专题03 位置与坐标（5知识&6考点&12公式&10高频&5易错&3重难&2模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

专题03 位置与坐标 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(6类) 公式清单(12类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(10类) 易错题型清单(5类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01 确定位置 1.确定位置的基本要求：在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。只用一个数据无法唯一确定平面内点的位置。 2.常见的定位方法： 行列定位法：用“第几行、第几列”表示位置，如电影院座位。 方位角+距离定位法：用“方向角”和“距离”确定位置，如“北偏东 30°，5 km 处”。 经纬度定位法：用经度和纬度确定地球表面某点的位置。 区域定位法：用某个区域名称加编号确定位置，如“A 区 3 排”。 3.有序数对：用含有两个数的有序数对表示位置时，顺序不同表示的位置一般不同。例如， 与 表示不同的位置。 4.学习提示：确定位置的关键是明确参照物和两个独立的数据，这是后续学习平面直角坐标系的基础。 知识点02 平面直角坐标系与点的坐标 1.平面直角坐标系的概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做 轴（横轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做 轴（纵轴），取向上为正方向；两轴交点叫做原点 。 2.象限的划分：两条坐标轴把坐标平面分成四个象限。右上方的为第一象限，按逆时针方向依次为第二象限、第三象限、第四象限。注意：坐标轴上的点不属于任何象限。 3.点的坐标：对于平面内任意一点 ，过 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对应的数 、 分别叫做点 的横坐标和纵坐标，有序数对 叫做点 的坐标，记作 。 4.坐标与点的对应关系：平面内的点与有序实数对一一对应。即每一个点都有唯一的坐标，每一个有序实数对都对应唯一的一个点。 知识点03 点的坐标特征 1.各象限内点的坐标符号： 第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：。 2.坐标轴上的点： 轴上的点：纵坐标为 0，表示为 。 轴上的点：横坐标为 0，表示为 。 原点：坐标为 。 3.平行于坐标轴的直线上的点： 平行于 轴的直线上的点：纵坐标相同。 平行于 轴的直线上的点：横坐标相同。 4.象限角平分线上的点： 第一、三象限角平分线上的点：横坐标与纵坐标相等，即 。 第二、四象限角平分线上的点：横坐标与纵坐标互为相反数，即 。 5.点到坐标轴的距离： 点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 。 知识点04 坐标与轴对称变化 1.关于 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 即点 关于 轴的对称点为 。 2.关于 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 即点 关于 轴的对称点为 。 3.关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。 即点 关于原点的对称点为 。 4.图形的坐标变化：当图形上各点的坐标按某种规律变化时，图形的形状和大小不变，只是位置发生改变。例如，横坐标都加 2，图形整体向右平移 2 个单位。 5.学习提示：判断对称变化时，抓住“谁不变，谁变号”的规律，可以快速写出对称点的坐标。 知识点05 坐标与简单图形面积 1.求线段长度： 若两点在同一条平行于 轴的直线上，则线段长度等于横坐标之差的绝对值。 若两点在同一条平行于 轴的直线上，则线段长度等于纵坐标之差的绝对值。 2.求图形面积： 当三角形的边平行于坐标轴时，可直接以平行于坐标轴的边为底，对应的高为另一点到该直线的距离，用底×高÷2求面积。 当图形不规则时，常用割补法：将图形分割成几个规则图形，或补成一个大的规则图形再减去多余部分。 3.解题一般步骤： ① 在坐标系中描出已知点； ② 观察图形，寻找平行于坐标轴的边或可构造的直角三角形； ③ 计算相关线段长度； ④ 利用面积公式或割补法求出面积。 4.核心思想：坐标法解决几何问题的关键是将点的坐标转化为线段长度，再结合图形面积公式进行计算。 考点01确定位置与平面直角坐标系的概念 考点内容：在平面内，确定物体位置一般需要两个数据（如行列定位、方位角加距离、经纬度等）。平面直角坐标系由两条互相垂直、原点重合的数轴组成（水平的为x轴，竖直的为y轴）。坐标平面被两条坐标轴分成四个象限。 常见考法： ①用有序数对表示实际情境中物体的位置； ②根据点的坐标在坐标系中描出点的位置； ③判断点所在的象限（第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ）； ④识别坐标轴上的点（x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0）。 易错提醒：有序数对 与 表示不同的位置；坐标轴上的点（包括原点）不属于任何象限。横坐标写在前，纵坐标写在后，切勿颠倒。 考点02 坐标系中点的坐标特征与距离 考点内容：点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值。平行于x轴的直线上的点纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 常见考法： ①已知点所在的象限或坐标轴，求字母参数的取值范围； ②求点到坐标轴的距离； ③已知两点所在直线平行于坐标轴，求未知字母的值； ④利用坐标特征解决简单的几何问题。 易错提醒：距离一定是非负数，因此求距离时必须加绝对值，如点 到x轴的距离是 ，不要记反。平行于x轴，是纵坐标相等；平行于y轴，是横坐标相等。 考点03 平面直角坐标系中的对称与平移 考点内容：关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称：横纵坐标均互为相反数。平移规律：左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标）。 常见考法： ①求已知点关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标； ②根据平移的方向和距离，求平移后对应点的坐标； ③已知平移前后的坐标变化，反推图形的平移过程； ④在坐标系中画出经过对称或平移变换后的图形。 易错提醒：对称和平移的规律容易混淆，尤其是关于原点对称与关于某点对称的区别。平移口诀“左减右加，上加下减”只能用于坐标系内的平移，切勿与函数图象平移混淆。 考点04 建立适当的平面直角坐标系描述图形 考点内容：根据已知几何图形的特征，建立合适的平面直角坐标系，并写出图形的顶点坐标。 常见考法： ①给定规则图形（如正方形、长方形、等腰三角形、直角三角形），建立坐标系求各顶点坐标； ②已知图形中部分点的坐标，补全平面直角坐标系，进而求其他点的坐标； ③利用坐标系解决与图形相关的位置描述问题。 易错提醒：建系方式不唯一，但应选择使计算最简便的方式（例如以图形的对称轴为y轴，或以某个顶点为原点，让尽可能多的点落在坐标轴上）。写坐标时注意符号，不要遗漏负号。 考点05 平面直角坐标系中的面积问题 考点内容：利用坐标求图形的面积，通常采用“割补法”或“铅垂法”（底乘高）。已知面积反求动点坐标时，需利用绝对值方程求解。 常见考法： ①求坐标系中三角形或四边形的面积（当图形有边平行于坐标轴时直接计算，无边平行于坐标轴时用割补法）； ②已知图形面积和部分点的坐标，求另一顶点的坐标（常涉及分类讨论）； ③结合动点问题，探究满足特定面积条件的点是否存在。 易错提醒：求面积时，若三角形没有边平行于坐标轴，不能直接用底乘高，需用“割补法”将其转化为容易求的图形（如长方形减去几个直角三角形）。已知面积求点坐标时，注意解可能有多个（绝对值方程通常有两个解），注意分类讨论，不要漏解。 考点06 平面直角坐标系中的规律探究 考点内容：点在坐标系中按一定规律运动（如循环、平移、对称等），探究点的坐标变化规律。 常见考法： ①根据图形或点坐标的变化规律，求第n个点的坐标； ②点的坐标按特定周期循环变化（如每4个一循环、每8个一循环）； ③坐标规律的代数表达（结合图形边长或坐标轴平移）。 易错提醒：找准循环周期是解题关键（通常为4或8）；计算余数时注意整除的情况（余数为0时对应循环节的最后一个点，而不是第0个）。求出坐标后注意检查符号（象限特征）是否符合规律。 序号 名称 公式（坐标语言） 说明 1 平面直角坐标系与象限 点 水平的数轴叫x轴（横轴），竖直的数轴叫y轴（纵轴），交点为原点。两坐标轴将平面分成四个象限（逆时针为一、二、三、四象限）。 2 各象限内点的坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 记忆口诀：一全正，二横负，三全负，四纵负。用于快速判断点所在的象限。 3 坐标轴上点的坐标特征 x轴上：y轴上：原点： 注意：坐标轴上的点不属于任何象限。若点在x轴上，纵坐标为0；若在y轴上，横坐标为0。 4 平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴：纵坐标相同，即 平行于y轴：横坐标相同，即 平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等；平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等。 5 点到坐标轴的距离 点 到x轴的距离为 点 到y轴的距离为 易错点：距离一定是非负数，必须加绝对值符号。注意区分“到x轴的距离”看纵坐标，“到y轴的距离”看横坐标。 6 象限角平分线上的点 第一、三象限角平分线：第二、四象限角平分线： 即横纵坐标相等或互为相反数。如点 在第一或第三象限角平分线上；点 在第二或第四象限角平分线上。 7 关于x轴对称的点的坐标 点 关于x轴对称的点为 口诀：“关于x轴对称，x不变，y变号”。即横坐标不变，纵坐标互为相反数。 8 关于y轴对称的点的坐标 点 关于y轴对称的点为 口诀：“关于y轴对称，y不变，x变号”。即纵坐标不变，横坐标互为相反数。 9 关于原点对称的点的坐标 点 关于原点对称的点为 横坐标、纵坐标均互为相反数。 10 坐标与图形的平移 向右平移 个单位：向左平移 个单位：向上平移 个单位：向下平移 个单位： 记忆口诀：“左减右加，下减上加”。图形的平移等同于图形上所有点按同一规律进行坐标变换。 11 平行于坐标轴的两点间距离 ，，则 ，，则 水平线段长 = 横坐标差的绝对值；竖直线段长 = 纵坐标差的绝对值。 12 两点间距离公式（拓展） ，则 新课标不作强制要求，但可通过构造直角三角形结合勾股定理推导，是解决坐标系综合题的重要工具。 辨析01 确定平面内物体的位置一般需要两个数据，且具有有序性 在平面内确定一个物体的位置，通常需要两个独立的数据（如行与列、方位角与距离、经度与纬度等）。不要误认为一个数据就能确定位置，也不要忽略数据的“有序性”。例如，用（3，2）表示第3列第2行，那么（2，3）表示的就是完全不同的位置。在具体情境中，必须明确这两个数据分别代表什么含义以及先后顺序，不可随意颠倒。 辨析02 平面直角坐标系中，坐标轴上的点不属于任何象限 　平面直角坐标系将坐标平面分为四个象限（第一、二、三、四象限），但x轴和y轴上的点不属于任何象限。不要将原点（0，0）或坐标轴上的点误判为属于某个象限。此外，各象限内点的符号特征必须牢记：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）。已知点所在象限，即可推断其横纵坐标的正负；反之，已知横纵坐标的正负，也可判断点所在的象限。 辨析03点到坐标轴的距离是绝对值，切勿弄反横纵坐标 点 到 x 轴的距离是 （纵坐标的绝对值），到 y 轴的距离是 （横坐标的绝对值）。不要将到 x 轴的距离误记为 。记忆口诀：“到横轴（x轴）的距离看纵坐标，到纵轴（y轴）的距离看横坐标”。在已知距离求坐标时，由于距离是非负数，对应的坐标可能有正负两种情况，必须结合点所在的象限或坐标轴进行取舍，不要漏解。 辨析04 坐标轴上的点的坐标特征，不要与象限内点的特征混淆 　　在 x 轴上的点，其纵坐标一定为 0，坐标可表示为 ；在 y 轴上的点，其横坐标一定为 0，坐标可表示为 。不要将 x 轴上的点写成 。特别地，原点是两条坐标轴的交点，其坐标为 。若已知点 在 x 轴上，则隐含条件为 ；若在 y 轴上，则隐含条件为 。这是解决含有字母参数的坐标问题时最常用的隐含条件。 辨析05 关于坐标轴对称的点的坐标规律，口诀“关于谁对称谁不变” 　关于 x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即 ；关于 y 轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即 。不要将这两条规律记反。可以简记为“关于谁对称，谁的坐标不变，另一个变号”。在作图或求对称点坐标时，务必看清是关于哪条坐标轴（或哪条平行于坐标轴的直线）对称。 辨析06 关于原点对称的点的坐标规律，与关于坐标轴对称区分开 关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数，即 。不要将其与关于 x 轴或 y 轴对称的规律混淆。关于原点对称是“两个坐标都变号”。在图形变换中，中心对称（关于原点对称）与轴对称是完全不同的变换形式，要注意题目中的关键词是“关于原点对称”还是“关于坐标轴对称”。 辨析07 平行于坐标轴的直线上的点，坐标特征需牢记 平行于 x 轴的直线上的所有点，纵坐标都相同；平行于 y 轴的直线上的所有点，横坐标都相同。不要将这两者弄反。例如，若直线 轴，且 ，，则必有 。利用这一特征，可以方便地求解未知字母的值，或者在坐标系中构造矩形、平行四边形等图形。 辨析08 图形的平移与坐标变化规律，注意“左减右加，上加下减” 在平面直角坐标系中，将点 向右平移 个单位长度，得到 ；向左平移 个单位长度，得到 ；向上平移 个单位长度，得到 ；向下平移 个单位长度，得到 。不要将横纵坐标的平移规律弄混。口诀“左减右加（x坐标），上加下减（y坐标）”是核心法则。图形的平移实质上是图形上所有点的平移，因此图形的平移规律与点的平移规律完全一致。 【题型一】用有序数对表示位置 【例1】第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，本届奥运会的口号是“奥运更开放”．如图中字母的位置用数对表示是，字母的位置用数对表示是( )，字母l的位置用数对表示是( )． 【答案】 【分析】根据题意，可知数对中第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，字母的位置用数对表示是， 则字母的位置用数对表示是，字母l的位置用数对表示是． 【变式1-1】中国象棋是中华民族的文化瑰宝．棋盘中“”用数对表示，则“”所在的位置用数对表示是__________；数对表示的是__________的位置． 【答案】 将 【详解】解：由图可知，“马”所在的位置用数对表示为， 数对表示的是“将”的位置． 【变式1-2】将一组数，，，，，，按图中的方法进行排列：                                  …… 若在第2行第3列的位置记为，在第3行第2列的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为__________． 【答案】 【分析】先得出这组数的通项规律，再找出范围内最大的完全平方数得到最大有理数，计算其序号，结合每行6个数的排列规律确定位置． 【详解】解：将这组数统一改写为根号形式，可得规律：第个数为， ∵， ∴这组数中所有数的被开方数最大为， ∵要得到有理数，被开方数需为完全平方数，且，， ∴这组数中最大的有理数， 令， 解得， ∴是第个数， ∵排列中每行有个数， ∴， 即第个数在第行第列，位置记为． 【题型二】用有序数对表示路线 【例2】如图，在的正方形网格（每小格边长为1）内有一只甲壳虫，它爬行的规律总是沿网格线先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．甲壳虫从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线记为：，其中第一个数表示左右爬行，第二个数表示上下爬行． (1)图中（_______，_______），（_______，_______）． (2)若甲壳虫的爬行路线为，计算甲壳虫爬行的路程． (3)若甲壳虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)，，， (2)10 (3)点的位置如图所示： 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接列式进行求解； （3）根据“爬行路线依次为，，，”进行作图即可． 【详解】（1）解：由题意得：图中，． （2）解：，，， 甲壳虫爬行的路程为； （3）略 【变式2-1】如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 【答案】C 【分析】用有序实数对表示位置，依次找到不同的走法． 【详解】解：用数对表示位置，街数记为，巷数记为，街巷记为， 则家的位置为，校的位置为， 从家到校的走法有： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩； 因此共有10种不同走法． 【变式2-2】如下图，一个点在的正方形网格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，规定向上、向右走均为正，向下、向左走均为负．如：从点到点记为，从点到点记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动的距离． (1)图中___________，___________），___________，___________）； (2)若这个点从点到点的行走路线依次为，请在图中标出点的位置； (3)若图中另有两个格点，，且，，则从点到点应记为什么？ 【答案】(1)   (2) 点的位置如图所示． (3)从点到点应记为． 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负可得出结论； （2）根据题意：，如图1； （3）令与对应的横纵坐标相减即可得出． 【详解】（1）解：图中； 故答案为：； （2）略 （3）解：，， ，， 从点到点应记为． 【点睛】本题考查了正数和负数表示的意义，认真理解“向上向右走均为正，向下向左走均为负；第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向”这几句话是关键，明确每一个坐标代表的含义，从而找到对应的点，解决本题的关键是理解题意，明确每一个坐标的对应点． 【题型三】用方向角和距离确定物体的位置 【例3】如图，用方向和距离描述小青家相对于图书馆的位置正确的是（     ） A．北偏东方向处 B．北偏东方向处 C．南偏西方向处 D．南偏西方向处 【答案】C 【分析】根据方向角的定义解答即可． 【详解】解：由图可得，图书馆相对于小青家的位置是北偏东的方向上，相距， ∴小青家相对于图书馆的位置是南偏西，相距． 【变式3-1】据古籍《鹖（hé）冠子》记载：“斗柄东指，天下皆春；斗柄南指，天下皆夏；斗柄西指，天下皆秋；斗柄北指，天下皆冬．”古人通过观察北斗七星斗柄的不同指向就可以确定季节．如图是北斗七星的部分平面模型图． 天玑在天璇的______偏__________方向______处． 【答案】 南 西 3 【分析】根据方向角的定义，以天璇为观测点建立方向坐标系，结合图形中的角度标注确定天玑相对于天璇的方向，根据比例尺和线段上的刻度确定两点间的距离． 【详解】解：由图可知，方向标指示向上为北，则向下为南，向左为西，向右为东， 以天璇为观测点，天玑位于天璇的左下方，即南偏西方向， 图中标注的角表示天璇与天玑连线与正南方向的夹角， ∴方向为南偏西， 观察天璇与天玑之间的线段，该线段被短竖线分为段，根据右下角比例尺可知每段长度为， ∴天璇与天玑之间的距离为， 综上所述，天玑在天璇的南偏西方向处． 故答案为：南，西，3． 【变式3-2】如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置，下列选项中正确的是（     ） A．北偏东方向，距离小青家 B．北偏东方向，距离小青家 C．东偏北方向 D．东偏北方向，距离小青家 【答案】B 【分析】根据方位角的定义，结合图中位置可得答案． 【详解】解：由图知， ∴图书馆相对于小青家的位置是北偏东方向，距离小青家． 【题型四】根据方位描述确定物体的位置 【例4】根据指令（，单位：，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再面向旋转后角度的方向，沿直线行走s个单位，如表示机器人由点运动到点（如图1）． (1)如图2，若机器人从运动到，则机器人收到一个什么指令？ (2)若机器人接到指令运动到点处，请你在图3中画出机器人从到的运动路径． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据图示求解即可； （2）由指令得到先原地逆时针旋转，再面向旋转后的方向，沿直线行走，然后画图即可． 【详解】（1）解：根据题意得，机器人从运动到，收到的指令为； （2）解：如图，即为所求． 【变式4-1】2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，再逐项判断即可． 【详解】解：如图，设与相交于点 则直线与直线垂直，故A正确，不符合题意； 直线与直线平行，故B正确，不符合题意； 点位于点的正西方向，故C错误，符合题意； 点与点之间的距离，故D正确，不符合题意． 【变式4-2】小明从A处出发向北偏东走了，到达B处；小刚也从A处出发、向南偏东走了，到达C处． (1)用表示，画图表示A、B、C三处的位置； (2)用表示方向的角和距离表示A处相对于C处的位置； (3)在图上量出B处和C处之间的距离、求出小明和小刚两人实际相距多少米． 【答案】(1)见解析 (2)A在C处北偏西方向，距离 (3)50米 【分析】（1）根据比例画图即可； （2）根据方位角的表示方法求解即可； （3）由图上测得距离约为，根据表示求解即可． 【详解】（1）解：如图，点A、B、C即为所求； （2）解：∵小刚从A处出发、向南偏东走了，到达C处 ∴A在C处北偏西方向，距离； （3）解：由图上测得距离约为， ∵图上表示， ∴实际BC． 答：B、C实际相距约50米． 【题型五】求点到坐标轴的距离 【例5】在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则P点坐标为________. 【答案】 【详解】解：设， P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4， ，， 点P在第二象限内， ，， 则P点坐标为. 【变式5-1】在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的纵坐标比横坐标大，求的值； (2)若点到轴的距离为，求点的坐标； (3)若点到坐标轴的距离相等，则_________． 【答案】(1)的值为； (2)点的坐标为或； (3)或 【分析】（1）根据题意得，解方程即可求出的值． （2）根据题意得，分类讨论求出的值． （3）根据题意得，分类讨论求出的值． 【详解】（1）解：∵点的纵坐标比横坐标大， ∴， ， ， ， ． （2）解：∵点到轴的距离为， ∴， 或， 当时，解得， ∵点， ∴． 当时，解得， ∵点， ∴． ∴点的坐标为或． （3）解：∵点到坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 当时， 整理得， 解得． 当时， 整理得， 解得． 综上所述，或． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，两点的位置如图所示． (1)写出两点的坐标：_____，_____． (2)已知，请在如图所示的坐标系中标出，两点． (3)点到轴的距离为_____，到轴的距离为_____． 【答案】(1)， (2)解：如图，点C、D即为所求． (3)2，3 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 点到轴的距离为2，到轴的距离为3． 【题型六】判断点所在的象限 【例6】在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：根据平方的性质，任意实数的平方都大于等于0，即， 因此：，即点P的横坐标为正数； 点P的纵坐标为，是负数； 因此，点P的坐标符号为（正，负），符合第四象限内点的坐标符号特征， 所以，点P在第四象限． 【变式6-1】在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据平方的非负性判断纵坐标的正负，再由各象限内点的坐标的符号特征求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， 所以点所在的象限是第二象限． 【变式6-2】已知点在第三象限，那么点在第_____象限，点在第_____象限，点在第______象限． 【答案】 二 四 一 【分析】根据点在第三象限得到，，推出，，再根据各象限内点的坐标符号特征判断三个点的位置． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，， ∴，， ∴点在第二象限，点在第四象限，点在第一象限． 【题型七】已知点所在的象限求参数 【例7】在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点，直线轴，求点的坐标； (2)若点在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求的值． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 【分析】（1）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此求解即可； （2）第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，则，，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： 直线轴，点， ， 解得，此时点的坐标为． （2）解：点在第四象限， ， 解得， 点到轴的距离为，点到轴的距离为． 点到两坐标轴距离之和为9， ， 解得． 【变式7-1】已知点，请解答下列各题： (1)若，且轴，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值 【答案】(1) (2)2023 【分析】（1）根据，且轴，得出点P的横坐标为5，列出关于a的方程，解方程即可； （2）根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，结合第二象限内点的符号特征，列出方程求出a的值，代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：，轴， ， ， ， 点的坐标． （2）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ， ， ． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，将点M到x轴的距离记作，到y轴的距离记作． (1)若，则_______． (2)若，且，求点M的坐标． (3)若点M在第二象限，且（m为常数），求m的值． 【答案】(1)8 (2)点M的坐标为 (3) 【分析】（1）先根据已知条件，求出点M的坐标，然后根据点到坐标轴的距离与点的坐标的关系求出，，从而求出答案即可； （2）先根据已知条件求出和的正负，再根据绝对值的性质求出，，从而列出关于t的方程，解方程求出答案即可； （3）先根据点M的位置求出和的正负，再根据绝对值的性质求出，，从而列出含有m，t的方程，解方程求出答案即可． 【详解】（1）解：， ，， 点M的坐标为， ，， ； （2）解：， ，， ，， ， 解得， ，， 点M的坐标为； （3）解：点M在第二象限， ， ，， ， 解得． 【题型八】实际问题中用坐标表示位置 【例8】“徽园”位于我省合肥市经开区，始建于1999年，占地面积20公顷，是国家级旅游景区，园区内各景点的位置如图所示，若景点“梅公桥”的坐标是． (1)请在网格中画出符合题意的平面直角坐标系； (2)请写出北门及其他景点的坐标． 【答案】(1) (2)北门的坐标；振风塔的坐标；桃花潭的坐标；六安园的坐标；颖亭的坐标 【分析】（1）根据景点“梅公桥”的坐标是先确定原点，进而建立坐标系； （2）根据所建坐标系写出坐标即可； 【详解】（1）略 （2）略 【变式8-1】“徽园”位于我省合肥市经开区，始建于1999年，占地面积20公顷，是国家级旅游景区，园区内各景点的位置如图所示，若景点“梅公桥”的坐标是． (1)请在网格中画出符合题意的平面直角坐标系； (2)请写出北门及其他景点的坐标． 【答案】(1)画出平面直角坐标系如图所示： (2)北门的坐标是，振风塔的坐标是，桃花潭的坐标是，颍亭的坐标是，六安园的坐标是 【分析】（1）根据景点“梅公桥”的坐标是建立平面直角坐标系即可； （2）根据（1）中所建立的平面直角坐标系写出坐标即可． 【详解】（1）解：∵景点“梅公桥”的坐标是， ∴建立平面直角坐标系如图图略． （2）解：由图可得，北门的坐标是，振风塔的坐标是，桃花潭的坐标是，颍亭的坐标是，六安园的坐标是． 【变式8-2】平遥古城是现今中国境内保存最为完整的一座古代县城．如图是其部分景点分布示意图，已知市楼的坐标为，清虚观的坐标为． (1)请根据题目条件，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出城隍庙、县衙、日昇昌、关帝庙的坐标； (3)若点将台的坐标为，请你在图上标出点将台的位置． 【答案】(1)画出平面直角坐标系如答图所示 (2)城隍庙，县衙，日昇昌，关帝庙． (3)点将台的位置如图所示 【分析】（1）根据市楼的坐标为，清虚观的坐标为，即可画出平面直角坐标系； （2）根据（1）中的平面直角坐标系，即可解答； （3）根据点将台的坐标为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型九】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【例9】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 【变式9-1】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规则． 根据平面直角坐标系中点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标；再向下平移1个单位长度，则点的横坐标不变，纵坐标，由此求解即可． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位长度， ∴此时点的坐标为，即， 再向下平移1个单位长度， ∴可得点的坐标为，即， ∴所得点的坐标是． 故答案为： ． 【变式9-2】编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据飞机A确定出平移规律，再求出飞机B的横坐标与纵坐标即可得解． 本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 【详解】解：∵飞机到达时，横坐标加3，纵坐标减3， ∴飞机的横坐标为，纵坐标为， ∴飞机B的坐标为． 故答案为： 【题型十】坐标系中的对称 【例10】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是，则经过第次变换后点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据变化找到坐标的变换规律为每4次变换作为一个循环，据此即可求出答案． 【详解】解：点C的坐标是，第1次关于轴对称得到，第2次关于轴对称得到，第3次关于轴对称得到，第4次关于轴对称得到，…… 由上可知，点的坐标变换每4次作为一个循环， ∵……2， ∴经过第次变换后点C的对应点的坐标与第2次变换后的坐标相同，即为 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，，，．过点作轴的垂线． (1)画出关于轴的轴对称图形； (2)直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； (3)在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为（______，______）（结果用含，的式子表示）． 【答案】(1)如图，为所画； (2)，，； (3)点关于直线的对称点的坐标为 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）写出，，的坐标即可； （3）根据轴对称的性质即可得点P关于直线l的对称点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：根据图形可得，，； （3）解：点的坐标为，即． 【变式10-2】如图，已知的三个顶点分别为：、、． (1)请在图中作出关于y轴对称的图形； (2)写出D，E，F三点坐标； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)如图，就是所求作的三角形 (2)，， (3) 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的对应点D、E、F的位置，然后顺次连接即可； （2）利用（1）中所画图形，进而得出各点坐标即可； （3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：． 【题型一】根据方位描述确定物体的位置 【例1】如图，在正方形网格图中，位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据方位角的含义绘制点的南偏西方向和点西北方向，即可得到答案． 【详解】解：如图，绘制点的南偏西方向：从点的正南方，向西（左）偏转的方向， 绘制点西北方向：从点的正北方，向西（左）偏转，也就是正西和正北的角平分线方向，两直线交于点， ∴位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是点． 易错警示 对于根据方位描述确定物体位置，要明确观测点（原点），分清“北偏东、南偏西”等方向角与距离比例尺，注意方向的相对性，切勿将方位角与夹角混淆。 【变式1-1】春日的四子王旗草原，人影穿梭、一片繁忙，作为“三北”工程六期建设的核心攻坚区，四子王旗正通过灌草结合、封山育草、以工代赈等综合举措，让昔日的沙化草原重新披上绿装．以下能准确描述四子王旗位置的是（   ） A．乌兰察布市的西北方向 B．距离包头249公里 C．北纬，东经 D．与武川县相邻 【答案】C 【详解】解：A选项仅给出方向，缺少其他数据，无法确定准确位置； B选项仅给出距离，缺少其他数据，无法确定准确位置； C选项给出北纬和东经两个确定的数据，可以准确确定四子王旗的位置； D选项仅说明相邻关系，无法确定准确位置． 【变式1-2】小王和小黄周末相约去图书馆，下面是他们的一段对话： 小王：小黄，你到了十字路口后，先向前走500米，再向左转走300米，就到图书馆了，我在图书馆门口等你呢！ 小黄：我按你说的路线走到了家乐福超市，不是图书馆啊？ 小王：你走到家乐福超市是因为你到十字路口后先向西走了，如果你先向北走就能到图书馆了.根据上面两个人的对话记录，小黄现在从家乐福去图书馆的路线是（   ） A．向南直走800米，再向西直走200米 B．向北直走800米，再向东直走200米 C．向南直走200米，再向东直走200米 D．向北直走200米，再向东直走200米 【答案】B 【分析】根据对话结合上北下南左西右东的方位规则，确定三个地点的相对位置，计算路线的方向和距离即可得到结果. 【详解】解：如图，按上北下南左西右东确定方位. ∵小黄走错路线为：到十字路口后先向西走500米，再向左转，面向西时左转方向为向南，再走300米，因此家乐福位于十字路口西侧500米，南侧300米处. ∵正确路线为：到十字路口后先向北走500米，再向左转，面向北时左转方向为向西，再走300米，因此图书馆位于十字路口西侧300米，北侧500米处. ∴南北方向相差米，需向北直走800米，东西方向相差米，需向东直走200米. 因此小黄从家乐福去图书馆的路线是向北直走800米，再向东直走200米. 【题型二】求点到坐标轴的距离 【例2】若点在第三象限，且点到轴、轴的距离分别为3，2，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点在第三象限， 点的横坐标为负，纵坐标为负， 点到轴的距离为3，到轴的距离为2， 点的纵坐标为，横坐标为，即坐标为． 易错警示 对于求点到坐标轴的距离，要牢记“点到x轴的距离=|纵坐标|，到y轴的距离=|横坐标|”，距离恒为非负数，切勿忽略坐标的符号或把横纵坐标颠倒。 【变式2-1】已知为平面直角坐标系内一点． (1)若点P在y轴上，求a的值． (2)若点P在x轴上方，且到x轴的距离为3，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P为 【分析】（1）根据点P在y轴上可得点P的横坐标为0，进行求解即可； （2）根据点P在x轴上方，且到x轴的距离为3可得点P的纵坐标为3，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点P在y轴上，且点P为， ∴ 解得； （2）解：∵点P在x轴上方，且到x轴的距离为3，且点P为， ∴ 解得， ∴， ∴点P为． 【变式2-2】已知点，请分别根据下列条件，直接写出点的坐标： (1)点的纵坐标比横坐标大； (2)点在过点且与轴平行的直线上； (3)点到两坐标轴的距离相等； (4)点到轴的距离为． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据点的纵坐标比横坐标大列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）根据与轴平行的直线上所有点的横坐标相等计算即可得出结果； （3）点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，由此计算即可得出结果； （4）点到轴的距离为纵坐标的绝对值，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点的纵坐标比横坐标大， ∴， 解得， ∴，， ∴此时点的坐标为； （2）解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴此时点的坐标为； （3）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 当时，解得，此时，，即此时点的坐标为， 当时，解得，此时，，即此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （4）解：∵点到轴的距离为， ∴， 当时，解得，此时，即此时点的坐标为， 当时，解得，此时，即此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【题型三】已知两点坐标求两点距离 【例3】阅读下列材料后回答问题： 在平面直角坐标系中，已知x轴上的两点的距离记作，如果是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求A、B间的距离．如图，过A、B两点分别向x轴、y轴作垂线和，垂足分别记作，直线与交于Q点． 在中，，∵， ∴，由此得任意两点之间的距离公式： 如果某圆的圆心为，半径为r．设是圆上任一点，根据“圆上任一点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）”，我们不难得到，即，整理得：．我们称此式为圆心在原点，半径为r的圆的方程． (1)直接应用平面内两点间距离公式，求点之间的距离； (2)如果圆心在点，半径为3，求此圆的方程． (3)方程是否是圆的方程？如果是，求出圆心坐标与半径． 【答案】(1)5 (2) (3)此方程是圆的方程；圆心的坐标为，半径的长为4 【分析】（1）根据两点之间的距离公式计算即可； （2）根据圆的方程的定义列式计算即可； （3）应用配方法得出完全平方，再根据新定义得出结论； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵圆心在点，半径为3， ∴由题意得：， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故此方程是圆的方程；圆心的坐标为，半径的长为4． 易错警示 对于已知两点坐标求距离，要利用横、纵坐标之差的平方和开方（即勾股定理）求解，水平或垂直线段直接用坐标差的绝对值，切勿将横纵坐标差直接相加或忘记开方。 【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知，，是线段上的一个动点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“垂线段最短”，当时最小；先利用，坐标求出面积与斜边长度，再用三角形面积等面积法，列等式求出斜边上的高，此时最小． 【详解】解：，，， ，， 当时，最小，此时，，即， 的最小值为． 【变式3-2】阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如，如图1，，，则． 【直接应用】 (1)已知，，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． (3)直接写出式子：的最小值． 【答案】(1) (2)①；②是直角三角形 (3)13 【分析】（1）根据所给公式计算求解即可； （2）①过点B作轴于点F，可证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理可推出，据此可得答案；求出的长，可证明，据此可得答案； （3）根据题意可得可以看成是平面直角坐标系中点到点的距离和点到点的距离之和，由两点之间线段最短可知，当点，，三点共线时，有最小值，最小值为点和点之间的距离，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①如图所示，过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （3）解： ， ∵可以看成是平面直角坐标系中点到点的距离，可以看成是平面直角坐标系中点到点的距离， ∴可以看成是平面直角坐标系中点到点的距离和点到点的距离之和， 由两点之间线段最短可知，当点，，三点共线时，有最小值，最小值为点和点之间的距离， ∴的最小值为． 【题型四】点坐标规律探索 【例4】如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，可得，再根据规律可得点与的横坐标相同，纵坐标小2，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，，，，……， ∴， ∴， ∵点，，，，……， ∴点与的横坐标相同，纵坐标小2， ∴， ∴点的坐标为． 易错警示 对于点坐标规律探索，要先从特殊点入手找出循环周期，再用“总数÷周期”看余数定位，余数为0时对应周期内最后一个点，切勿数错周期长度或忽略起点。 【变式4-1】找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为， ，，则依图中所示规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知：每隔四个点在一条射线上， ∵， ∴点的坐标与 在一条射线上，即在轴负半轴上， ∵， ，…… 点的坐标为，即． 【变式4-2】如图，小红设置了一个击球小程序，在点处第一次击球到点，第二次击球到点，第三次击球到点，第四次击球到点．按此规律，第次击球到点，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据题意观察坐标变化，找到坐标变化规律即可． 【详解】解：点处第一次击球到点， 第二次击球到点， 第三次击球到点， 第四次击球到点， 观察发现，横坐标每次增加， ∴横坐标的变化规律为，其中为击球次数， 观察纵坐标变化规律，发现击球次数为偶数时，纵坐标为，击球次数为奇数时，纵坐标为， ∴第次击球时，横坐标为， 为偶数， ∴纵坐标为， ∴第次击球到点，的坐标为． 【题型五】坐标与图形变化——轴对称 【例5】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； (2)写出，，三点的坐标：______，______，______； (3)平面内一点关于轴对称的点的坐标为______，点关于轴对称的点的坐标为______； 【答案】(1)如图，即为所求； (2)，， (3)， 【分析】（1）根据轴对称图形的特征画出对应的点，连接成三角形即可； （2）结合坐标系直接写出点的坐标即可； （3）由关于坐标轴对称的点的坐标的特征写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，，，； （3）解：点关于轴对称的点的坐标为；点关于轴对称的点的坐标为． 易错警示 对于坐标与图形轴对称，要牢记“关于x轴对称y变号，关于y轴对称x变号”，图形对称即对应点坐标进行相应变换，切勿把横纵坐标的变号规则记反。 【变式5-1】如图，按照要求解答： (1)请画出关于y轴对称的．（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法） (2)直接写出，，的坐标． (3)求出的面积． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)，， (3) 【分析】（1）分别作出点关于y轴对称的，再顺次连接即可； （2）根据图形在坐标系中的位置，直接写出答案； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的面积 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并直接写出点的坐标________； (2)求的面积________； (3)若点且，求出点P的坐标________． 【答案】(1)关于x轴的对称图形，如图即为所求； 点的坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，依次连接即可； （2）把三角形的面积看成矩形面积减去三个三角形面积即可； （3）根据题意可知，点到距离为，再根据即可列出关于a的方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：图略， 由图可知，点的坐标为； （2）解：； （3）解：∵ ，， ∴， ∵， ∴ 点到距离为， ∵ ， ∴ ， 解得或， ∴ 点P的坐标为或． 【题型一】根据面积求点的坐标 【例1】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点． (1)求的面积； (2)若是轴上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了三角形的面积公式． （1）根据点的坐标求出的长和边上的高得长度，再根据面积公式即可求解； （2）先根据面积公式求出的长，再求点的坐标． 【详解】（1）解：点， ，边上的高为， ． （2）由（1）可得， 则， ， 点的坐标为或． 【变式1-1】如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段AB平移得线段，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图②，点P是坐标轴上的一个动点，当三角形的面积是30时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是，运动过程中直线和交于点N，若三角形的面积等于9，求出点N的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）求出点D坐标，分别讨论当点P在x轴或y轴的情况，以为未知量，以面积为等式构造方程，求出点P坐标即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， 平移到向下平移了单位，向右平移5个单位， 到向下平移了单位， ； （2）解：由（1）， 当点P在y轴上时， ， ， 解得：， 点P的坐标或； 当点P在x轴上时， ， ， 解得：， 点P的坐标为或； 故点P的坐标或或或． （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点，，且，m是64的立方根． (1)直接写出：______，______，______； (2)将线段平移得到线段，点B的对应点是点，点A的对应点是点 ①在图中的平面直角坐标系中，画出平移后的线段，并直接写出点D的坐标； ②若点N在y轴上，且三角形的面积是12，求点N的坐标． 【答案】(1)；5； (2)①如图，线段即为所求． 点D的坐标为 ②点N的坐标为或 【分析】（1）由非负数的性质可得，，则，由立方根的定义可得 （2）①根据平移的性质作图，即可得出答案． ②设点N的坐标为，根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． 本题考查作图-平移变换、非负数的性质：绝对值、非负数的性质：算术平方根、立方根，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：， ，， ， 是64的立方根， 故答案为：；5； （2）解：①由得，，， 线段向右平移4个单位长度，向下平移5个单位长度得到线段， 点D的坐标为 ②设点N的坐标为， 三角形的面积是12， ， 解得或1， 点N的坐标为或 【题型二】根据面积求参数 【例2-1】如图，平面直角坐标系中，A（a,0），B（0,b），C（0，c），， ． （1）求△ABC的面积； （2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A'，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q'，3秒后，A'、C、Q' 在同一直线上，求 m的值； （3）如图3，点D在线段AB上,将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）D（，）. 【分析】（1）根据，，，可求得a=－4，b=2，再根据，求得，可得A(－4，0)，B(0，2)，C（0，-3)，据此求解即可； （2）根据题意可得， ，再根据A'、C、Q' 在同一直线上，有，据此列出方程，求解即可； （3）连接OD、OE，设点D的坐标是（m，n），根据可得 ，则点D的坐标是（，n），根据点 D向右平移4个单位长度得到E点，则有点E坐标是（2n， n），根据列出方程求解即可解决问题. 【详解】解：（1）∵， ，， ∴ ∴a=－4，b=2 ∴， ∴A(－4，0)，B(0，2)，C（0，-3) ∴BC=5， OA=4 ∴ （2）由题意可知：， ∵A'、C、Q' 在同一直线上， ∴ ∴ ∴ ∴ （3）如图3所示，连接OD、OE 设点D的坐标是（m，n） ∵ ∴ ∴ ∴点D的坐标是（，n） ∵点D向右平移4个单位长度得到E点 ∴E（2n，n） ∵ ∴ ∴ ∴ ∴D（，）. 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了点与坐标的关系，非负性的应用，平移的性质，利用等积法求解等知识点，能灵活应用相关知识点是解决本题的关键． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，已知点，且 =0． 　　 (1)直接写出______； (2)如图，线段沿轴正方向以每秒个单位的速度匀速移动至（点的对应点为，点的对应点为，连接、设运动时间为秒，问：是否存在这样的值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图，将线段往右平移个单位长度至（点的对应点为点F），线段与相交于点若在轴上存在点使得，试求出点的坐标． 【答案】(1)4 (2)存在，或 (3)点的坐标为（）或（） 【分析】（1）利用平方，绝对值和算术平方根的非负性，可得出，，的值，根据三角形面积公式可得结论； （2）如图，由题意得：，根据列方程可得的值； （3）先根据方程组的解可得点的坐标，分两种情况：在的左边和右边，根据，列方程可解答． 【详解】（1）， ，，， ，，， ，，， ； 故答案为：； （2）存在， 如图，由题意得：， ， ， 解得：或； （3）由平移得：，， 设的解析式为：， ∴ 解得， 的解析式为：， ，， ∴设的解析式为：， ∴ 解得， 的解析式为：， ， 解得：， ， 设， 分两种情况： 如图，当在的左边时， ， ， 即， 解得：； 当点在的右边时， 同理得：， 解得：； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标系中求三角形面积的方法，平移的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，，，，且      (1)请直接写出点，，的坐标； (2)如图，点在线段上，线段轴，，M、P、Q在一条直线上，点从点出发，沿轴正方向平移，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若，求点的坐标． 【答案】(1) ， (2) (3)， 【分析】（1）根据，解出，，得到，，的坐标； （2）设点，根据直角梯形的面积，，即可求出点的坐标； （3）设，根据点的位置，分类讨论：当点在四边形的内部；当点在四边形的外部，根据，即可求出点的坐标． 【详解】（1）∵， ∴，， 解得，， ∵，，， ∴，，． （2）∵，，， ∴，，， 设， ∴， ∵点在线段上，线段轴， ∴， ∵四边形的面积为：， 四边形的面积为：，， ∴四边形的面积为：， 四边形的面积为：， ∵， ∴， 解得：． ∴点． （3）由（2）得，点 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在四边形的内部， ∵四边形的面积为：， 四边形的面积为：， 四边形的面积为： ∴， ∴， ∴， ∴点；   当点在四边形的外部， ， ∴， ∴， ∴点， 综上所述，点或．    【点睛】本题考查几何变换综合题，解题的关键是掌握实数非负性，三角形的面积公式，梯形的面积公式以及平面直角坐标系． 【题型三】角度之间数量关系问题 【例3】如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．为线段的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． (1)则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ，D点的坐标为　 ． (2)已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．设运动时间为t（）秒．问：是否存在这样的，使；若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 (3)点是线段上一点，满足，点是第二象限中一点，连接，使得．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，请确定，和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)A， ， ； (2)存在， (3) 【分析】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积计算、平行线的性质、三角形的外角性质等，掌握算术平方根、绝对值的非负性、平行线的性质、三角形的外角是解题的关键． （1）根据算术平方根、绝对值的非负性分别求出、，根据线段中点坐标的计算公式求出点坐标； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）过点作，根据平行线的性质得到，证明，得到，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】（1）解： ， ∴，， 解得：，， 点坐标为，点的坐标为， ∵为线段的中点， ∴点坐标为， 故答案为：，，； （2）解：存在，由题意得：，，则， ， ， 解得：， 则时，； （3）解：过点作， 则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)和位置关系是_______； (2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为． ①请分别用含t的式子表示和的面积； ②若，求出点P的坐标； (3)在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)平行； (2)①；②； (3)或 【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键； （1）根据非负数的性质分别求出、，得到点、、的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）①过点作于，设时间经过秒，，则，，，，，根据，，代入即可求解；②根据，由①得，求解得，即可求得、值，从而得出点坐标； （3）分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ，，， ． 故答案为：； （2）解：①过点作于， 设时间经过秒，，则，，，，， ，， ②， 解得，， ， ， 点的坐标为； （3）解：或． 理由如下： ①当点在点的上方时，过点作，如图2所示， ， ，， ， ， ，即； ②当点在点的下方时；过点作如图3所示， ， ，， ， ， ， ， 即， 综上所述，或． 【变式3-2】如图1，以直角三角形的直角顶点为原点，以，所在的直线为轴和轴建立直角坐标系．点，满足，为线段的中点．[说明：在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为] (1)则点坐标为______；点的坐标为______；点坐标为______． (2)已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点向轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发，沿轴正方向以2个单位长度每秒的速度移动，点到达点整个运动随之结束．设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使，若存在，请求出其的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点是线段上一点，满足，点是第二象限中一点，连，使．点是线段上动点，连交于点，当点在线段上运动过程中，的值是否变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) ， ， ； (2)存在， (3) 【分析】（1）根据算术平方根、绝对值的非负性分别求出、，根据线段中点坐标的计算公式求出点坐标； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）过点作，根据平行线的性质得到，证明，得到，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】（1） ， ，， 解得：，， 点坐标为，点的坐标为，点坐标为， 故答案为：，，； （2）存在，由题意得：，，则， ， ， 解得：， 则时，； （3）的值不变， 过点作， 则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积计算、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握算术平方根、绝对值的非负性、平行线的性质是解题的关键． 【题型一】两点距离模型 【模型解读】 【结论1】 证明：如图1，在平面直角坐标系中，已知，则两点之间的距离 ，下面是此公式的推导过程： 如图2，分别过点作轴、轴的平行线交于点，则． 所以． 由轴，轴，可得，所以（依据）． 所以． 【例1】阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 两点之间的距离公式 在平面直角坐标系中，点的坐标是描述位置的重要工具．我们可以通过坐标来探究两点之间的距离公式． 如图1，在平面直角坐标系中，已知，则两点之间的距离 ，下面是此公式的推导过程： 如图2，分别过点作轴、轴的平行线交于点，则． 所以． 由轴，轴，可得，所以（依据）． 所以． 任务： (1)材料中的“依据”是指___________． (2)①已知，求两点间的距离． ②已知平面内三点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)勾股定理 (2)①； ②是直角三角形，理由如下： 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以是直角三角形． 【分析】本题考查勾股定理运用、勾股定理的逆定理． （1）结合阅读材料即可得到答案 （2）①直接由材料中的公式，将坐标代入求解即可得到答案； ②直接由材料中的公式，将代入求解，得出的三边长度，结合勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据阅读材料做法，， 材料中的“依据”是指勾股定理， 故答案为：勾股定理； （2）解：①由题意，得两点间的距离． ②略 【变式1-1】阅读理解：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离 例如： 若点，，则 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知点，， 求A，B两点间的距离； (2)已知点，，， 判断的形状． 【答案】(1) (2)直角三角形 【分析】本题主要考查了两点间距离公式，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据两点间距离公式即可求解； （2）根据两点间距离公式得出，，，再根据勾股定理逆定理，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式1-2】先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内两点坐标，，其两点间距离公式为． 例如：点和的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于轴或平行于轴距离公式可简化成：或 (1)已知，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为3，则，两点的距离为________； (2)线段平行于轴，且，若点的坐标为，则点的坐标是________； (3)已知三个顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)5； (2)或； (3) 是等腰直角三角形，理由如下： 三个顶点坐标为，，， ，， ， ，且，即, 是等腰直角三角形. 【分析】本题考查了两点间距离公式，平行于坐标轴的两点间的距离，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，理解相关知识是解答关键. （1）根据平行于轴的直线的两点的横坐标相同，结合两点间距离公式求解； （2）根据平行于轴的直线的两点的纵坐标相同，结合两点间距离公式求解； （3）先用两点间距离公式分别求出三角形的三条边，再利用等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理来求解. 【详解】（1）解：点的纵坐标为，点的纵坐标为3， 和点的横坐标相等， ，两点的距离为. 故答案为：5； （2）解：线段平行于轴，点的坐标为， 点和点的纵坐标相同， 即点的纵坐标是. ， ， 或， 点的坐标为或； （3）略 【题型二】中点坐标模型 【模型解读】 结论：重心坐标，则有， 证明：如图，在平面直角坐标系中，长方形的面积，重心坐标，即；长方形的面积，重心坐标，即．整个组合图形的重心坐标，则有，，所以，，即整个组合图形的重心坐标为． 【例2】综合与实践 【背景】 物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．我们知道，三角形的重心，就是三角形三条中线的交点．对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算确定，将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再求组合图形的重心位置． 【探究】 如图，在平面直角坐标系中，长方形的面积，重心坐标，即；长方形的面积，重心坐标，即．整个组合图形的重心坐标，则有，，所以，，即整个组合图形的重心坐标为． 【应用】 (1)如图，在平面直角坐标系中，求这个组合图形的重心坐标； (2)如图，建立适当的平面直角坐标系，求“”形角钢横截面的重心坐标（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将组合图形分割为正方形和正方形两部分后，根据素材计算即可； （2）在这个“”形角钢外部建立直角坐标系，将这个“”形角钢分割成长方形和长方形两部分，再根据素材计算即可． 【详解】（1）解：如图，把这个组合图形分割成正方形和正方形两部分， 由图可知，，，，，， ，，， 正方形的面积，正方形的重心坐标，即， 正方形的面积，正方形的重心坐标，即， 组合图形的重心横坐标， 重心纵坐标， 这个组合图形的重心坐标为； （2）解：如图建立如图所示的平面直角坐标系，将这个“”形角钢分割成长方形和长方形两部分， 由图可知，，，，，， ，，，，， 则长方形的面积，长方形的重心坐标，即， 长方形的面积，长方形的重心坐标，即， “”形角钢的重心横坐标， 纵坐标． “”形角钢的重心坐标． 【变式2-1】在探究平面图形的重心时发现：把一个平面图形分割成甲乙两部分，若甲．乙两部分的面积分别为，建立平面直角坐标系，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，如图，若，，以点B为坐标原点，所在直线为x轴，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出平面直角坐标系，根据题意计算甲．乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，利用提供的计算方法，解答即可． 【详解】解：根据题意，画出平面直角坐标系如下： 根据题意，得， ， 即，即， ， 故此“L”形的重心坐标为． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）根据中点坐标公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式建立方程求解即可； （3）分三种情况：与中点重合，与中点重合和与中点重合，根据中点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，为线段的中点， ∴点E的横坐标为，纵坐标为， ∴点E的坐标为； （2）解：设点为的坐标， 由题意得，，， 解得，， ∴点的坐标为； （3）解：设，， ①与中点重合时，则，， ，， ∴； ②与中点重合时，则，， ，， ∴； ③与中点重合时，则，， ，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 技巧 一句话要点 确定平面内点的位置——“有序数对/方位距离”法 确定位置需要两个数据：用有序数对（如排、列）或“方位角 + 距离”表示，两者缺一不可，顺序不能颠倒。 判断点所在象限——“符号特征”速判法 牢记各象限符号规律：一象限（+,+），二象限（-,+），三象限（-,-），四象限（+,-）。 坐标轴上点的特征——“含零”判断法 x轴上的点纵坐标为0（）；y轴上的点横坐标为0（）；原点坐标为（0,0）。 求点到坐标轴的距离——“绝对值”转化法 点 到 x 轴的距离是 ，到 y 轴的距离是 ，到原点的距离是 。 平行于坐标轴的直线——“同坐标”特征法 平行于 x 轴的直线上的点，纵坐标相同；平行于 y 轴的直线上的点，横坐标相同。 象限角平分线上的点——“横纵相等/互为相反数”法 第一、三象限角平分线上的点：横纵坐标相等（）；第二、四象限角平分线上的点：横纵坐标互为相反数（）。 关于坐标轴对称的点——“变号”规律法 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变号（）；关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变号（）。 关于原点对称的点——“双双变号”法 关于原点对称的两个点，横坐标和纵坐标都互为相反数，即 。 坐标系中的平移——“左减右加，下减上加”法 点左右平移改变横坐标（右加左减），上下平移改变纵坐标（上加下减），图形平移时所有点坐标按同一规律变化。 已知两点求水平/垂直距离——“坐标差绝对值”法 水平距离 = ；垂直距离 = ，常用于求坐标轴围成的线段长。 坐标系中求不规则图形面积——“割补/铅垂”法 优先使用“割补法”转化为规则图形，或利用平行于坐标轴的边作底，结合坐标差求高，避免直接硬算。 建立坐标系描述图形——“最优化原点”法 建立坐标系时，尽量以图形的对称中心、某个顶点或交点为原点，使图形上的点坐标大多为正数，简化计算。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 位置与坐标 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(6类) 公式清单(12类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(10类) 易错题型清单(5类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01 确定位置 1.确定位置的基本要求：在平面内，确定一个物体的位置一般需要__________。只用一个数据无法唯一确定平面内点的位置。 2.常见的定位方法： 行列定位法：用“第几行、第几列”表示位置，如电影院座位。 方位角+距离定位法：用“方向角”和“距离”确定位置，如“北偏东 30°，5 km 处”。 经纬度定位法：用经度和纬度确定地球表面某点的位置。 区域定位法：用某个区域名称加编号确定位置，如“A 区 3 排”。 3.有序数对：用含有两个数的有序数对表示位置时，__________。例如， 与 表示不同的位置。 4.学习提示：确定位置的关键是明确参照物和两个独立的数据，这是后续学习平面直角坐标系的基础。 知识点02 平面直角坐标系与点的坐标 1.平面直角坐标系的概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做__________，取向右为正方向；竖直的数轴叫做__________，取向上为正方向；两轴交点叫做__________。 2.象限的划分：两条坐标轴把坐标平面分成四个象限。右上方的为__________，按逆时针方向依次为第二象限、第三象限、第四象限。注意： 。 3.点的坐标：对于平面内任意一点 ，过 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对应的数 、 分别叫做点 的__________和__________，有序数对 叫做点 的坐标，记作 。 4.坐标与点的对应关系：平面内的点与有序实数对一一__________。即每一个点都有唯一的坐标，每一个有序实数对都对应唯一的一个点。 知识点03 点的坐标特征 1.各象限内点的坐标符号： 第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：。 2.坐标轴上的点： 轴上的点：纵坐标为 0，表示为 。 轴上的点：横坐标为 0，表示为 。 原点：坐标为 。 3.平行于坐标轴的直线上的点： 平行于 轴的直线上的点：__________。 平行于 轴的直线上的点：__________。 4.象限角平分线上的点： 第一、三象限角平分线上的点：__________，即 。 第二、四象限角平分线上的点：__________ ，即 。 5.点到坐标轴的距离： 点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 。 知识点04 坐标与轴对称变化 1.关于 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 即点 关于 轴的对称点为 。 2.关于 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 即点 关于 轴的对称点为 。 3.关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。 即点 关于原点的对称点为 。 4.图形的坐标变化：当图形上各点的坐标按某种规律变化时，图形的__________，只是位置发生改变。例如，横坐标都加 2，图形整体向右平移 2 个单位。 5.学习提示：判断对称变化时，抓住“__________，__________”的规律，可以快速写出对称点的坐标。 知识点05 坐标与简单图形面积 1.求线段长度： 若两点在同一条平行于 轴的直线上，则线段长度等于__________。 若两点在同一条平行于 轴的直线上，则线段长度等于__________。 2.求图形面积： 当三角形的边平行于坐标轴时，可直接以平行于坐标轴的边为底，对应的高为另一点到该直线的距离，用__________求面积。 当图形不规则时，常用__________：将图形分割成几个规则图形，或补成一个大的规则图形再减去多余部分。 3.解题一般步骤： ① 在坐标系中描出已知点； ② 观察图形，寻找平行于坐标轴的边或可构造的直角三角形； ③ 计算相关线段长度； ④ 利用面积公式或割补法求出面积。 4.核心思想：坐标法解决几何问题的关键是__________，再结合图形面积公式进行计算。 考点01确定位置与平面直角坐标系的概念 考点内容：在平面内，确定物体位置一般需要两个数据（如行列定位、方位角加距离、经纬度等）。平面直角坐标系由两条互相垂直、原点重合的数轴组成（水平的为x轴，竖直的为y轴）。坐标平面被两条坐标轴分成四个象限。 ①用有序数对表示实际情境中物体的位置； ②根据点的坐标在坐标系中描出点的位置； ③判断点所在的象限（第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ）； ④识别坐标轴上的点（x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0）。 易错提醒：有序数对 与 表示不同的位置；坐标轴上的点（包括原点）不属于任何象限。横坐标写在前，纵坐标写在后，切勿颠倒。 考点02 坐标系中点的坐标特征与距离 考点内容：点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值。平行于x轴的直线上的点纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 ①已知点所在的象限或坐标轴，求字母参数的取值范围； ②求点到坐标轴的距离； ③已知两点所在直线平行于坐标轴，求未知字母的值； ④利用坐标特征解决简单的几何问题。 易错提醒：距离一定是非负数，因此求距离时必须加绝对值，如点 到x轴的距离是 ，不要记反。平行于x轴，是纵坐标相等；平行于y轴，是横坐标相等。 考点03 平面直角坐标系中的对称与平移 考点内容：关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称：横纵坐标均互为相反数。平移规律：左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标）。 ①求已知点关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标； ②根据平移的方向和距离，求平移后对应点的坐标； ③已知平移前后的坐标变化，反推图形的平移过程； ④在坐标系中画出经过对称或平移变换后的图形。 易错提醒：对称和平移的规律容易混淆，尤其是关于原点对称与关于某点对称的区别。平移口诀“左减右加，上加下减”只能用于坐标系内的平移，切勿与函数图象平移混淆。 考点04 建立适当的平面直角坐标系描述图形 考点内容：根据已知几何图形的特征，建立合适的平面直角坐标系，并写出图形的顶点坐标。 ①给定规则图形（如正方形、长方形、等腰三角形、直角三角形），建立坐标系求各顶点坐标； ②已知图形中部分点的坐标，补全平面直角坐标系，进而求其他点的坐标； ③利用坐标系解决与图形相关的位置描述问题。 易错提醒：建系方式不唯一，但应选择使计算最简便的方式（例如以图形的对称轴为y轴，或以某个顶点为原点，让尽可能多的点落在坐标轴上）。写坐标时注意符号，不要遗漏负号。 考点05 平面直角坐标系中的面积问题 考点内容：利用坐标求图形的面积，通常采用“割补法”或“铅垂法”（底乘高）。已知面积反求动点坐标时，需利用绝对值方程求解。 ①求坐标系中三角形或四边形的面积（当图形有边平行于坐标轴时直接计算，无边平行于坐标轴时用割补法）； ②已知图形面积和部分点的坐标，求另一顶点的坐标（常涉及分类讨论）； ③结合动点问题，探究满足特定面积条件的点是否存在。 易错提醒：求面积时，若三角形没有边平行于坐标轴，不能直接用底乘高，需用“割补法”将其转化为容易求的图形（如长方形减去几个直角三角形）。已知面积求点坐标时，注意解可能有多个（绝对值方程通常有两个解），注意分类讨论，不要漏解。 考点06 平面直角坐标系中的规律探究 考点内容：点在坐标系中按一定规律运动（如循环、平移、对称等），探究点的坐标变化规律。 ①根据图形或点坐标的变化规律，求第n个点的坐标； ②点的坐标按特定周期循环变化（如每4个一循环、每8个一循环）； ③坐标规律的代数表达（结合图形边长或坐标轴平移）。 易错提醒：找准循环周期是解题关键（通常为4或8）；计算余数时注意整除的情况（余数为0时对应循环节的最后一个点，而不是第0个）。求出坐标后注意检查符号（象限特征）是否符合规律。 序号 名称 公式（坐标语言） 说明 1 平面直角坐标系与象限 点 水平的数轴叫x轴（横轴），竖直的数轴叫y轴（纵轴），交点为原点。两坐标轴将平面分成四个象限（逆时针为一、二、三、四象限）。 2 各象限内点的坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 记忆口诀：一全正，二横负，三全负，四纵负。用于快速判断点所在的象限。 3 坐标轴上点的坐标特征 x轴上：y轴上：原点： 注意：坐标轴上的点不属于任何象限。若点在x轴上，纵坐标为0；若在y轴上，横坐标为0。 4 平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴：纵坐标相同，即 平行于y轴：横坐标相同，即 平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等；平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等。 5 点到坐标轴的距离 点 到x轴的距离为 点 到y轴的距离为 易错点：距离一定是非负数，必须加绝对值符号。注意区分“到x轴的距离”看纵坐标，“到y轴的距离”看横坐标。 6 象限角平分线上的点 第一、三象限角平分线：第二、四象限角平分线： 即横纵坐标相等或互为相反数。如点 在第一或第三象限角平分线上；点 在第二或第四象限角平分线上。 7 关于x轴对称的点的坐标 点 关于x轴对称的点为 口诀：“关于x轴对称，x不变，y变号”。即横坐标不变，纵坐标互为相反数。 8 关于y轴对称的点的坐标 点 关于y轴对称的点为 口诀：“关于y轴对称，y不变，x变号”。即纵坐标不变，横坐标互为相反数。 9 关于原点对称的点的坐标 点 关于原点对称的点为 横坐标、纵坐标均互为相反数。 10 坐标与图形的平移 向右平移 个单位：向左平移 个单位：向上平移 个单位：向下平移 个单位： 记忆口诀：“左减右加，下减上加”。图形的平移等同于图形上所有点按同一规律进行坐标变换。 11 平行于坐标轴的两点间距离 ，，则 ，，则 水平线段长 = 横坐标差的绝对值；竖直线段长 = 纵坐标差的绝对值。 12 两点间距离公式（拓展） ，则 新课标不作强制要求，但可通过构造直角三角形结合勾股定理推导，是解决坐标系综合题的重要工具。 辨析01 确定平面内物体的位置一般需要两个数据，且具有有序性 在平面内确定一个物体的位置，通常需要两个独立的数据（如行与列、方位角与距离、经度与纬度等）。不要误认为一个数据就能确定位置，也不要忽略数据的“有序性”。例如，用（3，2）表示第3列第2行，那么（2，3）表示的就是完全不同的位置。在具体情境中，必须明确这两个数据分别代表什么含义以及先后顺序，不可随意颠倒。 辨析02 平面直角坐标系中，坐标轴上的点不属于任何象限 　平面直角坐标系将坐标平面分为四个象限（第一、二、三、四象限），但x轴和y轴上的点不属于任何象限。不要将原点（0，0）或坐标轴上的点误判为属于某个象限。此外，各象限内点的符号特征必须牢记：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）。已知点所在象限，即可推断其横纵坐标的正负；反之，已知横纵坐标的正负，也可判断点所在的象限。 辨析03点到坐标轴的距离是绝对值，切勿弄反横纵坐标 点 到 x 轴的距离是 （纵坐标的绝对值），到 y 轴的距离是 （横坐标的绝对值）。不要将到 x 轴的距离误记为 。记忆口诀：“到横轴（x轴）的距离看纵坐标，到纵轴（y轴）的距离看横坐标”。在已知距离求坐标时，由于距离是非负数，对应的坐标可能有正负两种情况，必须结合点所在的象限或坐标轴进行取舍，不要漏解。 辨析04 坐标轴上的点的坐标特征，不要与象限内点的特征混淆 　　在 x 轴上的点，其纵坐标一定为 0，坐标可表示为 ；在 y 轴上的点，其横坐标一定为 0，坐标可表示为 。不要将 x 轴上的点写成 。特别地，原点是两条坐标轴的交点，其坐标为 。若已知点 在 x 轴上，则隐含条件为 ；若在 y 轴上，则隐含条件为 。这是解决含有字母参数的坐标问题时最常用的隐含条件。 辨析05 关于坐标轴对称的点的坐标规律，口诀“关于谁对称谁不变” 　关于 x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即 ；关于 y 轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即 。不要将这两条规律记反。可以简记为“关于谁对称，谁的坐标不变，另一个变号”。在作图或求对称点坐标时，务必看清是关于哪条坐标轴（或哪条平行于坐标轴的直线）对称。 辨析06 关于原点对称的点的坐标规律，与关于坐标轴对称区分开 关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数，即 。不要将其与关于 x 轴或 y 轴对称的规律混淆。关于原点对称是“两个坐标都变号”。在图形变换中，中心对称（关于原点对称）与轴对称是完全不同的变换形式，要注意题目中的关键词是“关于原点对称”还是“关于坐标轴对称”。 辨析07 平行于坐标轴的直线上的点，坐标特征需牢记 平行于 x 轴的直线上的所有点，纵坐标都相同；平行于 y 轴的直线上的所有点，横坐标都相同。不要将这两者弄反。例如，若直线 轴，且 ，，则必有 。利用这一特征，可以方便地求解未知字母的值，或者在坐标系中构造矩形、平行四边形等图形。 辨析08 图形的平移与坐标变化规律，注意“左减右加，上加下减” 在平面直角坐标系中，将点 向右平移 个单位长度，得到 ；向左平移 个单位长度，得到 ；向上平移 个单位长度，得到 ；向下平移 个单位长度，得到 。不要将横纵坐标的平移规律弄混。口诀“左减右加（x坐标），上加下减（y坐标）”是核心法则。图形的平移实质上是图形上所有点的平移，因此图形的平移规律与点的平移规律完全一致。 【题型一】用有序数对表示位置 【例1】第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，本届奥运会的口号是“奥运更开放”．如图中字母的位置用数对表示是，字母的位置用数对表示是( )，字母l的位置用数对表示是( )． 则字母的位置用数对表示是，字母l的位置用数对表示是． 【变式1-1】中国象棋是中华民族的文化瑰宝．棋盘中“”用数对表示，则“”所在的位置用数对表示是__________；数对表示的是__________的位置． 【变式1-2】将一组数，，，，，，按图中的方法进行排列：                                  …… 若在第2行第3列的位置记为，在第3行第2列的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为__________． 【题型二】用有序数对表示路线 【例2】如图，在的正方形网格（每小格边长为1）内有一只甲壳虫，它爬行的规律总是沿网格线先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．甲壳虫从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线记为：，其中第一个数表示左右爬行，第二个数表示上下爬行． (1)图中（_______，_______），（_______，_______）． (2)若甲壳虫的爬行路线为，计算甲壳虫爬行的路程． (3)若甲壳虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【变式2-1】如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 【变式2-2】如下图，一个点在的正方形网格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，规定向上、向右走均为正，向下、向左走均为负．如：从点到点记为，从点到点记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动的距离． (1)图中___________，___________），___________，___________）； (2)若这个点从点到点的行走路线依次为，请在图中标出点的位置； (3)若图中另有两个格点，，且，，则从点到点应记为什么？ 【题型三】用方向角和距离确定物体的位置 【例3】如图，用方向和距离描述小青家相对于图书馆的位置正确的是（     ） A．北偏东方向处 B．北偏东方向处 C．南偏西方向处 D．南偏西方向处 【变式3-1】据古籍《鹖（hé）冠子》记载：“斗柄东指，天下皆春；斗柄南指，天下皆夏；斗柄西指，天下皆秋；斗柄北指，天下皆冬．”古人通过观察北斗七星斗柄的不同指向就可以确定季节．如图是北斗七星的部分平面模型图． 天玑在天璇的______偏__________方向______处． 【变式3-2】如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置，下列选项中正确的是（     ） A．北偏东方向，距离小青家 B．北偏东方向，距离小青家 C．东偏北方向 D．东偏北方向，距离小青家 【题型四】根据方位描述确定物体的位置 【例4】根据指令（，单位：，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再面向旋转后角度的方向，沿直线行走s个单位，如表示机器人由点运动到点（如图1）． (1)如图2，若机器人从运动到，则机器人收到一个什么指令？ (2)若机器人接到指令运动到点处，请你在图3中画出机器人从到的运动路径． 【变式4-1】2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 【变式4-2】小明从A处出发向北偏东走了，到达B处；小刚也从A处出发、向南偏东走了，到达C处． (1)用表示，画图表示A、B、C三处的位置； (2)用表示方向的角和距离表示A处相对于C处的位置； (3)在图上量出B处和C处之间的距离、求出小明和小刚两人实际相距多少米． 【题型五】求点到坐标轴的距离 【例5】在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则P点坐标为________. 【变式5-1】在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的纵坐标比横坐标大，求的值； (2)若点到轴的距离为，求点的坐标； (3)若点到坐标轴的距离相等，则_________． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，两点的位置如图所示． (1)写出两点的坐标：_____，_____． (2)已知，请在如图所示的坐标系中标出，两点． (3)点到轴的距离为_____，到轴的距离为_____． 【题型六】判断点所在的象限 【例6】在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-1】在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-2】已知点在第三象限，那么点在第_____象限，点在第_____象限，点在第______象限． 【题型七】已知点所在的象限求参数 【例7】在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点，直线轴，求点的坐标； (2)若点在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求的值． 【变式7-1】已知点，请解答下列各题： (1)若，且轴，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值 【变式7-2】在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，将点M到x轴的距离记作，到y轴的距离记作． (1)若，则_______． (2)若，且，求点M的坐标． (3)若点M在第二象限，且（m为常数），求m的值． 【题型八】实际问题中用坐标表示位置 【例8】“徽园”位于我省合肥市经开区，始建于1999年，占地面积20公顷，是国家级旅游景区，园区内各景点的位置如图所示，若景点“梅公桥”的坐标是． (1)请在网格中画出符合题意的平面直角坐标系； (2)请写出北门及其他景点的坐标． 【变式8-1】“徽园”位于我省合肥市经开区，始建于1999年，占地面积20公顷，是国家级旅游景区，园区内各景点的位置如图所示，若景点“梅公桥”的坐标是． (1)请在网格中画出符合题意的平面直角坐标系； (2)请写出北门及其他景点的坐标． 【变式8-2】平遥古城是现今中国境内保存最为完整的一座古代县城．如图是其部分景点分布示意图，已知市楼的坐标为，清虚观的坐标为． (1)请根据题目条件，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出城隍庙、县衙、日昇昌、关帝庙的坐标； (3)若点将台的坐标为，请你在图上标出点将台的位置． 【题型九】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【例9】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． 【变式9-2】编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____． 【题型十】坐标系中的对称 【例10】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是，则经过第次变换后点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，，，．过点作轴的垂线． (1)画出关于轴的轴对称图形； (2)直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； (3)在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为（______，______）（结果用含，的式子表示）． 【变式10-2】如图，已知的三个顶点分别为：、、． (1)请在图中作出关于y轴对称的图形； (2)写出D，E，F三点坐标； (3)求三角形的面积． 【题型一】根据方位描述确定物体的位置 【例1】如图，在正方形网格图中，位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 易错警示 对于根据方位描述确定物体位置，要明确观测点（原点），分清“北偏东、南偏西”等方向角与距离比例尺，注意方向的相对性，切勿将方位角与夹角混淆。 【变式1-1】春日的四子王旗草原，人影穿梭、一片繁忙，作为“三北”工程六期建设的核心攻坚区，四子王旗正通过灌草结合、封山育草、以工代赈等综合举措，让昔日的沙化草原重新披上绿装．以下能准确描述四子王旗位置的是（   ） A．乌兰察布市的西北方向 B．距离包头249公里 C．北纬，东经 D．与武川县相邻 【变式1-2】小王和小黄周末相约去图书馆，下面是他们的一段对话： 小王：小黄，你到了十字路口后，先向前走500米，再向左转走300米，就到图书馆了，我在图书馆门口等你呢！ 小黄：我按你说的路线走到了家乐福超市，不是图书馆啊？ 小王：你走到家乐福超市是因为你到十字路口后先向西走了，如果你先向北走就能到图书馆了.根据上面两个人的对话记录，小黄现在从家乐福去图书馆的路线是（   ） A．向南直走800米，再向西直走200米 B．向北直走800米，再向东直走200米 C．向南直走200米，再向东直走200米 D．向北直走200米，再向东直走200米 【题型二】求点到坐标轴的距离 【例2】若点在第三象限，且点到轴、轴的距离分别为3，2，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 易错警示 对于求点到坐标轴的距离，要牢记“点到x轴的距离=|纵坐标|，到y轴的距离=|横坐标|”，距离恒为非负数，切勿忽略坐标的符号或把横纵坐标颠倒。 【变式2-1】已知为平面直角坐标系内一点． (1)若点P在y轴上，求a的值． (2)若点P在x轴上方，且到x轴的距离为3，求点P的坐标． 【变式2-2】已知点，请分别根据下列条件，直接写出点的坐标： (1)点的纵坐标比横坐标大； (2)点在过点且与轴平行的直线上； (3)点到两坐标轴的距离相等； (4)点到轴的距离为． 【题型三】已知两点坐标求两点距离 【例3】阅读下列材料后回答问题： 在平面直角坐标系中，已知x轴上的两点的距离记作，如果是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求A、B间的距离．如图，过A、B两点分别向x轴、y轴作垂线和，垂足分别记作，直线与交于Q点． 在中，，∵， ∴，由此得任意两点之间的距离公式： 如果某圆的圆心为，半径为r．设是圆上任一点，根据“圆上任一点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）”，我们不难得到，即，整理得：．我们称此式为圆心在原点，半径为r的圆的方程． (1)直接应用平面内两点间距离公式，求点之间的距离； (2)如果圆心在点，半径为3，求此圆的方程． (3)方程是否是圆的方程？如果是，求出圆心坐标与半径． 易错警示 对于已知两点坐标求距离，要利用横、纵坐标之差的平方和开方（即勾股定理）求解，水平或垂直线段直接用坐标差的绝对值，切勿将横纵坐标差直接相加或忘记开方。 【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知，，是线段上的一个动点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如，如图1，，，则． 【直接应用】 (1)已知，，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． (3)直接写出式子：的最小值． 【题型四】点坐标规律探索 【例4】如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 易错警示 对于点坐标规律探索，要先从特殊点入手找出循环周期，再用“总数÷周期”看余数定位，余数为0时对应周期内最后一个点，切勿数错周期长度或忽略起点。 【变式4-1】找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为， ，，则依图中所示规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，小红设置了一个击球小程序，在点处第一次击球到点，第二次击球到点，第三次击球到点，第四次击球到点．按此规律，第次击球到点，则点的坐标为_________． 【题型五】坐标与图形变化——轴对称 【例5】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； (2)写出，，三点的坐标：______，______，______； (3)平面内一点关于轴对称的点的坐标为______，点关于轴对称的点的坐标为______； 易错警示 对于坐标与图形轴对称，要牢记“关于x轴对称y变号，关于y轴对称x变号”，图形对称即对应点坐标进行相应变换，切勿把横纵坐标的变号规则记反。 【变式5-1】如图，按照要求解答： (1)请画出关于y轴对称的．（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法） (2)直接写出，，的坐标． (3)求出的面积． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并直接写出点的坐标________； (2)求的面积________； (3)若点且，求出点P的坐标________． 【题型一】根据面积求点的坐标 【例1】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点． (1)求的面积； (2)若是轴上一动点，当时，求点的坐标． 【变式1-1】如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段AB平移得线段，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图②，点P是坐标轴上的一个动点，当三角形的面积是30时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是，运动过程中直线和交于点N，若三角形的面积等于9，求出点N的坐标． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点，，且，m是64的立方根． (1)直接写出：______，______，______； (2)将线段平移得到线段，点B的对应点是点，点A的对应点是点 ①在图中的平面直角坐标系中，画出平移后的线段，并直接写出点D的坐标； ②若点N在y轴上，且三角形的面积是12，求点N的坐标． 【题型二】根据面积求参数 【例2-1】如图，平面直角坐标系中，A（a,0），B（0,b），C（0，c），， ． （1）求△ABC的面积； （2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A'，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q'，3秒后，A'、C、Q' 在同一直线上，求 m的值； （3）如图3，点D在线段AB上,将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，已知点，且 =0． 　　 (1)直接写出______； (2)如图，线段沿轴正方向以每秒个单位的速度匀速移动至（点的对应点为，点的对应点为，连接、设运动时间为秒，问：是否存在这样的值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图，将线段往右平移个单位长度至（点的对应点为点F），线段与相交于点若在轴上存在点使得，试求出点的坐标． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，，，，且      (1)请直接写出点，，的坐标； (2)如图，点在线段上，线段轴，，M、P、Q在一条直线上，点从点出发，沿轴正方向平移，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若，求点的坐标． 【题型三】角度之间数量关系问题 【例3】如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．为线段的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． (1)则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ，D点的坐标为　 ． (2)已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．设运动时间为t（）秒．问：是否存在这样的，使；若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 (3)点是线段上一点，满足，点是第二象限中一点，连接，使得．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，请确定，和的数量关系，并说明理由． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)和位置关系是_______； (2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为． ①请分别用含t的式子表示和的面积； ②若，求出点P的坐标； (3)在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【变式3-2】如图1，以直角三角形的直角顶点为原点，以，所在的直线为轴和轴建立直角坐标系．点，满足，为线段的中点．[说明：在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为] (1)则点坐标为______；点的坐标为______；点坐标为______． (2)已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点向轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发，沿轴正方向以2个单位长度每秒的速度移动，点到达点整个运动随之结束．设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使，若存在，请求出其的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点是线段上一点，满足，点是第二象限中一点，连，使．点是线段上动点，连交于点，当点在线段上运动过程中，的值是否变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【题型一】两点距离模型 【模型解读】 【结论1】 证明：如图1，在平面直角坐标系中，已知，则两点之间的距离 ，下面是此公式的推导过程： 如图2，分别过点作轴、轴的平行线交于点，则． 所以． 由轴，轴，可得，所以（依据）． 所以． 【例1】阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 两点之间的距离公式 在平面直角坐标系中，点的坐标是描述位置的重要工具．我们可以通过坐标来探究两点之间的距离公式． 如图1，在平面直角坐标系中，已知，则两点之间的距离 ，下面是此公式的推导过程： 如图2，分别过点作轴、轴的平行线交于点，则． 所以． 由轴，轴，可得，所以（依据）． 所以． 任务： (1)材料中的“依据”是指___________． (2)①已知，求两点间的距离． ②已知平面内三点，试判断的形状，并说明理由． 【变式1-1】阅读理解：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离 例如： 若点，，则 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知点，， 求A，B两点间的距离； (2)已知点，，， 判断的形状． 【变式1-2】先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内两点坐标，，其两点间距离公式为． 例如：点和的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于轴或平行于轴距离公式可简化成：或 (1)已知，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为3，则，两点的距离为________； (2)线段平行于轴，且，若点的坐标为，则点的坐标是________； (3)已知三个顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 【题型二】中点坐标模型 【模型解读】 结论：重心坐标，则有， 证明：如图，在平面直角坐标系中，长方形的面积，重心坐标，即；长方形的面积，重心坐标，即．整个组合图形的重心坐标，则有，，所以，，即整个组合图形的重心坐标为． 【例2】综合与实践 【背景】 物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．我们知道，三角形的重心，就是三角形三条中线的交点．对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算确定，将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再求组合图形的重心位置． 【探究】 如图，在平面直角坐标系中，长方形的面积，重心坐标，即；长方形的面积，重心坐标，即．整个组合图形的重心坐标，则有，，所以，，即整个组合图形的重心坐标为． 【应用】 (1)如图，在平面直角坐标系中，求这个组合图形的重心坐标； (2)如图，建立适当的平面直角坐标系，求“”形角钢横截面的重心坐标（结果精确到）． 【变式2-1】在探究平面图形的重心时发现：把一个平面图形分割成甲乙两部分，若甲．乙两部分的面积分别为，建立平面直角坐标系，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，如图，若，，以点B为坐标原点，所在直线为x轴，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 技巧 一句话要点 确定平面内点的位置——“有序数对/方位距离”法 确定位置需要两个数据：用有序数对（如排、列）或“方位角 + 距离”表示，两者缺一不可，顺序不能颠倒。 判断点所在象限——“符号特征”速判法 牢记各象限符号规律：一象限（+,+），二象限（-,+），三象限（-,-），四象限（+,-）。 坐标轴上点的特征——“含零”判断法 x轴上的点纵坐标为0（）；y轴上的点横坐标为0（）；原点坐标为（0,0）。 求点到坐标轴的距离——“绝对值”转化法 点 到 x 轴的距离是 ，到 y 轴的距离是 ，到原点的距离是 。 平行于坐标轴的直线——“同坐标”特征法 平行于 x 轴的直线上的点，纵坐标相同；平行于 y 轴的直线上的点，横坐标相同。 象限角平分线上的点——“横纵相等/互为相反数”法 第一、三象限角平分线上的点：横纵坐标相等（）；第二、四象限角平分线上的点：横纵坐标互为相反数（）。 关于坐标轴对称的点——“变号”规律法 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变号（）；关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变号（）。 关于原点对称的点——“双双变号”法 关于原点对称的两个点，横坐标和纵坐标都互为相反数，即 。 坐标系中的平移——“左减右加，下减上加”法 点左右平移改变横坐标（右加左减），上下平移改变纵坐标（上加下减），图形平移时所有点坐标按同一规律变化。 已知两点求水平/垂直距离——“坐标差绝对值”法 水平距离 = ；垂直距离 = ，常用于求坐标轴围成的线段长。 坐标系中求不规则图形面积——“割补/铅垂”法 优先使用“割补法”转化为规则图形，或利用平行于坐标轴的边作底，结合坐标差求高，避免直接硬算。 建立坐标系描述图形——“最优化原点”法 建立坐标系时，尽量以图形的对称中心、某个顶点或交点为原点，使图形上的点坐标大多为正数，简化计算。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $