专题二·期中综合复习·基础巩固讲义（第21～22章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题二·期中综合复习·基础巩固讲义 （第21~22章）（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理二次函数的图象与性质，会求开口方向、对称轴与顶点坐标 · 掌握待定系数法求二次函数解析式，能解决抛物线平移与实际应用问题 · 理解反比例函数的图象与性质，会求解析式并解决与一次函数的交点问题 · 掌握相似三角形的判定与性质，能利用比例关系求线段长与面积比 · 认识位似图形的坐标特征，会用相似与方程模型解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 一般式 y=ax2+bx+c（a≠0），顶点式 y=a(x-h)2+k，交点式 y=a(x-x1)(x-x2) a 决定开口方向与大小：a>0 开口向上，a<0 开口向下，|a| 越大开口越窄 对称轴 x=-，顶点坐标为 (-, ) 图象平移遵循「左加右减、上加下减」，沿 x 轴平移改变 h，沿 y 轴平移改变 k 概念辨析例题：求二次函数 y=2x2-4x+1 的对称轴与顶点坐标。 答案：对称轴 x=1，顶点坐标为 (1,-1)。 解析：由 a=2，b=-4，c=1，对称轴 x=-=1，代入得 y=2×1-4×1+1=-1，故顶点为 (1,-1)。 ☆ 2.二次函数的解析式与实际应用 待定系数法：已知顶点用顶点式，已知三点用一般式，已知与 x 轴两交点用交点式 抛物线与 x 轴的交点即对应一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根，Δ 决定交点个数 求最值应用题先建立函数关系，再根据自变量取值范围确定实际最大值或最小值 a 的符号、对称轴位置、与坐标轴交点共同决定函数图象的大致形状 概念辨析例题：已知抛物线过点 (0,1)、(1,0)、(2,3)，求它的解析式。 答案：y=2x2-3x+1。 解析：设 y=ax2+bx+c，代入三点得方程组 c=1，a+b+c=0，4a+2b+c=3，解得 a=2，b=-3，c=1。 ☆ 3.反比例函数的图象与性质 形如 y=（k≠0），图象是关于原点对称的双曲线 k>0 时图象在第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小 k<0 时图象在第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 |k| 等于图象上任意一点向两坐标轴作垂线所围成矩形的面积 概念辨析例题：反比例函数 y= 的图象经过点 (2,-3)，求 k 并判断图象所在象限。 答案：k=-6，图象在第二、四象限。 解析：由 k=xy=2×(-3)=-6<0，故图象分布在第二、四象限。 ☆ 4.相似三角形与位似 相似三角形对应边成比例、对应角相等，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 判定定理：两角分别相等；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例 位似是特殊的相似，以原点为位似中心时对应点坐标同乘 ±k 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为 2:3，较小三角形的面积为 16，求较大三角形的面积。 答案：面积比为 4:9，较大三角形面积为 36。 解析：相似三角形面积比等于相似比的平方，由 4:9=16:S，解得 S=36。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） 二次项系数 a≠0 是前提 顶点式 y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) 已知顶点与一点优先选用 对称轴 x=- 与 y 轴交点为 (0,c) 反比例函数 y=（k≠0） 图象无限接近坐标轴但永不相交 相似三角形 对应边成比例、对应角相等 面积比等于相似比的平方 位似图形 对应点连线交于位似中心 坐标比等于位似比 ±k ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的图象与性质（第1-17题） · 由 a 的符号判断开口方向，由 |a| 判断开口宽窄 · 顶点式直接读顶点坐标，一般式用对称轴与顶点公式求解 · 平移问题遵循左加右减、上加下减 1．（24-25九年级上·广东潮州·期末）二次函数的图象的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是 故选：A． 2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）下列各点中，在抛物线上的点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了抛物线上的点和点坐标的关系，掌握将点坐标代入检验的方法是解答本题的关键．通过将每个点的坐标代入抛物线方程 进行验证，满足方程的点即在抛物线上． 【详解】解：抛物线方程为 ， A、当 时，， 在抛物线上； B、当 时，， 不在抛物线上； C、当 时，， 不在抛物线上； D、当 时，， 不在抛物线上； 故选： A ． 3．（24-25九年级上·福建南平·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的整式函数是二次函数，注意要先化简再判断． 【详解】解：A、，是一次函数，不符合题意； B、，有分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，没有二次项，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 4．（26-27九年级上·北京·课前预习）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 【详解】解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 5．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，熟记顶点式的顶点坐标是解题关键.；根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线 可化为 ， ∴ 顶点坐标为， 故选A． 6．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）二次函数（k为常数）的对称轴为直线（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】解：， 故对称轴为直线． 7．（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．与轴有两个不同的交点 【答案】C 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、抛物线与x轴的交点问题 【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合二次函数图象性质判断各选项． 【详解】解： ， 、对称轴是直线，故选项不符合题意； 、顶点坐标为，故选项不符合题意； 、图象开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 故选项符合题意； 、抛物线顶点在轴上，则与轴只有一个交点，故选项不符合题意． 8．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数，下列说法正确的是（） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线与x轴没有交点 D．抛物线与y轴的交点坐标为 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据二次函数的图像与性质，逐个分析求解即可． 【详解】解：由，得，，． 抛物线开口向下，故A错误． 抛物线顶点坐标为，故B错误， 抛物线开口向下，顶点纵坐标为，即抛物线最高点的纵坐标为，图象全部在轴下方 抛物线与轴没有交点，故C正确． 当时， 抛物线与轴交点坐标为，故D错误． 9．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数的图像在对称轴的左侧是下降，对称轴的右侧是上升，那么a_________（填“大于0、小于0或等于0”）． 【答案】大于0 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次项系数的符号对函数图像增减性的影响． 先明确二次函数的增减性规律，即时图像开口向上，对称轴左侧下降、右侧上升；时图像开口向下，对称轴左侧上升、右侧下降；再结合题目中“对称轴左侧下降、右侧上升”的条件，判断的符号． 【详解】解：对于二次函数，其图像的增减性由二次项系数的符号决定： ∵当时，函数图像开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小（即下降），在对称轴右侧随的增大而增大（即上升）； ∵题目中二次函数的图像在对称轴左侧是下降，右侧是上升， ∴该函数图像符合时的特征． 故答案为：大于0． 10．（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）把抛物线 先向右平移1个单位再向上平移2个单位，所得到抛物线的解析式为_______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据抛物线平移的规律即可求解，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式是解题的关键． 【详解】∵将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴得到的抛物线的解析式是， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是__________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数图像的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是，即， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河南漯河·阶段检测）拋物线的顶点在轴上，则该抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出对称轴为直线，则抛物线的顶点的横坐标为，根据顶点在轴上，得到，据此求出，则抛物线解析式为，由此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∴抛物线的顶点的横坐标为， ∵拋物线的顶点在轴上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·贵州黔西南·阶段检测）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是______． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据“，二次函数的图象开口向上；，二次函数的图象开口向下；越大，开口也就越小”进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：； 故答案为． 14．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，二次函数的图象经过点，点，交y轴于点C，给出下列结论：①；②若，则；③对于任意实数m，一定有④一元二次方程的两根为和，其中正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的图象及性质、二次函数的最值，根据函数图象与轴的交点，将函数解析式化为交点式，进而可判断①，当时，代入，再将函数解析式化为顶点式，利用函数的性质即可判断②，根据函数的顶点坐标及开口方向即可判断③，方程化为：，整理得，进而可判断④，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点、点， 抛物线解析式为：，即：， ，， ，故①正确； 当时，， ， 顶点坐标为：， 抛物线的开口向下， 当时，则，故②错误； ， 抛物线的开口向下， 当时，该二次函数有最大值， ∴， ∴， ∴，故③正确； 方程化为：， 整理得：， 解得：，，故④正确， 则正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）二次函数图像如图所示，下列结论： ①；②；③若m为任意实数，则有；④；⑤若，且，则， 其中正确的序号是_______ 【答案】②③④⑤ 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得与的关系，以及熟练掌握二次函数与方程、不等式之间的转化是解题的关键．由抛物线的开口方向判断的大小，根据抛物线与轴的交点判断的大小，根据对称轴和抛物线与轴的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答． 【详解】解：图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右边， 可得：， ，故①错误； 根据对称轴为直线，抛物线与轴的交点在的左边， 可得：抛物线与轴的另一个交点在和之间， 由图知，当时，，故②正确； 当时，函数有最大值为， ，即，故③正确； 由对称轴为直线，可得， 由②得，故④正确； ∵， ∴， 令， 则：在二次函数上， ， 关于对称轴直线对称， 根据中点公式可得，则，故⑤正确； 故答案为：②③④⑤． 16．（25-26九年级上·全国·期中）将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，求原抛物线的表达式． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 将新抛物线按反方向平移，再根据平移规律求得抛物线解析式． 【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线， 所以新抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到原抛物线，即， 新抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到抛物线的解析式为． 原抛物线的表达式为． 17．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知二次函数． (1)求该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及当x取何值时，； (2)在直角坐标系中画出该函数的图象（列表、描点、连线）． 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时， (2)如图， 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】（1）首先将二次函数配方成顶点式，然后求出二次函数与x轴的交点坐标，然后利用二次函数的性质求解； （2）利用五点作图法画图即可． 【详解】（1）解：∵中二次项系数为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 解得，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，， ∴当时，； （2）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 作图略． 【考点2】二次函数的解析式与实际应用（第18-28题） · 已知三点设一般式，已知顶点与一点设顶点式 · 抛物线与 x 轴交点即方程实根，注意 Δ 与交点个数的对应 · 最值应用题先写函数关系式再定自变量取值范围 18．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）若抛物线与直线的两交点的横坐标分别是、，则的值是（     ） A．2032 B．2025 C．2027 D．2029 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、其他问题(二次函数综合)、已知式子的值，求代数式的值 【分析】联立解析式得出一元二次方程，然后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】解：联立解析式得， 整理得， ∴、是该一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 19．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段检测）如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先根据抛物线的对称轴可得抛物线过，再结合图象可得答案． 【详解】解：∵抛物线交y轴于点，对称轴为直线， ∴图象过点， ∵图象开口向下， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 20．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 21．（2025九年级·全国·专题练习）报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为________． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数的关系式，掌握年均增长率下的增长公式，通过逐年推导得出函数关系式是解题的关键． 根据增长率模型，从初始值经过两年增长，利用年均增长率公式求解． 【详解】解：年收入为亿美元，年均增长率为， 年收入为亿美元， 年收入为亿美元， 因此与之间的函数关系式为． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 【答案】5 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，先理解题意，分别求出，，，再把数值代入的面积计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴令得， ∴， 解得， 观察图象得出， 令则， ∴， ∵二次函数 ∴对称轴为直线， 即， ∴， ∴的面积． 23．（2025九年级·全国·专题练习）已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 【答案】(1) (2)1 (3)当时， 【知识点】y=ax²的图象和性质、列二次函数关系式、求自变量的值或函数值、 圆柱的体积 【分析】（1）由圆柱体积公式直接可得； （2）将代入（1）中公式即可； （3）观察图像可知，在第一象限内随的增大而增大，当时，． 【详解】（1）解：由圆柱的体积公式可得， 画图如下： （2）解：将代入（1）中公式可得， 故答案为：1． （3）解：由图像可知，当时，，在第一象限内随的增大而增大， ∴当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 24．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一个矩形的周长是，设它的一边长为x（单位：），面积为y（单位：）． (1)求y关于x的函数解析式并直接写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当取6时，矩形面积最大，最大面积是 【知识点】列二次函数关系式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据矩形面积公式求出y与x的函数解析式即可； （2）根据二次函数的最值得出结果即可． 【详解】（1）解：∵矩形的周长是，设它的一边长为x， ∴矩形的另外一条边长为， ∴y关于x的函数解析式为： ； （2）解：∵，    ∴y有最大值， ∵， ∴当时，矩形面积最大，最大面积是， 答：当取6时，矩形面积最大，最大面积是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，求二次函数解析式，求二次函数的最值，将二次函数一般式转化为顶点式，解题的关键是求出二次函数解析式． 25．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【答案】(1) (2)当时，函数随的增大而减少 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式． （1）利用待定系数法即可求出函数的关系式． （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而减少． 【详解】（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 26．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线上第四象限内的一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点代入抛物线，求出解析式即可； （2）令抛物线，求出抛物线与轴的交点坐标，得到线段的长，利用面积公式可求出点的纵坐标，即可代入解析式求出横坐标． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解得 ， ∴解析式为； （2）解：令，得， 解得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ 即， 解得（舍去），， ∴． 27．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点．直线：与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线：下方的抛物线上是否存在点，使得点到直线：的距离为？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】一次函数与几何综合、点到直线的距离、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据二次函数图象的对称轴，得出，再将点代入函数表达式求出，即可得解； （2）令直线：与轴交于点，先求出直线：与坐标轴的交点，进而得出，设点的坐标为，其中，过点作轴交直线：于点，过点作直线：于点，则，证明是等腰直角三角形，则，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴为直线， ， 解得：， 二次函数图象过点， ， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：如图，令直线：与轴交于点， 令，则；令，则，解得：， ，， ， ， ， 联立，解得：或， 设点的坐标为，其中， 如图，过点作轴交直线：于点，过点作直线：于点， ， ， 点到直线：的距离为， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，； 点的坐标为或． 28．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，探索完成任务： 如何确定灌溉方案 素材1 蔬菜大棚里装有1个自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜，如图1所示，喷水口中心O有一喷水管垂直于地面并可以随意调节高度，从A点向外喷水，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．    素材2 测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米．    素材3 种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间，发现这位农民在与喷水口水平距离是P米时，不会被水淋到． 种植农民给蔬菜大棚拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3．    问题解决 任务1 模型构建 在图2中建立合适的直角坐标系，求出水柱所在抛物线的函数解析式． 任务2 模型分析 求P的取值范围． 任务3 问题解决 求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是米（），精确到0.1米） 【答案】任务一：；任务二：；’ 任务三：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为8.5米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． 任务一、以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点，再利用待定系数法求解即可； 任务二、当时，，解方程即可得解； 任务三、由题意可得薄膜所在平面的直线解析式为，联立得出，结合只有一个交点，求出得到从而可得直线与x轴的交点为，过点于点M，且，过点F作，交x轴于点．则由题意得：，求出，即可得解． 【详解】解：任务一、以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 设水柱所在抛物线的函数解析式为：． 由题意得：抛物线经过的点A的坐标为，点F的坐标为，点D的坐标为． ∴， 解得：, ∴水柱所在抛物线的函数解析式为： 任务二、当时，， ， 解得，， ∴ 任务三、∵薄膜所在平面可看成是一条直线，薄膜所在平面和地面的夹角是， ∴薄膜所在平面的直线解析式为： 当薄膜所在直线与水柱所在抛物线相切时，, ∴， ∵只有一个交点， ∴， ， ∴ ∴直线与x轴的交点为 过点于点M，且，过点F作，交x轴于点． ∴ 由题意得： ∴， ∴ 答：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为米． 【考点3】反比例函数的图象与性质（第29-30题） · 由 k 的符号确定图象所在象限，由 |k| 确定图象到坐标轴的距离 · 比较函数值大小先看点所在象限与函数增减性 29．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若点 在反比例函数 的图像上，则 与 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】利用反比例函数图像上的点满足函数解析式，将两点横坐标代入解析式得到对应值，比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式得， 将代入解析式得， ∵， ∴． 30．（26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、求一元一次不等式的解集 【分析】由反比例函数图象分布在第二、四象限的特征得比例系数为负，列不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得：． 【考点4】反比例函数与一次函数综合（第31-34题） · 交点坐标同时满足两个解析式，联立方程组求交点 · 利用中心对称性与面积转化求解 31．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的交点问题，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知，点与点B关于原点对称， 点的坐标为， 故选：A． 32．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．根据反比例函数定义，设解析式为，代入已知点求出，再验证各选项是否满足解析式． 【详解】解：∵反比例函数图象经过点， ∴设解析式为，代入得， ∴， ∴解析式为． A．当时，，不符合题意； B．当时，，不符合题意； C．当时，，不符合题意； D．当时，，符合题意． 故选：D． 33．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点A、B，若直线经过点A、B，则k的值为_________． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，正确求出点A、B的坐标是解题的关键． 先求出，然后表示出点A、B的坐标，再由待定系数法求解一次函数解析式中的． 【详解】解：如图， 当时，， ， 过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点A、B， ， 将代入， 则， 两式相减得： ， ∴， 故答案为：． 34．（23-24九年级上·福建三明·阶段检测）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．设商场每台空调降价元， ①降价后每天卖出______件，每件盈利______元（用含的代数式表示）； ②该商场要想平均每天盈利4000元，可能吗？请说明理由． 【答案】(1)y关于x的关系式为； (2)①；； ②不可能，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∴方程无解， ∴该商场不可能每天盈利4000元． 【知识点】实际问题与反比例函数、根据判别式判断一元二次方程根的情况、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由表格知，y关于x的函数关系为反比例函数关系，利用待定系数法即可求解； （2）①设商场每台空调降价元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台， ②利用每天销售冰箱获得的利润=每台的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】（1）∵， ∴y关于x的函数关系为反比例函数关系， 设y关于x的函数解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴y关于x的关系式为； （2）设商场每台空调降价元， ①降价后每件盈利：（件），每天卖出：（元）， 故答案为：； ②略 【考点5】比例线段与黄金分割（第35-36题） · 比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积 · 黄金比约为 0.618，设份数设元可简化计算 35．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割的定义，注意掌握把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．根据题意先计算出，然后把计算黄金分割后较长线段的长度，则可判断哪一点最接近线段的黄金分割点． 【详解】解：线段黄金分割后较长线段的长度为， ∵线段， ∴， ∴点F最接近线段的黄金分割点． 故选：C． 36．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）音乐是一门艺术，而数学是一门科学．某著名歌曲共有37小节，按黄金分割分为两个段落，前一段较长，后一段较短，则其黄金分割点是第______小节处，曲式的进程与歌曲的旋律能精妙地融合在一起． 【答案】23 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割，设前一段较长部分为 a 小节，根据黄金分割的性质可得，据此求出a的值即可得到答案． 【详解】解：设前一段较长部分为 a 小节， 由题意得， ∴， ∴其黄金分割点是第23小节处， 故答案为：23． 【考点6】相似三角形的判定与性质（第37-46题） · 有平行先想两角相等，有直角想射影型基本图形 · 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 · 求线段长常设未知线段，用比例式列方程 37．（22-23九年级上·广西来宾·期末）有两个相似三角形的周长之比为，则其面积比为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据题意直接利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的面积之比，即， 故选：C． 38．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图：添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：和中，，已满足一组对角相等， A选项，添加后，满足两组对角相等，可判定，不合题意； B选项，添加后，满足两组对角相等，可判定，不合题意； C选项，添加后，满足两边成比例且夹角相等，可判定，不合题意； D选项，添加后，仍无法判定，符合题意； 故选D． 39．（23-24九年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，的面积是1，那么四边形的面积是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 首先根据得到，然后由，可证，从而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求出，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故选：B． 40．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，已知，，，则的长为______． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，灵活运用定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再结合已知条件即可得解． 【详解】解：∵， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 41．（23-24九年级上·上海松江·阶段检测）在中，，点，分别在边，上，已知，，，则_______． 【答案】12 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟记平行线分线段成比例性质是解题的关键．根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：如图，， ， ， ， 故答案为：12． 42．（24-25九年级上·上海静安·阶段检测）现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形________相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 【答案】不一定 【知识点】相似三角形的判定综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分类思想的运用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．如图，分两种情况讨论，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，再利用两边对应成比例，且夹角相等可得两个三角形相似，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，先利用勾股定理求解另一直角边，可得夹直角的两边不成比例，从而可判断两个三角形不相似，从而可得答案． 【详解】解：这两个直角三角形不一定相似． 理由如下： 如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 由于而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似； 如图，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 根据勾股定理得另一直角边长则所以这两个直角三角形不相似． 综上：这两个直角三角形不一定相似； 故答案为：不一定． 43．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在和中，，．求证：； 【答案】 证明：， ， ， 又， 则， ． 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由已知条件得出，再结合其夹角的对应边成比例即可得出. 【详解】略 44．（2025·广东广州·三模）如图，在中，． (1)尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) 如图，点为所作； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、尺规作一个角等于已知角、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）先作，再作，交于点D，则点D即为所求； （2）设交于点，过点作于点，设，由等边对等角得到， 则，解直角三角形得到，则可求出，证明，得到，设，则，，解得， 可求出，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：交于点，过点作于点，如图， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ，， △△， ， 设，则， △△， ，即， 解得， ． 45．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】 证明：由图知：，，， ，，． ， ． 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】略 46．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，D是边上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形得到，再代入数据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 【考点7】相似多边形与相似三角形的应用（第47-56题） · 相似多边形对应角相等、对应边成比例 · 测高、测距问题通过构造相似三角形求解 47．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正方形性质理解、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，先结合四边形是正方形，则，故证明，，再代入数值到，，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∴，， ∵， ∴，， 则，， ∴， 故选：B． 48．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）将一张矩形纸片对折后得到的两个矩形与原矩形相似，则原矩形较长边与较短边的比为______． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、相似多边形的性质 【详解】解：设原矩形的较长边为，较短边为，由题意得： ，即， ∴． 49．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）小勇的身高是，他的影长为，若同一时刻测得古塔的影长是；则古塔的高度是______m． 【答案】12.8 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，熟悉掌握比值关系是解题的关键． 设古塔的高度为米，根据相似三角形的性质列式运算即可． 【详解】解：设古塔的高度为米，根据相似三角形的性质，同一时刻物体高度与影长成正比， ∴， 解得：， 故答案为：． 50．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为____________． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，由矩形矩形，可得，代数求解即可． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 51．（24-25九年级上·湖南永州·阶段检测）《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题：与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______． 【答案】15 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作于，的延长线交于，由得出，再由相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，作于，的延长线交于， ， ∵，， ∴，， ∴， 由题意可得：，，， ∴ ∴， 故答案为：15． 52．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）报纸上刊登广告每平方厘米版面收取相同的广告费．李华要刊登广告，一块的长方形版面要付180元的广告费，如果他要把版面的长宽都扩大为原来的3倍，则要付___________元广告费． 【答案】1620 【知识点】相似多边形的性质 【分析】计算扩大后版面面积，再根据每平方厘米广告费相同，计算总广告费， 本题考查了相似图形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得两个长方形的四个角都是直角，且对应边成比例， 故两个长方形是相似四边形，且相似比为， 故面积比为， 因此广告费也扩大为原来的9倍，即（元）， 故答案为：1620． 53．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是______． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， 即， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即原矩形的较长边与较短边的比值是． 故答案为：． 54．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，求的度数．    【答案】 【知识点】多边形内角和问题、相似多边形的性质 【分析】利用相似多边形对应角相等、对应边成比例即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是知道相似多边形的对应边的比相等，对应角相等． 55．（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）如图①，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知． ①求的长； ②矩形与矩形的相似比为___________． （2）如图②，把矩形分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似．已知原矩形的长为25，宽为，求的值． 【答案】【小题1】 ； ； 【小题2】 【知识点】矩形与折叠问题、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】(1)矩形与矩形相似则对应边成比例，则可求出边的长，第二空相似比即为对应边的比； （2）利用相似图形的性质对应边的比相等即可进行求解. 【详解】【小问1详解】 解：①矩形, , 是对折, , 已知, , 两矩形对应边比例关系式可以写做, 去分母得, 解得, ②. 【小问2详解】 解：由题可知五个小矩形的宽为，长为, 大矩形的长为，宽为, 则可列关系式为, 去分母得, 解得. 【点睛】本题考查了相似图形的相关知识和解一元二次方程，熟练掌握相似图形的性质以及解一元二次方程的方法是解答本题的关键. 56．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长．    【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据得到，即可求解． 【详解】解： ， ， ． ，， ， 则． 【考点8】位似图形与坐标（第57-60题） · 位似是特殊的相似，对应点连线必过位似中心 · 以原点为位似中心时坐标乘 ±k，注意同向与反向两种位置 57．（23-24九年级下·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为3，在第一象限内把放大．则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：以原点为位似中心，相似比为3，把放大，点的坐标为， 点的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 58．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，缩小后变为，若线段上有点，则点在上的对应点P的坐标为_________． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了坐标系中位似坐标的计算，观察坐标系，，，确定与的位似比，即可求解． 【详解】观察坐标系，，，与的位似比为， 故， 故答案为：． 59．（2025-2026学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请以原点为位似中心，画出的位似图形，使得点的对应点的坐标为（点的对应点分别为点）． 【答案】见解析 【知识点】在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查位似作图，掌握好位似的性质是关键．根据、得出位似比，根据位似比得出、，顺次连接即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，即位似比为， ∵，， ∴、， ∴如图，即为所作． 60．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图所示， 在平面直角坐标系中， ，利用位似缩小；以原点O为位似中心，在第二、四象限分别画出与位似的三角形，使相似比为． 【答案】 画图如下： 则和即为所求． 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】当在第二象限时，；当在第四象限时，，画图即可． 本题考查了位似作图，正确理解位似比的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，利用位似缩小；以原点O为位似中心，且相似比为． ∴当在第二象限时，；当在第四象限时，， 💯 课后巩固 复习建议 · 先由 a 的符号与大小判断二次函数开口，再套公式求对称轴与顶点 · 求抛物线解析式时根据已知条件灵活选用一般式或顶点式 · 反比例函数问题先定 k 的符号与象限，再利用对称性与面积转化 · 相似问题抓对应边、对应角，面积比勿忘相似比的平方 · 实际应用问题求出函数后必须检验自变量取值范围与根的实际意义 【作业1】．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点式为，其中顶点坐标为 ，根据二次函数的顶点式形式，直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴其图象的顶点坐标为， 故选：D 【作业2】．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置O处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部N与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端Q为止．此时，测得小亮眼睛P到地面的距离，小亮到O处的距离，电线杆底部N到O的距离．电线杆的高度的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ，，， ， ． 经检验，是方程的解， 故电线杆的高度的值为， 故选：D． 【作业3】．（2024·天津红桥·一模）若点，，都在反比例函数 的图象上， 则， ，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查比较反比例函数自变量的大小，将函数值代入求出对应的自变量x，比较大小即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数 的图象上， ，，， 解得，， ， 故选B． 【作业4】．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 【作业5】．（24-25九年级上·上海崇明·期中）在中，点D、E分别在边、上，以下能推出的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、相似三角形的判定与性质综合、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定；画出图形，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：画出图形如下： A、由，不能得出，故不能判定； B、由，不能得出，故不能判定； C、由，不能得出，故不能判定； D、∵ ∴ ∵ ∴，且 ∴， ∴． ∴． 故选：D． 【作业6】．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求位似图形的对应坐标 【详解】解：∵位似中心为原点，与的位似比为，且对应点在原点另一侧， ∴点的对应点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标乘， ∵点的坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 【作业7】．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知二次函数，则_____，______，______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可． 【详解】解：，则， 故答案为：，，． 【作业8】．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）抛物线的开口方向是______． 【答案】向上 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 根据二次函数的性质，二次项系数的符号决定抛物线的开口方向． 【详解】解：对于二次函数 ，二次项系数 ，因此抛物线开口向上． 故答案为：向上． 【作业9】．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知线段，线段，线段c是线段a和线段b的比例中项，则______． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查的是线段的比例中项的含义，由线段c是线段a和线段b的比例中项可得，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵线段c是线段a和线段b的比例中项， ∴， 又∵线段，线段， ∴， 故答案为： 【作业10】．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）点在函数的图象上，则______（填“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的增减性解答即可，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：， 反比例函数的图象在二，四象限，在第二，四象限内，随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 【作业11】．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）线段，为的黄金分割点，且，则____． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段与较短线段的比等于整个线段与较长线段的比，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，再求出的长即可． 【详解】解：如图， 线段，为的黄金分割点且， ∴， ∴ ∴． 故答案为： 【作业12】．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在比例尺是的地图上测得地铁9号线七宝站到虹桥火车站的直线距离约是2.5厘米，那么9号线七宝站到虹桥火车站的实际直线距离约是______千米． 【答案】5 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：设9号线七宝站到虹桥火车站的实际直线距离约是厘米， 则：， ∴， ∴千米； 故答案为：5． 【作业13】．（23-24九年级上·江西九江·阶段检测）已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是________． 【答案】/ 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，由k的值，可以得到该函数图象在第几象限，再根据反比例函数的性质，从而可以得到x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴该函数图象在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； ∴当时，则，则， 当时，则，则 ∴当时，， 故答案为：． 【作业14】．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知函数是反比例函数，求m的值． 【答案】1 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 又当时，，所以． 所以m的值为1． 【作业15】．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知，现量得卡钳上A，D两端点的距离为，则该容器内径的长是__________． 【答案】8 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 依题意得，，则由对应边成比例，由此得出的长度． 【详解】解：如图根据题意可得 ， ， ， 故答案为：8． 【作业16】．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、已知两点坐标求两点距离、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值． 【详解】解：当时，，解得， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， ∴， 解得， 故答案为： 【作业17】．（22-23九年级上·山西运城·期中）晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高与其影长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点B处时，并测得．已知李明直立时的身高为，求路灯的高度． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，先证和为等腰直角三角形，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：设长为， ∵， ∴，且为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴路灯的高度为． 【作业18】．（22-23九年级上·四川广安·阶段检测）已知抛物线过点，求m的值． 【答案】m的值为 【知识点】因式分解法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式 【分析】把点代入得到关于的方程，解方程即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，因式分解法解一元二次方程，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键，注意二次项系数不为0． 【详解】解：抛物线过点， ， 整理得， 解得，， ， ， 的值为3． 【作业19】．（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：）与飞行时间x（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？ (2)在飞行过程中，当小球的飞行高度为时，飞行时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【答案】(1) (2)或 (3) (4)小球飞行高度在飞行时间是时最大，最大高度为． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）求出当时y的值即可得到答案； （2）求出当时x的值即可得到答案； （3）求出当时x的值即可得到答案； （4）把函数解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 答：当小球的飞行时，飞行高度是； （2）解：在中，当时，解得或， 答：当小球的飞行高度为时，飞行时间是或； （3）解：在中，当时，解得或， 答：小球从飞出到落地所用时间是； （4）解：∵， ∴小球飞行高度在飞行时间是时最大，最大高度为． 【作业20】．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是． (1)以为位似中心，作，相似比为，且保证在第三象限； (2)点的坐标为（__________，________）； (3)的面积是________． 【答案】(1) 如图所示，即为所求： (2)， (3) 【知识点】在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了坐标与图形变化、位似变换，求网格中图形的面积，利用位似的性质正确作出图形是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，分别作出、、的位置，再顺次连接即可得到； （2）根据坐标系即可得出点的坐标； （3）结合点的坐标，利用割补法求出的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：由坐标系可得，点的坐标为． 故答案为：，． （3）解：由坐标系可得，的面积． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·基础巩固讲义 （第21~22章）（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理二次函数的图象与性质，会求开口方向、对称轴与顶点坐标 · 掌握待定系数法求二次函数解析式，能解决抛物线平移与实际应用问题 · 理解反比例函数的图象与性质，会求解析式并解决与一次函数的交点问题 · 掌握相似三角形的判定与性质，能利用比例关系求线段长与面积比 · 认识位似图形的坐标特征，会用相似与方程模型解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 一般式 y=ax2+bx+c（a≠0），顶点式 y=a(x-h)2+k，交点式 y=a(x-x1)(x-x2) a 决定开口方向与大小：a>0 开口向上，a<0 开口向下，|a| 越大开口越窄 对称轴 x=-，顶点坐标为 (-, ) 图象平移遵循「左加右减、上加下减」，沿 x 轴平移改变 h，沿 y 轴平移改变 k 概念辨析例题：求二次函数 y=2x2-4x+1 的对称轴与顶点坐标。 答案：对称轴 x=1，顶点坐标为 (1,-1)。 解析：由 a=2，b=-4，c=1，对称轴 x=-=1，代入得 y=2×1-4×1+1=-1，故顶点为 (1,-1)。 ☆ 2.二次函数的解析式与实际应用 待定系数法：已知顶点用顶点式，已知三点用一般式，已知与 x 轴两交点用交点式 抛物线与 x 轴的交点即对应一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根，Δ 决定交点个数 求最值应用题先建立函数关系，再根据自变量取值范围确定实际最大值或最小值 a 的符号、对称轴位置、与坐标轴交点共同决定函数图象的大致形状 概念辨析例题：已知抛物线过点 (0,1)、(1,0)、(2,3)，求它的解析式。 答案：y=2x2-3x+1。 解析：设 y=ax2+bx+c，代入三点得方程组 c=1，a+b+c=0，4a+2b+c=3，解得 a=2，b=-3，c=1。 ☆ 3.反比例函数的图象与性质 形如 y=（k≠0），图象是关于原点对称的双曲线 k>0 时图象在第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小 k<0 时图象在第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 |k| 等于图象上任意一点向两坐标轴作垂线所围成矩形的面积 概念辨析例题：反比例函数 y= 的图象经过点 (2,-3)，求 k 并判断图象所在象限。 答案：k=-6，图象在第二、四象限。 解析：由 k=xy=2×(-3)=-6<0，故图象分布在第二、四象限。 ☆ 4.相似三角形与位似 相似三角形对应边成比例、对应角相等，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 判定定理：两角分别相等；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例 位似是特殊的相似，以原点为位似中心时对应点坐标同乘 ±k 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为 2:3，较小三角形的面积为 16，求较大三角形的面积。 答案：面积比为 4:9，较大三角形面积为 36。 解析：相似三角形面积比等于相似比的平方，由 4:9=16:S，解得 S=36。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） 二次项系数 a≠0 是前提 顶点式 y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) 已知顶点与一点优先选用 对称轴 x=- 与 y 轴交点为 (0,c) 反比例函数 y=（k≠0） 图象无限接近坐标轴但永不相交 相似三角形 对应边成比例、对应角相等 面积比等于相似比的平方 位似图形 对应点连线交于位似中心 坐标比等于位似比 ±k ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的图象与性质（第1-17题） · 由 a 的符号判断开口方向，由 |a| 判断开口宽窄 · 顶点式直接读顶点坐标，一般式用对称轴与顶点公式求解 · 平移问题遵循左加右减、上加下减 1．（24-25九年级上·广东潮州·期末）二次函数的图象的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）下列各点中，在抛物线上的点的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建南平·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·北京·课前预习）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）二次函数（k为常数）的对称轴为直线（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．与轴有两个不同的交点 8．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数，下列说法正确的是（） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线与x轴没有交点 D．抛物线与y轴的交点坐标为 9．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数的图像在对称轴的左侧是下降，对称轴的右侧是上升，那么a_________（填“大于0、小于0或等于0”）． 10．（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）把抛物线 先向右平移1个单位再向上平移2个单位，所得到抛物线的解析式为_______． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是__________． 12．（25-26九年级上·河南漯河·阶段检测）拋物线的顶点在轴上，则该抛物线的顶点坐标为______． 13．（25-26九年级上·贵州黔西南·阶段检测）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是______． 14．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，二次函数的图象经过点，点，交y轴于点C，给出下列结论：①；②若，则；③对于任意实数m，一定有④一元二次方程的两根为和，其中正确结论的序号是______． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）二次函数图像如图所示，下列结论： ①；②；③若m为任意实数，则有；④；⑤若，且，则， 其中正确的序号是_______ 16．（25-26九年级上·全国·期中）将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，求原抛物线的表达式． 17．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知二次函数． (1)求该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及当x取何值时，； (2)在直角坐标系中画出该函数的图象（列表、描点、连线）． 【考点2】二次函数的解析式与实际应用（第18-28题） · 已知三点设一般式，已知顶点与一点设顶点式 · 抛物线与 x 轴交点即方程实根，注意 Δ 与交点个数的对应 · 最值应用题先写函数关系式再定自变量取值范围 18．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）若抛物线与直线的两交点的横坐标分别是、，则的值是（     ） A．2032 B．2025 C．2027 D．2029 19．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段检测）如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是___________． 20．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 21．（2025九年级·全国·专题练习）报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为________． 22．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 23．（2025九年级·全国·专题练习）已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 24．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一个矩形的周长是，设它的一边长为x（单位：），面积为y（单位：）． (1)求y关于x的函数解析式并直接写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 25．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 26．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线上第四象限内的一点，且，求点的坐标． 27．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点．直线：与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线：下方的抛物线上是否存在点，使得点到直线：的距离为？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，探索完成任务： 如何确定灌溉方案 素材1 蔬菜大棚里装有1个自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜，如图1所示，喷水口中心O有一喷水管垂直于地面并可以随意调节高度，从A点向外喷水，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．    素材2 测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米．    素材3 种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间，发现这位农民在与喷水口水平距离是P米时，不会被水淋到． 种植农民给蔬菜大棚拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3．    问题解决 任务1 模型构建 在图2中建立合适的直角坐标系，求出水柱所在抛物线的函数解析式． 任务2 模型分析 求P的取值范围． 任务3 问题解决 求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是米（），精确到0.1米） 【考点3】反比例函数的图象与性质（第29-30题） · 由 k 的符号确定图象所在象限，由 |k| 确定图象到坐标轴的距离 · 比较函数值大小先看点所在象限与函数增减性 29．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若点 在反比例函数 的图像上，则 与 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 30．（26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【考点4】反比例函数与一次函数综合（第31-34题） · 交点坐标同时满足两个解析式，联立方程组求交点 · 利用中心对称性与面积转化求解 31．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（    ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点A、B，若直线经过点A、B，则k的值为_________． 34．（23-24九年级上·福建三明·阶段检测）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．设商场每台空调降价元， ①降价后每天卖出______件，每件盈利______元（用含的代数式表示）； ②该商场要想平均每天盈利4000元，可能吗？请说明理由． 【考点5】比例线段与黄金分割（第35-36题） · 比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积 · 黄金比约为 0.618，设份数设元可简化计算 35．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 36．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）音乐是一门艺术，而数学是一门科学．某著名歌曲共有37小节，按黄金分割分为两个段落，前一段较长，后一段较短，则其黄金分割点是第______小节处，曲式的进程与歌曲的旋律能精妙地融合在一起． 【考点6】相似三角形的判定与性质（第37-46题） · 有平行先想两角相等，有直角想射影型基本图形 · 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 · 求线段长常设未知线段，用比例式列方程 37．（22-23九年级上·广西来宾·期末）有两个相似三角形的周长之比为，则其面积比为（    ） A． B． C． D．不能确定 38．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图：添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24九年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，的面积是1，那么四边形的面积是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 40．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，已知，，，则的长为______． 41．（23-24九年级上·上海松江·阶段检测）在中，，点，分别在边，上，已知，，，则_______． 42．（24-25九年级上·上海静安·阶段检测）现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形________相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 43．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在和中，，．求证：； 44．（2025·广东广州·三模）如图，在中，． (1)尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 45．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 46．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，D是边上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点7】相似多边形与相似三角形的应用（第47-56题） · 相似多边形对应角相等、对应边成比例 · 测高、测距问题通过构造相似三角形求解 47．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 48．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）将一张矩形纸片对折后得到的两个矩形与原矩形相似，则原矩形较长边与较短边的比为______． 49．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）小勇的身高是，他的影长为，若同一时刻测得古塔的影长是；则古塔的高度是______m． 50．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为____________． 51．（24-25九年级上·湖南永州·阶段检测）《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题：与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______． 52．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）报纸上刊登广告每平方厘米版面收取相同的广告费．李华要刊登广告，一块的长方形版面要付180元的广告费，如果他要把版面的长宽都扩大为原来的3倍，则要付___________元广告费． 53．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是______． 54．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，求的度数．    55．（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）如图①，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知． ①求的长； ②矩形与矩形的相似比为___________． （2）如图②，把矩形分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似．已知原矩形的长为25，宽为，求的值． 56．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长．    【考点8】位似图形与坐标（第57-60题） · 位似是特殊的相似，对应点连线必过位似中心 · 以原点为位似中心时坐标乘 ±k，注意同向与反向两种位置 57．（23-24九年级下·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为3，在第一象限内把放大．则点的对应点的坐标为______． 58．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，缩小后变为，若线段上有点，则点在上的对应点P的坐标为_________． 59．（2025-2026学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请以原点为位似中心，画出的位似图形，使得点的对应点的坐标为（点的对应点分别为点）． 60．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图所示， 在平面直角坐标系中， ，利用位似缩小；以原点O为位似中心，在第二、四象限分别画出与位似的三角形，使相似比为． 💯 课后巩固 复习建议 · 先由 a 的符号与大小判断二次函数开口，再套公式求对称轴与顶点 · 求抛物线解析式时根据已知条件灵活选用一般式或顶点式 · 反比例函数问题先定 k 的符号与象限，再利用对称性与面积转化 · 相似问题抓对应边、对应角，面积比勿忘相似比的平方 · 实际应用问题求出函数后必须检验自变量取值范围与根的实际意义 【作业1】．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置O处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部N与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端Q为止．此时，测得小亮眼睛P到地面的距离，小亮到O处的距离，电线杆底部N到O的距离．电线杆的高度的值为（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（2024·天津红桥·一模）若点，，都在反比例函数 的图象上， 则， ，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25九年级上·上海崇明·期中）在中，点D、E分别在边、上，以下能推出的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【作业6】．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【作业7】．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知二次函数，则_____，______，______． 【作业8】．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）抛物线的开口方向是______． 【作业9】．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知线段，线段，线段c是线段a和线段b的比例中项，则______． 【作业10】．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）点在函数的图象上，则______（填“”或“”）． 【作业11】．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）线段，为的黄金分割点，且，则____． 【作业12】．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在比例尺是的地图上测得地铁9号线七宝站到虹桥火车站的直线距离约是2.5厘米，那么9号线七宝站到虹桥火车站的实际直线距离约是______千米． 【作业13】．（23-24九年级上·江西九江·阶段检测）已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是________． 【作业14】．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知函数是反比例函数，求m的值． 【作业15】．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知，现量得卡钳上A，D两端点的距离为，则该容器内径的长是__________． 【作业16】．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 【作业17】．（22-23九年级上·山西运城·期中）晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高与其影长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点B处时，并测得．已知李明直立时的身高为，求路灯的高度． 【作业18】．（22-23九年级上·四川广安·阶段检测）已知抛物线过点，求m的值． 【作业19】．（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：）与飞行时间x（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？ (2)在飞行过程中，当小球的飞行高度为时，飞行时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【作业20】．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是． (1)以为位似中心，作，相似比为，且保证在第三象限； (2)点的坐标为（__________，________）； (3)的面积是________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $