2.3.3 点到直线的距离公式+2.3.4 两条平行直线间的距离（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 　 点到直线的距离 1.已知点M（0，2），点P（x，y）在直线2x＋y－1＝0上，则｜MP｜的最小值是（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：A　｜MP｜的最小值即点M（0，2）到直线2x＋y－1＝0的距离， 所以所求最小值d＝＝＝. 2.（2026·浙江9＋1联盟联考）设直线l1：x＋3y－7＝0与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则P到直线l：2x－y＝1的距离为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：D　联立两直线方程⇒即P（1，2）. 由点到直线的距离公式可得P到直线l：2x－y＝1的距离d＝＝.故选D. 3.已知y轴上一点P到直线4x＋3y－12＝0的距离等于3，则点P的坐标为（　　） A.（0，－1） B.（0，－9） C.（0，1）或（0，－9） D.（0，－1）或（0，9） 解析：D　设点P的坐标为（0，y）， 则点P到直线4x＋3y－12＝0的距离为＝3， 解得y＝9或y＝－1， 所以点P的坐标为（0，9）或（0，－1）. 4.已知A（－3，－4），B（3，8）两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为（　　） A.1 B.0 C.－1 D.－2 解析：D　已知点A（－3，－4），B（3，8）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等， 根据距离公式可得＝，即｜－3a－3｜＝｜3a＋9｜. 当－3a－3＝3a＋9时，解得a＝－2； 当－3a－3＝－（3a＋9）时，显然不成立.故a＝－2. 5.已知直线l过点A（3，4），且坐标原点O到直线l的距离为4，则直线l的方程为　　　　　. 答案：y－4＝0或24x＋7y－100＝0 解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，点O到直线l的距离为3，不符合题意，所以直线l的斜率存在. 因为直线l过点A（3，4），所以设直线l的方程为kx－y－3k＋4＝0. 因为点O到直线l的距离为4，所以＝4，解得k＝0或k＝－. 所以直线l的方程为y－4＝0或24x＋7y－100＝0. 两条平行直线间的距离 6.已知直线x＋ay＋2a＝0与直线2x＋（a＋3）y＋2＝0平行，则这两条平行直线间的距离为 （　　） A.4 B. C. D. 解析：B　由题意可得＝≠，即2a＝a＋3，解得a＝3，经检验符合题意， 可得直线x＋3y＋6＝0与直线2x＋6y＋2＝0，后者整理可得x＋3y＋1＝0， 两直线之间的距离d＝＝.故选B. 7.已知点A（9，8），B（5，0），C为直线l：2x－y＋5＝0上一动点，则△ABC的面积为（　　） A.20 B.30 C.35 D.30 解析：B　易知kAB＝＝2，又直线l的斜率为2， 所以直线AB与直线l平行. 又｜AB｜＝＝4，直线AB的方程为y＝2（x－5），即2x－y－10＝0， 所以直线AB与直线l间的距离d＝＝＝3， 所以S△ABC＝｜AB｜·d＝×4×3＝30.故选B. 8.（2026·江苏南通期中）已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y－1＝0都经过点A（1，1），则两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）间的最短距离为　　　　. 答案： 解析：因为两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y－1＝0都经过点A（1，1）， 所以a1＋b1＋1＝0，a2＋b2－1＝0， 所以P1（a1，b1），P2（a2，b2）分别在直线x＋y＋1＝0，x＋y－1＝0上， 所以两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）间的最短距离为两平行线间距离，即d＝＝. 9.分别求下列直线l的方程： （1）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0和x－2y＝0的交点，且点A（5，0）到直线l的距离为3； （2）直线l与直线m：x－y－2＝0平行且到直线m的距离为2； （3）已知直线l1：ax＋3y－4＝0与直线l2：2x＋6y＋1＝0平行，直线l到l1的距离与l到l2的距离相等； （4）点A（－2，6），B（12，6）到直线l的距离都等于7. 解：（1）由解得所以两条直线的交点为（2，1）， 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0， 则点A（5，0）到直线l的距离为＝3，解得k＝， 所以直线l的方程为4x－3y－5＝0； 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x－2＝0， 点A（5，0）到直线l的距离为｜5－2｜＝3，成立. 综上所述，直线l的方程为x－2＝0或4x－3y－5＝0. （2）因为直线l与直线m：x－y－2＝0平行， 所以设直线l：x－y＋λ＝0. 又直线l到直线m：x－y－2＝0的距离为2， 所以＝2， 解得λ＝2－2或λ＝－2－2， 所以直线l的方程为x－y＋2－2＝0或x－y－2－2＝0. （3）因为直线l1：ax＋3y－4＝0与直线l2：2x＋6y＋1＝0平行， 所以＝≠，解得a＝1，故直线l1：x＋3y－4＝0， 而直线l2：2x＋6y＋1＝0可以写成l2：x＋3y＋＝0，设直线l：x＋3y＋m＝0， 因为直线l到l1的距离与l到l2的距离相等，所以＝，解得m＝－， 故直线l：x＋3y－＝0，即直线l的方程为4x＋12y－7＝0. （4）｜AB｜＝14，当直线l的斜率不存在时可得x＝5； 当直线l的斜率为零时可得y＝13或y＝－1. 综上，直线l的方程为x－5＝0或y－13＝0或y＋1＝0. 　 1.设点A（0，1）到直线l1：x－y－2＝0的距离为d1，直线l1与直线l2：x－y－5＝0之间的距离为d2，则（　　） A.d1＞d2 B.d1＝d2 C.d1＜d2 D.以上情况均可能 解析：B　点A（0，1）到直线l1：x－y－2＝0的距离为d1＝＝， 直线l1与直线l2：x－y－5＝0之间的距离为d2＝＝. 所以d1＝d2. 2.直线l经过点P（3，2），且点A（2，3），B（4，－5）到它的距离相等，则l的方程为（　　） A.4x＋y＋14＝0 B.4x＋y－14＝0 C.x＝3或4x＋y＋14＝0 D.x＝3或4x＋y－14＝0 解析：D　若直线l的斜率不存在，则l：x＝3， 此时点A到l的距离为｜2－3｜＝1，点B到l的距离为｜4－3｜＝1，符合要求； 若直线l的斜率存在，设l：y＝k（x－3）＋2，即kx－y－3k＋2＝0， 则有＝， 化简得｜k＋1｜＝｜k＋7｜， 即k2＋2k＋1＝k2＋14k＋49，解得k＝－4，即l：4x＋y－14＝0. 故l的方程为x＝3或4x＋y－14＝0. 3.（多选）已知直线l：（2m＋1）x＋（m＋1）y－7m－4＝0，则下列结论正确的是（　　） A.直线l过定点（3，1） B.原点O到直线l距离的最大值为 C.若点A（－1，0），B（1，0）到直线l的距离相等，则m＝－ D.若直线l经过第一、二、三象限，则－＜m＜－ 解析：ABD　将（2m＋1）x＋（m＋1）y－7m－4＝0化为m（2x＋y－7）＋（x＋y－4）＝0， 由得即直线l过定点（3，1），故A正确； 原点到定点的距离即是原点到直线的距离的最大值， 所以原点O到直线l距离的最大值为＝，故B正确； 点A（－1，0），B（1，0）到直线l的距离相等， 即＝ ， 即｜9m＋5｜＝｜5m＋3｜，解得m＝－或m＝－，故C错误； 若直线l经过第一、二、三象限，则直线在x轴的截距为负，y轴的截距为正， 令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝，则 即－＜m＜－，故D正确. 4.（2026·山东泰山联盟）已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则 的最小值为 （　　） A. B. C.1 D. 解析：C　（m，n）为直线3x＋4y＝6上的动点，（a，b）为直线3x＋4y＝1上的动点，可理解为两动点间距离，显然两动点间距离的最小值即两平行直线间的距离d＝＝1.故选C. 5.若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：3x＋y－5＝0和l2：3x＋y－7＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为　　　　　. 答案： 解析：由题意，点M的轨迹为平行于直线l1和l2且到l1，l2距离相等的直线l. 因为直线l1和l2在y轴上的截距分别为5，7， 所以直线l在y轴上的截距为6，故其方程为3x＋y－6＝0， 故点M到原点的距离的最小值为＝. 6.[一题多解]直线l1：2x－y＋3＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程是　　　　. 答案：x－2y＋3＝0 解析：方法一：联立得两直线的交点坐标为（－1，1）. 易知直线l2的斜率存在， 设直线l2的方程为y－1＝k（x＋1）， 直线l上的点（1，3）到直线l1与l2的距离相等，即＝， 解得k＝或k＝2（舍去），故l2的方程是x－2y＋3＝0. 方法二：利用直线l：y＝kx＋b关于直线y＝x＋m的对称直线为l'：x＋m＝k（y－m）＋b. 所以l1：2x－y＋3＝0关于直线l：y＝x＋2对称的直线l2的方程为2（y－2）－（x＋2）＋3＝0，即x－2y＋3＝0. 方法三：易知直线l的斜率为tan α1＝1，直线l1的斜率为tan α2＝2，对称直线l2的斜率tan α3显然小于直线l1的斜率. 由对称性可知tan （α1－α3）＝tan （α2－α1），即＝＝，解得tan α3＝. 又可求两直线的交点坐标为（－1，1），所以直线l2的方程为x－2y＋3＝0. 7.已知△ABC的三个顶点分别为A（0，2），B（－1，3），C（－4，0），求： （1）边AB所在直线的方程； （2）AC边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）△ABC的面积. 解：（1）直线AB的方程为＝，即x＋y－2＝0. （2）kAC＝＝， 则AC边上的垂直平分线所在直线的斜率为k＝－2， 且线段AC的中点为D（－2，1）， 所以AC边上的垂直平分线所在直线的方程为y－1＝－2（x＋2），即2x＋y＋3＝0. （3）由C（－4，0）且直线AB的方程为x＋y－2＝0，可得点C到直线AB的距离d＝＝3. 又由A（0，2），B（－1，3），可得｜AB｜＝＝， 所以△ABC的面积S＝｜AB｜·d＝××3＝3. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $