专题精准强化13 空间向量与立体几何-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案课时作业

11.解：(1)过A,作A1H⊥平面ABCD于点H,连接AH, 过H分别作HE⊥AB于点E,HF⊥AD于点F,连接 AE;AF, 如图，HE为A,E在平面ABCD上的投影， 由于ABC平面ABCD,所以A1H⊥AB, 由于AH∩HE=H,A1H,HEC平面A1HE, 所以AB⊥平面A1HE.由于A1EC平面A1HE, 所以AE⊥AB. 所以AE=4,2=1,同理AFLAD,AF=1, 2 四边形AEHF为正方形， 所以AH=√2，AH为A1A在平面ABCD上的投影， 又因平面ABCD∥平面A1B,C1D1, 所以AA1和平面A1BCD1所成角即∠A1AH, H=2】 cos∠A1AH=AA 2· 则∠A1AH=45°， 故AA1和平面A1B,CD1所成的角为45°. D C B C A E B (2)连接AC交BD于点O,连接AC交BD1于 点O1, 如图，上下底面为正方形，由正棱台性质，可得AC∥ AC,AC=2J2,AC-42,AO=AC=AC, 所以四边形AC,OA为平行四边形，所以AA1∥OC, 因为AA,亡平面BC1D,OC1C平面BC1D, 所以AA1∥平面BC1D. 由正棱台性质，OO1与上下底面均垂直，则OO1=3, 因为OO1⊥BD,AC⊥BD,AC∩OO1=O,AC,OO1C平 面A1OC1, 所以BDL平面A1OC1,所求三棱锥体积可拆分成两个 小三棱锥的体积之和， 即V4x,D=VA,e,十VA,c, =专0B·S4四，+号0D·SA4四 =号BD·Sa4四 =号×4vBx含x22X3=8, 2 D10 12.解：(1)根据题意可证A1DLDE,进而根据面面垂直的 性质定理分析证明； (2)先证MN∥平面A,BC,可得VA-BCN=VcA,脚，再证 BC⊥平面A1BD,进而结合锥体的体积公式运算求解. (1)因为D,E分别是AB,AC的中点，则DE∥BC, 且AD⊥BC,则AD⊥DE,即A1D⊥DE, 又因为平面A1DE⊥平面DBCE,平面A,DE∩平面 DBCE=DE,A,DC平面A1DE, 所以A1D⊥平面BDEC. (2)如图所示： 因为BC∥DE,则直线EM 与BC所成角为∠MED= 45°，且A1D⊥DE,可知DE =DM=2,则M为A1D的 平面ADE,DEC平面G女 中点，因为BC∥DE,BC中 29 练习册参考答案 A1DE,所以BC∥平面ADE, 又因为过B,C,M三点的平面与线段A,E相交于点N, 可得平面BMNC∩平面A,DE=MN,BCC平面 BMNC,所以BC∥MN, 所以N为AE的中点， 又因为MN中平面A1BC,BCC平面ABC,可得MN∥ 平面A1BC,所以VA -BCN=VNAc =VM-Ax=Vc-A,w’ 由(1)可知：A1D⊥平面BDEC,BCC平面BDEC, 则A,D⊥BC, 且BD⊥BC,BD∩A1D=D,DB,A1DC平面A1BD, 所以BC⊥平面ABD, 可得三棱锥A1BCN的体积为VcA,BM= 号Sa4m·BC-gS4D·BC=合×8X4=9, 3 所以三棱锥A,-BCN的体积为号 专题精准强化13空间向量与立体几何 1.解：(1)证明：因为A,B⊥平面ABC且BCC平面ABC, 所以A1B⊥BC, 又因为∠ABC=90°，可得BC⊥AB, 因为A1B∩AB=B且A1B,ABC平面ABB1A1, 则BC⊥平面ABB1A1, 又因BCC平面B1BC,所以平面B1BC⊥平面ABB1A1· (2)因为VA,c=VcA,B,由(1)可知三棱维CA,BB, 中，由BC⊥面ABB1, 则V=专S4,m,×BC=号×2×2XBC-2g, 3 解得BC=√， 由(1)可知BC,BA,BA1两两相互垂直， 以B为坐标原点，以BA,BC,BA1所在直线分别为x 轴，y轴和z轴， 建立空间直角坐标系，如图 所示， 由(1)可知，BA=BA1=√2，可 得B(0,0,0),A(√2,0,0)， C(0,W3,0),A1(0,0,2), B1(-√2,0，N2), B ) 则BC=(0,W3,0),BB1 （-E0②i-(-） 设平面BBC的法向量n=(x,y,2), 则n·BCV3y=0 n·BB1=-√2x十√2x=0 令x=1,可得y=0,z=1,所以n=(1,0,1), 设AD与平面B1BC所成角为0，则sin0=|cos(n,AD) =n·ADl=13 nAD 13, 所以AD与平面B1BC所成角的正弦值为3 131 2.解：(1)根据已知求得SC=2,进而得SB⊥BC,再由线面 垂直的判定证明结论；(2)根据已知构建合适的空间直 角坐标系，标注出相关点坐标，求出相关平面的法向量， 再应用向量法求面面角的余弦值，进而求正弦值. (1)在△SBC中，BC=1,SB=√3，∠SCB=60°， 所以c0s60°-SC-3-名，解得SC=2, 2SC 所以SB2+BC=SC,所以SB⊥BC, 又BC⊥AB,AB,SB为平面SAB内两条相交直线，所以 BC⊥平面SAB. 数学 (2)由(1)知，BC⊥平面SAB,AD∥BC,所以AD⊥平 面SAB, 又AD在平面ABCD内，所以平面ABCD⊥平面SAB, 由SA在平面SAB内，所以AD⊥SA, 在三角形SCD中，SC=2,CD=2,∠SCD=60°， 所以SD=2,又AD=1,所以SA=√4-I=√5， 又号V,=2VsAm=VsAe=Vesa又V=号V: =VN-SAB’ 所以VOSAB=VN-SAB,又NS∥BC,所以NS=BC=1, 取AB的中点O,SA=SB=√3，可知SO⊥AB, 因为平面ABCD⊥平面SAB,交 N 线为AB,SO又在平面SAB内， 所以SO⊥平面ABCD,如图建立 空间直角坐标系， A 易得A(-1,0,0),B(1,0,0), C(1,1,0),D(-1,1,0), S(0,0,W2),N(0,-1W2), x 所以SN=(0,-1,0),SC=(1,1,-√2)，AB=(2,0,0), AN=(1,-1wW2), 设平面SNC的法向量为n=(x,y,x),则 In·SC=0 in·SN=o 所以{x十y-√2x=0 (-y=0 令之=1，得x=V2,即n=(2,0,1), 设平面ABN的法向量m=(a,b,c),则 m·AB=0 m·AN=0 所以∫2a=0 la-b+√2c=0' 令c=1,则b=√2，即m=(0,W2,1), 设平面SNC与平面ABN所成夹角为0， 1 1 所以cos0cosm,m=m·mX,万3， 所以血o0气百-22， 3 即平面SNC与平面ABN所成夹角的正弦值为2y2 3 3.解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形， 所以AC⊥BD. 因为DE⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, 所以DE⊥AC. 又因为DE∩BD=D,且DE,BDC平面BDEF, 所以AC⊥平面BDEF, 因为ACC平面FAC, 所以平面FAC⊥平面BDEF. (2)设AC∩BD=O,以O E 为坐标原点，OA,OB的方 向分别为x,y轴的正方 向建立如图所示的空间 直角坐标系， D 则A(√3,0,0)，B(0,1,0), 步C C(-√3,0,0)，D(0,-1,0), E(0,-1,2),F(0,1,1), A B 设DP=ADC=λ（一V3, 1,0),a∈[0,1]， 则P(-√3，A-1,0), 设平面AEF的法向量为m=(x,y,z), 因为AE=(-3,-1,2),EF=(0,2,-1), 所以A5·m=一3x一y+2x=0令y=1, EF·m=2y-z=0, 29 则m=(√3,1,2). 设平面BFP的法向量为n=(x1y1,之1)， 因为BF=(0,0,1),BP=(-√3λ，A-2,0) ,1BF·n=1=0, 所以 BP·n=√3λx1+(a-2)y1=0, 令x1=1-2,则n=(入-2W3,0). 因为平面AEF与平面BFP夹角的余弦值为 4 所以cos(m,n=|23a-1)=2 2√2√(a-2)2+3x 4 解得X=号或X=2(合去)， 所以存在P满足题意，且P为CD的中点. 4.解：(1)根据线面平行以及线面垂直，求出线面垂直即 可；(2)作辅助线得出在O点处可以作为原，点建立空间 直角坐标系，利用已知求出BB1=2,DD1=4,进而求出 D(-904c京-0.03，r01,3,结◆年看 的法向量求出sin0的取值范围即可. (1)连接AC,:AA1=CC,AA∥CC,AE=AAA,C =λCC1,.AE=CF,即AE=CF,AE∥CF. .四边形AEFC为平行四边形，则AC∥EF. ",EFC平面BEF,AC￠平面BEF .AC∥平面BEF,平面BEF∩平面ABCD=l, 又ACC平面ABCD,.AC∥l, ,四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD, 又BB1⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, 则AC⊥BB1, 又BD∩BB1=B,BD、BB,C平面B1BDD1, .AC⊥平面B,BDD1,又AC∥L .直线L⊥平面B1BDD1. (2)连接A1C交BD于O点，AC门BD=O,则OO∥BB. BB,⊥平面ABCD, .OO1⊥平面ABCD,因为OB、OCC平面ABCD, 则OO1⊥OB,O01⊥OC. :∠BAD=号，四边形ABCD是菱形， 则OB⊥OC, AC-EF-2,0A=OC=1,AB=BD-2/3 3 .以OB,OC,OO1为x轴，y 轴，之轴建立如图的空间直角 坐标系， 设BB,=t,则DD1=2t. A Va-BDF=VF-DB= 0 号×1×g×2g×1=2g E 3 9· B D .t=2,即BB1=2,DD1=4, ∴.001=3， 0 B x CF=(0,0,3λ)， F(0,1,3λ)， DF=1,3-4,又0C=(0,1,0)是平西BDD 的一个法向量， ∴sing=lD,F·Oc 1 a·6√停+-) :设f)=(3x-4+号，0<≤1， 则[) <m长阿 26 专题精准强化14 直线与圆 1.B2.D3.C 4.C[由题意可作图如下，圆C:(x 个y -√3)2+y2=1的圆心C(W3,0), 半径r=1,若直线1与圆C有公 共点，则的斜率一定存在，则圆 心C到直线l的距离d= 3k-1,令d=1,解得=3或 √k2+1 k=0,故当飞=√3时，直线1的倾 斜角取得最大值，为子] 5.A[根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可 求解， 圆心C(2,0)到直线1：x十y=0的距离d=召=V2,则 √2 |AB|=2X√4-2=2√2.] 6.C[因为a,b,c成等差数列，所以a-2b十c=0,直线 ax十by十c=0恒过P(1,-2),当PC⊥AB时，|AB|取 得最小值，此时|PC=1,|AB引=2√5-PC产=4. 7.D[因为⊙C的标准方程为 (x-1)2+y2=4,圆心为C(1, 0),半径为r=2, B 又易知直线x一my+1=0过定 点(-1,0)， O C 如图，过C作CH⊥AB于H,因 为AC在AB上的投影向量的模 为√3，则AH=√3，所以CH= √22-3=1，则2 =1，解得m=土√3.] √1+m 8.C[作出曲线C:x2+y2-x-y|=0对应的曲线，将 d=la+b-3看作曲线C上的点a,b)到直线：x十y-3= √2 0的距离，结合圆心到直线的距离求得d的最小值和最 大值，即可求得答案. 由题意知点(a,b)在曲线C:x2十y2-|x|-1y|=0上， 曲线C关于原点以及坐标轴均对称； 由于x≥0，y≥0时，曲线的方程为x2十y2一x一y=0, 21 故结合曲线对称性，作出曲 YA 线C如图： 而d=la+b-3表示曲线C 3 √2 2 上的点(a,b)到直线l: x十y-3=0的距离， 可知d=a+b3取最小 0 √2 值和最大值时，(a,b)位于曲 线在第一、三象限内的圆 孤上， 当x≥0，y≥0时，曲线的方程为x2十y一x一y=0, 即()+()=日， 此时d的最小值为2十23 √2 221 5 练习册参考答案 当x<0,y<0时，曲线的方程为x2十y+x十y=0, 即(+)+(+2)-， 11 此时d的最大值为氵一立一3 +2-52 √② 2 2 故d=la+63的最小值与最大值之和为+5y巨- √2 2 2 3√2，所以a十b-3的最小值与最大值之和为3√2X√2 =6.] 9.ABC[求出L1∥L2的充要条件即可判断A;根据两直线 垂直得充要条件即可判断B;求出直线L2经过的定，点即 可判断C;判断何种情况下点P(1,3)到直线L1的距离最 大，并求出最大值，可判断D. 对于A,若1∥12， 则a(a一1)一6=0，解得a=3或a=一2， 经检验，符合题意，所以a=3或a=一2， 所以l1∥l2的充要条件是a=3或a=一2，故A正确； 对于B,当a=号时，3a+2a-1）=号-日-0， 所以1⊥L2,故B正确； 对于C,由l2:3x十(a-1)y+3-a=0, 得(y-1)a+3x-y+3=0, 令y-1=0 2 3x-y+3=0解得x=-3, (y=1 所以直线4经这定点（号，1位于第二象限，故C 正确； 对于D,由l1:ax+2y+3a=0,得(x+3)a+2y=0, 令位3.0，解得。 (y=0, 所以直线11过定点M(-3,0), 当PM⊥l1时，点P(1,3)到直线L1的距离的最大， 最大值为|PM=√(-3-1)+(0-3)=5，故D错误.] 10.ABCD[圆C1的圆心为(-1,0)，圆C2的圆心为 (1,0).直线l:y=kx十b化为kx-y十b=0. 两个国心到直线的距离分别为山，=6 √R2+1 d2=6+1 /k2+1 两圆的半径均为1，故弦长满足s,=2√1一d 对于A,当b=0时，d1=d2,所以s1=52.故A正确； 对于B,当k=0时，d1=d2=|b1,所以s1=52.故B 正确； 对于C,若51=52，则d=d,即(b-)2=(b十k)2,化简 得4bk=0. 所以b=0或k=0.故C正确； 对于D,若取直线l:y=0,则该直线经过两个圆的圆 心，此时51=52=2， 故51十52=4.故D正确.] 11.ACD[圆C:x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,圆心 为C(1,0),半径r=1; 对于A:若b2一2a=1,则圆心到直线的距离d= latil=latil =1=r, a+6√a+2a+1√a+D 所以直线l与圆C相切，故A正确； 对于B:当a=0,b=一2时满足a十b=一2，此时直线方 1 程为y=一2’ 则圆心到直线的距离为号<，显然直线与圆相交，故B 错误； 对于C:当a=1,b=一1时直线l:x-y十1=0， 则直线x-y十1十√2=0与直线l平行， 7☒错题序号： 专题精准强化13空间向量与立体几何 ©错因分析： 1.在多面体AB-ABC中， 2.如图，在四棱锥SAB ABBA1为平行四边形， CD中，ABCD为矩形， AB⊥平面ABC,AA1=2, 且AB=2BC=2,SB= AB=√2，∠ABC=90°，D A √3，∠SCB=∠SCD 为AC的中点. =60°. (1)证明：平面B1BC⊥平面ABB1A1; (1)求证：BC⊥平面SAB; (2)已知多面体A1B1-ABC的体积为 (2)若NS∥BC(N在S的左侧)，设三棱 2,求AD与平面n,C所成角的正 锥NSAB体积为V1,四棱锥S-ABCD 弦值. 体积为V,且V,=2V求平面SNC与 平面ABN所成夹角的正弦值， 146 3.如图，在多面体 4.如图所示，六面体ABCD ABCDEF中，四边形 AB,CD的底面ABCD ABCD为菱形，DE 是菱形，∠BAD= ⊥平面ABCD,DE 3, ∥BF,AD=DE=2, AA∥BB∥CC∥DD, 且BB⊥平面ABCD, BF=1,∠BAD=60°. (1)证明：平面FAC⊥平面BDEF; AA1=CC1,AE=λAA1,CF=λCC1(0< (2)试问线段CD上是否存在一点P,使 A≤1)，DD1=2BB1,平面BEF与平面 得平面AEF与平面BFP夹角的余弦值 ABCD的交线为l. 为？若存在，请判断点P的位置：若 (1)证明：直线1⊥平面B1BDD1; (2)已知EF=2,三棱锥B1-BDF的体积 不存在，请说明理由. Ve=2g,若DF与平商BDD,所 成角为0，求sin0的取值范围. 147