专题强化3　带电粒子在有界匀强磁场中的运动及多解问题-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中物理选择性必修第二册教师用书Word（人教版）

专题强化3　带电粒子在有界匀强磁场中的运动及多解问题 1.会分析解决带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界等有界匀强磁场中的运动问题。（科学思维） 2.了解带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解成因，会分析解决有关多解问题。（科学思维） 强化点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题 角度1　单边直线边界的磁场 〔多选〕如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子所受重力及离子间的相互作用，则正、负离子（　BC　） A.同时重新回到边界 B.重新回到边界的位置与O点的距离相等 C.离开边界时两者的速度相同 D.正离子重新回到边界的位置与O点的距离更大 解析：两离子在磁场中运动周期为T＝，则知两个离子做匀速圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示，两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π－2θ，轨迹的圆心角也为2π－2θ，运动时间t1＝T，同理，负离子运动时间t2＝T，正、负离子在磁场中的运动时间不相等，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝，得r＝，由题意可知r相同，根据几何知识可得，重新回到边界的位置与O点距离s＝2rsin θ，r、θ相同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B正确，D错误；两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。 方法归纳 带电粒子在单边直线边界匀强磁场中运动的常见情况 如图甲、乙、丙所示，带电粒子进入、射出磁场时具有对称性，进入和射出磁场时的速度与边界的夹角大小相等。 角度2　平行直线边界的磁场 　如图所示，宽为d的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为e的质子从A 点出发，与边界成60°角进入匀强磁场，要使质子从左边界飞出磁场，则质子速度的最大值为（　A　） A. B. C. D. 解析：作出不同速度情况下质子的运动轨迹，得到质子速度最大的临界状态是轨迹与PQ相切时，如图所示，由几何知识可得r＋rcos 60°＝d，解得r＝d ，质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有evB＝，解得v＝，故选A。 方法归纳 带电粒子在平行直线边界匀强磁场中运动的常见情况 1.一般情况：带电粒子从一侧边界进入、从同侧或另一侧边界射出，如图甲所示。 2.临界情况：带电粒子恰好从磁场飞出（或恰好飞不出）的临界问题，通常有如下两种情况。 （1）从磁场边界端点飞出，如图乙所示。 （2）与磁场边界相切，如图丙、丁所示。 角度3　粒子沿半径方向进入圆形边界的磁场 （2026·高二上黑龙江佳木斯期末）如图所示，半径为R的圆形区域内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从C点以速度v沿直径CD方向射入磁场，经磁场偏转θ＝60°后从F点射出磁场。粒子在磁场中的运动时间为t1，如果只把磁感应强度变为原来的3倍，粒子依然以相同的速度从C点射入，粒子在磁场中的运动时间为t2，忽略粒子的重力，则t1与t2的比值等于（　C　） A. B. C. D. 解析：根据题意可知磁感应强度为B时，带电粒子在磁场中运动有Bqv＝m，T1＝，解得粒子的运动半径和周期分别为r1＝，T1＝，粒子在磁场中偏转角为60°，则运动时间t1＝T1＝，由几何关系可知r1＝R，当把磁感应强度变为原来的3倍后，同理可得粒子的运动半径和周期分别为r2＝＝R，T2＝，由几何关系可知粒子在磁场中的偏转角度为120°，运动时间t2＝T2＝，则＝＝，故选C。 角度4　粒子不沿半径方向进入圆形边界的磁场 〔多选〕（2025·四川绵阳期末）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一点电荷从图中A点以速度v0沿水平方向垂直磁场入射，速度方向与半径方向的夹角为30°，经磁场偏转后刚好能从C点（未画出）反向射出，不计点电荷的重力，下列说法正确的是（　BC　） A.该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线通过O点 B.该点电荷在磁场中的运动时间为 C.该点电荷的比荷为 D.若磁场反向，则该点电荷在磁场中运动的时间为 解析：因点电荷射入磁场时初速度方向不是沿半径方向，由对称性可知该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线不会通过O点，选项A错误；点电荷在磁场中的运动轨迹如图a所示，由几何关系可知，该点电荷在磁场中的运动半径r＝R，则运动时间为t＝＝，选项B正确；根据qv0B＝m，解得该点电荷的比荷为＝，选项C正确；若磁场反向，点电荷在磁场中的运动轨迹如图b，设点电荷在磁场中运动轨迹所对的圆心角为2θ，则由几何关系和正弦定理有＝，解得tan θ＝＜1＝tan 45°，则2θ＜，该点电荷在磁场中运动的时间t＜，选项D错误。 方法归纳 带电粒子在圆形边界匀强磁场中运动的特点 　　带电粒子进、出圆形边界匀强磁场的运动具有对称性： （1）沿圆形磁场区域半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。 （2）不沿圆形磁场区域半径方向射入的粒子，如果入射速度方向与半径的夹角为θ，则出射速度方向与半径的夹角一定也为θ，如图乙所示。 强化点二　带电粒子在有界匀强磁场中多解问题 　　带电粒子在匀强磁场中运动的常见多解情形 类型 分析 图例 磁场方向不确定 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。如图所示，带正电粒子以速度v垂直匀强磁场进入，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b 临界状态不唯一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解 角度1　磁场方向不确定形成的多解 〔多选〕如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足（　BC　） A.垂直纸面向里，B＞ B.垂直纸面向里，B＞ C.垂直纸面向外，B＞ D.垂直纸面向外，B＞ 解析：当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图（大圆弧），由几何知识知r2＝OO2sin 30°＝OO2，而OO2＝s＋r2，故r2＝s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件，由牛顿第二定律可得qvB＝m，解得B＞，选项A错误，B正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图（小圆弧），由几何知识知r1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB＝，解得B＞，选项C正确，D错误。 角度2　临界状态不唯一形成的多解 （2026·高二上山东青岛期末）长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度v0发射一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度v0应满足（　C　） A.v0＞ B.v0＜ C.＜v0＜ D.v0＞或v0＜ 解析：电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有ev0B＝m，解得R＝，根据分析，当半径很小或者半径很大时，电子均不能够到达水平板上，两个临界点轨迹分别与水平板相切、轨迹恰好经过水平板两端点，如图所示，根据几何关系可知Rmin＝，Rmax＝，解得v0min＝，v0max＝，则有＜v0＜，故选C。 1.如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子所受重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为（　　） A.1∶2 B.2∶1 C.1∶ D.1∶1 解析：B　由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，又T＝，解得T＝，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故正、负粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1，B正确。 2.（2026·高二上吉林通化期末）如图所示，质量为m、电荷量绝对值为q的带电粒子（重力不计）从P点以垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来射入方向的夹角为θ＝30°，磁场的磁感应强度大小为B。则（　　） A.该带电粒子带正电 B.磁场的宽度d＝ C.洛伦兹力对粒子做正功 D.粒子通过磁场的时间为 解析：D　带电粒子水平向右射入垂直于纸面向里的磁场中，受到向下的洛伦兹力，根据左手定则可知，该带电粒子带负电，A错误；带电粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，由图中的几何关系可得sin θ＝，解得d＝，B错误；洛伦兹力的方向时刻与粒子速度方向垂直，不做功，C错误；粒子在磁场中运动的周期T＝，在磁场中运动的时间t＝·T，解得t＝，故选D。 3.〔多选〕（2026·河南开封期末）如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q（不计重力）的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时到x轴的最大距离为a，则磁感应强度B和该粒子所带电荷的正、负可能是（　　） A.，正电荷 B.，正电荷 C.，负电荷 D.，负电荷 解析：BC　如图所示，若粒子带正电，则a＝r（1－sin 30°）＝，则B＝，选项B正确；若粒子带负电，则a＝r（1＋sin 30°）＝，则B＝，选项C正确。 4.（2026·高二上北京西城期末）如图，OACD为矩形，OA边长为L，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的粒子从O点以速度v0直射入磁场，速度方向与OA的夹角为α＝60°，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A.粒子带正电 B.粒子做圆周运动的轨道半径L C.减小粒子的入射速度，粒子在磁场区域内的运动时间不变 D.增大粒子的入射速度，粒子一定从AC边射出 解析：C　粒子进入磁场时所受洛伦兹力垂直速度方向指向右下方，由左手定则可知，粒子带负电，故A错误；粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可得轨迹半径r＝＝L，故B错误；根据牛顿第二定律qvB＝m，周期为T＝，可得T＝，减小粒子的入射速度，轨迹半径将减小，粒子出射位置会在A点左侧，由几何知识可知，轨迹的圆心角为2α不变，粒子在磁场中做圆周运动的周期不变，粒子在磁场中的运动时间t＝T＝，则粒子在磁场区域内的运动时间不变，故C正确；增大粒子的入射速度，粒子可能从CD边射出，故D错误。 5.如图所示，在边长为a的正三角形区域内存在着方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子（重力不计）从AB边的中点O以某一速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°。则粒子能从AB边穿出磁场的最大速度v的大小为（　　） A. B. C. D. 解析：C　从AB边以v射出的粒子符合题意的运动轨迹如图所示。由图知2R＝OB·cos 30°，OB＝，又Bqv＝，解得v＝。故选C。 6.（2026·高二上河北邢台期末）如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向射入磁场，粒子恰能从正方形cd边上的e点射出正方形区域，de间距离为L，不计粒子的重力，则该粒子在磁场中运动的速度v的大小和时间t为（　　） A.v＝，t＝ B.v＝，t＝ C.v＝，t＝ D.v＝，t＝ 解析：D　如图所示，带电粒子指向磁场区域的圆心进入磁场，则离开磁场时速度的反向延长线应过圆心，即末速度方向沿ae方向，则tan θ＝，解得θ＝30°，则由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的半径r＝Ltan 30°＝L，由qvB＝m知，v＝，粒子做圆周运动的圆心角为120°，故t＝·＝，故选D。 7.（2026·高二下江苏扬州期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为q（q＞0）的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是（　　） A. B. C. D. 解析：C　粒子可能在两个磁场间多次运动，画出粒子可能的轨迹，如图所示，所有粒子对应的圆心角均为120°，由几何关系可知2nRcos 30°＝L（n＝1，2，3…），根据洛伦兹力提供向心力，则有Bqv＝m，解得v＝＝，当n＝1时，可得v＝，故选C。 8.〔多选〕（2026·广东汕头期末）两个比荷相等的带电粒子a、b，以不同的速率va、vb对准圆心O沿着AO方向射入垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为120°、60°，其运动轨迹如图所示。不计粒子所受的重力，则下列说法正确的是（　　） A.a粒子带正电，b粒子带负电 B.粒子射入磁场中的速率之比va∶vb＝1∶3 C.粒子在磁场中的运动时间之比ta∶tb＝2∶1 D.若将磁感应强度变为原来的，其他条件不变，a粒子在磁场中运动的时间将变为原来的 解析：BC　根据左手定则，b粒子向上偏转，带正电，a粒子向下偏转，带负电，故A错误；设a、b两粒子运动轨迹的圆心分别为Oa、Ob，如图所示，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得r＝，设粒子的圆周运动半径分别为ra、rb，圆形磁场区域半径为R，根据几何关系有ra＝Rtan 30°，rb＝，可得粒子射入磁场中的速率之比为＝＝＝，故B正确；根据T＝可知两粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等。由题意知两粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角分别为120°和60°，则可得粒子在磁场中的运动时间之比为＝＝，故C正确；将磁感应强度变为原来的，其他条件不变，可得此时a粒子的运动半径变为R，由几何知识可得，a粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为90°，由于a粒子做匀速圆周运动的周期变为T'＝T，则a粒子在磁场中运动的时间将变为ta'＝T'＝T，可得＝＝，故D错误。 9.（2026·高二上黑龙江佳木斯期末）如图所示，在矩形abdc区域中有竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，某种正粒子（不计粒子的重力）从O点以初速度v0水平射入后偏转角为θ。现电场换为方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），仍使该粒子从右侧穿过该区域，并使偏转角也为θ角，若匀强磁场的磁感应强度大小为B，求：电场强度和磁感应强度之比（已知cos θ＝k，结果用v0和k表示） 答案： 解析：设粒子的质量为m，电荷量为q，场区宽度为L，粒子在电场中做类平抛运动： t＝，a＝，tan θ＝ 由以上三式解得tan θ＝ 粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示： 由洛伦兹力提供向心力qv0B＝m 解得R＝由几何关系得sin θ＝ 由以上两式解得sin θ＝ 综合解得B＝ 即＝。 10.（2026·高二上安徽合肥月考）如图所示，在直角三角形OAC为边界的区域内，存在磁感应强度为B垂直纸面向里的有界匀强磁场，∠C＝30°，AC＝L，从O点射入某种带负电的粒子（不计重力），粒子的比荷为，入射方向与OC边的夹角θ＝60°，粒子从A点射出磁场，求： （1）发射速度大小v0； （2）磁场中的运动时间； （3）若入射粒子为正电荷，粒子能从OC边射出，求入射粒子的速度范围。 答案：（1）　 （2）　 （3）0＜v≤ 解析：（1）粒子在磁场中轨迹如图： 由几何关系可知α＝30°，则粒子在磁场中运动的半径r＝＝ 由洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m 解得r＝ 联立解得发射速度大小v0＝。 （2）粒子在磁场中运动的周期T＝＝ 由几何关系可知粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为2α 粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 则粒子在磁场中的运动时间t＝。 （3）速度最大时粒子的轨迹刚好与AC相切，设最大速度为vm，轨迹如图： 由几何关系可知粒子在磁场中运动的半径R＝L 由洛伦兹力提供向心力，故qvmB＝m 解得vm＝ 则入射粒子的速度范围为0＜v≤。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $