25.1 一元二次方程的概念（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.1 一元二次方程的概念（第1课时） 一、教材分析 学生在七年级已经会解一元一次方程，八年级又接触过二元一次方程组和分式方程，对方程的认识一直停在“次数是1”这个层面上。本节课要给学生换一个观察角度——看未知数的最高次数：先把三个实际问题（剪铁皮做无盖方盒、排球单循环赛、人体雕像）里的数量关系翻成算式，得到三个含未知数二次项的方程，再把这些方程与一元一次方程放在一起比一比，让学生自己把“整式方程、只含一个未知数、最高次数是2”这三条特征一条一条找出来。 这节课在整章里是起点，概念立不住，后面研究解法时学生连研究对象是谁都说不清。全课最容易出问题的地方有两处：一是二次项系数不为0这个附加条件，不少学生会把 ax²+bx+c=0 里的 a 当成可以随便取值的字母，直到把 a=0 代进去、发现式子只剩 bx+c=0 才反应过来；二是化一般形式时系数的符号，移项之后一次项系数到底带不带负号，是历届出错最多的一步。 二、学情分析 从往届课堂看，大约三分之二的学生能把 3x(x−1)=5(x+2) 这类方程正确去括号，但其中近三分之一在移项时把 5x+10 的符号抄错，还有一部分学生合并后漏写等号右边的 0。整式乘法不熟练，是本课列方程、化简方程两个环节的主要障碍。 判定环节的典型错误有三类：看到 3/x²=5 里有 x² 就当成二次方程，忽略了分母含未知数；看到 ax²+2x−3=0 就默认 a≠0，没意识到字母系数需要条件保证；把 x(2x−3)=2x(x−1) 直接按“有 x²”判成二次方程，不肯先化简。这三类错误都要在课堂上让学生当场暴露、当场纠正。 三、教学目标 1. 面对剪铁皮、排球赛、雕像比例这三个实际问题，能独立设出未知数，列出含未知数二次项的方程，并把方程整理成等号左边只含一个多项式的形式。 2. 能用自己的话说出一元二次方程的定义，写出它的一般形式，并准确说出每个字母所表示的部分；能解释为什么二次项系数不能为0，而一次项系数和常数项可以为0。 3. 给定七个方程，能逐个判断是不是一元二次方程并说清理由；能把给出的方程化成一般形式，写全二次项系数、一次项系数和常数项。 4. 会用代入的办法检验一个数是不是一元二次方程的解，并能说出“解”与“根”的关系。 四、教学重点与难点 重点：一元二次方程的判定与化一般形式。判定要练到“给定方程能独立说全三条依据”；化一般形式要练到“系数一个不错、符号一个不漏”。 难点：二次项系数含字母时的判定，如 (a−1)x²+4x−3=0、xk−1−2x+3=0。学生容易只盯指数不看系数，卡在“a−1 能不能等于0”这一步；教学中要先让学生把 (a−1) 整体认作二次项系数，再用 a=1 反例击破。 五、教学环境与资源准备 多媒体投影一套；印好的无盖方盒剪折示意图每组一张（与图1相同）；人体雕像照片一张（与图2相同）；学生练习纸（含当堂检测8题）；人教版九年级数学上册教材；红粉笔两支，用于标注系数符号与 a≠0。 六、设计思想 这节课不先给定义。先让学生在三个真实情境里把方程列出来，让“二次”先以陌生的面目出现；再让学生对比新旧方程，把三条特征自己说出来，教师只做追问和补漏。例题与检测按“辨析—化简—列方程”三层排布，错误让学生先暴露、先互评，教师后归纳。全课反复落实两条规矩：判定先查整式和未知数个数，系数必须带着符号走。信息技术只用于呈现情境图与知识结构图，不替代学生的推理与板演。 七、教学过程（共六个环节，45分钟） 环节一 复习导入（约5分钟） 【师】上课前先把旧家什搬出来。看投影上的六个式子：2+6=8、2x+3、5x+6=22、x+3y=8、x−5<18、4/x−2=9。哪些是方程？逐个说，说理由。 【生甲】2+6=8 两边相等，是方程。 【师追问】方程的定义里，除了是等式，还差哪一条？ 【生甲】还得含未知数。2+6=8 里没有未知数，它不是方程。 【生乙】2x+3 不是等式，只是个含字母的式子；5x+6=22 是方程，含一个未知数，次数是1；x+3y=8 也是方程，不过有两个未知数；x−5<18 是不等式，连等式都不是；4/x−2=9 是方程，分母里有 x，八上叫它分式方程。 【师】记得很全。次数如果从1变成2，方程会长什么样？带着这个问题做三件事。（板书课题） 环节二 从实际问题到新方程（约12分钟） 问题1 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？（出示图1） 图 1 无盖方盒剪折示意 【师】先别急着算。四角各剪去边长为 x cm 的正方形后，盒底的长和宽各变成什么？底面积 3600 cm² 这个条件又怎么用？ 【生甲】长是（100−2x）cm，宽是（50−2x）cm，每个角要剪掉两段 x。 【生乙】长乘宽等于底面积：(100−2x)(50−2x)=3600。 【师】请一位同学上来展开整理。 【生丙】（上台板演）100×50=5000，100×(−2x) 得 −200x，(−2x)×50 得 −100x，(−2x)×(−2x) 得 4x²；所以 4x²−200x−100x+5000=3600，移项合并得 4x²−300x+1400=0，两边除以4，就是 x²−75x+350=0。（记为①） （预设错误：若板演时漏掉 (−2x)×50 这一项、写成 4x²−100x+1400=0，教师不直接指错，让同桌逐一核对四个乘积是否齐全，自查后订正。四项乘积一个不能少，是多项式乘法的底线。） 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场），根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 【师】设应邀请 x 支球队参赛。一场比赛要几支队？全部赛完一共多少场？ 【生甲】每支队要和其余（x−1）支各赛一场，一共 x(x−1) 场。 【生乙】这样每场被算了两回——甲对乙和乙对甲是同一场，要除以2，一共 x(x−1)/2 场；7 天、每天 4 场，共 28 场。所以 (1/2)x(x−1)=28，整理得 x²−x−56=0。（记为②） 问题3 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感，如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？（出示图2） 图 2 人体雕像 【师】设雕像腰部以下的身长 BC 为 x m，全身 5 m，腰部以上多长？比例关系“腰上比腰下，等于腰下比全身”怎么写成式子？ 【生甲】腰部以上是 5−x；(5−x)/x=x/5，交叉相乘得 x²=5(5−x)，整理得 x²+5x−25=0。（记为③） 环节三 归纳概念与一般形式（约10分钟） 【师】把①②③和一元一次方程放在一起看，它们和一元一次方程差在哪里？有三条共同点，同桌先互相说。 【生甲】都是整式方程；都只含一个未知数；未知数的最高次数是2。 【师】一次方程“最高次数是1”，这三个是“最高次数是2”。三条凑齐，这样的方程有了名字（板书定义，全班齐读）：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程。 （出示图3）一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0（a≠0）。其中 ax² 叫二次项，a 叫二次项系数；bx 叫一次项，b 叫一次项系数；c 叫常数项。 图 3 一元二次方程的一般形式与各项名称 【师追问】a 能不能等于0？独立想半分钟再回答。 【生甲】能吧，a=0 式子照样成立。 【生乙】不行。a=0 二次项就没了，剩下 bx+c=0，那是一次方程，和定义里“最高次数是2”矛盾。 【师】乙说到点子上了。所以一般形式必须附带 a≠0，这是概念里藏着的门槛。b、c 可以为0：ax²+c=0、ax²+bx=0、ax²=0 都仍是一元二次方程。 牛刀小试 下列方程①3/x²=5　②8x²=x　③x³−4x=0　④ax²+2x−3=0　⑤x²=3y+1　⑥√(x²+1)=x−1　⑦x(2x−3)=2x(x−1)，其中一定是一元二次方程的是＿＿＿＿。 【生甲】①不行，分母里有 x²，不是整式方程；③是三次的；⑤有两个未知数；⑥根号里有式子，不是整式方程；⑦要展开看，2x²−3x=2x²−2x，两边消去 2x²，剩 −3x=−2x，是一次方程。 【生乙】④我一开始也选了，但题目没说 a≠0，万一 a=0 就变成一次方程了，所以不行。 【师】⑦的思路值得全班记一笔：先化简，再判定。七个里只剩②——8x²=x 移项得 8x²−x=0，三条依据全占。（预设错误：选④的同学是漏了“二次项系数不为0”这个隐含条件；选⑦的同学是没先化简，被表面的 x² 迷惑。纠正办法都是回到定义的三条依据逐条对照。） 环节四 例题精讲：化一般形式、认系数（约8分钟） 例1 将 3x(x−1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数、常数项。 【师】先看左边，3x 要乘括号里的每一项；右边同样处理。第一步是什么？ 【生甲】去括号：3x²−3x=5x+10。 【生乙】第二步移项、合并同类项，得 3x²−8x−10=0。二次项系数3，一次项系数 −8，常数项 −10。 【师】注意，一次项系数是 −8，不是8。系数要带着前面的符号走，这条从今天起当成规矩。（预设错误：写系数时丢掉负号，把一次项系数写成8。纠正办法：把 3x²−8x−10=0 与 3x²+8x−10=0 并排写在黑板上，让出错的学生代入一个数比一比两边，发现不是同一个方程。学生当堂仿写同类练习：把一个含括号的一元二次方程化为一般形式并指出三项系数，教师巡视，重点看符号。） 环节五 认识一元二次方程的解（约5分钟） 试一试 下面哪些数是方程 x²−4x+3=0 的解？−1，0，1，2，3。 【师】解还求不出来，但可以检验。怎么检验？ 【生甲】把数代到左边算。x=1 时，1−4+3=0，左边等于右边，是解。 【生乙】x=3 时 9−12+3=0，也是解；x=2 时 4−8+3=−1，不是0，不是解；x=−1 时 1+4+3=8，不是；x=0 时是3，也不是。 【师】（预设错误：有学生把 x=2 代成 4−2×2+3，把 −4x 算成 −2x，得 3，错判 2 是解。纠正办法：−4x 是 −4 与 x 的乘积，先算乘法再算加减。）能使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作它的根。（板书）检验只用代入和有理数运算，今天谁都能上手。 环节六 当堂检测与课堂总结（约10分钟） 【随堂训练】见《练习册》“随堂小练”相应课时。 当堂检测 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. 3x+1=0　　B. x²−3=0　　C. y+x²=4　　D. 1/x+x²=2 2. 一元二次方程 3x²=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A. 3，5　　B. 3，0　　C. 3，−5　　D. 5，0 3. 关于 x 的方程 (a−1)x²+4x−3=0 是一元二次方程，则（　　） A. a>1　　B. a=1　　C. a≠1　　D. a≥0 4. 已知关于 x 的方程 xk−1−2x+3=0 是一元二次方程，则 k=＿＿＿＿。 5. 将下列方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数、常数项： (1) 5x²−1=4x；(2) 4x²=81；(3) 4x(x+2)=25；(4) (3x−2)(x+1)=8x−3。 6. 根据问题列一元二次方程，并化为一般形式： (1) 4 个完全相同的正方形面积之和是 25，求正方形的边长； (2) 一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形的长； (3) 把长为 1 m 的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。 课堂总结 师生按图4的知识结构图把本课串一遍，先让学生用自己的话逐条说，教师补漏： 1. 一元二次方程的三个判定条件是什么？ 2. 一般形式 ax²+bx+c=0 中，为什么规定 a≠0？b、c 可以为0吗？ 3. 怎样把方程化为一般形式，并识别各项与对应系数？ 4. 什么是一元二次方程的根？怎样检验一个数是不是方程的解？ 图 4 本课知识结构 【作业布置】1. 教材习题 25.1 相关题目；2. 同步练习相应课时训练。 八、板书设计 25.1 一元二次方程 一、定义：只含一个未知数、是整式方程、未知数最高次数是2 二、一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0） 　　ax²——二次项，a——二次项系数 　　bx——一次项，b——一次项系数 　　c——常数项；关键：a≠0，b、c 可以为0 三、特殊形式：ax²+c=0、ax²+bx=0、ax²=0 四、根：使方程左右两边相等的未知数的值（检验用代入） 九、教学反思 问题2的对话比预设多花了约3分钟——不少学生想不通“为什么除以2”，临时改用甲、乙两班各出2人握手的例子才说清，下次备课时把这个握手情境直接做进课件。当堂检测第3题有近三分之一学生选B，错因是把“二次项系数是 a−1”看成了“系数是 a”，讲评时先带学生把 (a−1) 整体圈出来、认作二次项系数，再用 a=1 反例验证，之后复测正确率明显回升。第5(4)题展开 (3x−2)(x+1) 时，有5人把 −2 与 x 的乘积写成 +2x，符号法则还要在课前3分钟小练里反复过。小组辨析环节个别组跑题闲聊，下次巡视要盯住后排两组，并把“先化简再判定”提前写在练习纸顶端提醒。 参考答案与解析 第1题：答案 B。解析：A 只含一次项，是一元一次方程；B 满足整式方程、只含一个未知数、最高次数是2三条依据；C 含 x、y 两个未知数；D 分母含 x，不是整式方程。验算：把 B 写成 x²+(−3)=0，a=1，b=0，c=−3，一次项系数与常数项可以为0，仍是一元二次方程，判定成立。 第2题：答案 C。解析：先移项，把 3x²=5x 化成 3x²−5x=0，二次项 3x² 的系数是3，一次项 −5x 的系数是 −5。验算：3x²−5x 加上 5x 得回 3x²，与原方程一致，移项无误；选A、B的同学漏了移项这一步，选D的同学把一次项本身当成了系数。 第3题：答案 C。解析：二次项系数是 a−1 而不是 a，二次项系数不为0，即 a−1≠0，得 a≠1。验算：取 a=1，方程变为 4x−3=0，是一次方程，与“是一元二次方程”的题设矛盾，可见 a=1 必须排除；a 取 0、2、−1 等其余值时二次项都在，C 正确。 第4题：答案 k=3。解析：一元二次方程的未知数最高次数是2，即指数 k−1=2，得 k=3。验算：k=3 时方程为 x²−2x+3=0，是整式方程、只含一个未知数、最高次数是2，符合题意。 第5题： (1) 移项得 5x²−4x−1=0，二次项系数5，一次项系数 −4，常数项 −1。验算：5x²−4x−1 加 4x 加 1 得回 5x²，与原方程左边一致。 (2) 移项得 4x²−81=0，二次项系数4，一次项系数0，常数项 −81。验算：4x²−81 加 81 得回 4x²，与原方程 4x²=81 一致。 (3) 去括号得 4x²+8x=25，移项得 4x²+8x−25=0，二次项系数4，一次项系数8，常数项 −25。验算：4x(x+2)=4x·x+4x·2=4x²+8x，左端展开无误。 (4) 去括号得 3x²+x−2=8x−3，移项合并得 3x²−7x+1=0，二次项系数3，一次项系数 −7，常数项1。验算：用分配律复算 (3x−2)(x+1)=3x·x+3x·1−2·x−2·1=3x²+x−2；3x²+x−2 减去 (8x−3) 得 3x²−7x+1，系数与符号无误。 第6题： (1) 设正方形边长为 x，则 4x²=25，化为一般形式 4x²−25=0。验算：边长 x 的正方形面积是 x²，四个面积之和是 4x²，等量关系与题意一致。 (2) 设矩形长为 x，则宽为 x−2，列方程 x(x−2)=100，化为 x²−2x−100=0。验算：长减2恰为宽，长乘宽恰为面积，设与答对应，单位统一。 (3) 设较短一段长为 x m，则较长一段为（1−x）m，列方程 x=(1−x)²，化为 x²−3x+1=0。验算：短段长乘全长 1 得 x，恰好等于长段的平方 (1−x)²，等量关系与题意一致；两段之和 x+(1−x)=1 m，未丢未重。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 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