期中复习高效提分讲义（提高篇）-2026-2027学年高一上学期数学沪教版2020必修第一册

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 期中复习高效提分讲义（提高篇） 考点01：集合的意义与表示方法 1.已知集合，若，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 2. 含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 _____． 【答案】1 【详解】因为， 显然，故，则； 此时两集合分别是， 则，解得或. 当时，不满足互异性，故舍去； 当时，满足题意. 所以 故答案为：. 3. 如果集合只有一个元素，则实数的值是_______ 【答案】0或 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 4. 数集满足条件：若，则. （1）若，求集合中一定存在的元素； （2）集合内的元素能否只有一个？请说明理由； （3）请写出集合中的元素个数的所有可能值，并说明理由. 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）见解析. 【详解】（1）由，令，则由题意关系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：. （2）不，理由如下： 假设M中只有一个元素a，则由，化简得，无解，所以M中不可能只有一个元素. （3）M中的元素个数为，理由如下： 由已知条件，则，以此类推可得集合M中可能出现4个元素分别为：，由(2)得， 若，化简得，无解，故； 若，化简得，无解，故； 若，化简得，无解，故； 若，化简得，无解，故； 若，化简得，无解，故； 综上可得：，所以集合M一定存在的元素有，当取不同的值时，集合M中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M中元素的个数为. 考点02：集合之间的关系 5. 已知集合，，若，则实数的取值集合为______ 【答案】 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 6.已知集合，，且，则_______ 【答案】 【分析】由，得，进而得到关于的方程，结合集合的性质求解即可. 【详解】由，得， 所以或或，解得或或或. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，符合题意. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 故. 7.设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则，解得，所以， 又是幂函数，且，即在上单调递减， 当时，；当时，，所以， 所以． 8. （25-26上海师大附中高一上期中）已知集合，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）分式不等式等价于，解得即可； （2）分、两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 等价于，解得，则； 【小问2详解】 因为， 当时，，解得，满足题意； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 考点03：集合的运算 9.已知集合，，则______ 【答案】 【详解】因为，， 所以. 10.若集合，，，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【详解】根据已知条件，解不等式，可得， ， 由，则. 当时，则，解得； 当时，则，解得， 所以实数的取值范围为. 11．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________． 【答案】 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 12.设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，因为指数函数单调递增，所以，即. 已知，所以. 分析Venn图：阴影部分表示集合中去掉的部分. 因此阴影部分表示集合. 13.某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】设出喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数，根据题意，列方程即可解出答案. 【详解】设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为， 则只喜欢篮球的有，只喜欢乒乓球的有， 所以，解得， 所以同时喜欢篮球和乒乓球的人数为10， 故选：B. 14. 设集合，，，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】先化简集合，再由条件，对集合分三次讨论即可. 【详解】由题意可得，， ，， 又∵，∴或， 即当或时，不等式恒成立， 又不等式可化简为， ①当时，或，即，此时； ②当时，，此时满足题意； ③当时，或，即，此时； 综上所述，. 考点04：常用逻辑用语 15.陈述句“且”的否定形式是________. 【答案】或. 【分析】利用陈述句的否定可得出结论. 【详解】由已知条件可知，陈述句且的否定形式为“或”. 故答案为：或. 16.若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【详解】命题“对任意的，都有”为假命题， 则“存在，”为真命题， 当时，满足； 当时，满足； 当时，需，解得； 综上：. 故答案为： 17.已知命题P：方程有两个不相等实根；命题Q：不等式与均有解，则命题P成立是命题Q成立的（ ）条件. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】先分析出命题，成立所满足的条件，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若命题成立，即方程有两个不相等实根， 须满足； 若命题成立，即不等式与均有解，有两种情况： 第一种情况，不等式是一元二次不等式， 此时不等式所对应的二次函数的图像必须与轴有两个交点， 所以须满足； 第二种情况，不等式是一元一次不等式，此时须满足. 综上可知，由命题能推出命题，但是由命题不能推出命题， 即命题P成立是命题Q成立的充分非必要条件. 故选：A 18.设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：对不等式移项通分得，已知，即， 要使分式大于0，分母必须也为负，因此可得，充分性成立； 必要性：若，说明异号，结合条件，可知为正数，为负数. 因此，，必然有，必要性成立. 综上，是的充要条件。 19. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，，解得， ，， 当满足，则其一定满足， 即由可以推出， “”是“”的充分条件; 若时，其满足，不满足， 即由不能推出; “”不是“”的必要条件， “”是“”的充分不必要条件. 20. 已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】对于A，若，满足，而， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，， 则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即， 所以“”是“”的必要条件，故D正确. 21. 设函数的定义域为集合，函数，的值域为集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）对于函数，则有， 得， 故， 当时，由反比例函数性质得在上递减， 则函数在上递减，可得，即， 得到，则，即.……（7分） （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，由反比例函数性质得函数在上单调递减， 所以，且，得到，解得. 因此实数的取值范围是.……（14分） 考点05：等式与不等式的性质 22．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 23. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，逐一判断即可. 【详解】选项A，若，只有当时，，当时，，故A错误； 选项B，若，则，或，或，故B错误； 选项C，若，当时，，故C错误； 选项D，若，则，则，故D正确. 故选：D. 24．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 25．已知，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】设,则解得 故， 由,故， 由,故， 所以. 故答案为：. 26.设为实数，满足，则下列结论正确的是_______ (1) (2) (3) (4) 【答案】(2) (3) 【解析】因为，所以，故(1)错误，(2)正确. ，所以，故(3)正确. ，所以，故(4)错误. 故选：(2) (3) 考点06：一元二次不等式的求解 27.不等式的解集为______． 【答案】 【详解】不等式即， 的根为， 故的解集为， 即不等式的解集为， 故答案为： 28.不等式的解集为，则的解集为______. 【答案】 【详解】由的解集为，可知，且是方程的两根， 则，即，． 则不等式，即为， 则，即，解得或， 所以的解集为． 29.若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为____． 【答案】 【分析】利用韦达定理得到两根之积与两根之和与系数的关系，得到方程，解得，再验证时，原不等式解集为即可 【详解】由题设可得. 由韦达定理， 当时，原不等式无解，不满足题意. 当时，， 所以，解得. 将代入原式可得关于的不等式 此时一元二次方程满足判别式， 故的解集为，满足题意，所以 30. 关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】分类讨论两根大小解不等式，结合题意分析求解即可. 【详解】对于不等式，可得不等式， 若，解得，无正整数解，不合题意； 若，不等式无解，不合题意； 若，解得，由题意可得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 31.已知不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求； (2)若对任意实数，不等式均成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）易知不等式等价于， 可得； 当时，不等式即为， 可得； 因此可得……（7分） （2）当时，不等式为恒成立； 当时，由恒成立可得，解得； 综上可得实数的取值范围为.……（14分） 32.关于的不等式： (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1)或； (2)答案见解析. 【详解】（1）当时，原不等式化为， 方程的实数根为，， 所以原不等式的解集为或. （2）， 当时，原不等式化为，所以原不等式的解集为； 当时， 方程即的根为，， 且， 当或时，；当时，；当时，； 所以当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集， 当时，原不等式的解集为， 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 考点07：分式不等式和绝对值不等式的求解 33．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 34.不等式解集为_________ ． 【答案】 【详解】当时，原不等式可化为，即0＞0，矛盾，舍去； 当时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此； 综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1解集为. 35.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】因为不等式，不等式的最大值为， 对任意，不等式恒成立，所以， 则的取值范围为，即得的取值范围为. 36. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ________． 【答案】 【详解】因为，当且仅当时，即取等号， 又，不等式恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 37.已知集合，集合，定义集合且 (1)若，求． (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， . 由，则，故. （2）由得，即有或，故. 故a的取值范围为. 考点08：基本不等式及其应用 38.若正数满足，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】因为是正数，所以， 又，所以，即， 所以，当且仅当，即时，取得最小值； 故答案为： 39.设，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为，，且，则有， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 40.已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】4 【详解】由可得，所以原式①. 令，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以. 所以①式可化为原式. 令，则， 当且仅当，即，即时等号成立，所以， 所以的最小值为4. 故答案为：4 41.若，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 42.已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 43.已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】B 【分析】对进行变形，结合基本不等式逐项进行分析. 【详解】选项A：由得，， 又，，所以， 所以， 因为，所以，所以.故选项A正确. 选项B：由得，， 则， 又，所以，当且仅当即时，等号成立.故选项B错误. 选项C：， 又，所以，当且仅当即时，等号成立. 故选项C正确. 选项D：由得，， 所以， 由选项C知，当时，取得最小值， 故的最小值为.故选项D正确. 故选：B 考点09：幂 指数与对数 44. 化简： ． 【答案】 【分析】由根式的计算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 45.设，将改写成指数形式为__________ 【答案】 【分析】根据分数指数幂与根式的关系结合指数幂运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为： 46.已知，则 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以，故， 故， 又， 所以， 所以. 47. 如果，那么__________. 【答案】125 【解析】 【分析】先求，再求，从而得解. 【详解】由，得， 进而得，解得. 故答案为125. 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题. 48.已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】由对数运算、指数运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 49.已知，，则______（用含有，式子表示）. 【答案】 【分析】根据换底公式和对数的运算性质计算即可. 【详解】因为，所以. . 故答案为：. 50.已知，记，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设得到、，再由对数运算性质即可求解. 【详解】由得，由得， 则，， 因此， 因此，又因且， 故. 故选：C 51.（1）化简：； （2）已知（且），求的值； （3）化简：． 【答案】（1）28；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由根式的运算与幂的运算法则计算； （2）由幂的运算法则计算出与后可得； （3）根据对数的运算法则及换底公式计算可得． 【详解】（1）； （2）（且）， 则，， 所以； （3）． 考点10：幂函数 52.若函数是幂函数，且，则______． 【答案】64 【分析】由题意求得，代入即可得解. 【详解】设，由，得，解得，所以，所以． 故答案为：64. 53.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（ ） A. 2 B. C. 0或 D. 0或2 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及性质得解. 【详解】由题意可知，，解得或， 故选：C 54.如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数、、从小到大的排列顺序为 　　．（请用“”连接） 【解析】对于，由其图象可知，例如， 对于，由其图象可知，例如， 对于，由其图象可知，例如， 所以． 故答案为：． 55.实数满足，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式. 【详解】，其定义域为，且在定义域上单调递减， 因为，所以，解得 故答案为： 56．（2023·高一单元测试）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式. 【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2． 当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意； 当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1． 不等式化为， 函数在和上单调递减， 故或或，解得或． 故应选：D． 57. 下列关于幂函数的说法不正确的是（ ） A. 定义域为 B. 值域为 C. 在上单调递增 D. 的解集为 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质求出的定义域、值域、奇偶性和单调性判断选项ABC；利用奇偶性和单调性解不等式，得到，判断选项D. 【详解】因为幂函数，由于立方根的意义可得幂函数定义域为，选项A正确； 因为，所以，所以幂函数值域为，选项B正确； 因为，所以为偶函数，又因为， 所以幂函数在区间单调递增， 根据偶函数的性质得到在上单调递减，选项C错误； 由于为偶函数，所以 ，由， 根据函数图象和性质，可得，则有， 解得，选项D正确； 故选：C 58.已知幂函数在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）设，为实常数，求在区间，上的最小值． 【解析】（1）因为幂函数在上单调递增， 所以，故． 又因为，故，或，所以． （2）由（1）知， ①若，即时，在，上单调递增， 所以． ②若，即时， 在，上单调递减，，上单调递增， 所以． ③若，即时，在，上单调递减， 所以（1）． 综上：时，在区间，上的最小值为； 时，在区间，上的最小值为； 时，在区间，上的最小值为． 考点11：指数函数 59. 若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 60. 函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，作出函数的图象，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 61.函数（且），的图象恒过定点，则点的坐标_________． 【答案】 【分析】根据指数的性质令即可求解. 【详解】（且）， 令，解得，，故定点为， 故答案为： 62.若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到. 【详解】是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 63. 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为二次函数的对称轴为， 所以有，即， 故选：A 64. 已知函数，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】函数，根据绝对值的性质将函数分段讨论其单调性等性质.已知且，计划先求出和的取值范围或者关系，再对每个选项进行分析判断. 【详解】对于函数，这是一个单调递增的指数函数. 函数，当，即时，； 当，即时，. 画出的图象，可以看到函数在上单调递减，在上单调递增，且. 因为，，所以，. 此时，移项可得，所以选项A正确. 由，根据基本不等式. 即，两边同时平方得，化简得，所以. 又因为，所以，选项B正确. 由图形知道，，所以选项C错误. 由得. ，令，. 则. 当时，，所以选项D正确. 故选：C. 65.已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点和分别代入解析式，即可求得和的值，再根据指数函数的性质，即可求解； （2）分和讨论，结合指数型函数的单调性即可求解. 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 考点12：对数函数 66. 已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的 图象过点， 所以， 则， 所以，， 故选：B. 67.如图，其所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数为，由图可知，，排除C,D，又，排除A. 故选：B. 68.函数的图象恒过定点，若在直线上，其中，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，即 因为在直线上，所以 当且仅当时，取等号，即的最小值为 故选：A 69.已知函数，则的单调减区间为__________. 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】的定义域为， 而函数在单调递增，在单调递减， 函数为定义域内的单调递减函数， 所以的单调减区间为， 故答案为： 70.已知函数，． (1)求函数的定义域； (2)试讨论关于x的不等式的解集． 【解析】(1)由题意可得解得．故函数的定义域为． (2)当时，函数是增函数． 因为，所以解得．当时，函数是减函数． 因为，所以解得． 综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 71.已知且，函数的定义域为． (1)求的取值范围； (2)讨论关于的不等式的解集． 【解析】（1）因函数的定义域为，则，成立， 即有：，解得，又且，因此，或， 所以的取值范围是. （2）由(1)知，或，不等式， 当时，函数在上单调递减，于是得，即，解得， 当时，函数在上单调递增，于是得，即，且，解得或， 所以，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 72.已知函数（且）在区间上的最大值是16， （1）求实数的值； （2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解； （2）根据的定义域是，由恒成立求解． 【详解】（1）当时，函数在区间上是减函数， 因此当时，函数取得最大值16，即， 因此． 当时，函数在区间上是增函数， 当时，函数取得最大值16，即， 因此． （2）因为的定义域是， 即恒成立． 则方程的判别式，即， 解得， 又因为或，因此． 代入不等式得，即， 解得， 因此实数的取值范围是． 考点13：应用题 73.某物流公司为了扩大业务量，计划建造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． （1）设仓库前面墙体的长为米（），甲工程队的整体报价为元．若该物流公司计划投入的建造资金不超过60000元，求前面墙体长的取值范围． （2）在（1）的条件下，当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？ 【答案】（1） （2）当仓库前面墙体的长度为6米时，甲工程队的整体报价最低，为57600元 【详解】（1）甲队整体报价为：元 要求，即，化简得 由于，则不等式化为， 解得，， 所以前面墙体长的取值范围为． （2）甲队整体报价： 当且仅当，即，解得（满足）时等号成立， 所以当仓库前面墙体的长度为6米时，甲工程队的整体报价最低，为57600元． 74. 现有某服装制造公司，设公司与服装贸易中心距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：公司每年仓库存储费用（单位：万元）与成反比；每年运输费（单位：万元）与成正比．已知公司与服装贸易中心距离为1时，和分别为万元和万元． （1）分别求，关于的函数表达式； （2）当这家公司与服装贸易中心距离为多少千米时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 【答案】（1）， （2）当这家公司与服装贸易中心距离千米时，两项费用之和最小，最小值为万元 【分析】（1）根据已知成反比和正比的条件，分别设和，又已知当时，、，代入即可求出，从而求出，关于的函数表达式； （2）利用基本不等式即可求出最小值，及取最小值时的的值. 【小问1详解】 由题可知，与成反比，则设， 当时，，所以，因此， 又与成正比，则设， 当时，，所以，因此； 【小问2详解】 设两项费用之和为万元，则， 整理得，又， 所以根据基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时取最小值为， 因此，当这家公司与服装贸易中心距离千米时，两项费用之和最小，最小值为万元. 75.某工厂参加甲项目的工人有500人，平均每人每年创造利润万元.现在从甲项目中调出人参加乙项目的工作，平均每人每年创造利润万元（），甲项目余下的工人平均每人每年创造利润需要提高%. (1)若要保证甲项目余下的工人创造的年总利润不低于原来500名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加乙项目工作？ (2)在（1）的条件下，当从甲项目调出的人数不超过总人数的时，甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围. 【答案】(1)250 (2) 【分析】（1）根据已知条件列不等式，由此求得最多调出的人数； （2）根据“甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润”列不等式，分离常数，根据函数的单调性求得的取值范围. 【详解】（1）设从甲项目调出人参加乙项目工作， 由题意得：， 即，又，所以. 即最多调出250人参加乙项目工作. （2）由题知， 乙项目工作的工人创造的年总利润为万元， 甲项目余下工人创造的年总利润为万元， 则， 所以， 即恒成立， 因为，函数在上单调递减， 所以. 又，所以， 考点14：新定义压轴题 76. （25-26华东师大三附中高一上期中）若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 【答案】（1）不是，理由如下： 因为，所以不是“一集合”． （2）； （3），其中. 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可； （2）设，进而研究或是否存在正整数解即可； （3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解. 【小问1详解】 不是“一集合”，理由略； 【小问2详解】 设． 若，则或． 由，解得（舍去），此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 若，则或， 由，解得，此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 综上，所有满足条件的集合为． 【小问3详解】 若“集合”为双元素集， 不妨设，则或， 由，则，而，故，此时； 由，则，而，显然不存在正整数解； 所以，“集合”为，其中． 若“集合”含有两个以上的元素， 设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为， 则是“集合”中的元素， 若，解得， 若，则，矛盾， 若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解． 故所有满足条件的“集合”为，其中． 【点睛】关键点点睛：对于第二、三问，根据集合新定义给定公式，将问题化为研究相关方程是否存在正整数解. 77.定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】(1)为“1距”增函数. (2). (3) 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“1距”增函数. （2）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （3）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求参数的范围. 【详解】（1）因为，故， 故为“1距”增函数. （2）由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立， 若，因不成立，故舍， 故，解得. （3）因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立且恒成立， 故且， 故. 78.已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对于函数，存在常数，使得对函数定义域内的任意两个自变量，，均有成立． (1)已知函数，写出实数，，必须满足的条件； (2)对于集合中的元素，，求出满足条件的常数的最小值； (3)判断是不是集合中的元素，并说明理由． 【答案】(1)，，；(2)；(3)不是集合中的元素，理由见解析. 【分析】（1）结合题意，即当时，存在常数，使得恒成立，进而求解即可；（2）结合（1）可得当时，存在常数，使得恒成立，进而结合题设求解 即可；（3）先假设，可得当时，存在常数使得，恒成立， 进而结合指数函数的单调性及指数爆炸分析求解即可. 【详解】（1）由题意，，即存在常数，使得对函数定义域内的任意两个自变量，， 均有成立，， 当时显然成立，当时，即恒成立， 由，则当时，存在常数，使得恒成立， 则，则， 则恒成立，所以，，； （2）由，，因为，则当时，存在常数，使得恒成立， 则，则，由，则， 即恒成立，所以，则的最小值为； （3）不是集合中的元素，理由如下：若，则当时，存在常数使得，恒成立，则恒成立，由于函数在上为增函数， 且呈现指数爆炸的增长趋势，随着的增大，越来越大，因此， 则当时，不存在常数使得恒成立，所以不是集合中的元素. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 期中复习高效提分讲义（提高篇） 考点01：集合的意义与表示方法 1.已知集合，若，则的取值范围是______ 2. 含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 _____． 3. 如果集合只有一个元素，则实数的值是_______ 4. 数集满足条件：若，则. （1）若，求集合中一定存在的元素； （2）集合内的元素能否只有一个？请说明理由； （3）请写出集合中的元素个数的所有可能值，并说明理由. 考点02：集合之间的关系 5. 已知集合，，若，则实数的取值集合为______ 6.已知集合，，且，则_______ 7.设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 8. （25-26上海师大附中高一上期中）已知集合，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 考点03：集合的运算 9.已知集合，，则______ 10.若集合，，，则实数的取值范围为___________. 11．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________． 12.设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 13.某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 14. 设集合，，，若，求实数a的取值范围. 考点04：常用逻辑用语 15.陈述句“且”的否定形式是________. 16.若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为_______. 17.已知命题P：方程有两个不相等实根；命题Q：不等式与均有解，则命题P成立是命题Q成立的（ ）条件. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 18.设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20. 已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 21. 设函数的定义域为集合，函数，的值域为集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 考点05：等式与不等式的性质 22．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 23. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 24．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 25．已知，求的取值范围 ． 26.设为实数，满足，则下列结论正确的是_______ (1) (2) (3) (4) 考点06：一元二次不等式的求解 27.不等式的解集为______． 28.不等式的解集为，则的解集为______. 29.若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为____． 30. 关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是_____. 31.已知不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求； (2)若对任意实数，不等式均成立，求实数的取值范围. 32.关于的不等式： (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，解关于的不等式. 考点07：分式不等式和绝对值不等式的求解 33．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 34.不等式解集为_________ ． 35.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 36. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ________． 37.已知集合，集合，定义集合且 (1)若，求． (2)若，求a的取值范围． 考点08：基本不等式及其应用 38.若正数满足，则的最小值为_______． 39.设，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 40.已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 41.若，则的最小值为______. 42.已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 43.已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 考点09：幂 指数与对数 44. 化简： ． 45.设，将改写成指数形式为__________ 46.已知，则 . 47. 如果，那么__________. 48.已知，则的值为_____． 49.已知，，则______（用含有，式子表示）. 50.已知，记，则（ ） A. B. C. D. 10 51.（1）化简：； （2）已知（且），求的值； （3）化简：． 考点10：幂函数 52.若函数是幂函数，且，则______． 53.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（ ） A. 2 B. C. 0或 D. 0或2 54.如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数、、从小到大的排列顺序为 　　．（请用“”连接） 55.实数满足，则实数的取值集合为 . 56．（2023·高一单元测试）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57. 下列关于幂函数的说法不正确的是（ ） A. 定义域为 B. 值域为 C. 在上单调递增 D. 的解集为 58.已知幂函数在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）设，为实常数，求在区间，上的最小值． 考点11：指数函数 59. 若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 60. 函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 61.函数（且），的图象恒过定点，则点的坐标_________． 62.若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 63. 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 64. 已知函数，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 65.已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 考点12：对数函数 66. 已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 67.如图，其所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 68.函数的图象恒过定点，若在直线上，其中，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 69.已知函数，则的单调减区间为__________. 70.已知函数，． (1)求函数的定义域； (2)试讨论关于x的不等式的解集． 71.已知且，函数的定义域为． (1)求的取值范围； (2)讨论关于的不等式的解集． 72.已知函数（且）在区间上的最大值是16， （1）求实数的值； （2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围． 考点13：应用题 73.某物流公司为了扩大业务量，计划建造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． （1）设仓库前面墙体的长为米（），甲工程队的整体报价为元．若该物流公司计划投入的建造资金不超过60000元，求前面墙体长的取值范围． （2）在（1）的条件下，当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？ 74. 现有某服装制造公司，设公司与服装贸易中心距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：公司每年仓库存储费用（单位：万元）与成反比；每年运输费（单位：万元）与成正比．已知公司与服装贸易中心距离为1时，和分别为万元和万元． （1）分别求，关于的函数表达式； （2）当这家公司与服装贸易中心距离为多少千米时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 75.某工厂参加甲项目的工人有500人，平均每人每年创造利润万元.现在从甲项目中调出人参加乙项目的工作，平均每人每年创造利润万元（），甲项目余下的工人平均每人每年创造利润需要提高%. (1)若要保证甲项目余下的工人创造的年总利润不低于原来500名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加乙项目工作？ (2)在（1）的条件下，当从甲项目调出的人数不超过总人数的时，甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围. 考点14：新定义压轴题 76.若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 77. 定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 78.已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对于函数，存在常数，使得对函数定义域内的任意两个自变量，，均有成立． (1)已知函数，写出实数，，必须满足的条件； (2)对于集合中的元素，，求出满足条件的常数的最小值； (3)判断是不是集合中的元素，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $