河北省滦州市第一中学2026-2027学年第一学期高三年级9月考试数学试题

高三月考-数学 滦州市第一中学2026-2027学年第一学期 高三年级9月考试数学学科试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知命题p：则命题p的否定为       A. B. C. D. 2.已知集合，，则或(    ) A. B. C. D. 3.已知等比数列中，，则 (    ) A. 8 B. 16 C. D. 32 4.已知向量，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.已知，那么的展开式中的系数为(    ) A. 120 B. C. 192 D. 6.如图，在长方体中，，，点P是线段的中点，则异面直线AP与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 7.掷红、蓝两个均匀的骰子，设事件A：蓝色骰子的点数是5或6；事件B：两骰子的点数之和大于8，则(    ) A. B. C. D. 8.函数的大致图象为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若复数z满足，其中i是虚数单位，则(    ) A. z的虚部为3 B. 在复平面内，z对应的点在直线上 C. D. 10.设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是(    ) A. 准线l的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段AB的中点，则AB所在的直线方程为 D. 以线段MF为直径的圆与y轴相切 11.已知函数的定义域为，导函数为，满足为自然对数的底数，且，则(    ) A. B. 在处取得极小值 C. 存在唯一的实数使得 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在中，若，，，则的面积等于           . 13.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，则         . 14.已知函数，若函数 恰有6个零点，则实数a的取值范围为       . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： 求a的值和上四分位数； 现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列和期望. 16.本小题15分 已知函数 若，求曲线在处的切线方程； 若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值. 17.本小题15分 如图，在正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，E是棱上的动点不与B、重合，连接 证明： 已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ABC夹角的余弦值. 18.本小题17分 已知函数 求函数的单调递增区间和图象的对称轴方程； 设，，，若函数是奇函数. 求函数取得最大值时x的取值集合； 设，若任取，总存在，使成立，求a的取值范围. 19.本小题17分 已知函数 求函数的单调区间及零点； 若对任意，都有，求实数p的取值范围； 设，证明：数列单调递增，且 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 滦州市第一中学2026-2027学年第一学期 高三年级9月考试数学学科试题答案 1.【答案】C  【解析】【分析】根据全称量词命题的否定判断即可. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，故p的否定为“” 2.【答案】B  【解析】解：因为，， 所以，，， 所以，或， ，故选： 结合集合基本运算检验各选项即可求解． 本题主要考查了集合基本运算，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：由等比数列的性质可得：， 则故选： 根据等比数列的性质求解即可． 本题主要考查等比数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题． 4.【答案】A  【解析】解：向量，，且， ，， 则，故选： 由题意，利用两个向量垂直的性质，求得，再根据同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得的值． 本题主要考查两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，属于基础题． 5.【答案】D  【解析】解：根据组合数的性质可得：，即， 化简得，解得或不符合题意，舍去， 所以， 展开式的通项公式是， 、1、2、…、6， 令，解得，可得项的系数是故选： 根据组合数性质求出n的值，从而可得，运用二项式定理求解，可得展开式中项的系数． 本题主要考查组合数的性质、二项式定理、有理数指数幂的运算法则等知识，属于中档题． 6.【答案】A  【解析】解：以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以，， 即异面直线AP与所成角的余弦值为故选： 以D为原点建系，利用向量法求异面直线所成角即可． 本题考查异面直线所成角的求法，熟练掌握利用向量法求异面直线所成角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 7.【答案】B  【解析】解：掷红、蓝两个均匀的骰子，设事件A：蓝色骰子的点数是5或6；事件B：两骰子的点数之和大于8， 掷一个均匀的骰子，共有6种不同的结果，且事件A为蓝色骰子的点数是5或6， 事件B为两骰子的点数之和大于8； 事件AB表示蓝色骰子的点数是5或6且两骰子的点数之和大于8，则： 当蓝色骰子的点数是5时，红色骰子的点数可以为4，5，6，共3种情况； 当蓝色骰子的点数是6时，红色骰子的点数可以为3，4，5，6，共4种情况． 红、蓝两个均匀的骰子，共有种不同的结果， 故选： 利用条件概率求解． 本题考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 8.【答案】A  【解析】解：函数， 可得，解得， 所以函数的定义域为， 又因为 ， 所以关于中心对称，故排除C，D； 当时，，， ，， 所以，图象位于x轴下方，故排除 由对称性可知当时，的图象位于x轴上方，所以只有A满足．故选： 先求出函数的定义域为，再判断出关于中心对称，进而判断出当时，的图象位于x轴下方，结合排除法即可得答案． 本题主要考查函数图象的判断，属于基础题． 9.【答案】BCD  【解析】解：，则， 所以，z的虚部为，故A错误； 在复平面内，z对应的点为，该点在直线上，故B正确； ，所以，故C正确； ，故D正确．故选： 利用复数的概念、四则运算、共轭复数、模、几何意义判断选项即可． 本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题． 10.【答案】BD  【解析】解：由抛物线C：，可得其焦点为，准线方程为，故A错误； B.如图所示，过点M作准线于点A，则， 所以，当且仅当E，M，A共线时，即图中，，最小，最小值为到准线的距离4，故B正确； C.A，B为抛物线上的两点，点为线段AB的中点， 设，， 则，两式相减得， 则，得，即直线AB的斜率为2， 所以直线AB的方程为，即，故C错误； D.设，则，且MF的中点坐标为，中点到y轴的距离为， 所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，故D正确．故选： A.根据抛物线方程，直接求准线方程；根据抛物线定义的应用，结合图形，转化为三点共线问题求解；利用点差法求直线AB方程；根据直线与圆相切的定义，结合抛物线的定义，即可判断． 本题主要考查抛物线的性质应用，考查计算能力，属于中档题． 11.【答案】BCD  【解析】解：A选项，设，则， 可得在区间上单调递减，在上单调递增， 故，即，得，故A错误； B选项，可设，可得，因此，，因此， 因此，，由可得，由可得， 因此在区间上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得极小值，故B正确； C选项，又因为，，可得函数大致图象如下： 结合图象知，存在唯一的实数使得，故C正确； D选项，由于，而，因此，故D正确．故选： 构造函数，求导确定函数的单调性，结合单调性可得，从而判断A；根据导数运算可设，由，从而可得c的值，于是得函数的解析式，求导确定单调性得的极值点即可判断B；根据单调性结合函数确定的根是否唯一即可判断C；根据单调性确定函数值大小即可判断 本题考查利用导数求解函数的单调性与函数的极值，属于中档题． 12.【答案】  【解析】【详解】根据余弦定理：， 将已知条件代入：，  展开整理得：，即 ， 解得或，舍去负根，得，  代入三角形面积公式 13.【答案】2  【解析】解：已知双曲线，则双曲线的一条渐近线方程为，化为一般式：，由圆可知，圆心坐标为，半径， 则圆心到渐近线的距离， 所以弦长故答案为： 求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公式得出结论． 本题考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式及弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：当时，则，所以当时， 当时，所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，，且时， 当时，当时， 函数在上单调递增， 所以的图象如下所示： 对于函数，令， 即，令，则， 要使恰有6个不相等的实数根， 即关于t的有两个不相等的实数根，，且，，， 令，则有两个不相等的零点均位于之间， 所以，且，解得， 所以实数a的取值范围为故答案为： 利用导数求出在上的单调性与极大值，即可画出函数的图象，依题意可得关于x的方程恰有6个不相等的实数根，令，则关于t的有两个不相等的实数根，，利用根与系数的关系，即可求出参数a 的取值范围． 本题考查函数方程与零点问题，属于难题． 15.【答案】 【解析】解：由频率分布直方图易知， ，解得， 上四分位数是第75百分位数， 由图知的频率为，的频率为，的频率为， 所以上四分位数落在内，不妨设为x， 则，解得， 所以上四分位数为； 由图可知与的频率之比是：：：4：1， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取5人， 则X的可能取值为0，1，2， 易知， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 利用频率分布直方图的特征及百分位数的算法计算即可； 根据频率分布直方图结合分层抽样方法、离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可． 本题考查了百分位数和离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题． 16.【答案】解：当时，， ， 因此，， 所以曲线在处的切线方程为， 即为； 因为的导数为， 而函数在处取得极值， 所以，即，解得， 因此， 由得或；由得， 因此函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值1，在处取得极小值 又因为当时，；当时，， 作函数的图象如下图， 由图可知：函数在处取得最大值1；在处取得最小值 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 的最大值为1，最小值为  【解析】本题考查了函数的最值，导数的几何意义，直线的点斜式方程和利用导数研究函数的极值，属于中档题. 利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，计算得结论； 利用导数研究函数的极值得，从而得，再利用导数研究函数的极值得函数在处取得极大值1，在处取得极小值，再结合函数的解析式得函数的大致图象，再利用函数的图象，结合函数的最值得函数在处取得最大值1；在处取得最小值，从而得结论. 17.【答案】【解析】解：证明：取AC中点O，连接BO，OD，如图所示： 由题易知， 因为D为棱的中点，得， 又面ABC，则面ABC， 又面ABC，所以， 又，BO，面BOD， 所以面BOD，面BOD，所以， 又因为，故可以证得； 建立空间直角坐标系，如如所示： ，， 设，则， 由题可知面ABC与面的一个法向量均为， 因为线与面所成角的正弦值为， 所以，解得， ，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面与平面ABC夹角的余弦值为 根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合正三棱柱的结构特征推理得证； 建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求出坐标，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解． 本题主要考查线线垂直的判定以及平面与平面所成的角，属于中档题． 18.【答案】单调递增区间为，，对称轴方程为，；   ；  【解析】令，，解得， 则函数的单调递增区间为， 令，，解得， 故函数图象的对称轴方程为， ， 若函数是奇函数，则，即，， 因为，所以令，得， 则 令，解得， 即函数取得最大值时x的取值集合为 ⅱ当时，，此时的值域为 设函数的值域为B，由题意 设，则，设函数，， 所以， 当时，，所以函数在上单调递减，所以， 由； 当时，，所以函数在上单调递增，所以， 由 当时，，函数的最大值为，由或，不合题意． 综上，a的取值范围为 根据整体代换求函数的单调区间及对称轴方程即可； 根据函数奇偶性可得，再利用正弦型函数取最值的条件代入即可求解； 根据双变量问题转化为函数值域间的关系，由换元法，利用二次函数讨论对称轴与区间的关系得到值域，再根据值域的包含关系求解即可． 本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题． 19.【答案】解：函数的定义域为，且， 因为等号仅在时成立，所以的单调递增区间为，无减区间， 又，所以的零点为； 令，则 当时，又，所以当时， 又当时，，故时，题设不等式成立. 下面证明时，题设不等式不恒成立. 当时，由第问知当时，而，故不符合题意，舍去. 当时，令，则，且 当时，，从而由于，故在上述区间内，题设不等式不成立，舍去.综上，实数p的取值范围为 由，得， 由第问，，所以数列单调递增， 又由该求和式及第问，得， 在第问所得不等式中令，得 对，2，，n求和，得， 对任意正整数k有， 因此， 结合上述两个不等式， 【解析】利用导数求函数的单调区间，结合单调性及即可确定零点； 分、、三种情况，结合导数求解即可； 先求得，利用作差法证明的单调性，由可得，再用裂项相消法求和即可证明． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $