1.1.1 空间向量及其线性运算（PPT版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试配套课件（人教A版）

教材知识——一遍过 综合素养——全提升 1．1　空间向量及其运算 第一章　空间向量与立体几何 1.1.1　空间向量及其线性运算 　 1. （多选）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，下列向量相等的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 空间向量的有关概念 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：由正四棱柱的性质可知， ｜｜＝｜｜，但与方向相反，故A不符合题意； ｜｜＝｜｜，但与方向不同，故B不符合题意； ｜｜＝｜｜，且与方向相同，故C符合题意； ｜｜＝｜｜，且与方向相同，故D符合题意.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 下列命题中，正确的有 （填序号）. ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b； ③λ＝0是λa＝0的充分不必要条件； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等. ③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 3. [教材练习变式]在四面体A-BCD中，点M，N 分别是棱AD，CD的中点，则 （＋）－（＋）化简的结果是（　　） A. B. C. D. 解析：如图所示，连接BM，BN， 因为点M，N分别是棱AD，CD的中点， 所以（＋）－（＋）＝－＝. 空间向量的线性运算 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 4. （2026·浙北G2联考）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为B1C1的中点.设 ＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A. a＋b＋c B. a＋ b＋c C. a＋b＋ c D. a＋ b＋c 解析：＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 在四面体O-ABC中，点M为线段OA上靠近点A的四等分点，N为BC的中点， 若＝x＋y＋，则x＋y的值为 　　－　　. 解析：因为在四面体O-ABC中，点M为线段OA上靠近点A的四等分点，N为 BC的中点，所以＝－＝（＋）－ ＝－＋＋，所以故x＋y＝－. － 1 2 3 4 5 6 7 8 6. （2026·广东广州月考）如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，设＝a， ＝b，＝c，E，F分别是AD'，BD的中点. （1）＝ ，＝ ；（用向量a，b，c表示） a－b－c a－c 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：＝＋＋＝－－＋＝a－b－c. 因为E，F分别是AD'，BD的中点， 所以＝＋＋＝－＋＋ ＝－（＋）＋＋（－） ＝－＝a－c. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）化简：＋＋＋＋2＝ ⁠. 解析：＋＋＋＋2 ＝＋（＋）＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 7. （多选）以下条件中，能判定空间中P，M，A，B四点共面的是（　　） A. ＝2＋3 B. ＝＋＋ C. ⊥ D. ∥ 空间向量的共线与共面 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：对于A，由＝2＋3知，，为共面向量， 故P，M，A，B四点共面，故A正确. 对于B，方法一：因为＝＋＋，所以＋＋＝0，即＝－－， 由向量共面的充要条件可知P，M，A，B四点共面，故B正确. 方法二：根据向量共面的充要条件的推论， 因为＋＋＝1，所以P，M，A，B四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 对于C，若⊥，则PM⊥AB，即直线PM与AB异面垂直或共面垂直， P，M，A，B四点不一定共面，故C错误. 对于D，若∥，则直线PM与AB平行或重合， 故P，M，A，B四点共面，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 ｜方法技巧｜ 1. 证明（或判断）A，B，C三点共线，只需证明存在实数λ，使＝λ 即可. 2. 证明（或判断）向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面. 3. 证明（或判断）四点共面：若存在有序实数组（x，y，z）使得对于空间任意一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 8. （1）写出A，B，C三点共线的一个充分条件： ⁠ ⁠； ＝2（答案不唯一） 解析：当＝2时，A，B，C三点共线， 所以＝2是A，B，C三点共线的一个充分条件.（答案不唯一） （2）写出A，B，C，D四点共面的一个充分条件： ⁠. ＝＋（答案不唯一） 解析：当＝＋时，A，B，C，D四点共面， 所以＝＋是A，B，C，D四点共面的一个充分条件.（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 　 1. （2026·浙江台州八校联考）已知四面体ABCD如图所示，点E为线段CD的中 点，点F为△ABC的重心，则＝（　　） A. －－ B. －－ C. －－ D. －－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：由点F为△ABC的重心，则＝＋， 则＝＋＝－－＋＋＝－－. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 设e 1，e 2是空间两个不共线的非零向量，已知＝2e1＋ke 2，＝e 1＋3e 2，＝2e 1－e 2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为（　　） A. 4 B. －4 C. 8 D. －8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：因为＝e1＋3e 2，＝2e1－e 2， 则有＝＋＝（e 1＋3e 2）－（2e 1－e 2）＝－e 1＋4e 2， 又A，B，D三点共线，于是＝λ， 即2e 1＋ke 2＝λ（－e 1＋4e 2）， 而e 1，e 2不共线，因此解得k＝－8， 所以实数k的值是－8. 1 2 3 4 5 6 7 8 3. [模块融合]在三棱锥P-ABC中，G为△ABC的重心，＝λ，＝μ， ＝4（λ＞1，μ＞1）.若PG交平面DEF于点M，且＝，则＋的 最小值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：因为G为△ABC的重心，所以＝＋＝＋（＋） ＝＋（－＋－）＝＋＋， 所以＝（λ＋μ＋4）＝＋＋. 因为点M在平面DEF内，所以＋＋＝1，得λ＋μ＝5，且λ＞1，μ＞1. 所以＋＝（λ＋μ）＝1＋≥1＋×2＝， 当且仅当＝，即λ＝，μ＝时等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 4. （多选）如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面 CD'的中心，则下列结论正确的是（　　） A. 存在x，使得＝x B. 任意x，y，使得＝＋x＋y C. 存在x，y，使得，，x＋y共面 D. 任意x，y，使得，，x＋y共面 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：对于A，＝＋＝＋＋，得x＝1，则A正确； 对于B，＝＋＝＋＝＋＋AD，故x＝y＝， 则B错误； 对于C，＝＋，则x＝，y＝0时，，，x＋y共 面，则C正确； 对于D，正方体中，AD＝B'C'，AD∥B'C'，四边形ADC'B'为平行四边 形，，，，都在平面ADC'B'内，所以任意x，y，都有 ，，x＋y共面，则D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 已知空间中三个不共面的向量m，n，p，若a＝3m－2n－4 p，b＝（x＋1） m＋yn＋2 p，且a∥b，则x＋y＝ ⁠. 解析：因为a∥b，所以b＝λa（λ∈R）， 即（x＋1）m＋yn＋2p＝3λm－2λn－4λp. 因为向量m，n，p不共面，所以解得 故x＋y＝－. － 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 晶体的基本单位称为晶胞，如图，一个晶胞的形状为平行六面体ABCD- A1B1C1D1，＝a，＝b，＝c，点P在A1C上，且A1P∶PC＝2∶3，则 ＝ ⁠. a＋b＋c 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：因为A1P∶PC＝2∶3，可得＝， 根据空间向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋ （－）＝＋＝＋（＋）＝＋（＋ ）＝＋＋， 又由＝a，＝b，＝c， 所以＝a＋b＋c. 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且 BE＝BB1，DF＝DD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 （1）证明：A，E，C1，F四点共面； 证明：连接AC1（图略）. 因为＝＋＋＝＋＋＋ ＝＋＝＋ ＝＋， 所以，，共面， 又，，过同一点A，所以A，E，C1，F四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）试用，，表示. 解：＝－ ＝＋－ ＝＋－－ ＝－＋＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 8. （2026·浙江温州十校联考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P为 棱AA1，A1D1的中点，设＝a，＝b，＝c. （1）用a，b，c表示； 解：＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）分别用向量法和几何法证明M，P，C1，B四点共面. 解：向量法：＝＋＝2＋2 ＝2（＋）＝2， 故∥，得M，P，C1，B四点共面. 几何法：连接MP，BC1，AD1，易知MP∥AD1，AD1∥BC1， 故MP∥BC1，得M，P，C1，B四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 $