专题1 集合与充要条件（讲义）-2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》紧扣考试要求和最新考试真题，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》 专题1 集合与充要条件 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 集合 有限集补集 2026-T01 单选 4 集合 区间并集 2025-T01 单选 4 集合 有限集交集 2024-T01 单选 4 集合 有限集交集 2023-T01 单选 4 集合 点集与象限 2023-T02 单选 4 集合 有限集交集 2022-T02 单选 4 充要条件 必要不充分条件 2026-T04 单选 4 充要条件 必要不充分条件 2025-T03 单选 4 充要条件 充分不必要条件 2024-T03 单选 4 充要条件 等边三角形与充要条件 2023-T03 单选 4 充要条件 等价不等式与充要条件 2022-T03 单选 4 命题轨迹透视：2022—2026年集合与充要条件均有考查，相关题目均为单选题，每题4分。集合涉及交集、并集、补集及点集与象限，2023年另考查点集的几何含义；充要条件涉及等价不等式、等边三角形定义、三角函数和四边形性质，重在双向推理与反例判断。 【考点1：集合】 （一）集合的概念及表示方法 一组对象的总体构成一个集合． 1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法： 列举法、 描述法、 图示法. 3．元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 . 4.五个特定的集合及其关系图：或表示 正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 整数集，Q表示 有理数集，R表示实数集． （二）集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集  集合A中 任意一个  元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集    或      真子集  如果集合,但存在元素 ,且,称集合A是集合B的真子集    A⫋B或    B⫌A  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 注意：(1)空集用 ∅表示． (2)若集合中含有个元素（），则其子集的个数为，真子集的个数为；当时，非空真子集的个数为，当时为。 (3)空集是任何集合的子集，是任何 非空集合的真子集． (4)若，，则． （三）集合的运算 符号 语言 交集 并集 补集 图形 语言 意义 注意：1．，. 2．，. 3．，，. 4．. 5．，． 1．（2026年吉林真题T01）全集，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【分析】根据补集的概念及运算可求解.【详解】因为全集，，所以.故选：B 2．（2025年吉林真题T01）若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【分析】根据并集的概念即可求解.【详解】因为集合，则.故选：C. 3．（2024年吉林真题T01）若集合，集合，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【分析】利用交集的定义即可求解.【详解】因为集合，集合，所以.故选：A 易错提醒：区分元素与集合、集合与集合的关系；判断充分与必要条件时分别验证两个推理方向。 1．集合的三个元素分别加上同一个数后得到集合，这个数是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】加上同一个数不改变大小次序，最小元素由变为，所加的数为；其余两项也符合。 2．下列对象能组成集合的是（　） A．本班比较聪明的学生 B．本班个子较高的学生 C．本班很好看的书 D．本班身高超过的学生 【答案】D 【解析】“超过”具有确定的判断标准；其他三项的标准不确定，不满足集合元素的确定性。 3．已知，则中元素个数为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】逐个列举得，共个；左端点不属于集合，右端点属于集合。 4．设，下列关系正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是的元素，故只含的集合是的子集；元素关系和包含关系不能混用。 5．若，满足的集合有（　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】元素必须选，元素各可选可不选，故共有个，包含两个端点集合。 6．已知，则下列结论正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对任意实数，有，方程无实根，因此集合为空集，不是含有的集合。 7．已知，，则为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】公共部分满足且。不在中，不在中，两个端点均不取。 8．设，，则为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】虽不属于，但属于，并集没有在处断开；也属于并集。 9．全集，，，则为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求，再取与的公共元素，得。 10．已知集合，，则为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由且为整数，得。的三个元素均属于，所以，故选D。 11．设，，若，则参数的完整取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故必须有；反之时，的全部元素都小于，条件也充分。 12．某班人至少参加数学、阅读两个兴趣小组中的一个，其中数学小组人，阅读小组人，同时参加两组的有（　） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】D 【解析】由两集合的计数公式，同时参加人数为；只参加一组的人数分别为和，合计复核为。 【考点2：充要条件】 （四）充要条件 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若，则p是q的 充分条件，q是p的 必要条件 p是q的 充分不必要条件 且qp p是q的 必要不充分条件 pq且 p是q的 充要条件 p是q的 既不充分也不必要条件 pq且qp 注意：若，，则 (1)若，则p是q的充分条件； (2)若，则p是q的必要条件； (3)若，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 1．（2026年吉林真题T04）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】【分析】根据充分必要条件的判断即可求解.【详解】因为，所以是的必要不充分条件.故选：. 2．（2024年吉林真题T03）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数值求角，结合充分必要条件判定即可.【详解】可以推出，即充分性成立；但是不一定得出，例如，即必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A． 3．（2023年吉林真题T03）“三角形的三条边相等”是“三角形是等边三角形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】【分析】由充要条件的定义即可判断.【详解】由“三角形的三条边相等”可得三角形是等边三角形，反之，三角形是等边三角形，则三角形的三条边相等，故“三角形的三条边相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件.故选：C. 易错提醒：先明确条件与结论，再分别判断两个方向；否定一个推理方向可举反例。 1．对于实数，“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【解析】能推出；反向取，平方为但不等于，故充分不必要。 2．对于实数，“”是“”的（　） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【解析】必有；取可知不一定有，故必要不充分。 3．对于实数，“”是“”的（　） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【解析】方程的解为，两条件的解集同为，故充要。 4．对于实数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】B 【解析】取，前真后假；取，后真前假。两个方向均不成立。 5．对于实数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【解析】实数平方非负，且只在时等于零，所以。 6．对于实数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【解析】等价于，可推出；取则反向不成立。 7．对于实数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】C 【解析】必有；取，乘积为零却有。 8．对于实数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【解析】两数相等必有平方相等；取，平方相等但两数不相等。 9．对于集合及实数，“”是“”的（　） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】B 【解析】交集中的元素一定属于，反向不一定成立。例如，取。 10．对于整数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【解析】能被整除的整数一定为偶数；整数是偶数却不能被整除。 11．对于实数，“”是“”的（　） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 【答案】C 【解析】时必有；取，平方非负却有。故前者是后者的充分不必要条件。 12．对于实数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】前条件的解集为空集，后条件的解集为。空集是真子集，因此前者是充分不必要条件；不能因前条件无解就误判两个方向都不成立。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》紧扣考试要求和最新考试真题，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》 专题1 集合与充要条件 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 集合 有限集补集 2026-T01 单选 4 集合 区间并集 2025-T01 单选 4 集合 有限集交集 2024-T01 单选 4 集合 有限集交集 2023-T01 单选 4 集合 点集与象限 2023-T02 单选 4 集合 有限集交集 2022-T02 单选 4 充要条件 必要不充分条件 2026-T04 单选 4 充要条件 必要不充分条件 2025-T03 单选 4 充要条件 充分不必要条件 2024-T03 单选 4 充要条件 等边三角形与充要条件 2023-T03 单选 4 充要条件 等价不等式与充要条件 2022-T03 单选 4 命题轨迹透视：2022—2026年集合与充要条件均有考查，相关题目均为单选题，每题4分。集合涉及交集、并集、补集及点集与象限，2023年另考查点集的几何含义；充要条件涉及等价不等式、等边三角形定义、三角函数和四边形性质，重在双向推理与反例判断。 【考点1：集合】 （一）集合的概念及表示方法 一组对象的总体构成一个集合． 1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法： 列举法、 描述法、 图示法. 3．元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 . 4.五个特定的集合及其关系图：或表示 正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 整数集，Q表示 有理数集，R表示实数集． （二）集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集  集合A中 任意一个  元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集    或      真子集  如果集合,但存在元素 ,且,称集合A是集合B的真子集    A⫋B或    B⫌A  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 注意：(1)空集用 ∅表示． (2)若集合中含有个元素（），则其子集的个数为，真子集的个数为；当时，非空真子集的个数为，当时为。 (3)空集是任何集合的子集，是任何 非空集合的真子集． (4)若，，则． （三）集合的运算 符号 语言 交集 并集 补集 图形 语言 意义 注意：1．，. 2．，. 3．，，. 4．. 5．，． 1．（2026年吉林真题T01）全集，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2025年吉林真题T01）若集合，则（ ） A． B． C． D． 3．（2024年吉林真题T01）若集合，集合，则集合（ ） A． B． C． D． 易错提醒：区分元素与集合、集合与集合的关系；判断充分与必要条件时分别验证两个推理方向。 1．集合的三个元素分别加上同一个数后得到集合，这个数是（　） A． B． C． D． 2．下列对象能组成集合的是（　） A．本班比较聪明的学生 B．本班个子较高的学生 C．本班很好看的书 D．本班身高超过的学生 3．已知，则中元素个数为（　） A． B． C． D． 4．设，下列关系正确的是（　） A． B． C． D． 5．若，满足的集合有（　） A．个 B．个 C．个 D．个 6．已知，则下列结论正确的是（　） A． B． C． D． 7．已知，，则为（　） A． B． C． D． 8．设，，则为（　） A． B． C． D． 9．全集，，，则为（　） A． B． C． D． 10．已知集合，，则为（　） A． B． C． D． 11．设，，若，则参数的完整取值范围是（　） A． B． C． D． 12．某班人至少参加数学、阅读两个兴趣小组中的一个，其中数学小组人，阅读小组人，同时参加两组的有（　） A．人 B．人 C．人 D．人 【考点2：充要条件】 （四）充要条件 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若，则p是q的 充分条件，q是p的 必要条件 p是q的 充分不必要条件 且qp p是q的 必要不充分条件 pq且 p是q的 充要条件 p是q的 既不充分也不必要条件 pq且qp 注意：若，，则 (1)若，则p是q的充分条件； (2)若，则p是q的必要条件； (3)若，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 1．（2026年吉林真题T04）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024年吉林真题T03）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023年吉林真题T03）“三角形的三条边相等”是“三角形是等边三角形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错提醒：先明确条件与结论，再分别判断两个方向；否定一个推理方向可举反例。 1．对于实数，“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 2．对于实数，“”是“”的（　） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 3．对于实数，“”是“”的（　） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 4．对于实数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 5．对于实数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 6．对于实数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 7．对于实数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 8．对于实数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 9．对于集合及实数，“”是“”的（　） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 10．对于整数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 11．对于实数，“”是“”的（　） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 12．对于实数，“”是“”的（　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $