5.1 认识二元一次方程组 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

# 北师大版数学八年级上册 5.\(\boldsymbol{1}\) 认识\(\boldsymbol{二元一次}\)方程组 专项练习 （全文约\(\boldsymbol{1}\)4\(\boldsymbol{1}\)0字） ## 知识梳理 \(\boldsymbol{1}\). **\(\boldsymbol{二元一次}\)方程**：含有两个未知数\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)并且所含未知数的项的次数都是\(\boldsymbol{1}\)的方程。 形式：$\(ax+b\(y=\)c\)$（$a\(a\(x\(m\(x、y\)n\)y\)b\)b$不为0） 要点：①两个未知数；②未知数项次数是\(\boldsymbol{1}\)；③是整式方程。 \(\boldsymbol{二元一次}\)方程有**无数组解**。 \(\boldsymbol{2}\). **\(\boldsymbol{二元一次}\)方程组**：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程。 3. **\(\boldsymbol{二元一次}\)方程组的解**：方程组中各个方程的**\(\boldsymbol{公共}\)解**（一组$x\(a\(x\(m\(x、y\)n\)y\)b\)y$\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)同时满足两个方程）\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)一般只有一组解。 ✅ 检验方法：把一组数分别代入两个方程\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)都成立才是方程组的解。 易错提醒：“次数\(\boldsymbol{1}\)”是未知数**项**的次数\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)不是未知数本身；$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)x+\(y=\)3$不是\(\boldsymbol{二元一次}\)方程（不是整式）。 ## 一\(a\(x\(m\(x、y\)n\)y\)b\)选择题（每题4分\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)共\(\boldsymbol{2}\)4分） \(\boldsymbol{1}\). 下列属于\(\boldsymbol{二元一次}\)方程的是（） A. $\(x+3\(y=\)5\)$ B. $x^\(\boldsymbol{2}\)+\(y=\)\(\boldsymbol{1}\)$ C. $\dfrac\(\boldsymbol{1}\)x+\(y=\)\(\boldsymbol{2}\)$ D. $\(x\(y=\)4\)$ \(\boldsymbol{2}\). 下面是\(\boldsymbol{二元一次}\)方程组的是（） A.$\begin{cases}x+\(y=\)3\\z+x=5\end{cases}$ B.$\begin{cases}x+\(y=\)4\\x\(y=\)\(\boldsymbol{2}\)\end{cases}$ C.$\begin{cases}x+\(y=\)5\\\(\boldsymbol{2}\)x-\(y=\)\(\boldsymbol{1}\)\end{cases}$ D.$\begin{cases}x+\(\boldsymbol{2}\)=\(\boldsymbol{1}\)\\3-\(y=\)0\end{cases}$ 3. \(\boldsymbol{二元一次}\)方程$\(\(\boldsymbol{2}\)x+\(y=\)7\)$的解是（） A. 只有\(\boldsymbol{1}\)组 B. 只有\(\boldsymbol{2}\)组 C. 无数组 D. 没有解 4. 已知$\begin{cases}x=\(\boldsymbol{2}\)\\\(y=\)\(\boldsymbol{1}\)\end{cases}$是方程$\(ax+\(y=\)5\)$的解\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)则$\(a=\)$（） A.\(\boldsymbol{1}\) B.\(\boldsymbol{2}\) C.3 D.4 5. 方程组$\begin{cases}x+\(y=\)3\\x-\(y=\)\(\boldsymbol{1}\)\end{cases}$的解是（） A.$\begin{cases}x=\(\boldsymbol{1}\)\\\(y=\)\(\boldsymbol{2}\)\end{cases}$ B.$\begin{cases}x=\(\boldsymbol{2}\)\\\(y=\)\(\boldsymbol{1}\)\end{cases}$ C.$\begin{cases}\(x=3\)\\\(y=\)0\end{cases}$ D.$\begin{cases}x=0\\\(y=\)3\end{cases}$ 6. 关于\(\boldsymbol{二元一次}\)方程组的解说法正确的是（） A. 必须只满足第一个方程 B. 要同时满足方程组里所有方程 C. 只要满足一个方程就是解 D. 一定有无数组解 ## 二\(a\(x\(m\(x、y\)n\)y\)b\)填空题（每题4分\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)共\(\boldsymbol{2}\)4分） 7. \(\boldsymbol{二元一次}\)方程含有____个未知数\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)未知数项次数都是____。 8. 若$\begin{cases}x=\(\boldsymbol{1}\)\\\(y=\)\(\boldsymbol{2}\)\end{cases}$是$\(3x+m\(y=\)7\)$的解\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)则$\(m=\)$________。 9. 写出\(\boldsymbol{二元一次}\)方程$\(x+\(y=\)6\)$任意一组解：________。 \(\boldsymbol{1}\)0. 方程组的解\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)是两个方程的________解。 \(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{1}\). 方程$x-\(\boldsymbol{2}\)\(y=\)5$\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)当$\(x=3\)$时\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)$\(y=\)$________。 \(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{2}\). $\begin{cases}x+\(y=\)\(\boldsymbol{1}\)0\\\(\boldsymbol{2}\)x-\(y=\)\(\boldsymbol{2}\)\end{cases}$是________方程组。 ## 三\(a\(x\(m\(x、y\)n\)y\)b\)解答题（共5\(\boldsymbol{2}\)分） \(\boldsymbol{1}\)3.（\(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{2}\)分）判断下列式子是不是\(\boldsymbol{二元一次}\)方程\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)说明理由： （\(\boldsymbol{1}\)）$3x-\(\boldsymbol{2}\)\(y=\)6$ （\(\boldsymbol{2}\)）$x+y^\(\boldsymbol{2}\)=5$ （3）$\dfrac{x}{\(\boldsymbol{2}\)}+\dfrac{y}{3}=\(\boldsymbol{1}\)$ （4）$\(x+5=0\)$ \(\boldsymbol{1}\)4.（\(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{2}\)分）检验$\begin{cases}\(x=3\)\\\(y=\)-\(\boldsymbol{1}\)\end{cases}$是不是下面方程组的解 $\begin{cases}\(\boldsymbol{2}\)x+\(y=\)5\\x-\(y=\)4\end{cases}$ \(\boldsymbol{1}\)5.（\(\boldsymbol{1}\)4分）根据题意\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)列出\(\boldsymbol{二元一次}\)方程组： （\(\boldsymbol{1}\)）有大小两种笔记本\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)买\(\boldsymbol{2}\)本大本\(a\(x\(m\(x、y\)n\)y\)b\)3本小本一共花\(\boldsymbol{2}\)4元\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)大本每本$x$元\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)小本每本$y$元； （\(\boldsymbol{2}\)）甲数$x$\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)乙数$y$；甲乙两数和是\(\boldsymbol{1}\)8\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)甲数比乙数大4。 \(\boldsymbol{1}\)6.（\(\boldsymbol{1}\)4分）拓展探究： （\(\boldsymbol{1}\)）已知方程$(m-\(\boldsymbol{2}\))x+(n+3)\(y=\)4$是\(\boldsymbol{二元一次}\)方程\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)求$m\(a\(x\(m\(x、y\)n\)y\)b\)n$的取值范围； （\(\boldsymbol{2}\)）已知$\begin{cases}x=\(\boldsymbol{2}\)\\\(y=\)\(\boldsymbol{1}\)\end{cases}$同时满足$\begin{cases}ax+b\(y=\)7\\bx-a\(y=\)\(\boldsymbol{1}\)\end{cases}$\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)求$\(a+b\)$的值。 ## 参考答案与解析 \(\boldsymbol{1}\). A 解析：B是二次\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)C不是整式\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)D$xy$次数是\(\boldsymbol{2}\) \(\boldsymbol{2}\). C 解析：A三个未知数；B$xy$二次；D只有一个未知数 3. C 4. B 解析：$\(\boldsymbol{2}\)a+\(\boldsymbol{1}\)=5\Rightarrow \(a=\)\(\boldsymbol{2}\)$ 5. B 6. B 7. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)}$；$\boldsymbol{\(\boldsymbol{1}\)}$ 8. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)}$ 9. $\boldsymbol{\begin{cases}x=\(\boldsymbol{2}\)\\\(y=\)4\end{cases}}$（答案不唯一） \(\boldsymbol{1}\)0. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{公共}\)}$ \(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{1}\). $\boldsymbol{-\(\boldsymbol{1}\)}$ \(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{2}\). $\boldsymbol{\(\boldsymbol{二元一次}\)}$ \(\boldsymbol{1}\)3. 解： （\(\boldsymbol{1}\)）是；两个未知数\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)项次数都是\(\boldsymbol{1}\)\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)整式方程 （\(\boldsymbol{2}\)）不是；$y^\(\boldsymbol{2}\)$次数是\(\boldsymbol{2}\) （3）是；整理后是整式\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)两个未知数\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)次数\(\boldsymbol{1}\) （4）不是；只有一个未知数 \(\boldsymbol{1}\)4. 解： 代入$\(\boldsymbol{2}\)x+\(y=\)5$：$\(\boldsymbol{2}\)\times3+(-\(\boldsymbol{1}\))=5$\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)成立； 代入$x-\(y=\)4$：$3-(-\(\boldsymbol{1}\))=4$\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)成立。 ∴ $\boldsymbol{\begin{cases}\(x=3\)\\\(y=\)-\(\boldsymbol{1}\)\end{cases}}$是方程组的解。 \(\boldsymbol{1}\)5. 解： （\(\boldsymbol{1}\)）$\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)x+3\(y=\)\(\boldsymbol{2}\)4}$ （\(\boldsymbol{2}\)）$\boldsymbol{\begin{cases}x+\(y=\)\(\boldsymbol{1}\)8\\x-\(y=\)4\end{cases}}$ \(\boldsymbol{1}\)6. 解： （\(\boldsymbol{1}\)）\(\boldsymbol{二元一次}\)方程要求$x\(a\(x\(m\(x、y\)n\)y\)b\)y$系数不为0 $m-\(\boldsymbol{2}\) eq0 \Rightarrow \boldsymbol{m eq\(\boldsymbol{2}\)}$；$n+3 eq0\Rightarrow \boldsymbol{n eq-3}$ （\(\boldsymbol{2}\)）代入$\begin{cases}\(\boldsymbol{2}\)\(a+b\)=7\\\(\boldsymbol{2}\)b-\(a=\)\(\boldsymbol{1}\)\end{cases}$ 由第二个：$\(a=\)\(\boldsymbol{2}\)b-\(\boldsymbol{1}\)$\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)代入： $\(\boldsymbol{2}\)(\(\boldsymbol{2}\)b-\(\boldsymbol{1}\))+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)\(a=\)\dfrac{\(\boldsymbol{1}\)3}{5}$ $\(a+b\)=\boldsymbol{\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)\(\boldsymbol{2}\)}{5}}$ 要不要无答案空白版\(2(2b-1)+b=7 \Rightarrow 5b=9 \Rightarrow b=\dfrac95，a=\dfrac{13}{5}\)或者下一节5.\(\boldsymbol{2}\) 求解\(\boldsymbol{二元一次}\)方程组（代入消元法）？ 北师大版（新教材）数学8年级上册 5.1 认识二元一次方程组 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/22 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 二元一次方程组 通过提炼实际问题中的数量关系，了解二元一次方程(组)及其解的定义，形成良好的数学思维习惯，锻炼抽象能力. 能够检验一组数是不是某个二元一次方程组的解，提高综合应用能力，培养严谨的解题习惯. 能根据简单的实际问题列出二元一次方程组，加强用数学语言描述现实世界的能力 1. 我们已经学习了一元一次方程，你能举出一个一元一次方程的例子吗？ 只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1的方程. 2. 为什么它叫一元一次方程? 2x+5=0 情境导入 情景引入 情景一：小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多2株，如果将小颖栽种的绿植给小明1株，那么小明的绿植株数是小颖的2倍。（1）这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ ①小明栽种的绿植比小颖多 2 株. ②小颖栽种的绿植减少1株，小明栽种的绿植增加1株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的2倍. 新知探究 ①小明栽种的绿植比小颖多 2 株. ②小颖栽种的绿植减少1株，小明栽种的绿植增加1株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的2倍. 小明栽种的绿植数量＝小颖栽种的绿植数量＋2 小明栽种的绿植数量＋1＝2×(小颖栽种的绿植数量－1) (2) 设小明栽种了 x 株绿植，小颖栽种了 y 株绿植，由此你能得到怎样的方程? x－y＝2 . x＋1＝2( y－1). 新知探究 周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们 8 个人去红山公园玩，买门票花了 34 元. 每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元、他们到底去了几个成人、几个儿童呢? (1) 找出，上述趣题中的等量关系： 成人数＋儿童数＝8 成人总票价＋儿童总票价＝34 情境2 新知探究 成人数＋儿童数＝8 成人总票价＋儿童总票价＝34 (2) 设他们中有 x 个成人，y 个儿童.你能根据它们的对话列出方程吗？ x＋y＝8 5x＋3y＝34 新知探究 观察思考 在上面两个情境中，我们分别得到方程： x－y＝2 x＋1＝2( y－1) x＋y＝8 5x＋3y＝34 ①上述方程有什么共同特点？ ②它们与你学过的一元一次方程比较有什么区别？ ③你能给它们起个名字吗？ 都是整式、含有两个未知数未知数的次数都是1 二元一次方程 归纳总结 新知探究 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫作二元一次方程. 二元一次方程的概念 注意：(1)“一次”是指含未知数的项的次数是 1， 而不是未知数的次数，如含有 xy 项的方程就不是一次方程； (2)方程的左右两边都是整式. 题型一 题型探究 方法技巧 判断要点： ①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知数次数是否为 1；④化简后未知数的系数不为 0. 用概念判断是否为二元一次方程 例1.下列方程中哪些是二元一次方程，哪些不是？ （1）x+y=5z （2）-5x=4z+2 （4）2y2-6x=1 （5）xy=1 （6）7x+2=3 （3） 三个未知数 不是整式 此项的次数是2次 此项的次数是2次 只含有一个未知数 知识点1 二元一次方程（组）的概念 1.下列方程中属于二元一次方程的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 11 2.下列方程组是二元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 12 3.已知方程是关于，的二元一次方程，则 ___， ___。 2 1 返回 举一反三 13 新知探究 思考交流 （1）在上面的方程x + y = 8和5 x + 3y = 34中，x所表示的对象相同吗？y呢？与同伴进行交流。 相同. x 是成人数，y 是儿童数. 二元一次 （2）当 x，y同时满足方程 x+y=8 和 5x+3y = 34，把它们联立起来，得 ，称这个方程组为___________方程组. 归纳总结 新知探究 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 二元一次方程组的概念 注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量. x＋1＝2(y－1) x－y＝2 x＋y＝8 5x＋3y＝34 题型一 题型探究 方法技巧 二元一次方程组的 “二元”“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数，只要共同含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程都是二元一次方程组 . 用概念判断是否为二元一次方程 √ √ √ 例2,请你判断：下列方程组中，哪些是二元一次方程组，哪些不是？为什么？ 新知探究 尝试思考 （1）x＝6 , y＝2适合方程 x＋y＝8吗? x＝5,y＝3呢? x＝4,y＝4呢? 你还能找到其他x,y的值适合方程x＋y＝8吗 ? (2) x＝5 , y＝3适合方程5x＋3y＝34吗? x＝2 , y＝8呢? 二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解. 新知探究 尝试思考 x + y = 8 5x+3y = 34 x 1 2 3 4 5 6 y 8 6 5 4 3 2 x 2 5 y 8 3 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解. 的解是 你能找到一组x，y值，同时适合方程x+y=8和5x+3y =34吗? 题型三 题型探究 小亮 方法技巧 一般地，二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组只有一个解. 二元一次方程组解得求法 C 例3.二元一次方程组 的解是 ( ) A. C. D. B. x = 4， y = 2 x + 2y = 10， y = 2x x = 3， y = 6 x = 4， y = 3 x = 2， y = 4 知识点2 二元一次方程（组）的解 4.［教材P随堂练习T 变式］ 下列4组数值中，不是二元一次方程 的解的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 20 5. 请写出一个解为 的二元一次方程组： _ __________________________。 （答案不唯一） 返回 举一反三 21 知识点3 根据实际问题列方程（组） 6.某校八年级共有学生160人，已知男生人数比女生人数的2倍少50人， 设男生、女生分别有， 人，根据题意可列方程组是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 22 7.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程（组）。 （1）甲数的 比乙数的2倍少7：__________________________________； （2）摩托车的速度是货车的倍，它们的速度之和是 ： _ _____________________________________________________________； 设甲数为,乙数为,则。 设摩托车的速度为,货车的速度为,则 举一反三 23 （3）上衣的单价是裤子单价的1.4倍，5件裤子比3件上衣贵700元： _ ________________________________________________________。 设上衣的单价为元，裤子的单价为元，则 返回 举一反三 8.［教材习题 变式］ 某校学生坐船游览。若每船坐7人，则有3人 不能上船；若每船坐8人，则最后一艘船少坐5人，设学生人数为 人， 船数为 艘，依题意可列方程组为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 25 9. 已知是方程 的解，则代数式 的值为___。 1 返回 举一反三 26 10.魏子航和朱明浩共同解方程组 根据魏子航和朱明浩两名同学的对话（如图），则 的值为____。 11 返回 举一反三 27 11. 已知关于,的方程 是二元 一次方程。 （1）___, ___； 1 0 （2）若，求 的值。 解：把，代入方程可得 。 把代入，得，解得 。 返回 举一反三 28 课堂小结 二元一次方程 ①每个方程含有__个未知数； ②含有未知数的项的次数______ 使二元一次方程左右两边的值 的两个 的值 二元一次方程组 ①含有__个未知数； ②含有未知数的项的次数______； ③一共有__个方程 二元一次方程组的两个方程的______ 两 都是1 两 都是1 两 相等 公共解 未知数 解 解 谢谢观看 THANKS $