个单项式的和，属多项式。 与 的分母都含字母，都不是整式。 变式2【能力提升】　逐个查分母：、、 的分母都含字母，三个都出局。 剩下 （多项式）、（单项式）、（单项式），都是整式。 变式3【培优压轴】　 是单项式， 不是。 结论：同样的分数线，分母是数字只是「除以一个数」，仍是整式；分母含字母就跳出了整式的范围。 【题型二】单项式的系数与次数 典例：(1) 系数 ，次数 3；(2) 系数 1，次数 1；(3) 系数 ，次数 3；(4) 系数 ，次数 3。 变式1【基础巩固】　去掉字母，剩下 ，所以系数是 。 字母指数之和 ，所以次数是 5。 变式2【能力提升】　系数 ，次数 。 所以 。注意符号要带着走，别把 当成 。 变式3【培优压轴】　。 检验： 时次数为 5，符合题意。 【题型三】多项式的项、项数与次数 典例：(1) 三次三项式；(2) ；(3) ；(4) 。 变式1【基础巩固】　三项 、、 的次数分别是 3、2、0，最高是 3，所以是三次三项式。 常数项是不带字母的 。 变式2【能力提升】　连符号拆项得 、、，三项系数分别是 、、。 系数和 。注意常数项 也要算进系数和。 变式3【培优压轴】　(1) 三次四项式；(2) ；(3) 。 易错：这一题有三项都带负号，连符号拆项是最容易翻车的地方，建议先拆成一行再作答。 【题型四】由概念求字母的值 典例：。 变式1【基础巩固】　次数为 。 由 得 。 检验： 时次数为 5，符合。 变式2【能力提升】　四项次数依次是 、3、3、0。 最高次是 ，由 得 。 变式3【培优压轴】　。 检验： 时第一项 为五次，且与 不同类，四项成立。 【题型五】结论开放性问题 典例：（答案不唯一）。 变式1【基础巩固】　二次三项式要有三项，其中最高次项是二次，所以形如 。 中间项系数任取一个非零数即可，如 。 变式2【能力提升】　基本骨架：（保证五次且系数 ）、再加一个中间项、最后 （常数项）。 中间项只要不是五次、不与前后两项同类即可，如 。 变式3【培优压轴】　如 （答案不唯一）。 结果如 。这一问的关键是「系数和为零」要靠正负搭配凑，不能随便写。 【题型六】整式中的规律探究 典例：(1) ；(2) 。 变式1【基础巩固】　三条线：符号是「负、正、负、正」，第 1 项为负，故符号为 ；系数是 1、2、3、4，即 ；指数也是 。 第 个是 ； 时得 。 验证： 得 ， 得 ，符合。 变式2【能力提升】　字母指数等于序号，是 ；这一点最好找，先定下来。 系数的分子是 1、2、3、4 → ；分母是 2、5、10、17，相邻差为 3、5、7，符合 （）。 变式3【培优压轴】　(1) ；(2) ，当 时值为 。 衔接：这一问把 4.2 的「代入求值」用上了——先找规律，再代值。 三、课后分层集训答案 基础题 1．　B。 2．　B。 3．　系数 ，次数 3。 4．　B。 中档题 5．　B（4 个）。 与 的分母含字母，两个都不是整式，先排除。 剩下 （单项式）、（多项式）、（单项式）、（单项式），共 4 个，选 B。 6．　。 次数为 ，由 得 。 7．　。 次数为 ，由 得 。 8．　。 三项是 、、，系数分别是 、1、。 系数和 。注意 的系数是 1，常数项 也要算。 9．　(1) 三次三项式；(2) ；(3) ；(4) 。 (1) 三项次数为 3、2、0，最高三次，共三项 → 三次三项式。 (2) 最高次项是 ，要连着系数一起写。 10．　。 三项次数依次为 、2、0。 由最高次为 4 得 ，所以 。 11．　。 三项次数依次为 、3、0。 由最高次为 5，且只有第一项含字母 ，得 ，所以 。 12．　如 （答案不唯一）。 逐条凑：三项、每项次数都是 5、系数全取 、不加常数项。 例如 ：三项都是五次，系数都是 ，无常数项，全部满足。 压轴题 13．　(1) ；(2) ；(3) 29。 验证： 得 ， 得 ，符合。 14．　(1) ；(2) 。 验证： 得 ， 得 ，与题设一致。 15．　(1) ；(2) ；(3) 。 关键：符号规律一旦定错，三问全错——务必用 自检一次。 $