5.5 二次函数与实际问题（第1课时 面积最值问题）（教学课件）数学新教材青岛版九年级下册

【新教材】青岛版·九年级下册 第5章 二次函数 5.5二次函数与实际问题 第1课时 面积最值问题 学 习 目 标 1 2 3 掌握在图形问题中寻找等量关系的思路，并且会用函数表达式算出图形面积最值，即最大(小)值. 能将实际问题中的变量关系转化为二次函数模型，能根据实际问题的意义确定二次函数自变量的取值范围，并结合取值范围判断函数的最值。 经历"实际问题建立二次函数模型求解最值解释实际意义”的全过程，培养数学建模能力和分析解决问题的能力。 1.二次函数的一般形式是什么？顶点式是什么？ 一般形式： y=ax2+bx+c（a≠0） 顶点式： y=a(x + )2 + 知识回顾 2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）何时有最大值或最小值？ 当a＞0，x =-时，,函数值有最小值，y最小值= 当a＜0，x =-时，函数值有最大值，y最大值= 知识回顾 3.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，和其最值. （1）y=x2−4x−5; (配方法) (2)y=−x2−3x+4.(公式法) 解：（1）y=x2−4x−5=（x-2）2-9 开口方向：向上；对称轴：x=2； 顶点坐标：（2，−9）；最小值：−9. （2）开口方向：向下；对称轴：x=-=- ； 顶点坐标：（ - ，）；最大值： . 当自变量1＜x＜5时，它们的最值有变化吗？ 知识回顾 二次函数是重要的数学模型,运用二次函数的知识可以解决生产生活中的许多问题。 新课导入 例1、将一条8m长的绳子截成两段,把每一段绳子围成一个正方形。求围成的两个正方形面积之和的最小值。 分析：设一个正方形的边长为xm，面积之和为ym2 则另一个正方形的边长______ m. 它们的面积分别是 m2， 面积之和是 m2, y是x的二次函数吗？ x2 、( y=x2+( 是 典例讲解 解:设其中一段绳子的长为xm,两个正方形面积之和为ym2。根据题意,得 y=x2+( =（x-4)2+2 ∵自变量x的取值需满足0<x<8， ∴当x=4时,y取得最小值,最小值为2。 还有其他方法求最值吗？ = x2-x+4 典例讲解 1.已知菱形的两条对角线之和为6。 (1)设一条对角线的长为x,菱形的面积为y,写出y与x 之间的函数表达式, 并写出自变量x的取值范围; (2)当这两条对角线的长分别为何值时,菱形的面积最大? 最大面积是多少? 解:（1）设一条对角线的长为x，另一条对角线的长为6-x， 菱形的面积为y=（6-x）x =- x2+3x 自变量x的取值范围:0＜x＜6。 跟踪练习 （2）y=-x2+3x 对称轴是直线x =-=3， ∵自变量x的取值范围:0＜x＜6。 ∴当x=3时,y取得最大值,最大值为4.5。 ∴6-x=3 ∴当两条对角线的长均为3时，菱形的面积最大， 最大面积是4.5 跟踪练习 例2、九年级劳动课上,同学们准备用总长为40m的篱笆围成一个矩形苗圃。苗圃的一边靠墙,另外三边用篱笆围成。已知墙长为18m,怎样设计才能使苗圃的面积最大? 最大面积是多少? 分析：（1）设垂直于墙的一边长为xm， 另一边长是 m,菜园面积为 S = m². (40-2x) -2x2+40x 典例讲解 （2）自变量x的取值范围是什么？ x x 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义， ∴菜园的边长应为正数，即 x＞0 0＜40-2x≤18 ∴11≤x＜20 典例讲解 （3）如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 转化成什么问题？ 当x取什么值时，二次函数S有最大值，最大值是多少的问题？ 转化 典例讲解 解：设设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的边长为（40-2x)m，菜园面积为Sm²， ∴S=x(40-2x)= -2x²+40x（11≤x<20） = -2(x-10)²+200 ∴当x=11时,y取得最大值,最大值为198。 ∵二次函数的图象开口向下,对称轴为x=10, ∴当11≤x<20时,y随x的增大而减小。 ∴当矩形苗圃的宽为11m,长为18m时,苗圃的面积最大,最大面积是198m2。 典例讲解 2.如图,用长为27m的铁丝网围出一个一面靠墙(墙的最大可用长度为15m)、中间隔有一道铁丝网的矩形花园。设花园的宽AB为xm,面积为ym2。 (1)写出y与x之间的函数表达式, 并写出自变量x的取值范围; (2)当x为何值时,花园的面积最大? 最大面积是多少? 跟踪练习 解：(1)设AB的长度为xm，BC的长为(27-3x)m。 由题意得 y=(27-3x)x=-3x2+27x ∵平行于墙的边长需要大于0， 同时不能超过墙的最大可用长度15m， ∴0<27-3x<15 ∴自变量x的取值范围是4≤x<9。 跟踪练习 (2)y =-3x2+27x=-3(x-)2+(4≤x<9） ∵a=-3<0，对称轴x=，4≤x<9， ∴当x=时，y取得最大值为. ∴宽为m、长为m时，矩形花园的面积最大，最大面积是m2. 跟踪练习 例3、如图，抛物线y=ax2+bx+c过x轴上点A(-1,0)、点B(5,0),过y轴上点C(0,-5)，点P(m,n)(0<m<5)是抛物线上的一个动点. (1)求该二次函数的表达式； (2)求四边形OCPB面积的最大值。 解:(1)将A(-1,0)，B(5,0),C(0，-5)代入y=ax2+bx+c得: 典例讲解 a×（-1）2+b×（-1）+c=0 a×52+b×5+c=0 a×02+b×0+c=-5 解得 a=1 b=-4 c=-5 ∴该二次函数的表达式y=x2-4x-5 典例讲解 (2)设直线BC的表达式为y=kx+t， 将B(5，0)，C(0，-5)代入y=kx+t得: 5k+t=0 t=-5 解得 k=1 t=-5 ∴直线BC的表达式为y=x-5， 过点P作PQ⊥x轴，交BC于点E，交x轴于点Q，如图， Q E ∵P(m,n) (0<m<5), ∴P (m,m2-4m-5), E (m,m-5), 典例讲解 Q E ∴PE= (m-5)- (m2-4m-5)=-m2+5m, S四边形OCPB=S△BOC+S△PBC =×5×5+PE(xB-xC)=+(-m2+5m)×5 =- m2+m+ ∵a=-<0，对称轴m=，0<m<5， ∴当m=时，S四边形OCPB取得最大值为. 典例讲解 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-4,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点E,点D的坐标为(1,5). (1)求抛物线的解析式; (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方， 连接PA，PD，求当△PAD面积最大时点 P的坐标及该面积的最大值。 跟踪练习 解:(1):把A(-4,0)，B(2,0)，D(1,5)代入抛物线y=ax2+bx+c， a×（-4）2+b×（-4）+c=0 a×22+b×2+c=0 a×12+b×1+c=5 解得 a=-1 b=-2 c = 8 ∴抛物线的表达式y=-x2-x+8 跟踪练习 (2)设直线AD的表达式为y=kx+t， 将A(-4,0)，D(1,5)代入y=kx+t得: -4k+t=0 解得 k=1 t=4 ∴直线BC的表达式为y=x+4， 在抛物线上取一点P,连接PA,PD,过点P作PM⊥x轴，交AD于点M，交x轴于点N，如图， k+t=5 M N P 跟踪练习 设P(m,-m2-m+8),则M(m,m+4), M N P ∴PM= (-m2-m+8)-(m+4)=-m2-2m+4, S△PAD=PM(xD-xA)=(-m2-2m+4)×5 =-m2-5m+10 ∵a=-<0，对称轴m=-1，-4<m<1， ∴当m=-1时，S△PAD取得最大值为12.5. 跟踪练习 1.某农场拟建三间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）.计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间矩形种牛饲养室的总占地面积最大为 　144　m2. 144　 当堂检测 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：经过几秒时，五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？ 当堂检测 解：设运动时间为ts，则PB＝（6－t）cm，BQ＝2tcm， 当堂检测 则S△PBQ＝ PB·BQ＝－t2＋6t. 当t＝－ ＝3时，S△PBQ有最大值，最大值为－32＋6×3＝9， 则五边形APQCD的面积的最小值为6×12－9＝63（cm2）. ∴ 经过3s时，五边形APQCD的面积最小，最小是63cm2 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 依据 常见几何图形的面积公式 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 自变量得取值范围 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级下册 感谢聆听! $