第03讲 基本初等函数讲义-2027届高三数学一轮复习

高中数学·一轮复习讲义系列 第03讲 基本初等函数（复习讲义）（解析版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 6 大题型 · 30 题 · 10 道典例 · 8 道变式 · 12 道分层 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 2 03　题型精讲 5 题型一　指数幂与对数运算（基础） 5 题型二　指对函数图象与性质（重点） 6 题型三　指对幂比较大小（常考） 9 题型四　幂函数（重点） 10 题型五　指对复合单调与值域（难点） 14 题型六　恒成立与含参综合（难点） 16 04　易错核对 19 05　分层练习 20 使用说明 • 本讲义共 30 题：03 题型精讲 18 题（10 道典例 + 8 道变式），05 分层练习 12 题（A、B、C 各 4 题）；03 与 05 不重复。 • 题号为全讲统一编号，03 内按题型顺序排列；同一题型内先典例后变式，题号可能不连续。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案、分析与详解；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲（先典例、后变式）→ 04 易错核对 → 05 分层练习。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：以指数幂与对数运算为工具，以指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质为主线，以指对幂比较大小、指对复合函数的单调性与值域、恒成立与含参为落点。选填题重在“先定定义域、再看单调性、最后比大小”；解答题重在“换元后写清变量范围、恒成立与存在性先看量词”。 考查要求 方法与条件 对应题号 掌握指数幂与对数运算、换底 根式化简、三条对数运算性质、换底公式 第01—04、19、21、22、26、27题 掌握指对函数的图象与性质 定义域、定点、单调性、奇偶性、图象识别 第05—08、20、23—25题 会比较指对幂的大小 同底用单调性、同指数用幂函数、不同底找中间量 第09、10、30题 理解幂函数的定义与性质 系数为 1、五个常见幂函数、奇偶性与单调性 第11—13题 会处理指对复合函数的单调性与值域 先定义域、换元、同增异减、内层值域 第14、15、28题 掌握恒成立与含参综合 恒成立/存在性转化、双变量、分离参数 第16—18、29题 命题预警 • 根式化简要带绝对值：，；不要直接把被开方数开出来。 • 对数变形先写底数 、 与真数 ；把 的 提前时必须 。 • 换底公式分子是目标真数的对数、分母是目标底数的对数；可用 检验。 • 比较大小先看底数与 的关系；底数、指数都不同时找 、、 等中间量。 • 复合函数先求定义域再谈单调区间；换元后写清 或 的范围。 • 恒成立用最小值（或最大值），存在性方向相反；双变量先分清“任意—存在”与“任意—任意”。 复习建议：先过指数幂、对数运算与换底，把根式、分数指数幂、对数三条运算性质练熟；再对照图象记指数函数、对数函数的定义域、值域、定点与单调性；随后集中练指对幂比较大小与幂函数求参；最后突破指对复合函数的换元、值域和恒成立转化。每道题先写定义域，再判断端点能否取到。 02　知识梳理 按“指数幂与对数运算—指对函数图象与性质—指对幂比较大小—幂函数—指对复合单调与值域—恒成立与含参综合”六块整理，公式后注明使用条件；带“•”的条目是 03 题型直接调用的结论。 一、指数幂与对数运算 • 指数幂的运算性质：，，（，，）；（），。 • 分数指数幂：（，，）；根式与分数指数幂可以互化，化简时先统一形式。 • 根式的性质：（ 为奇数），（ 为偶数）；因此 ，。 • 对数的定义：（，，）；，，。 • 对数运算性质：，，（，）。 • 换底公式：（，）；由此得 ，。 二、指数函数与对数函数的图象和性质 • 指数函数 （，）：定义域 ，值域 ，过定点 ； 时在 上单调递增， 时单调递减。 • 对数函数 （，）：定义域 ，值域 ，过定点 ； 时单调递增， 时单调递减。 • 与 互为反函数，图象关于直线 对称； 与 的图象关于 轴对称。 • 定义域：真数 、底数 且 、偶次根式被开方数 、分母 ，所有条件取交集；结果写成集合或区间。 • 定点与平移： 过 ； 过 ；平移只改变位置，不改变单调性。 • 含参底数问题要分 与 两类讨论；由奇偶性求参时，先用定义域关于原点对称与 列式，再回代检验。 三、指对幂比较大小 • 同底比较： 时，，； 时不等号反向。 • 同指数比较： 时，； 时反向。这是幂函数 在 上的单调性。 • 对数式与 、 比较：；； 或 。 • 底数、指数都不同：先与 、、 等中间量比较，把数分成几段，再在每段内用单调性细化；必要时换底化为同底。 • 比较大小的结论要能回到原题：选择题可代特殊值排除，但最终判断要有单调性或中间量依据，不能只凭一个数值。 四、幂函数 • 幂函数的定义：形如 （ 为常数）的函数；系数必须是 ，底数是自变量 ，指数是常数，三者缺一不可。 • 五个常见幂函数：、、、、；要能直接说出定义域、值域、奇偶性与在 上的单调性。 • 单调性： 时， 在 上单调递增； 时单调递减； 时 。 • 奇偶性：把 写成最简分数 。 为奇数时定义域含负值， 都为奇数为奇函数， 偶 奇为偶函数； 为偶数时， 的定义域为 ， 的定义域为 ，均既非奇也非偶。 • 图象：所有幂函数都过 ； 时还过 ； 时以坐标轴为渐近线，不过原点。 • 由“幂函数”求参：先令系数为 （或按题设列方程），解出参数后逐一代回，检验指数是否为常数、是否满足偶函数/单调性等附加条件。 五、指对复合函数的单调性与值域 • 复合函数 的单调性遵循“同增异减”：内外层单调性相同则增，相反则减；前提是 的取值落在 的定义域内。 • 讨论单调区间前先求定义域：对数型要求真数 ，指数型本身对 无限制，但换元后的 。 • 指数型换元：令 （），把 化为 ； 的范围由 的范围与 的单调性确定。 • 对数型换元：令 或 （），先求定义域，再在定义域内求 的单调区间与值域，最后回到 。 • 求值域：先求内层 的取值范围，再求外层 在该范围上的值域；端点开闭与 的范围一致，不能把取不到的端点写成闭区间。 • 含“任意”“存在”的复合题：先求内层值域，再按量词转化为最值比较；双变量问题要分清“任意—存在”与“任意—任意”。 六、恒成立与含参综合 • 恒成立：，；。 • 存在性：，；；量词不同，转化方向相反。 • 双变量：，，；若两个量词都是“任意”，则 。 • 分离参数： 恒成立 ； 恒成立 ；分离时若除以含 的式子，先确定其符号。 • 换元后在新变量范围内求最值：先写清 的范围，再看二次函数的对称轴是否落在该范围内；端点值与顶点值都要比较。 • 求出参数范围后回代检验端点：等号能否取到，取决于最值点是否在定义域内；开区间上的最值要说明端点取不到。 03　题型精讲 按解法分 6 个题型。每个题型先给方法条件，再给 1—2 道【典例】完整展示过程，并配 1—2 道【变式】当堂训练；解析版给出答案、分析与详解。 题型一　指数幂与对数运算（共4题）　基础 【方法条件】 • 指数幂化简先统一底数，再用 、、；负指数与分数指数先化成根式或正指数。 • 根式化简注意 ： 为奇数时等于 ， 为偶数时等于 ；，不是 。 • 对数运算先把真数拆成积、商、幂，再用三条运算性质；、、 是常用“消去”工具。 • 换底公式 用于底数不同；，。 • 所有变形先写清底数 、 与真数 ；把 的 提到前面时，必须保证 。 【典例1】 01．（单选题） （26-27高三上·广东深圳·阶段检测） 下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 【典例2】 02．（单选题） （26-27高三上·山东潍坊·阶段检测） 已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，， . 【变式1】 03．（填空题） （2026·重庆永川·模拟预测） ______. 【答案】 【详解】原式. 【变式2】 04．（填空题） （2026·广东广州·模拟预测） 若，，则____________．（用，表示） 【答案】 【详解】. 题型二　指对函数图象与性质（共4题）　重点 【方法条件】 • 指数函数 ：定义域 、值域 、过 ； 增， 减。 • 对数函数 ：定义域 、值域 、过 ； 增， 减。 • 定义域由真数 、底数 且 、偶次根式被开方数 、分母 联立，最后取交集。 • 图象题先看定义域与奇偶性，再看 时的单调性和特殊点（ 处函数值、 的趋势）。 • 含参底数要分 与 讨论；由“图象关于原点/ 轴对称”求参，先用奇偶性定义列式，再回代验证。 【典例1】 05．（单选题） （26-27高三·全国·一轮复习） 函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 【典例2】 06．（单选题） （2025·湖南张家界·模拟预测） 已知函数的图象经过点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由题目条件结合指数幂运算律可得答案. 【详解】由题可得，，. 两式相乘可得，又，可得，结合，可得. 【变式1】 07．（填空题） （2026·河南平顶山·模拟预测） 某新能源汽车厂研发了一种新型电池，为提升新型电池的性能，现对新型电池进行改良.第次改良后，新型电池的性能指标满足函数关系式：（为常数），其中是未改良时新型电池的性能指标，是首次改良后新型电池的性能指标.已知该新型电池未改良时性能指标为90，首次改良后性能指标为90.3，则________，至少经过________次改良后，该新型电池的性能指标不低于95.（参考数据：，） 【答案】 0.5 15 【分析】根据题意得到方程，求出，并得到不等式，取对数后求出答案 【详解】由， 得，所以，解得， 则，根据题意可知，， 整理得， 两边取常用对数并移项，得 ， 所以，故至少经过15次改良后，该新型电池的性能指标不低于95. 【变式2】 08．（填空题） （2026·江苏淮安·一模） 函数的定义域为___________. 【答案】 【详解】由，解得，所以的定义域为. 题型三　指对幂比较大小（共2题）　常考 【方法条件】 • 同底比较用单调性：底数 时指数（或真数）越大值越大， 时相反。 • 同指数比较用幂函数 的单调性： 在 增， 减。 • 底数、指数都不同时找中间量 、、；对数先判断与 、 的大小，再在同类量之间细化。 • 对数式比较可用换底化为同底，或与 、 比较；注意真数必须为正。 • 选择题可结合特殊值排除，但最后要用单调性说明，不能只代一个数就下结论。 【典例】 09．