第五章 一元函数的导数及其应用（举一反三讲义·基础篇）高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用全章十二大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 瞬时速度、平均速度 1．（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 【答案】A 【解题思路】利用导数求出的值，即可得出答案. 【解答过程】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度为. 故选：A. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（    ） A．10米/秒 B．8米/秒 C．4米/秒 D．0米/秒 【答案】A 【解题思路】根据平均变化率的定义求解. 【解答过程】，则， 即列车运行10秒的平均速度为米/秒. 故选：A. 3．（25-26高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【解题思路】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【解答过程】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 4．（25-26高三上·上海·期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为___________． 【答案】80 【解题思路】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度. 【解答过程】因为. 所以该物体时，物体的瞬时速度为. 故答案为：80. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平均变化率的公式即可得到答案； （2）物体在时的瞬时速度即为物体在时的瞬时变化率，先求出在附近的平均变化率，进而再求出在时瞬时变化率即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以物体在到这段时间内的平均速度为． （2）因为， 所以， 则物体在时的瞬时速度为． 题型2 平均变化率、瞬时变化率 6．（25-26高二下·河南·阶段检测）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据平均变化率的计算可得即可根据瞬时变化率的计算公式求解. 【解答过程】函数在区间上的平均变化率为 在时的瞬时变化率为， 所以，解得． 故选：B． 7．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数，则自变量x由1变到1.1时，的平均变化率为（    ） A．0.21 B． C．2.1 D． 【答案】C 【解题思路】直接求解即可. 【解答过程】平均变化率. 故选：C. 8．（25-26高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 9．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设函数，当由1变到1.1时，函数的平均变化率为__________． 【答案】4.2 【解题思路】根据平均变化率的定义直接求解即可. 【解答过程】设函数，当由1变到1.1时，函数的平均变化率为： . 故答案为：. 10．（25-26高二上·全国·课后作业）航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 【答案】(1)表示航天飞机未发射时的高度，表示航天飞机发射后的高度． (2) (3) 第末高度的瞬时变化率为． 它说明在第末附近，航天飞机的高度大约以的速度增加． 【解题思路】（1）根据的含义即可求解， （2）根据平均变化率的计算公式即可求解， （3）根据瞬时变化率的定义，利用极限即可求解.. 【解答过程】（1）表示航天飞机未发射时的高度，表示航天飞机发射后的高度． （2），即第内高度的平均变化率为． （3）， 即第末高度的瞬时变化率为． 它说明在第末附近，航天飞机的高度大约以的速度增加． 题型3 利用导数的定义解题 11．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是函数的导函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】可根据导数的定义对所给极限式子进行变形，进而得出结果. 【解答过程】已知， 故选：B. 12．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知，的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】C 【解题思路】根据题意，化简得到，结合导数的定义，转化为的值，即可求解. 【解答过程】因为， 则. 故选：C. 13．（25-26高二下·河北廊坊·开学考试）已知函数在上可导，若，则（    ） A．9 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【解题思路】借助导数定义计算即可得. 【解答过程】由导数定义可知： ， 故. 故选：B. 14．（25-26高二下·福建龙岩·阶段检测）已知函数是可导函数，且，则____________. 【答案】1 【解题思路】根据导数的定义求解即可. 【解答过程】解：因为函数是可导函数，且， 所以，根据导数的定义， 故答案为：. 15．（25-26高二上·全国·课后作业）已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）根据导数的定义即可求解. 【解答过程】（1）， 即． ． （2）， 即为函数在区间上平均变化率． ∴当时，必趋于， ， ． 题型4 函数图象与导函数的关系 16．（25-26高二上·天津河东·阶段检测）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【解答过程】由图象可知在上单调递增，， 故，即． 故选：B． 17．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】过点A作切线，过点B作切线，连接，得到直线，根据导数的几何意义以及斜率的定义结合图象即可得出答案. 【解答过程】 如图过点A作切线，斜率设为，过点B作切线，斜率设为，连接，得到直线，斜率设为，由图可知，. 又根据导数的几何意义以及斜率的定义可知， ，， 所以. 故选：B． 18．（25-26高二下·云南大理·期中）函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用可看成两点的割线斜率，再利用导数的几何意义，把，分别看成两点的切线斜率，由图形可知：点的切线斜率最大，点的切线斜率最小，两点的割线斜率介于两者之间，即可得到答案. 【解答过程】 由图可知：，即表示的是两点的割线斜率； 根据导数的几何意义，由，即表示的是函数曲线在点的切线斜率； 由，即表示的是函数曲线在点的切线斜率； 利用图形中三直线的倾斜角大小结合正切函数的单调递增可知：点的切线斜率最大，点的切线斜率最小，两点的割线斜率介于两者之间， 故选：A. 19．（25-26高三上·山西运城·期中）已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解. 【解答过程】根据导数的几何意义，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率， 如图所示， 结合图象，可得，所以. 故选：D. 20．（25-26高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别作出函数在处的切线，进而得到的大小关系． 【解答过程】分别作出函数在处的切线， 则 则有， 故选：B． 题型5 导数的运算 21．（25-26高二上·江苏常州·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的运算法则及复合函数的导数计算即可判断. 【解答过程】，故错误； ，故错误； ，故正确； ，故错误. 故选：C. 22．（25-26高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【解答过程】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，正确； 故选：C. 23．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（   ） A．80 B．75 C．70 D．65 【答案】B 【解题思路】根据偶函数的定义结合导数可得，结合题意可得，，进而可得，且，即可得结果. 【解答过程】因为为偶函数，则，求导可得， 因为，， 则，可得， 且，则，可得， 即，可得，可知8为的一个周期， 且， 对于，， 令，可得，，可得， 所以. 故选：B. 24．（25-26高三上·安徽合肥·期中）设函数，若，则__________. 【答案】1 【解题思路】根据函数求导法则，建立方程，可得答案. 【解答过程】由题意可知，且，则， 整理可得，解得. 故答案为：. 25．（25-26高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解题思路】（1）利用复合函数求导运算求解即可； （2）利用复合函数求导运算求解即可； （3）利用复合函数求导运算求解即可； （4）诱导公式和二倍角公式先化简，再直接求导； （5）利用复合函数求导运算求解即可； （6）利用复合函数求导运算求解即可. 【解答过程】（1）由， 则. （2）由， 则. （3）由， 则. （4）由 ， 则. （5）由， 则. （6）由， 则. 题型6 求曲线切线的斜率（倾斜角） 26．（25-26高二下·重庆·期中）函数在处的切线斜率为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的几何意义求出切线斜率即可. 【解答过程】由，则， 所以， 即函数在处的切线斜率为. 故选：D. 27．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，得到导函数的范围，即切线斜率的范围，从而得到倾斜角的范围. 【解答过程】由题意得，即， 由倾斜角的范围，解得. 故选：D. 28．（25-26高二上·云南昆明·期末）曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率. 【解答过程】由，求导得，则， 所以所求切线的斜率为2. 故选：D. 29．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为___________. 【答案】 【解题思路】根据导数的几何意义，求出在点处的切线的斜率，然后再根据斜率和倾斜角之间的关系，即可求出结果. 【解答过程】因为， 所以， 所以在点切线的斜率为， 所以在点处的切线的倾斜角为. 故答案为：. 30．（25-26高二下·广西桂林·期末）函数在处切线的斜率是__________． 【答案】3 【解题思路】根据导函数的几何意义，求出在曲线上一点的切线的斜率. 【解答过程】由题意得，则， 在处切线的斜率， 故答案为：3. 题型7 已知切线（斜率）求参数 31．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】对函数求导，根据导数的几何意义结合切线方程求出结果即可. 【解答过程】对函数求导得， 因为函数在点处的切线方程为， 所以有，解得. 所以. 故选：A. 32．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的几何意义即可求解． 【解答过程】， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以切线斜率，解得． 故选：D． 33．（25-26高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】设切点为，再根据切点在曲线与切线上，以及导数的几何意义可得，最后根据函数的单调性以及即可得解. 【解答过程】因为， 所以， 设直线与曲线的切点为， 所以， 所以，且， 令函数，， 因为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 34．（25-26高二上·福建三明·期末）若曲线在点处的切线方程是，则__________． 【答案】 【解题思路】利用导数的几何意义求解即可. 【解答过程】函数的定义域为，由在点处的切线方程是 得切线斜率为2，，由曲线，得， 故，解得，又因为，故， 所以， 故答案为：. 35．（25-26高二上·湖南岳阳·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据导数的几何意义即可求解切线方程； （2）先求出曲线在点处的切线，然后设该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和题干已知条件列出方程即可求解. 【解答过程】（1），则， 则函数在点处的切线为，即. （2）， 在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为，则， 故切线为，即， 即，解得. 题型8 利用导数判断单调性、求单调区间 36．（25-26高二上·河北石家庄·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 【答案】B 【解题思路】先求出导函数，再令导函数为正得出单调增区间即可. 【解答过程】因为函数的导函数为， 令，即得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 37．（25-26高三下·天津·开学考试）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递减 B．是奇函数，且在单调递增 C．是偶函数，且在单调递减 D．是偶函数，且在单调递增 【答案】D 【解题思路】根据偶函数的定义分析可知是偶函数，再利用导数判断原函数的单调性. 【解答过程】因为的定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是偶函数， 又因为， 当时，则，可得， 则， 所以在单调递增． 故选：D． 38．（25-26高三上·甘肃定西·阶段检测）若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果. 【解答过程】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 39．（25-26高二上·天津·期末）函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解题思路】通过求导，得到导函数小于零的不等式，结合定义域求解集即可. 【解答过程】由题意，函数的定义域为， 求导可得， 令，因为，所以解得. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 40．（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 【解题思路】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程； （2）求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，进行求解函数的单调性. 【解答过程】（1）当时，函数，则，切点坐标为， ，则曲线在点处的切线斜率为， 所求切线方程为，即. （2），函数定义域为R， ， ①，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ③，恒成立，在上单调递增. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 题型9 由函数的单调性求参数 41．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知函数 在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对函数求导并根据其单调区间得出不等式，求得相应最小值可得结果. 【解答过程】由题意可知， 因为函数在上存在单调递减区间， 则在上有解，可得，所以． 令，则， 显然，可知函数单调递增，则， 即，所以实数的取值范围是． 故选：C. 42．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的性质，结合指数函数的单调性、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【解答过程】由， 因为函数在上单调递增， 所以有在上恒成立， 因为，所以，所以， 由， 因为，所以， 所以当时，， 于是有 ，解得，或， 而，所以， 故选：D. 43．（25-26高二下·江苏镇江·期末）若函数区间上不存在单调增区间，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知，，，由参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可求得实数的取值范围. 【解答过程】因为，则， 因为函数在区间上不存在单调递增区间， 所以，，，则， 因为函数在上单调递增， 故当时，，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 44．（25-26高二上·云南昆明·期中）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】利用导数求的单调区间，由在区间上单调，求的取值范围. 【解答过程】因为， 所以， 设，则， 所以时，，故在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以时；时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，所以的取值范围是. 故答案为：. 45．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【解答过程】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 题型10 利用导数求函数的极值 46．（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）已知函数，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用导数求出函数极小值作答. 【解答过程】函数的定义域为， 求导得， ，，则由，得或，由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，取得极小值， 所以函数的极小值为. 故选：A. 47．（25-26高二下·海南·阶段检测）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据极值的定义，结合导数的运算法则进行求解即可. 【解答过程】， 因为函数的极小值点为， 所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是极小值点，是极大值点， 故选：A. 48．（25-26高二下·河南商丘·开学考试）已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】先由求出，再检验是否符合题意即可. 【解答过程】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A. 49．（25-26高二下·四川绵阳·期末）函数的极小值为____________． 【答案】 【解题思路】先求导得，利用导数研究单调性进而求极值即可. 【解答过程】由题意有的定义域为，所以， 令有，由有，有， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为. 故答案为：. 50．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）已知函数在点处的切线与轴平行． (1)求的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)的单调递增区间为和，单调递减区间为．极大值，极小值． 【解题思路】（1）由函数在处的切线与轴平行，则根据求解即可； （2）利用导数分析函数的单调性并求解极值即可. 【解答过程】（1）由题意，函数的定义域为， 则， 因为函数在处的切线与轴平行， 所以， 解得． （2）函数的定义域为 且， 当时，； 当时，， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 所以当时，函数取到极大值， 当时，函数取到极小值． 题型11 利用导数求函数的最值 51．（25-26高三上·江苏·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用导数研究函数在区间上的单调性，结合单调性求函数的最大值. 【解答过程】因为， 所以函数的导函数为， 令，可得或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，。函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为. 故选：B. 52．（25-26高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出极值点及区间端点处的函数值，再比较大小即得函数的最大值和最小值. 【解答过程】的定义域为，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的最大值为， 又， 所以的最大值为，最小值为． 故选：A. 53．（25-26高二下·全国·课后作业）若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】先利用导数确定函数的单调性，从而确定，然后再利用导数确定的最大值. 【解答过程】因为，所以的定义域为，， 当时，恒成立，所以在定义域上单调递增，不满足题意； 当时，令得，此时单调递减， 令得，此时单调递增， 所以当时，取得最小值，即， ， 令得，此时单调递增，令得，此时单调递减， 所以当时，取得最大值，即. 故选：A. 54．（25-26高二下·湖南·阶段检测）函数的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】利用导数研究函数的单调性后可求最值. 【解答过程】易知， 所以时，，即此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以， 即该函数的最小值为. 故答案为：. 55．（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2) 时，； 时，； 时，. 【解题思路】（1）通过导数，可判断在上的单调性，即可得最值； （2）注意到，然后结合，讨论，，三种情况下单调性可得最小值. 【解答过程】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时， 在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时， )在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 题型12 导数在实际问题中的应用 56．（25-26高二下·云南昭通·期中）某产品的销售收入（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（    ） A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台 【答案】A 【解题思路】根据题意，得到利润，利用导数求得函数的单调区间与极大值（最大值），即可求解. 【解答过程】根据题意，设利润为万元，则，所以， 令，解得（舍去）或， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也为最大值， 所以应生产6千台该产品时，利润最大. 故选：A. 57．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆锥底面半径为3，母线长为5，在圆锥内放置一个长方体，使其可以在圆锥内部随意转动，则该长方体体积最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】长方体可以在内部随意转动，则需找出该圆锥的内切球，再计算内切球中内接长方体的体积最大值即可得. 【解答过程】长方体可以在内部随意转动，则需找出该圆锥的内切球， 再计算内切球中内接长方体的体积最大值即可得， 设该圆锥的内切球半径为， 如图，设圆锥轴截面为，则，，则， 则有，解得， 设该内切球中内接长方体的底边为，高为， 则，即有， ，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 即该长方体体积最大值为. 故选：C. 58．（25-26高三上·河南·开学考试）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【解题思路】由题意可得利润，利用导数可求利润的最大值. 【解答过程】由题意可得利润， 所以，且. 令，∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴利润在时取得最大值，此时， ∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 故选：D. 59．（25-26高二上·江苏南京·期末）在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为__________. 【答案】18 【解题思路】根据长方体的体积公式求得，求得函数的定义域，利用导数法求得最大值即可. 【解答过程】设小正方形的边长为，依题意，箱子容积， 由，解得，所以的定义域为. 则， 所以在区间单调递增； 在区间单调递减， 所以当时，取到最大值，且最大值为. 故答案为：18. 60．（25-26高二下·全国·课堂例题）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）满足：当时，，（为常数）；当时，．已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． (1)求的值，并确定y关于x的函数解析式； (2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大． 【答案】(1)，， (2)销售价格元时，利润最大. 【解题思路】（1）将数据代入解析式，求出a，b的值，即可得答案. （2）由（1）可得解析式，当时，利用导数求出的单调性和最值，当时，根据基本不等式，求出的最值，分析比较即可得答案. 【解答过程】（1）由题意可知时，，所以， 又当时，，所以， 解得，可得， 所以. （2）由题意：， 当时， ， 则， 则令，解得，令，解得或， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以当时有最大值，且； 当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以时有最大值，因为， 所以当时，有最大值1840，即当销售价格为5.3元/千克时，店铺所获利润最大． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用全章十二大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 瞬时速度、平均速度 1．（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 2．（25-26高二下·全国·课后作业）设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（    ） A．10米/秒 B．8米/秒 C．4米/秒 D．0米/秒 3．（25-26高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 4．（25-26高三上·上海·期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为___________． 5．（25-26高二上·全国·课后作业）若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 题型2 平均变化率、瞬时变化率 6．（25-26高二下·河南·阶段检测）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 7．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数，则自变量x由1变到1.1时，的平均变化率为（    ） A．0.21 B． C．2.1 D． 8．（25-26高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 9．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设函数，当由1变到1.1时，函数的平均变化率为__________． 10．（25-26高二上·全国·课后作业）航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 题型3 利用导数的定义解题 11．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是函数的导函数，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知，的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．16 13．（25-26高二下·河北廊坊·开学考试）已知函数在上可导，若，则（    ） A．9 B．12 C．6 D．3 14．（25-26高二下·福建龙岩·阶段检测）已知函数是可导函数，且，则____________. 15．（25-26高二上·全国·课后作业）已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型4 函数图象与导函数的关系 16．（25-26高二上·天津河东·阶段检测）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·云南大理·期中）函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·山西运城·期中）已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 题型5 导数的运算 21．（25-26高二上·江苏常州·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（   ） A．80 B．75 C．70 D．65 24．（25-26高三上·安徽合肥·期中）设函数，若，则__________. 25．（25-26高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型6 求曲线切线的斜率（倾斜角） 26．（25-26高二下·重庆·期中）函数在处的切线斜率为（   ） A． B．4 C． D． 27．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·云南昆明·期末）曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B．0 C．1 D．2 29．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为___________. 30．（25-26高二下·广西桂林·期末）函数在处切线的斜率是__________． 题型7 已知切线（斜率）求参数 31．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 32．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 33．（25-26高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 34．（25-26高二上·福建三明·期末）若曲线在点处的切线方程是，则__________． 35．（25-26高二上·湖南岳阳·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 题型8 利用导数判断单调性、求单调区间 36．（25-26高二上·河北石家庄·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 37．（25-26高三下·天津·开学考试）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递减 B．是奇函数，且在单调递增 C．是偶函数，且在单调递减 D．是偶函数，且在单调递增 38．（25-26高三上·甘肃定西·阶段检测）若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高二上·天津·期末）函数的单调递减区间为__________． 40．（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线； (2)讨论的单调性； 题型9 由函数的单调性求参数 41．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知函数 在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高二下·江苏镇江·期末）若函数区间上不存在单调增区间，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 44．（25-26高二上·云南昆明·期中）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是__________. 45．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 题型10 利用导数求函数的极值 46．（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）已知函数，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高二下·海南·阶段检测）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高二下·河南商丘·开学考试）已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 49．（25-26高二下·四川绵阳·期末）函数的极小值为____________． 50．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）已知函数在点处的切线与轴平行． (1)求的值； (2)求函数的单调区间和极值． 题型11 利用导数求函数的最值 51．（25-26高三上·江苏·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 53．（25-26高二下·全国·课后作业）若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 54．（25-26高二下·湖南·阶段检测）函数的最小值为___________. 55．（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 题型12 导数在实际问题中的应用 56．（25-26高二下·云南昭通·期中）某产品的销售收入（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（    ） A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台 57．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆锥底面半径为3，母线长为5，在圆锥内放置一个长方体，使其可以在圆锥内部随意转动，则该长方体体积最大值为（   ） A． B． C． D． 58．（25-26高三上·河南·开学考试）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 59．（25-26高二上·江苏南京·期末）在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为__________. 60．（25-26高二下·全国·课堂例题）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）满足：当时，，（为常数）；当时，．已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． (1)求的值，并确定y关于x的函数解析式； (2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $