2026-2027学年高二数学上学期期中自编模拟试题

2026-2027学年高二数学上学期期中自编模拟试题 （范围：人教A版选择性必修一第一章-第三章第一节） 本卷满分150分，考试时间120分钟，难度系数0.6。 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分共40分） 1．已知经过点和点的直线的斜率等于，则的值为 A． B． C． D． 2．过点且与直线垂直的直线l的方程是 A． B． C． D． 3．设，则“”是“直线与直线相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则面与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（    ） A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点 C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点 6．已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．7 D． 8．在长方体中，为上一点且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分共18分） 9．已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则（    ） A． B．的面积等于 C．直线的斜率为 D．的离心率等于 11．如图，在正方体中，为棱上的动点（不含端点），下列选项正确的是（    ）    A．当时，平面 B．平面与平面的交线垂直于 C．直线，与平面所成角相等 D．点在平面内的射影在正方体的内部 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题（每题5分共15分） 12．求过点 的圆 的切线方程__________. 13．在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 14．如图，在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，，点在上，且，则与平面所成角的正弦值为_________. 四、解答题 15．（13分）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点. （1）用基底表示向量 （2）化简，并在图中标出化简结果. 16．（15分）已知为圆：上任意一点，且点． (1)求的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． 17．（15分）如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（17分）在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，且，求直线的斜率； (3)点，证明：直线和的斜率之和为定值． 19．（17分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，，为直角三角形． (1)求的方程． (2)设为坐标原点，过点且斜率为的直线与交于，两点． （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高二数学上学期期中自编模拟试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D B B B B AD ABD 题号 11 答案 BC 1．A 【详解】由题设可得，解之得，应选答案A． 2．D 【分析】根据直线垂直，得到所求直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可求出结果. 【详解】因为所求直线与直线垂直， 所以其斜率为， 又所求直线过点， 因此，所求直线方程为：，即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求与已知直线垂直的直线方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于基础题型. 3．A 【解析】求出两直线相交的充要条件是，再判断即可. 【详解】解：直线与直线相交的充分条件是，即， 由于是的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】利用判断充分必要性，考查了直线相交的判断，基础题. 4．D 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得面与直线所成角的余弦值. 【详解】因为平面，四边形为矩形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得，， 所以，， 所以，， 因此，面与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 5．B 【分析】将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题. 【详解】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，的中点， ，，则， 设，， 由与共线，可得，所以，所以，其中， 因为， ， 所以，所以，即是动点到直线的距离， 由空间两点间的距离公式可得， 所以当时，取得最小值，此时为线段的中点， 由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点. 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题. 6．B 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围. 【详解】曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过点定点，如下图， 由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得， 结合图知. 故选：B 7．B 【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为． ， 又，， ． 点关于轴的对称点为， ， 所以，， 故选：B． 8．B 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可得解. 【详解】 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ， 则，设平面的法向量为， 则有，即，取，则，即. 则点到平面的距离. 故选：B. 9．AD 【分析】根据空间向量数量积和空间向量共线逐一判断，即可得出结果． 【详解】选项A，因为，所以A正确； 选项B，当时，，但无法得到，所以B错误； 选项C，，，而与未必共线且不一定同时为，所以C错误； 选项D，由于向量同向共线，所以，所以，所以D正确． 故选：AD． 10．ABD 【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得B正确；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于. 【详解】由可知， 不妨设，又，可得； 利用椭圆定义可知，所以可得； 即，所以点即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：    由，可知满足，所以；即A正确； 所以为等腰直角三角形，且， 因此的面积为，即B正确； 此时可得直线的斜率，所以C错误； 在等腰直角三角形中，易知，即可得离心率，即D正确； 故选：ABD 11．BC 【分析】A选项，可证明平面，然后注意到平面与平面不重合从而得出结论； B选项，先补全两个平面的交线后进行证明； C选项，利用平行关系转化线面角后进行说明； D选项，投影点是否在内部，结合B选项构建的平面，考虑二面角是钝角还是锐角. 【详解】    对于A，连接，，，， ，， 类似可说明， 故，，又，平面， 于是平面，而为中点时，平面与平面不重合， 故A错误； 对于B，延长，交于，连接交于，连接， 则为平面与平面的交线， 根据正方体性质易知为平行四边形，故//， 由中位线性质，//，于是， 而根据A选项，平面，由平面，， ，故B正确； 对于C，连接，则，由可知， 与平面所成角相等，于是直线，与平面所成角也相等， 故C正确；    对于D，易知三棱锥是正三棱锥， 除为等边三角形之外，其余都是等腰直角三角形， 取中点，连接，由， 得（三线合一），同理， 于是的平面角是， 若设长方体的边长为，则，， 可得，，又， 根据勾股定理可得，即是锐二面角. 于是是钝二面角，根据B选项可知//，于是共面， 点在平面内的射影在四边形之外， 即正方体的外部，故D错误． 故选：BC． 12．或 【分析】利用几何法求出切线的斜率，即可得到切线方程. 【详解】过点的斜率不存在的直线为：，圆心到直线的距离为1，与圆相交，不是切线； 当斜率存在，设其为k，则切线可设为. 所以，解得：或. 所以切线方程为：或. 故答案为：或. 13． 【分析】根据点与过点的角平分线方程，过点的中线的方程，可求出点的坐标，再根据点关于过点的角平分线的对称点在直线上，求出点关于角平分线的对称点即可求出直线的方程. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 14． 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面的正弦值. 【详解】平面，为等腰直角三角形，，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则、、、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， ，. 因此，与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 15．（1），，；（2）， 【分析】（1）利用空间向量加、减法法则可得出、、关于、、的表达式； （2）结合空间几何图形的性质以及空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】（1）， ， ； （2） 如图，连接DA1，则即为所求. 16．(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）把理解为定点到圆上动点连线的斜率，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径列方程求解斜率最值； （2）设，将看作直线的截距，同样利用直线与圆相切，由点到直线距离公式求出的最值． 【详解】（1）由题可得圆的圆心，半径， 由题意得， 由图知，当与圆相切时取得最值， 可设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以的最大值为，最小值为； （2） 设，即，如图所示，即为过点的直线的纵截距， 当该直线与圆相切时截距取得最值， 圆心到该直线的距离为，解得或， 所以的最大值为，最小值为． 17．(1)如图所示，连接． 因为、分别是棱、的中点，所以， 因为，，所以， 所以四边形是平行四边形，则． 因为平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，进而得到，进而得到平面； （2）由题易知，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值. 【详解】（1）略. （2）因为平面，平面，所以， 又因为，所以两两垂直， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题中数据可得， ． 设平面的法向量为， 则，令，得． 所以平面的法向量为. 因为，，，平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 18．(1) (2)2或． (3)由题意知，直线的斜率存在，设其方程为，，．    将与联立，可得， 即． 由判别式，得，解得． 则，．    设直线和的斜率分别为，．则所以直线和的斜率之和为定值． 【分析】（1）设点，利用直接法求轨迹方程即可； （2）由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆，由三角形的面积公式及平方关系可得，取的中点，由半角公式可得，由锐角三角函数可得，即点到直线的距离为，设直线方程为，利用点到直线的距离公式列式求解即可； （3）设直线方程为，，，联立直线与圆的方程，利用韦达定理及直线的斜率公式计算直线和的斜率之和即可证明. 【详解】（1）设点．由，得， 即．    化简得，即的方程为． （2）由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆． ，解得． 因为，所以．    取的中点，则，． 所以，即点到直线的距离为．    此时直线的斜率显然存在，设：． 由，得，解得或． 即直线的斜率为2或. （3）略 19．(1) (2)（i） （ii）证明：由（1）得，由（i）得， 直线的方程为，直线的方程为，设交点，     由，得 ，解得， 所以直线与的交点在定直线上. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得的方程. （2）（i）写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积公式列出关系式，再利用基本不等式求出最大值；（ii）由（i）中信息，求出直线方程，并联立消去即可推理得证. 【详解】（1）由，得椭圆的半焦距，由为直角三角形，得， 则，所以椭圆的方程为. （2）（i）直线的方程，设， 由消去并整理得， ，且，， 则的面积 ，令，则， 于是， 当且仅当，即时取等号，且满足， 所以面积的最大值为. （ii）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $