精品解析：宁夏回族自治区固原市第三中学2026-2027学年九年级上学期综合评估数学试题

固原三中2026—2027（上）九年级阶段性综合评估数学试题（卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上； 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为，根据定义逐一分析各选项即可． 【详解】解：选项中方程含个未知数，故不符合题意； 选项中方程符合一元二次方程的定义，故符合题意； 选项中方程未限定，故不符合题意； 选项中方程是分式方程，故不符合题意． 2. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：将代入，得， 化简得， 解得． 3. 一元二次方程：的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 因式分解得， ∴或， 解得，． 4. 某商品原价元，经过连续两次降价后售价为元．若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 原价为元，连续两次降价后售价为元， ， 整理，得， 方程两侧同时开方，得或， 解得或， 不符合题意，舍去， ， 由于对应的百分率为． 5. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式解析式的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的顶点式解析式的图像和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：由得，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D错误，不符合题意； ∵， ∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为， 故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项B正确，符合题意； 故选：B． 6. 抛物线，，的共同性质是（ ） A. 开口向上 B. 顶点都是 C. 都有最高点 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】型二次函数的顶点均为，其余性质与的符号相关． 【详解】解：由于三个抛物线的解析式均为的形式，则顶点均为； 抛物线，二次项系数大于，开口向上，有最低点，当时，随的增大而增大； 抛物线，二次项系数小于，开口向下，有最高点，当时，随的增大而减小； 抛物线，二次项系数大于，开口向上，有最低点，当时，随的增大而增大； 综上所述，三个抛物线共同性质的是顶点均为，即B选项符合题意． 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，能够熟练运用顶点式得出顶点坐标是解题关键． 利用顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】解：∵顶点式的顶点为， ∴的顶点为， 故选：B． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；据此即可求解； 【详解】解：若，则一次函数经过一、三、四象限；二次函数的开口向上； 若，则一次函数经过二、三、四象限；二次函数的开口向下； 故D符合题意； 故选：D 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．掌握关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数是解题关键．根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 10. 若抛物线的开口向上，则的取值范围是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上. 【详解】解：∵抛物线 的开口向上， ∴ ， ∴ . 故答案为： 11. 若一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为 ，其中 ，，， ∴ 根据根与系数的关系得： ， ， 将 ， 代入 得： ． 12. 关于x的一元二次方程（m-1）x2-（2m+1）x+（m+1）=0有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】m≥-且m≠1 【解析】 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得△≥0，即（2m+1）2-4（m+1）（m-1）≥0，且m-1≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵一元二次方程（m-1）x2-（2m+1）x+（m+1）=0有实数根， ∴△≥0，即（2m+1）2-4（m-1）（m+1）≥0， 解得：m≥ - ， ∵m-1≠0， ∴m≠1， 则m的取值范围是m≥ 且m≠1. 故答案为m≥ 且m≠1． 【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 13. 把一根长为 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式为_______（写出自变量取值范围）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式，弄清题意，找出题中的等量关系是解答此类题目的关键．根据矩形的面积长宽列出函数关系式即可． 【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为， 则面积，x 需满足 ． 故答案为：． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用知识点，解题的关键是将二次函数解析式化为顶点式来求最值． 已知小球高度与运动时间的关系式为二次函数，通过将其化为顶点式，根据二次函数性质求出最大值． 【详解】对于二次函数，先对其进行配方： 因为二次项系数，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值， 当时，取得最大值45，又因为3在这个取值范围内， 所以小球运动中的最大高度是45m． 故答案为：45． 15. 若二次函数的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是______． 【答案】． 【解析】 【分析】由题意可得二次方程无实根，得出判别式小于0，解不等式即可得到所求范围. 【详解】解：二次函数的图象与x轴没有交点， 方程没有实数根， 判别式， 解得：； 故答案为． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与x轴的交点，此类题目均是利用△=b2-4ac和零之间的关系来确定图象与x轴交点的数目，即：当△＞0时，函数与x轴有2个交点，当△=0时，函数与x轴有1个交点，当△＜0时，函数与x轴无交点． 16. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知点坐标得到的表达式，由推出和异号，结合确定两者正负，再通过作差法比较三个纵坐标的大小． 【详解】解：点和在抛物线上， ，， ， ，即， 与异号， ， ，即， ，， 点，，在抛物线上， ，，， ∴， ， ，即， ∴， ， ，即， 综上可得． 三、解答题（本题共9小题，合计72分） 17. 解下列方程． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：两边开平方，得， 即或， 解得； 【小问2详解】 解：分解因式得， 即或， 解得． 18. 已知抛物线． （1）用配方法求此抛物线顶点坐标； （2）如果将该抛物线向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度得到新的抛物线，写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】（1）顶点坐标为 （2）平移后的抛物线解析式为（或） 【解析】 【分析】（1）将二次函数一般式配方为顶点式，直接得到顶点坐标； （2）根据平移后顶点的坐标变化，结合二次项系数不变求解新解析式． 【小问1详解】 解：      ， ∴ 此抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 ∵ 原抛物线顶点坐标为，抛物线向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度， ∴ 新顶点坐标为，即， ∵ 平移前后抛物线的二次项系数不变， ∴ 平移后的抛物线解析式为，即． 19. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出c的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据倒方程的定义，互换原方程二次项系数与常数项，一次项系数保持不变，即可得到倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将代入倒方程，求解关于的一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 根据倒方程的定义，其倒方程为． 【小问2详解】 解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． ∴它的倒方程为． ∵是该倒方程的解， ∴将代入，得， 即， 解得． 20. 近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】（1）人 （2）人 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【小问1详解】 设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； 【小问2详解】 第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 21. 已知关于x的一元二次方程：．若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】k的值为0或1；当时，方程的另一个根为0；当时，方程的另一个根为2． 【解析】 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴， 整理得：， 解得：， 当时，原方程为， 解得：，即另一个根是0； 当时，原方程为， 解得：，即另一个根是2； 综上可得：当时，方程的另一个根为0；当时，方程的另一个根为2． 22. 已知抛物线．求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点． 【答案】证明：令，得一元二次方程， ， ∵无论取何实数，， ∴， ∴无论取何值，该一元二次方程总有实数根， ∴无论取何值，抛物线与轴总有交点． 【解析】 【分析】令，得一元二次方程，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】略． 23. 如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． （1）求二次函数的解析式； （2）求另一交点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数解析式． （2）利用待定系数法先求出正比例函数解析式，再将两个解析式联立，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将点，点代入中，得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：将点代入中，得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50元 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得， 整理，得， 解得， 因尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去， 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 25. 【阅读材料】解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式． ①分解二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：， 这种分解因式的方法称为“十字相乘法”． （2）若，则或． （3）故此方程可以这样写出求解过程： ，左边分解因式，得， ∴原方程的解为：，． 【解决问题】请用上述原理和方法解决下列问题： （1）． （2）． （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）， （2）， （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据“十字相乘法”分解因式后解方程即可； （2）同上； （3）等式两边同时乘，得到新方程，设，利用“十字相乘法”分解因式后解方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得：， ∴原方程的解为：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解，得：， ∴原方程的解为：，； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴等式两边同时乘，得：， 设，则有， 因式分解得：， ∴原方程的解为：，； ∴的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固原三中2026—2027（上）九年级阶段性综合评估数学试题（卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上； 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 一元二次方程：的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 某商品原价元，经过连续两次降价后售价为元．若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 6. 抛物线，，的共同性质是（ ） A. 开口向上 B. 顶点都是 C. 都有最高点 D. 当时，随的增大而增大 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 10. 若抛物线的开口向上，则的取值范围是____________． 11. 若一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 12. 关于x的一元二次方程（m-1）x2-（2m+1）x+（m+1）=0有实数根，则m的取值范围是______． 13. 把一根长为 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式为_______（写出自变量取值范围）． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是______． 15. 若二次函数的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是______． 16. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 三、解答题（本题共9小题，合计72分） 17. 解下列方程． （1） （2） 18. 已知抛物线． （1）用配方法求此抛物线顶点坐标； （2）如果将该抛物线向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度得到新的抛物线，写出平移后的抛物线的解析式． 19. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出c的值； 20. 近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 21. 已知关于x的一元二次方程：．若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 22. 已知抛物线．求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点． 23. 如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． （1）求二次函数的解析式； （2）求另一交点的坐标． 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 25. 【阅读材料】解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式． ①分解二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：， 这种分解因式的方法称为“十字相乘法”． （2）若，则或． （3）故此方程可以这样写出求解过程： ，左边分解因式，得， ∴原方程的解为：，． 【解决问题】请用上述原理和方法解决下列问题： （1）． （2）． （3）已知，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $