湖北随州市曾都区第一高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

曾都一中2026年秋高二上学期10月月考数学试题 时间:2026.10.22日7:40—9:40 范围:人教版概率+空间向量立几+直线方程 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染．若某人随机选择10月1日至14日中某一天到达该市，则到达之日空气重度污染的概率是（     ） A． B． C． D． 3．已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 4．是直线：与直线：垂直的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若构成空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则 A． B． C． D． 6．已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 7. 已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 8．已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．下列各项表述正确的是（ ） A．表示，两事件恰有一个发生 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件相互独立，则 D．若事件与事件为同一样本空间的两个事件，则 10．已知直线：（），则下列说法正确的是（     ） A．可能与轴平行 B．恒过第一象限 C．原点到的距离的最大值为 D．若不过第四象限，则的取值范围为 11．如图，已知正方体的棱长为2，为底面内（不包括边界）的动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D．若点是的中点，点是的中点，过作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知事件A，B相互独立，，，则_______. 13. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_________． 14．如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．某农科所在同一块试验田种植了A，B两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. (1)求a的值； (2)求B品种小麦千粒重的中位数； (3)用频率估计概率，从A，B两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于45g的概率. 16．已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)边垂直平分线所在直线方程及点关于的对称点的坐标． 17．如图，点、分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点、是线段的三等分点． (1)用向量、、表示和； (2)求、； (3)求． 18．已知直线，，设为坐标原点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求； (2)若交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，求面积的最小值． 19．已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模是.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点. (1)求的值． (2)若为的中点，求二面角的正弦值． (3)若为线段上一点，且满足，求． 曾都一中2026年秋高二上学期10月月考数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A A C C D B AC BCD ACD 7．记点为，由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是故选：D. 8．设，则，， 所以点在平面内，依题意当平面时，最小，四面体为正四面体，为底面的中心，如图，连接并延长交于点，则为的中点. 则，所以， 即的最小值为，又，所以，即的最小值为．故选：B． 10．由题设，直线为，所以直线恒过定点， A：与轴平行的直线方程形如，但直线的系数为，不可能与轴平行，错误； B：直线恒过定点，该点位于第一象限，所以直线恒过第一象限，正确； C：原点到直线的距离为，由，因此，当时取等号，所以最大值为，正确； D：不过第四象限，即时，直线上的点不能有， 因为在上恒非负， 当时，最小值在处取得，所以， 当时，，符合， 当时，随着，有，必然进入第四象限，不符合，综上，正确. 11．对于A，由等体积法，三棱锥的高为， 底面积，所以， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，，， ，，若，则， 即，令，得，设，令，得，即，即点在直线上，不在底面内，不满足题意，所以不存在点，使得，故B错误； 对于C，，若， ，即， 所以点的轨迹就是线段，轨迹长为，故C正确； 对于D，如图取中点，连接，由题可得，平面， 连接，因为，平面，则，，又， 平面，则平面，又取中点为，则， 有四点共面，则平面即为平面，又由两平面平行性质可知，，，，又都是中点，故是中点，是中点， 则平面截正方体的截面为正六边形， 又正方体棱长为，则，故截面面积为，故D正确. 12. 13. 14.4 解：连接并延长，交于点，以为空间一组基底，由于是的重心，点M在上，且，所以 ①， 连接，因为四点共面，所以存在实数，使得， 即，②， 由①②以及空间向量的基本定理可知：，，所以. 15．(1)(2)(3) 【详解】（1）根据题意可得，解得；......................3 （2）设品种小麦千粒重的中位数为，由品种小麦的频率分布直方图， 得，，则， 于是，解得，即品种千粒重的中位数为......................7 （3）法一：设事件分别表示从两个品种中取出的小麦的千粒重不低于， 则， 事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于， 则又相互独立， 所以 .................................................................13 法二：设事件分别表示从两个品种中取出的小麦的千粒重不低于 则， 事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于 又相互独立，所以相互独立， ， . 16．(1)(2)的方程为；点的坐标为 【详解】（1）由，，， 设的中点为，则，..................................................................................3 所以直线的方程为，即．..............................................6 （2）由，，， 设的中点为，则， 又边所在的直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即；.......................................................10 设关于的对称点的坐标为， 则的中点在上，且， 即，解得， 所以对称点的坐标为．.................................................................................................15 17．(1)， (2)，(3) 【详解】（1）解：连接， 因为为的中点，则， ， 故，................................3 ..........................................6 （2）解：由空间向量数量积的定义可得， ，....................................................9 ......................................................12. （3）解： ..........................15 18．(1)或0．(2)4 【详解】（1）①当经过点时，两坐标轴上的截距均为0，则，解得.................3 ②当不经过点时，．令，得；令，得， 由题意，得，解得，..................................................7 综上所述，或0．...........................................................................................8 （2）易知，即，设，，则，解得．此时，，所以．.......................................................12 不妨设，则，， ．............................15    当且仅当，即时取等号，此时．.............................................16 故面积的最小值为4．...................................................................17 19．(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意，底面为矩形，， 底面，底面，，又，且平面， 平面，又平面， ，则在直角三角形中，有， ............................................................5 （2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.， ， 又为的中点，则，， 平面的一个法向量为，设平面的法向量为， 则，令，则. 故平面的一个法向量为，......................................................7 设二面角的平面角为，且， 则， 故故二面角的正弦值为............................10 （3）由（1）可得，由题意，设，， 则 则， 由可知，，且， 由，则，解得；...............................................14 则，则解得，， 则，又，解得...........................................17 学科网（北京）股份有限公司 $