（单选题） （2026·湖南益阳·模拟预测） 已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求得，将三个解析式分别看成关于的对数函数，幂函数与指数函数，作出图象，根据交点情况及图象的位置即可逐一判断选项. 【详解】设，则，且， 在同一个坐标系中作出三个函数的图象： 其中与交于点，与交于点. 由图知，当时，，故D符合； 当时，，故A符合； 当时，，故B符合.即只有C项不合题意. 【变式1】 10．（单选题） （2026·浙江·模拟预测） 已知实数，，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A，B举反例快速排除，C直接用对数加法公式算出结果等于，D把换成，利用对数运算性质化简各选项，代入转化为，结合推出，平方为正，整体小于． 【详解】对于A，取，，A错误； 对于B，取，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，由，得， 所以， ， 又，所以，解得，所以，， 所以，D正确． 题型四　幂函数（共3题）　重点 【方法条件】 • 幂函数必须是 的形式：系数为 、底数为 、指数为常数；由“是幂函数”列系数方程，再回代检验。 • 五个常见幂函数 、、、、 的图象、定义域、值域、奇偶性要能直接说出。 • 时在 增， 时减； 时定义域不含 。 • 奇偶性看最简分数指数 ：分母 为奇数时定义域含负值， 奇为奇函数、 偶为偶函数； 为偶数时， 的定义域为 ， 的定义域为 ，均既非奇也非偶。 • 幂函数与二次函数复合求最值时，先由幂函数条件定解析式，再按对称轴与区间的位置分类。 【典例1】 11．（单选题） （2026·河南平顶山·模拟预测） 已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】设幂函数，则，所以， 故. 【典例2】 12．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数的定义域为，又， 所以是偶函数，故A错误， 对于B，易知函数是上的偶函数，所以B错误， 对于C，易知的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数， 又由幂函数的性质知在上单调递减，所以C错误， 对于D，易知的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数， 又由幂函数的性质知在上单调递增，所以D正确. 【变式1】 13．（解答题） （2026·江苏镇江·模拟预测） 已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义及奇偶性求出解析式. （2）由（1）的结论求出，按分类并结合二次函数性质求出最小值. （3）求出当时，在上的最大值，进而建立不等式，利用恒成立求解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 题型五　指对复合单调与值域（共2题）　难点 【方法条件】 • 复合函数 的单调性用“同增异减”，但必须先求定义域，单调区间是定义域的子集。 • 指数型复合令 （），把问题化为二次函数； 的范围由 的范围与 的单调性共同确定。 • 对数型复合令 （），先由真数 求定义域，再在定义域内求 的单调区间与值域。 • 求值域分两步：先求内层 的范围，再求外层 在该范围上的值域；端点开闭要跟着 的范围走。 • 含“任意”“存在”的复合题，先把内层值域求出来，再按量词转化为最值比较。 【典例】 14．（解答题） （2026·江苏南通·模拟预测） 已知函数（，）是对数函数． (1)解方程； (2)对于任意的，，证明：． 【答案】(1) (2)证明：， ， 所以， 对任意，由基本不等式得 ，当且仅当时等号成立， 故 ， 又 在 上单调递增， 因此 ， 即 ，当且仅当 时等号成立，原不等式得证. 【分析】（1）根据对数函数定义求得值，从而得函数，根据即可求解. （2）分别求出解析式，利用作差法即可求证. 【详解】（1）由对数函数定义得， 整理得，解得 或 ， 又，故 ，即，定义域为. 由得： 解方程，得 或 ， 经检验 不符合定义域要求，舍去，故方程的解为. （2）略 【变式1】 15．（解答题） （25-26高三上·吉林长春·阶段检测） 已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过换元将指数型函数转化为二次函数，结合二次函数单调性求解值域； （2）利用换元转化为二次函数单调性问题，结合复合函数"同增异减"规则求参数范围。 【详解】（1）当时，; 令，因是上的单调递增函数，且，故， 此时函数转化为，； 该二次函数开口向上，对称轴为： 当时，；当时，； 故在上的值域为. （2）令， 当时，，且是上的单调递增函数， 此时转化为，； 根据复合函数单调性“同增异减”规则，要使在上单调递增，需在上单调递增； 是开口向上的二次函数，对称轴为，故需满足， 解得； 故实数的取值范围为. 题型六　恒成立与含参综合（共3题）　难点 【方法条件】 • 恒成立：，；。 • 存在性：，；。 • 双变量“任意—存在”：，，；“任意—任意”则用 。 • 分离参数后在新变量范围内求最值；若除式含 ，先判断符号再除。 • 求出参数范围后回代检验端点：等号能否取到，取决于最值点是否在定义域内。 【典例1】 16．（解答题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把复合函数的单调性转化为内层二次函数在区间上单调递减且恒正，由对称轴位置与端点函数值列不等式，由此求得的取值范围； （2）先由换元求出的最大值，再把“任意—任意”型恒成立转化为的最小值不小于该最大值，进而转化为关于的不等式恒成立问题，由此求得的取值范围. 【详解】（1）令，其图象开口向下，对称轴为， 又在定义域上单调递增， 故在[1，3]上单调递减等价于在上单调递减且恒成立． 则且，解得， 故的取值范围为； （2）令，由得，则， 当，即时，取最大值4． “对都有”等价于对恒成立， 即，则， 即对恒成立． 易得在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，即的取值范围为． 【典例2】 17．（解答题） （26-27高三上·山东济宁·阶段检测） 已知函数，函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】(1)首先利用对数运算法则化简的解析式，将其转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质即可求得值域. (2)先将恒成立条件转化为，通过换元法将转化为关于的二次函数，求解在上的最小值，再代入不等式求解关于的一元二次不等式，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）由，化简可得 ． ， 因为，所以，即的值域为. （2）因为不等式对任意实数恒成立，所以． 令，因为，所以， 设， 结合二次函数性质可得，即，则. 所以，即，即， 所以，解得，所以实数的取值范围为． 【变式1】 18．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 04　易错核对 以下 8 条来自本讲题目的常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法和对应题号；做题时先对照，再回看原题。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 根式化简漏绝对值 把 直接写成 ，或把 写成 。纠正：，先判断 的符号再去绝对值；，所以结果是 。 第01、27题 易错二 对数运算漏底数、真数范围 把 直接拆成 而不检查 、；或把 的 提到前面时不要求 。纠正：所有对数变形先写定义域。 第02、04、19、22题 易错三 换底公式分子分母颠倒 把 写成 （分子分母颠倒）。纠正：换底后分子是“目标真数”的对数，分母是“目标底数”的对数，即 ；可用 检验。 第02、04、27题 易错四 定义域不取交集或漏真数 只写 就结束，漏掉分母 、偶次根式 ；或把几个条件分别写成几个区间而不取交集。纠正：列出全部条件，用数轴取交集，结果写成集合或区间。 第08、25、29题 易错五 比较大小忽略底数与 的关系 时仍按“指数越大值越大”判断；或把 与 直接比较而不看 与 的位置。纠正：先看底数大于 还是小于 ，再用单调性；不同底先找中间量。 第09、10、30题 易错六 幂函数系数不为 或忽略 时 把 、 当幂函数；由“幂函数”求参时只解指数方程，漏掉系数为 ； 时仍把 写进定义域。纠正：先核对形式三要素，再代回检验。 第11、12、13题 易错七 复合函数不先求定义域、换元后忘记 的范围 讨论 的单调区间时不先解 ；令 后仍按 求二次函数最值。纠正：先定义域，再换元，写清 的范围。 第14、15、28题 易错八 恒成立与存在混用、开区间端点直接代入 把“，”当成 ；开区间上求最值直接代端点；双变量“任意—存在”与“任意—任意”用同一个最值。纠正：先看量词，再定用最大值还是最小值；开区间说明端点取不到。 第16、17、18、29题 05　分层练习 另选 12 题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排；与 03 的典例、变式均不重复，解析版给出答案与详解。 A　基础达标（4题，建议用时约 20 分钟） 19．（单选题） （2026·湖南长沙·模拟预测） 正数，满足，且．则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，再由基本不等式（因等号取不到），两边取以2为底的对数即可得到范围. 【详解】，得，因此. 因为且，由均值不等式，当且仅当时等号成立， 即，与矛盾，所以无法取等，. 两边取以2为底的对数，得，即取值范围为. 20．（单选题） （2026·江苏南通·模拟预测） 已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. 21．（填空题） （2026·全国·模拟预测） ，则________． 【答案】 【分析】利用换元法令，转化为，求解，再求解. 【详解】，令 ，则变形为 所以，因为 ，所以 ，所以 所以，或 （舍去）， 又 ，所以，所以. 22．（多选题） （26-27高三上·山东·阶段检测） 若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将指数式转化，得到，推出；再借助对数运算、完全平方变形和基本不等式，逐个判断四个选项. 【详解】对于A： ，A 正确； 对于B：由题：， . 所以， ，B正确； 对于CD： ， 由选项A可知，则，得，当且仅当时取等号， 因为，所以，所以D正确，， 所以，所以，C错误. B　能力提升（4题，建议用时约 25 分钟） 23．（填空题） （26-27高三上·重庆南岸·阶段检测） 已知是奇函数，当时，，则的值是________． 【答案】 【分析】利用奇函数的性质将转化为，再代入时的函数解析式计算即可得到结果. 【详解】根据奇函数的定义，对定义域内的任意，均满足,， 已知当时，，且， 因此先计算： ，， 故， 因此. 24．（解答题） （2026·江苏南通·模拟预测） 已知函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数在处有意义，求出的值； （2）将代入，根据不等式的性质及指数函数的单调性求解. 【详解】（1）因为，所以的定义域为， 所以，即，解得，经验证符合； （2）由（1）可知， ， 因为，所以，所以，解得， 所以不等式的解集为. 25．（填空题） （26-27高三上·北京西城·阶段检测） 函数的定义域是_________． 【答案】 【详解】由题，即， ，解得， 则函数的定义域是． 26．（填空题） （26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测） 求值：_______________． 【答案】/5.875 【详解】 ． C　综合拓展（4题，建议用时约 30 分钟） 27．（解答题） （26-27高三上·广东惠州·阶段检测） 计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） (1) (2) (3)设，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式; （2）原式； （3）因为，所以， 所以， 所以. 28．（解答题） （25-26高三上·广东江门·阶段检测） 已知函数 (1)若，求的取值范围． (2)当时，求的最值． 【答案】(1) (2)最小值4，最大值64 【分析】（1）根据指数函数的单调性可得，即可求解的取值范围； （2）当，求出，即可求解函数的最值. 【详解】（1）因为，所以，根据指数函数的单调性可得，即，解得或. 所以的取值范围为. （2）因为函数的对称轴为， 所以当，，所以， 所以当时，取得最小值； 当时，取得最大值. 29．（解答题） （25-26高三上·安徽六安·阶段检测） 已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本初等函数定义域，列出一元二次不等式，求出解集即可； （2）根据复合函数单调性，判断二次函数在区间上的单调性和值域，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据双变量恒成立的问题，判断函数最值之间的关系，根据复合函数单调性求出函数最值，进而列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）由题意得，因式分解得，解得或， 即函数定义域为. （2）因为在上单调递增，所以当 在上单调递增时，函数在单调递增且， 因为是对称轴为直线，开口向上的二次函数， 则，解得， 所以的取值范围为. （3）对任意，存在，使得不等式成立，即任意，恒成立， 由， 当时，，则，所以， 可得任意，恒成立，即恒成立， 等价于恒成立； 因为在上单调递增，即在恒成立即可， 即在恒成立， 由对勾函数可知在上单调递减，所以； 可得时在恒成立； 所以的取值范围为. 30．（多选题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 已知，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，则，故C错误； 因为，所以，所以，故D正确． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·一轮复习讲义系列 第03讲 基本初等函数（复习讲义）（原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 6 大题型 · 30 题 · 10 道典例 · 8 道变式 · 12 道分层 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 2 03　题型精讲 5 题型一　指数幂与对数运算（基础） 5 题型二　指对函数图象与性质（重点） 6 题型三　指对幂比较大小（常考） 7 题型四　幂函数（重点） 8 题型五　指对复合单调与值域（难点） 10 题型六　恒成立与含参综合（难点） 11 04　易错核对 13 05　分层练习 14 使用说明 • 本讲义共 30 题：03 题型精讲 18 题（10 道典例 + 8 道变式），05 分层练习 12 题（A、B、C 各 4 题）；03 与 05 不重复。 • 题号为全讲统一编号，03 内按题型顺序排列；同一题型内先典例后变式，题号可能不连续。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案、分析与详解；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲（先典例、后变式）→ 04 易错核对 → 05 分层练习。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：以指数幂与对数运算为工具，以指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质为主线，以指对幂比较大小、指对复合函数的单调性与值域、恒成立与含参为落点。选填题重在“先定定义域、再看单调性、最后比大小”；解答题重在“换元后写清变量范围、恒成立与存在性先看量词”。 考查要求 方法与条件 对应题号 掌握指数幂与对数运算、换底 根式化简、三条对数运算性质、换底公式 第01—04、19、21、22、26、27题 掌握指对函数的图象与性质 定义域、定点、单调性、奇偶性、图象识别 第05—08、20、23—25题 会比较指对幂的大小 同底用单调性、同指数用幂函数、不同底找中间量 第09、10、30题 理解幂函数的定义与性质 系数为 1、五个常见幂函数、奇偶性与单调性 第11—13题 会处理指对复合函数的单调性与值域 先定义域、换元、同增异减、内层值域 第14、15、28题 掌握恒成立与含参综合 恒成立/存在性转化、双变量、分离参数 第16—18、29题 命题预警 • 根式化简要带绝对值：，；不要直接把被开方数开出来。 • 对数变形先写底数 、 与真数 ；把 的 提前时必须 。 • 换底公式分子是目标真数的对数、分母是目标底数的对数；可用 检验。 • 比较大小先看底数与 的关系；底数、指数都不同时找 、、 等中间量。 • 复合函数先求定义域再谈单调区间；换元后写清 或 的范围。 • 恒成立用最小值（或最大值），存在性方向相反；双变量先分清“任意—存在”与“任意—任意”。 复习建议：先过指数幂、对数运算与换底，把根式、分数指数幂、对数三条运算性质练熟；再对照图象记指数函数、对数函数的定义域、值域、定点与单调性；随后集中练指对幂比较大小与幂函数求参；最后突破指对复合函数的换元、值域和恒成立转化。每道题先写定义域，再判断端点能否取到。 02　知识梳理 按“指数幂与对数运算—指对函数图象与性质—指对幂比较大小—幂函数—指对复合单调与值域—恒成立与含参综合”六块整理，公式后注明使用条件；带“•”的条目是 03 题型直接调用的结论。 一、指数幂与对数运算 • 指数幂的运算性质：，，（，，）；（），。 • 分数指数幂：（，，）；根式与分数指数幂可以互化，化简时先统一形式。 • 根式的性质：（ 为奇数），（ 为偶数）；因此 ，。 • 对数的定义：（，，）；，，。 • 对数运算性质：，，（，）。 • 换底公式：（，）；由此得 ，。 二、指数函数与对数函数的图象和性质 • 指数函数 （，）：定义域 ，值域 ，过定点 ； 时在 上单调递增， 时单调递减。 • 对数函数 （，）：定义域 ，值域 ，过定点 ； 时单调递增， 时单调递减。 • 与 互为反函数，图象关于直线 对称； 与 的图象关于 轴对称。 • 定义域：真数 、底数 且 、偶次根式被开方数 、分母 ，所有条件取交集；结果写成集合或区间。 • 定点与平移： 过 ； 过 ；平移只改变位置，不改变单调性。 • 含参底数问题要分 与 两类讨论；由奇偶性求参时，先用定义域关于原点对称与 列式，再回代检验。 三、指对幂比较大小 • 同底比较： 时，，； 时不等号反向。 • 同指数比较： 时，； 时反向。这是幂函数 在 上的单调性。 • 对数式与 、 比较：；； 或 。 • 底数、指数都不同：先与 、、 等中间量比较，把数分成几段，再在每段内用单调性细化；必要时换底化为同底。 • 比较大小的结论要能回到原题：选择题可代特殊值排除，但最终判断要有单调性或中间量依据，不能只凭一个数值。 四、幂函数 • 幂函数的定义：形如 （ 为常数）的函数；系数必须是 ，底数是自变量 ，指数是常数，三者缺一不可。 • 五个常见幂函数：、、、、；要能直接说出定义域、值域、奇偶性与在 上的单调性。 • 单调性： 时， 在 上单调递增； 时单调递减； 时 。 • 奇偶性：把 写成最简分数 。 为奇数时定义域含负值， 都为奇数为奇函数， 偶 奇为偶函数； 为偶数时， 的定义域为 ， 的定义域为 ，均既非奇也非偶。 • 图象：所有幂函数都过 ； 时还过 ； 时以坐标轴为渐近线，不过原点。 • 由“幂函数”求参：先令系数为 （或按题设列方程），解出参数后逐一代回，检验指数是否为常数、是否满足偶函数/单调性等附加条件。 五、指对复合函数的单调性与值域 • 复合函数 的单调性遵循“同增异减”：内外层单调性相同则增，相反则减；前提是 的取值落在 的定义域内。 • 讨论单调区间前先求定义域：对数型要求真数 ，指数型本身对 无限制，但换元后的 。 • 指数型换元：令 （），把 化为 ； 的范围由 的范围与 的单调性确定。 • 对数型换元：令 或 （），先求定义域，再在定义域内求 的单调区间与值域，最后回到 。 • 求值域：先求内层 的取值范围，再求外层 在该范围上的值域；端点开闭与 的范围一致，不能把取不到的端点写成闭区间。 • 含“任意”“存在”的复合题：先求内层值域，再按量词转化为最值比较；双变量问题要分清“任意—存在”与“任意—任意”。 六、恒成立与含参综合 • 恒成立：，；。 • 存在性：，；；量词不同，转化方向相反。 • 双变量：，，；若两个量词都是“任意”，则 。 • 分离参数： 恒成立 ； 恒成立 ；分离时若除以含 的式子，先确定其符号。 • 换元后在新变量范围内求最值：先写清 的范围，再看二次函数的对称轴是否落在该范围内；端点值与顶点值都要比较。 • 求出参数范围后回代检验端点：等号能否取到，取决于最值点是否在定义域内；开区间上的最值要说明端点取不到。 03　题型精讲 按解法分 6 个题型。每个题型先给方法条件，再给 1—2 道【典例】完整展示过程，并配 1—2 道【变式】当堂训练；解析版给出答案、分析与详解。 题型一　指数幂与对数运算（共4题）　基础 【方法条件】 • 指数幂化简先统一底数，再用 、、；负指数与分数指数先化成根式或正指数。 • 根式化简注意 ： 为奇数时等于 ， 为偶数时等于 ；，不是 。 • 对数运算先把真数拆成积、商、幂，再用三条运算性质；、、 是常用“消去”工具。 • 换底公式 用于底数不同；，。 • 所有变形先写清底数 、 与真数 ；把 的 提到前面时，必须保证 。 【典例1】 01．（单选题） （26-27高三上·广东深圳·阶段检测） 下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】 02．（单选题） （26-27高三上·山东潍坊·阶段检测） 已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】 03．（填空题） （2026·重庆永川·模拟预测） ______. 【变式2】 04．（填空题） （2026·广东广州·模拟预测） 若，，则____________．（用，表示） 题型二　指对函数图象与性质（共4题）　重点 【方法条件】 • 指数函数 ：定义域 、值域 、过 ； 增， 减。 • 对数函数 ：定义域 、值域 、过 ； 增， 减。 • 定义域由真数 、底数 且 、偶次根式被开方数 、分母 联立，最后取交集。 • 图象题先看定义域与奇偶性，再看 时的单调性和特殊点（ 处函数值、 的趋势）。 • 含参底数要分 与 讨论；由“图象关于原点/ 轴对称”求参，先用奇偶性定义列式，再回代验证。 【典例1】 05．（单选题） （26-27高三·全国·一轮复习） 函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【典例2】 06．（单选题） （2025·湖南张家界·模拟预测） 已知函数的图象经过点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】 07．（填空题） （2026·河南平顶山·模拟预测） 某新能源汽车厂研发了一种新型电池，为提升新型电池的性能，现对新型电池进行改良.第次改良后，新型电池的性能指标满足函数关系式：（为常数），其中是未改良时新型电池的性能指标，是首次改良后新型电池的性能指标.已知该新型电池未改良时性能指标为90，首次改良后性能指标为90.3，则________，至少经过________次改良后，该新型电池的性能指标不低于95.（参考数据：，） 【变式2】 08．（填空题） （2026·江苏淮安·一模） 函数的定义域为___________. 题型三　指对幂比较大小（共2题）　常考 【方法条件】 • 同底比较用单调性：底数 时指数（或真数）越大值越大， 时相反。 • 同指数比较用幂函数 的单调性： 在 增， 减。 • 底数、指数都不同时找中间量 、、；对数先判断与 、 的大小，再在同类量之间细化。 • 对数式比较可用换底化为同底，或与 、 比较；注意真数必须为正。 • 选择题可结合特殊值排除，但最后要用单调性说明，不能只代一个数就下结论。 【典例】 09．（单选题） （2026·湖南益阳·模拟预测） 已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 10．（单选题） （2026·浙江·模拟预测） 已知实数，，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四　幂函数（共3题）　重点 【方法条件】 • 幂函数必须是 的形式：系数为 、底数为 、指数为常数；由“是幂函数”列系数方程，再回代检验。 • 五个常见幂函数 、、、、 的图象、定义域、值域、奇偶性要能直接说出。 • 时在 增， 时减； 时定义域不含 。 • 奇偶性看最简分数指数 ：分母 为奇数时定义域含负值， 奇为奇函数、 偶为偶函数； 为偶数时， 的定义域为 ， 的定义域为 ，均既非奇也非偶。 • 幂函数与二次函数复合求最值时，先由幂函数条件定解析式，再按对称轴与区间的位置分类。 【典例1】 11．（单选题） （2026·河南平顶山·模拟预测） 已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】 12．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 13．（解答题） （2026·江苏镇江·模拟预测） 已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 题型五　指对复合单调与值域（共2题）　难点 【方法条件】 • 复合函数 的单调性用“同增异减”，但必须先求定义域，单调区间是定义域的子集。 • 指数型复合令 （），把问题化为二次函数； 的范围由 的范围与 的单调性共同确定。 • 对数型复合令 （），先由真数 求定义域，再在定义域内求 的单调区间与值域。 • 求值域分两步：先求内层 的范围，再求外层 在该范围上的值域；端点开闭要跟着 的范围走。 • 含“任意”“存在”的复合题，先把内层值域求出来，再按量词转化为最值比较。 【典例】 14．（解答题） （2026·江苏南通·模拟预测） 已知函数（，）是对数函数． (1)解方程； (2)对于任意的，，证明：． 【变式1】 15．（解答题） （25-26高三上·吉林长春·阶段检测） 已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 题型六　恒成立与含参综合（共3题）　难点 【方法条件】 • 恒成立：，；。 • 存在性：，；。 • 双变量“任意—存在”：，，；“任意—任意”则用 。 • 分离参数后在新变量范围内求最值；若除式含 ，先判断符号再除。 • 求出参数范围后回代检验端点：等号能否取到，取决于最值点是否在定义域内。 【典例1】 16．（解答题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对恒成立，求实数的取值范围． 【典例2】 17．（解答题） （26-27高三上·山东济宁·阶段检测） 已知函数，函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】 18．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 04　易错核对 以下 8 条来自本讲题目的常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法和对应题号；做题时先对照，再回看原题。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 根式化简漏绝对值 把 直接写成 ，或把 写成 。纠正：，先判断 的符号再去绝对值；，所以结果是 。 第01、27题 易错二 对数运算漏底数、真数范围 把 直接拆成 而不检查 、；或把 的 提到前面时不要求 。纠正：所有对数变形先写定义域。 第02、04、19、22题 易错三 换底公式分子分母颠倒 把 写成 （分子分母颠倒）。纠正：换底后分子是“目标真数”的对数，分母是“目标底数”的对数，即 ；可用 检验。 第02、04、27题 易错四 定义域不取交集或漏真数 只写 就结束，漏掉分母 、偶次根式 ；或把几个条件分别写成几个区间而不取交集。纠正：列出全部条件，用数轴取交集，结果写成集合或区间。 第08、25、29题 易错五 比较大小忽略底数与 的关系 时仍按“指数越大值越大”判断；或把 与 直接比较而不看 与 的位置。纠正：先看底数大于 还是小于 ，再用单调性；不同底先找中间量。 第09、10、30题 易错六 幂函数系数不为 或忽略 时 把 、 当幂函数；由“幂函数”求参时只解指数方程，漏掉系数为 ； 时仍把 写进定义域。纠正：先核对形式三要素，再代回检验。 第11、12、13题 易错七 复合函数不先求定义域、换元后忘记 的范围 讨论 的单调区间时不先解 ；令 后仍按 求二次函数最值。纠正：先定义域，再换元，写清 的范围。 第14、15、28题 易错八 恒成立与存在混用、开区间端点直接代入 把“，”当成 ；开区间上求最值直接代端点；双变量“任意—存在”与“任意—任意”用同一个最值。纠正：先看量词，再定用最大值还是最小值；开区间说明端点取不到。 第16、17、18、29题 05　分层练习 另选 12 题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排；与 03 的典例、变式均不重复，解析版给出答案与详解。 A　基础达标（4题，建议用时约 20 分钟） 19．（单选题） （2026·湖南长沙·模拟预测） 正数，满足，且．则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 20．（单选题） （2026·江苏南通·模拟预测） 已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 21．（填空题） （2026·全国·模拟预测） ，则________． 22．（多选题） （26-27高三上·山东·阶段检测） 若，，则（     ） A． B． C． D． B　能力提升（4题，建议用时约 25 分钟） 23．（填空题） （26-27高三上·重庆南岸·阶段检测） 已知是奇函数，当时，，则的值是________． 24．（解答题） （2026·江苏南通·模拟预测） 已知函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)解不等式． 25．（填空题） （26-27高三上·北京西城·阶段检测） 函数的定义域是_________． 26．（填空题） （26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测） 求值：_______________． C　综合拓展（4题，建议用时约 30 分钟） 27．（解答题） （26-27高三上·广东惠州·阶段检测） 计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） (1) (2) (3)设，求的值． 28．（解答题） （25-26高三上·广东江门·阶段检测） 已知函数 (1)若，求的取值范围． (2)当时，求的最值． 29．（解答题） （25-26高三上·安徽六安·阶段检测） 已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 30．（多选题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 已知，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $