第一章空间向量与立体几何章末总结课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 章末总结 1 体系构建 题型整合 2 体系构建 3 ， 存在唯一 高 中 同 步 课 堂 学 案 4 ，， 高 中 同 步 课 堂 学 案 5 高 中 同 步 课 堂 学 案 6 题型整合 7 题型一 空间向量的概念与运算 例1 （2026山东德州联考）在三棱锥中，，分别是边 ， 的中点，点在线段上，且，则 ( ) C A. B. C. D. [解析] .故选C. 高 中 同 步 课 堂 学 案 8 例2 （2026湖北武汉期中）在空间直角坐标系中，若 ， ，且，则 ( ) D A. B. C. 3 D. [解析] 由，可得，解得 ， 所以 ， 则 ， 所以 .故选D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 9 迁移应用1 （2026河南信阳期中）下列可使非零向量，， 构成空间 的一个基底的条件是( ) B A. B. C. D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 10 [解析] 对于A，因为，所以非零向量，， 共面，不能构 成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以，， ，所 以非零向量，， 不共面，可构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，令，， ，满足 ，但是，所以非零向量，， 共面， 不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，因为，所以，所以非零向量，， 共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.故选B. 高 中 同 步 课 堂 学 案 11 迁移应用2 （2026重庆九校联考）已知空间中的点 ， ， ． （1）求向量与 的夹角； [解析] 由题意得， ， 则， ， ， ， 向量与的夹角为 ． 高 中 同 步 课 堂 学 案 12 （2）若，，求当与 的夹角为锐角时， 实数 的取值范围. [解析] ， ， 与 的夹角为锐角， ，且与 不共线. 由，可得，解得 . 当与共线时，存在实数 ，使得 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 13 即解得 ， 与不共线， . 综上， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 题型二 利用空间向量证明平行、垂直 例3 如图，已知在棱长为2的正方体中，是 的中点. （1）证明：平面 ； 高 中 同 步 课 堂 学 案 15 证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， ， 所以， ， ， 则 ， 又 平面 ， 所以平面 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 16 （2）若在线段上存在点，使得平面 平面 ，试确定 点 的位置. [解析] 设，则 ， 所以 ， 设平面的法向量为 ， 则 取，则 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 17 设平面的法向量为 ， 则 取，则 ， 因为平面 平面 ， 所以，即 ， 解得，所以点与点 重合. 高 中 同 步 课 堂 学 案 迁移应用3 （2026江苏南京期中）已知矩形， ， ，，分别为，的中点，如图1，将沿 折起至 ，使得平面 平面，连接， ，如图2. 图1 图2 高 中 同 步 课 堂 学 案 19 （1）求证： ； 证明：取的中点，连接， ， 由题意，得 ， 则，所以 ， 又平面 平面，平面 平面， 平面 ， 所以 平面 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 20 由，分别为，的中点，得为四边形 的中位线，所以 ， 由，得 ， 则， ， 作 平面，以为原点，，， 所在 直线分别为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，， ， 所以， ， ，故 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 21 （2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求 的 值，若不存在，请说明理由. [解析] 存在.理由如下： 由（1）得，，则 ， ， 设平面的法向量为 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 22 则 取，则 ， 设，，则 ， 所以 ， 所以 ， 由平面，得 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 所以 ， 解得 ， 即，所以 . 所以存在点，使得平面，此时 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 题型三 利用空间向量求空间距离 例4（1）（2026广东广州期中）在长方体 中， ，，，为的中点，则异面直线与 间 的距离为( ) C A. B. C. 1 D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 25 [解析] 以为原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， 所以， ， ， 设与的公垂线的方向向量为 ， 则 高 中 同 步 课 堂 学 案 26 取，则 ， 所以异面直线与 之间的距离 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 （2）（2026安徽池州测试）在棱长为2的正方体 中，，分别为线段，的中点，则直线到平面 的距 离为( ) D A. B. C. 1 D. [解析] 因为， 平面， 平面 ， 所以平面 ， 因此直线到平面的距离等于点到平面 的距离， 高 中 同 步 课 堂 学 案 28 如图，以为坐标原点，，， 所在直线分别 为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系， 则，，， ， 所以 ， ， ， 设平面的法向量为 ， 则 高 中 同 步 课 堂 学 案 29 令，则 ， 故点到平面 的距离 ， 故直线到平面的距离为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 迁移应用4 如图，三棱柱的棱长都为2，且 ， 平面 平面，为棱的中点，为棱 的中点，求： （1）点到直线 的距离； 高 中 同 步 课 堂 学 案 31 [解析] 连接 ， 易得为等边三角形，四边形为菱形，则 为等边三 角形， 取的中点，连接，，则， ， 又平面 平面，平面 平面， 平面 ， 所以 平面，则， ， 所以，， 两两垂直， 高 中 同 步 课 堂 学 案 32 则以为坐标原点，，，所在直线分别为 轴， 轴，轴建立空间直角坐标系 ，如图所示， 则，，， ， ， ， 则，， ， 连接， ， 由 ， 得 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 33 则 ， 则 ， 所以点到直线的距离为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 （2）点到平面 的距离. [解析] 由（1）知，则 ， 设平面的法向量为 ， 则 取，则 ， 又 ， 所以点到平面的距离为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 35 题型四 利用空间向量求空间角 例5 （2024新课标Ⅱ卷，17，15分）如图，平面四边形 中， ，，， ， ，点 ， 满足，.将沿翻折至 ，使得 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 36 （1）证明： ; 证明：由题知，， ， ， ，， ， 又，， 平面 ， 平面 ， 又 平面， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 37 （2）求面与面 所成的二面角的正弦值. [解析] 连接，，， ， ， 又， ， ， ， 又，，， 平面， 平面 ， 又 平面， ， 又， ， ，， 两两垂直， 高 中 同 步 课 堂 学 案 38 以为原点，，， 所在直线分别 为轴，轴， 轴，建立空间直角坐标系， 如图， 则，， ， ， ， ， ， ， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 39 设，分别为平面，平面 的法向量， 则 高 中 同 步 课 堂 学 案 40 令，则 ， 令，则 ， ， ， ， ， 所求正弦值为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 41 迁移应用5 （2026广东广州期中）如图，在四棱锥 中，底面为矩形， 底面 ， ，是 的中点. （1）证明：平面 ； 证明：连接交于点，连接 ， 因为点是的中点，点是的中点，所以 ， 又因为 平面， 平面，所以平面 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 42 （2）求平面与平面 夹角的余弦值； [解析] 以为原点，，，所在直线分别为 轴，轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，则 ， ， 设平面的法向量为 ，则 高 中 同 步 课 堂 学 案 43 令，得 ， 易得平面的一个法向量为 ， 设平面与平面的夹角为 ，则 ， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面 所成角的正弦值 为?若存在，求出 的坐标，若不存在，说明理由. [解析] 存在.由（2）可得 ， ， ， 设， ， 所以 ， 由（2）知平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成的角为 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 45 则， ， 整理得，解得或 ， 当时， ， 则点 ； 当时， ， 则点 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 综上，存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时 的 坐标为或 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 $