2026—2027学年高二上学期数学期中模拟试题

2026—2027学年高二数学上学期期中模拟试题 （范围：人教A版选择性必修一第一章-第三章第一节 难度系数0.60） 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）若 ， ，，且 三点共线，则 (    ) A．－2 B．5 C．10 D．12 2．（本题5分）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（本题5分）若直线与圆没有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 4．（本题5分）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）圆0截直线所得的弦长为8，则c的值是（    ） A．10 B．10或-68 C．5或-34 D．-68 6．（本题5分）如图，在棱长为1的正方体中，为正方形的中心，为线段的中点，在上，且满足，则直线到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 7．（本题5分）已知椭圆的左，右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知点A为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列说法中，正确的有（    ） A．过点且在，轴截距相等的直线方程为 B．直线的纵截距是． C．直线的倾斜角为60° D．过点并且倾斜角为90°的直线方程为 10．（本题6分）在棱长为1的平行六面体中，，点满足，其中.则（ ） A．当时， B．当时，在平面内 C．当时，的轨迹的面积为 D．当时，点在平行四边形内部及其边上 11．（本题6分）已知椭圆C：的左，右焦点分别是，，其中．直线l过左焦点与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（    ） A．若存在，则的周长为4a B．若AB的中点为M，则 C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若的最小值为3c，则椭圆的离心率 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）过点，斜率为的直线点斜式方程为____________________. 13．（本题5分）已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是________. 14．（本题5分）已知椭圆的一个焦点为，短轴的长为为上异于的两点.设，且，则的周长的最大值为__________. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 16．（本题15分）如图，在三棱柱中，点为线段的中点，点是线段上靠近的四等分点． (1)若，求，，的值； (2)若． （i）求的值； （ii）求的大小． 17．（本题15分）过圆外一点任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹． 18．（本题17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过的直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为. (1)求的标准方程； (2)求的值； (3)设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上. 19．（本题17分）已知圆经过点A（－2，0），B（0，2），且圆心在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆相交于P、Q两点． （1）求圆的方程； （2）若，求实数k的值； （3）过点作动直线交圆于，两点．试问：在以为直径的所有圆中，是否存在这样的圆，使得圆经过点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026—2027学年高二数学上学期期中模拟试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B B D A D BD BCD 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】由三点共线可得直线的斜率存在并且相等求解即可. 【详解】解：由题意，可知直线的斜率存在并且相等， 即，解得 10. 故选：C. 2．B 【分析】设点，由为直角，得，然后由列式计算即可. 【详解】由题意，设点， 为直角，， 由， ， 解得或，所以点的坐标为或 故选：B 3．B 【分析】先由圆的一般方程得到圆心和半径，再由直线与圆没有公共点，得到圆心到直线的距离大于半径，由此列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】由得， 所以圆心为，半径为， 又直线与圆没有公共点， 所以圆心到直线的距离大于半径， 即，解得或. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，属于基础题型. 4．B 【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 5．B 【分析】利用弦长的一半、半径、弦心距之间满足：求解. 【详解】圆0整理得: 圆心，半径，， 又等于圆心到直线的距离，即， 得或. 故选:B 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，建立弦心距、半径、弦长之间的关系是关键，是常考点. 6．D 【分析】先求证得直线与直线的距离等价于点到直线的距离，接着建立空间直角坐标系求出，即可由空间中点到直线的向量距离公式求解所求距离. 【详解】取的中点，连接，由，知为的中点， 又为的中点，故， 由正方体性质可得且，故四边形为平行四边形， 所以，所以， 故直线与直线的距离等价于点到直线的距离， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以， 故， 所以，， 故点到直线的距离为. 故选：D. 7．A 【分析】由可得A、C两点纵坐标之间的关系，进而得到椭圆之间的关系. 【详解】由，可得，则 令，则，代入椭圆方程可得 ，整理得 可化为，则，或（舍） 故椭圆的离心率为 故选：A 8．D 【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得. 【详解】∵，∴. 设P点坐标为，由题意，则， ∴P点轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，记为圆， 设在轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点满足， 则， 当A，P，M三点共线（位于两侧）时，等号成立. 又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离， 由到直线距离，则. 故. 如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：借助阿氏圆探究最值问题：若为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当且时，动点的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，可以转化动点到定点的距离，化系数为，从而转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值. 9．BD 【分析】根据直线的截距的定义，倾斜角和斜率的关系，结合直线的方程，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】A：因为直线也过点且在，轴截距相等，故错误； ：对直线方程，令，可得，则其纵截距为，故B正确； C：直线的斜率，设其倾斜角为， 则，又，故该直线的倾斜角为，故C错误； D：过点并且倾斜角为90°的直线为，故正确. 故选：. 10．BCD 【分析】利用向量模的运算即可判断A，利用向量线性运算结合共面定理可判断BCD. 【详解】当时，， 因为在棱长为1的平行六面体中，，且， 所以 ， 故A错误； 当时，则 可得， 向量共面，即在平面内，故B正确； 当时，， 因为，所以表示以为起点，终点在平行四边形的内部及其边上， 则，表示终点的轨迹为平行六面体中的截面，其面积等于平行四边形的面积， 即，故C正确； 当时，， 可得， 当时，可知点在平行四边形内部及其边上， 故D正确. 11．AC 【分析】根据椭圆的定义判断A；用点差法判断B；先算出，进而根据A在椭圆上进行消元得到，然后结合椭圆的范围得到的范围，最后求出离心率的范围；根据的最小值为通径的长度求得答案. 【详解】对A，根据椭圆的定义的周长为，故A正确； 对B，设，则，所以，， 由，即，故B错误； 对C，，根据 ，则，故C正确； 对D，容易知道，的最小值为通径长度，所以，整理为，即，两边同时除以，得，解得：，或（舍），所以椭圆的离心率，故D错误. 故选：AC. 12． 【分析】由直线的点斜式方程求解． 【详解】由直线的点斜式方程得，． 故答案为： 13． 【分析】建立空间直角坐标系，设，，由得，即，利用二次函数即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，，则，，， ，， ，， 即，所以， 当时，所以，所以.    故答案为：. 14．8 【分析】根据条件求出椭圆方程，再运用几何关系求出最大值. 【详解】 由条件 ， ， 即 ， ， 设 ，由题意： ，则 ， ，即 ，即椭圆C的标准方程为 ， ； 设左焦点为F，右焦点为 ，如下图： 则 的周长 , ，当 三点共线时等号成立， ， l的得最大值为8； 故答案为：8. 15．(1)或； (2)或. 【分析】（1）根据两直线垂直则斜率之积为，列方程求解即可； （2）根据两直线平行则斜率相等，列方程求解即可. 【详解】（1）经过，两点的斜率为：， 经过，两点的斜率为：， 两直线垂直则斜率之积为，所以，解得或； （2）经过，两点的斜率为：， 两直线平行则斜率相等，所以，解得或. 16．(1)、、； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）（i）借助数量积公式计算即可得；（ii）借助模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】（1） ， 故、、； （2）（i）由，则， 由，则，由，则， 则 ； （ii） . 17．点的轨迹是以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧 【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算化简，即可得到结果. 【详解】      如图所示，设弦的中点的坐标为，连接，由， ，可得，即，得．又，， 于是，即． 因此，点的轨迹是以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧. 18．(1) (2) (3)直线的方程为，直线的方程为， 设交点， 法一：， 即， 因为，所以，即点在定直线上. 法二：由（2）得， 由，得， 即点在定直线上. 【分析】（1）将点代入方程计算即可得； （2）分直线的斜率存在与不存在进行计算，结合题意得到、的表示形式，结合韦达定理计算即可得； （3）结合题意设出直线、方程，结合第二问得到的值，得到交点的横纵坐标的关系或通过联立联立直线方程计算交点纵坐标即可得. 【详解】（1）由题意知，所以， 所以的标准方程为； （2）直线的方程为，所以， 当直线的斜率不存在时， ①若， 则； ②若， 则， 所以， 当直线的斜率存在时，设， 直线的方程为， 由，得， 所以， 所以， 所以 ， 综上，； （3）略 【点睛】关键点睛：本题第二问关键在当直线的斜率存在时，需联立直线的方程与椭圆方程，借助韦达定理得到交点坐标间的关系，从而计算的值. 19．（1）；（2）；（3）存在圆或，使得圆经过点． 【详解】试题分析：（1）根据题意设出圆心和半径，列出和的方程，求得圆的方程；（2）根据, 求得，所以圆心到直线的距离为，求得的值；（3）若圆经过点，则必有即①，当直线的斜率不存在时，显然满足题意得圆，当直线的斜率存在时，设其斜率为，直线的方程为：，代入圆的方程，由韦达定理，得到的值，联立①解得的值，存在所求的圆，进而得到所求的圆的方程. 试题解析：（1）设圆心C（a，a），半径为r.因为圆C经过点A（－2,0），B（0,2），所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是. （2）因为·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且与的夹角为∠POQ， 所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1， 又d＝，所以 （3）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，此时直线与圆的交点为，，即为圆的直径，而点在圆上，即圆也是满足题意的圆 （ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，由， 消去整理，得，由△，得或． 设，则有 ① 由①得， ② ， ③ 若存在以为直径的圆经过点，则，所以， 因此，即， 则，所以，，满足题意． 此时以为直径的圆的方程为， 即，亦即． 综上，在以为直径的所有圆中，存在圆：或 ，使得圆经过点． 考点：1.圆的方程；2.直线方程；3.韦达定理. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $