专题04 一次函数（5知识&9考点&11公式&10高频&9易错&8重难&3模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

专题04 一次函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(6类) 公式清单(11类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(10类) 易错题型清单(9类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 函数的概念与表示方法 1.变量的概念：在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。 2.函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 和 ，并且对于变量 的每一个确定的值，变量 都有唯一确定的值与之对应，那么称 是 的函数，其中 是自变量。判断两个变量是否成函数关系的关键是“唯一确定”。 3.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量取值的全体。常见限制条件： 整式型（如 ）：自变量取全体实数。 分式型（如 ）：分母不为 0，即 。 二次根式型（如 ）：被开方数大于等于 0，即 。 4.实际问题型：必须使实际问题有意义（如人数必须为正整数，时间不能为负）。 函数的三种表示方法：列表法、关系式法（解析式法）、图象法。它们各有优缺点，常常结合使用。 知识点02 一次函数与正比例函数的概念 1.一次函数的概念：若两个变量 、 之间的关系式可以表示成 （、 为常数，且 ）的形式，则称 是 的一次函数。 2.正比例函数的概念：特别地，当一次函数 中 时，即 （），称 是 的正比例函数。 3.两者的关系：正比例函数是一次函数的特殊形式。即正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 4.核心易错点：无论是一次函数还是正比例函数，都必须满足 的条件。若 （如 ），则它不是一次函数，而是一个常函数。 知识点03 正比例函数与一次函数的图象和性质 1.图象的画法：一次函数 的图象是一条直线。画图象时，通常取两个点（如与 轴、 轴的交点）即可；正比例函数 的图象是一条经过原点 的直线，通常取 和 两点画图。 2. 的作用（决定增减性与倾斜方向）： 当 时，直线从左向右上升， 随 的增大而增大。 当 时，直线从左向右下降， 随 的增大而减小。 3. 的作用（决定与 轴的交点）： 直线 与 轴的交点坐标为 。 当 时，直线交 轴于正半轴。 当 时，直线交 轴于负半轴。 当 时，直线过原点。 4.直线经过的象限（结合 、 符号）： ：经过第一、二、三象限。 ：经过第一、三、四象限。 ：经过第一、二、四象限。 ：经过第二、三、四象限。 知识点04 确定一次函数的表达式（待定系数法） 1.求正比例函数表达式：已知图象过原点以外的一点 ，设表达式为 ，代入得 ，解出 即可。 2.求一次函数表达式：已知直线上任意两点坐标，设表达式为 ，将两点坐标代入，得到关于 、 的二元一次方程组，解方程组求出 、 的值，再代回原式。 3.待定系数法的步骤：设（设出函数表达式）→ 代（代入已知点坐标）→ 解（解方程或方程组）→ 写（写出最终表达式）。 4.核心思想：待定系数法体现了方程思想。在解答题中，求出 和 的值后，必须将表达式写出来，不能只写 、 的值。 知识点05 一次函数的实际应用与图象信息 1.图象信息的获取：看懂函数图象的关键是抓住交点（表示两个函数值相等或相遇）、转折点（表示状态发生改变）以及截距（如 轴截距表示起始量， 轴截距表示某量为 0 时的状态）。 2.实际问题中的建模：将实际问题中的变量关系抽象为一次函数模型。建立解析式时，通常用待定系数法或根据题意直接列等量关系式。 3.最优化问题（方案选择）：比较两种方案的优劣，通常转化为比较两个一次函数值的大小。利用解不等式（如 时 的取值范围）来确定在什么范围内选择哪种方案更划算。 4.分段函数初步：在实际问题中，若在不同范围内收费标准或变化规律不同，函数图象会呈现折线状。此时需要分段求出解析式，并标明每一段对应的自变量取值范围。 考点01 函数的概念及自变量的取值范围 考点内容：在某个变化过程中，有两个变量 和 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应，那么称 是 的函数， 是自变量。函数的表示方法有：列表法、图象法、关系式法。 常见考法： ①判断两个变量之间是否具有函数关系（核心是看“唯一对应”）； ②求函数自变量的取值范围（整式型全体实数；分式型分母不为0；二次根式型被开方数大于等于0；实际问题需符合实际意义）； ③求给定自变量的值对应的函数值（代入求值），或已知函数值求自变量； ④从图象中获取信息，判断函数关系或解决实际问题。 易错提醒：函数概念中“唯一对应”是关键，如 中 不是 的函数（一个 对应两个 ）。求自变量取值范围时，若函数关系式中同时包含分式和二次根式，需同时满足两个条件（如 ，需 且 ）。 考点02 一次函数与正比例函数的概念 考点内容：若两个变量 之间的关系可以表示成 （ 为常数，）的形式，则称 是 的一次函数。特别地，当 时，称 （）为正比例函数。 常见考法： ①判断给定的函数是否为一次函数或正比例函数； ②根据定义求解析式中的待定字母系数（如已知 是一次函数，求 的取值范围）； ③根据实际问题列出一次函数或正比例函数关系式； ④根据 的值判断函数的类型。 易错提醒：一次函数中 是隐含且必须满足的条件，解题时若题目给出如 是一次函数，不仅要关注 的次数为1，千万不要漏掉 这个条件。正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 考点03 一次函数的图象与性质 考点内容：一次函数 的图象是一条直线。当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小。 决定直线与 轴交点的位置（交点为 ）。 常见考法： ①画出一次函数的图象（通常采用“两点法”，取与坐标轴的交点作图）； ②根据 的符号判断直线所经过的象限（口诀：正右斜、负左斜；正上移、负下移）； ③根据直线所经过的象限反推 的符号； ④利用增减性比较函数值的大小，或求参数的取值范围。 易错提醒： 和 的符号组合决定了直线经过的象限，如 时经过第一、三、四象限，注意不要死记硬背，画个草图最稳妥。利用增减性比较函数值时，务必确认点是否在同一象限或直接利用代数大小比较。 考点04 用待定系数法求一次函数解析式及图象平移 考点内容：先设出函数解析式（如 ），再根据已知条件（如两对对应值或图象上两个点的坐标）列出方程（组），求出待定系数，从而得到解析式，这种方法叫待定系数法。一次函数图象平移规律：上加下减（只改变 的值），左加右减（只改变 的值，北师大八上重点掌握上下平移）。 常见考法： ①已知直线经过两个已知点，求解析式； ②已知直线与某已知直线平行，且经过某点，求解析式（平行则 值相同）； ③已知直线的平移方向和距离，求平移后的解析式，或由平移前后的解析式反推平移过程； ④结合坐标系中的图形面积求解析式。 易错提醒：待定系数法求解析式时，最后一定要把 的值代回并写出完整的解析式（ 的形式）。平移规律“上加下减”是指整个函数值加减（即常数项 变化），千万不要和点的平移规律混淆。 考点05 一次函数与方程、不等式的关系 考点内容：一次函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 的解；两条直线的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解；图象在 轴上方的部分对应的 范围，就是不等式 的解集。 常见考法： ①求一次函数图象与 轴、 轴的交点坐标； ②根据图象直接写出不等式 或 的解集； ③利用图象法解二元一次方程组（找出交点坐标）； ④比较两个一次函数值的大小时，根据图象的高低确定自变量的取值范围。 易错提醒：看图写不等式解集时，要特别注意“空心点”和“实心点”（包含与不包含）。在比较两个函数值大小时（如 ），要寻找图象中直线 在直线 上方的部分，并对应 轴的取值范围。 考点06 一次函数的实际应用与图象信息题 考点内容：将实际问题转化为一次函数模型，利用一次函数的性质（增减性）求最值，或进行方案选择。常见的有行程问题、销售利润问题、水电费分段计费问题等。 常见考法： ①建立一次函数模型解决实际生活中的分段计费、最优方案等问题； ②从函数图象（折线图）中读取信息，理解每一段折线表示的实际意义，求出各段函数的解析式； ③利用一次函数的增减性，在限制自变量的取值范围内求最大利润或最小成本； ④行程问题中的相遇、追及问题（两直线交点表示相遇） 易错提醒：实际问题中，自变量的取值范围往往有限制（如人数必须为正整数，时间不能为负等），求最值时一定要在允许的取值范围内进行。读图时，务必看清横轴和纵轴分别代表什么物理量及单位，特别注意图象的起点、拐点和终点的实际含义。 序号 名称 公式（代数与图象语言） 说明 1 一次函数的定义 （，为常数） 若两个变量间的关系式可以表示成的形式，则称是的一次函数。注意：是必要条件。 2 正比例函数的定义 （） 当一次函数 中 时，称为正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。 3 正比例函数的图象与性质 图象是过原点 的直线。当 时，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当 时，图象经过第二、四象限，随的增大而减小。 决定直线的倾斜方向和增减性。越大，直线越陡。 4 一次函数 的增减性 当 时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小。 一次函数的增减性只与 的正负有关，与 无关。 5 一次函数图象与坐标轴的交点 与 轴交点：令 ，得 与 轴交点：令 ，得 叫做直线在 轴上的截距。 交于正半轴， 交于负半轴， 过原点。 6 一次函数图象经过的象限 当 时，过第一、二、三象限；当 时，过第一、三、四象限；当 时，过第一、二、四象限；当 时，过第二、三、四象限。 结合 （倾斜方向）和 （与y轴交点位置）画草图记忆，切忌死记硬背。 7 待定系数法求解析式 设 代入两点坐标 解方程组求 写出解析式 求一次函数解析式最常用的方法。因为一次函数有两个待定系数 ，所以需要已知直线上两个点的坐标。 8 图象的平移规律 平移 个单位：向上平移：向下平移：向左平移：向右平移： 口诀：“上加下减（在 上加减），左加右减（在 上加减）”。平移不改变 的值，即平移前后两直线平行。 9 一次函数与一元一次方程 直线 与 轴交点的横坐标，即为方程 的解。 数形结合：解方程就是找图象与 轴（）交点的横坐标。 10 一次函数与二元一次方程组 两条直线 与 的交点坐标 ，即为方程组 的解。 两条直线的交点，就是同时满足两个解析式的点。若两直线平行（ 且 ），则方程组无解。 11 一次函数与不等式 的解集：直线在 轴上方部分对应的 取值范围； 的解集：直线在 轴下方部分对应的 取值范围。 根据图象直观写出不等式的解集，遵循“看交点，分左右，定上下”的原则。 辨析01 确定函数自变量的取值范围，需综合考虑多种限制条件 　　在求函数自变量的取值范围时，要保证函数关系式有意义且符合实际意义。不要漏掉隐含的限制条件；若函数关系式中含有分式，则分母不能为0；若含有二次根式，则被开方数必须大于等于0；若含有零指数幂或负整数指数幂，底数不能为0。此外，在实际问题中，自变量的取值还必须使实际问题有意义（如边长、时间不能为负数等），切忌仅从解析式的角度考虑而忽略实际背景。 辨析02 一次函数与正比例函数的关系：正比例函数是一次函数的特例 　一次函数的一般形式为 （ 为常数，），而正比例函数的一般形式为 （ 为常数，）。不要将两者混淆；正比例函数是当一次函数中 时的特殊情况。切记“”是一次函数和正比例函数定义中不可或缺的前提条件，若 ，则 （常函数），就不再是一次函数了。 辨析03一次函数图象的性质由 的符号共同决定，切勿记混 在一次函数 中， 决定直线的倾斜方向与函数的增减性：当 时， 随 的增大而增大（直线从左向右上升）；当 时， 随 的增大而减小（直线从左向右下降）。 决定直线与 轴的交点位置：当 时，交于 轴正半轴；当 时，交于 轴负半轴；当 时，交于原点。不要仅凭 的符号判断图象经过的象限，必须将 和 结合起来分析（例如 时图象经过第一、二、三象限）。 辨析04 一次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减” 一次函数图象的平移规律，口诀是“左加右减（针对自变量 ），上加下减（针对整体函数值 ）”。不要将横向平移和纵向平移的加减位置弄反。例如，将直线 向左平移 个单位（），解析式变为 ；向右平移 个单位，解析式变为 ；向上平移 个单位，解析式变为 ；向下平移 个单位，解析式变为 。平移前后 值保持不变，两直线平行。 辨析05 用待定系数法求解析式，确定条件数量不可少 求一次函数解析式通常使用待定系数法。不要混淆所需已知点的个数；由于一次函数 中有 和 两个待定系数，因此通常需要已知图象上的两个点的坐标，代入解析式构建二元一次方程组求解。而正比例函数 只有一个待定系数 ，因此只需一个点（非原点）即可确定解析式。若题目已知直线与 轴的交点或与另一条平行直线的关系，则可能只需一个坐标即可直接得出 或 的值。 辨析06 一次函数与坐标轴的交点坐标求法，切勿将坐标轴弄反 求一次函数 的图象与坐标轴的交点坐标时，不要将 轴和 轴的代入方法弄反。求与 轴的交点（即横轴交点），必须令 ，解出 ，交点坐标为 ；求与 轴的交点（即纵轴交点），必须令 ，解出 ，交点坐标为 。特别注意，图象与 轴的交点纵坐标恰好是 的值。在计算一次函数图象与两坐标轴围成的三角形面积时，底和高分别是交点的横坐标和纵坐标的绝对值，切记面积不能为负数。 辨析07 一次函数与方程、不等式的关系（数形结合） 　　一次函数图象与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程组有紧密联系，需掌握“数形结合”思想。不要将图象与代数式的对应关系搞错；函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程 的解；当图象在 轴上方时，对应的自变量 的取值范围就是不等式 的解集。两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。解题时，要学会从图象的上下位置和交点位置直接读取答案。 辨析08 实际应用中的分段函数与方案选择，必须关注自变量取值范围 　　在解决带有图象的实际问题（如行程问题、阶梯收费、方案选择）时，不要忽略自变量的取值范围。当情境发生变化（如收费标准改变）时，函数往往是一个分段函数。解题时，必须准确找出每一段的边界点（自变量分界点），分别求出各段的函数解析式。进行方案比较时（如比较两种收费方式哪个更划算），本质上就是比较两个一次函数值的大小，通常通过求交点坐标，结合图象或不等式来分类讨论得出最优方案。 【题型一】函数的概念 【例1】下列各曲线中表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．据此逐项判断即可得出结论． 【详解】解：A、对于一部分自变量x的值，y有两个值与之相对应， 故y不是x的函数； B、对于一部分自变量x的值，y有三个值与之相对应，故 y不是x的函数； C、对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，故 y是x的函数； D、对于一部分自变量x的值，y有两个值与之相对应， 故y不是x的函数． 【变式1-1】下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查函数的定义．根据函数的定义，在某个变化过程中，有两个变量，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，都有唯一确定的值和它对应，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项中，对于范围内的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，故是的函数； 选项中，对于范围内的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，故是的函数； 选项中，对于范围内的每一个确定的值，对应的值不具有唯一性，故不是的函数； 选项中，对于范围内的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，故是的函数． 【变式1-2】下列曲线中，能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义逐一判断即可． 【详解】解：根据函数定义，是的函数当且仅当：对每一个值，有且仅有一个值与之对应． 选项，存在某些时 ，固定的值有多个相对应，不满足函数定义，不符合题意． 选项，固定的值只有一个相对应，满足函数定义，符合题意． 选项，对于时 ，固定的值有两个相对应，不满足函数定义，不符合题意． 选项，当时 ，有两个相对应，不满足函数定义，不符合题意． 【题型二】求自变量的值或函数值 【例2】在中，如果，那么________． 【答案】0.5 【分析】将代入给定的一次函数解析式，计算即可得到的值． 【详解】解：把代入，得． 【变式2-1】已知函数，当时，函数y的值为（   ） A．15 B．9 C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，函数 【变式2-1】已知二次函数，当x的值为时，对应的函数值为___________． 【答案】 【分析】将代入二次函数解析式计算，即可得到对应函数值． 【详解】解：把代入，得， ∴当x的值为时，对应的函数值为． 【题型三】函数的三种表示方法 【例3】在用表达式和图象这两种方式表达玩具车以的速度匀速行驶的过程时，得到了表达式和如图所示的函数图象． (1)请从图象上任意找出5个点，并写出这5个点的坐标． (2)说明（1）中得到的5个点的坐标均可使表达式成立． (3)任意写出满足表达式的三个有序正数对，说明分别以这三个有序正数对为坐标的三个点都在函数图象上． 【答案】(1)如图所示， 五个点的坐标为、、、、 (2)当时，，故点使得表达式成立； 当时，，故点使得表达式成立； 当时，，故点使得表达式成立； 当时，，故点使得表达式成立； 当时，，故点使得表达式成立． (3)有序数对：、、， 将点、、描在图中， 如下图： 由图可知三个点在函数图象上．三个点在函数图象上． 【分析】（1）先在图象上描出五个点，然后写出来即可，本题答案不唯一； （2）将（1）中各个点的横坐标代入函数解析式，即可解答本题； （3）本题答案不唯一，只要写出三个正数对即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式3-1】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式． 【详解】解：观察表格数据可知， 当时，，即弹簧原长为，且x每增加，y增加， ∴弹簧总长与所挂重物之间的关系式为． 【变式3-2】下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 【题型四】函数解析式 【例4】在长方形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度运动（点不与点重合）；点是边上任意一点．设点的运动时间为，三角形的面积为，则关于的函数表达式为：__________． 【答案】 【分析】由题意得，，则，再由三角形面积公式即可建立关系式． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是长方形， ， ∴之间的距离相等，都等于， ． 【变式4-1】已知等腰三角形的周长为20，则它的底边长关于腰长的函数解析式是_______________（不要求写自变量的取值范围）． 【答案】/ 【分析】根据等腰三角形周长列等式，整理即可得到函数解析式． 【详解】解：等腰三角形的周长为20，腰长为，底边长为， 周长满足等式， 移项整理，得． 【变式4-2】某饮品店售卖自制冰粉，销售利润（元）与售出份数（份）的关系如表所示： /份 0 10 20 30 40 … /元 0 … 由表可知，与的关系式为__________． 【答案】 【分析】由表格数据可得：销售份数每增加10份，销售利润增加40元，当售出0份时，销售利润为元，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：销售份数每增加10份，销售利润增加40元，当售出0份时，销售利润为元， ∴与的关系式为． 【题型五】从函数的图象获取信息 【例5】暖水镇坐拥温泉资源，是汝城知名文旅小镇．甲、乙两人沿同一路线从汝城县城匀速前往暖水镇，两地路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙两人同时出发 B．甲的速度是 C．乙的速度是 D．甲比乙晚到 【答案】D 【详解】解：A、由图象可知，甲出发时间为，乙出发时间为，所以甲、乙两人不是同时出发，A选项错误； B、甲的速度为，B选项错误； C、乙的速度为，C选项错误； D、甲到达时间为，乙到达时间为，甲比乙晚到，D选项正确． 【变式5-1】如图1，在长方形中剪去一个小长方形，动点从点出发，沿的路线绕多边形匀速运动到点时停止，三角形的面积随着点的运动路程变化的函数图象如图2所示，则的长为（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据函数图象获得线段的长度以及三角形的面积，然后利用长方形的性质得出相等的线段，最后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：由函数图象可知，， ∵四边形和四边形为长方形， ∴，， 由函数图象可知，当点与点重合时， ， 解得， ∴． 【变式5-2】小明周末到离家一定距离的图书馆阅读学习，在图书馆阅读学习一段时间后，小明先以的速度原路返回，行走后在一文具超市停留，然后以返回开始时的速度回到家里，设小明从家出发到返回家中所用时间为，离家的距离为，y与x的函数图象如图所示．下列结论中：①图书馆离小明家；②小明在图书馆的阅读学习时间为；③小明原路返回的平均速度为；④若小明是离开图书馆原路返回，则他在可到家．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据题意结合图象，获取信息，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，图书馆离小明家；故①正确； 小明在图书馆的阅读学习时间为；故②正确； 超市到家的距离为， 故小明从超市到家所需时间为， ∴小明从图书馆到家共用了， ∴小明原路返回的平均速度为；故③正确； 若小明是离开图书馆原路返回，则他在可到家．故④正确； 综上：正确的有4个. 【题型六】根据一次函数的定义求参数 【例6】已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 【答案】(1)，为任意实数时，是的一次函数； (2)当，时，是的正比例函数 【分析】本题根据一次函数和正比例函数的定义求解． 先根据一次函数“的次数为1且的系数不为0”的要求列出条件，求解得到的值，无限制；再根据正比例函数的定义，在一次函数条件的基础上增加常数项为0的条件，求解得到的值即可． 【详解】（1）解：若是的一次函数，需满足 由得， 解得或 由得 因此，此时可以为任意实数 即当，为任意实数时，是的一次函数． （2）解：若是的正比例函数，需满足 解得 即当，时，是的正比例函数． 【变式6-1】若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义得出且，然后求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴，解得， ， ， ． 【变式6-2】若函数是正比例函数（为常数），则的值为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，函数的常数项为0，一次项系数不为0，据此列等式求解即可． 【详解】解：∵ 正比例函数的一般形式为（，为常数），即常数项为，一次项系数不为， 又是正比例函数， ∴，且一次项系数， ∴． 【题型七】列一次函数解析式并求值 【例7】如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 【答案】(1)124 (2) (3) 【分析】（1）观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少，由此计算即可得出结果； （2）由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少，由此即可得出结果； （3）设双层部分的长度为，则单层部分长度为，根据背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少， ∴； （2）解：由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少， ∴， 即与之间的关系式为． （3）解：设双层部分的长度为，则单层部分长度为， 背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和， ， 解得， 故此时双层部分的长度． 【变式7-1】一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为． (1)写出用表示的函数表达式． (2)当时，求的值． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据长方体体积公式求解即可； （2）把代入（1）中表达式，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为， ∴． （2）解：∵，， ∴． 【变式7-2】用函数解析式表示下列问题中y与x的关系： (1)一个长方体的长为，宽为，高为，体积为； (2)某水箱有水，以的速度开始往外放水，放水时间为，剩余水量为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方体的体积公式，解答即可； （2）根据剩余水量等于原有水量减去放出的水量，放出水量等于放水的速度乘以时间，求解即可． 【详解】（1）解：根据长方体的体积公式，得 ． （2）解：根据题意，得． 【题型八】正比例函数的性质 【例8】已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)已知图象上的两点，，如果，比较，的大小 【答案】(1) (2) 点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上. (3) 【分析】（）根据点的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数的表达式； （）分别代入及，求出与之对应的值，对比点的纵坐标即可得出结论； （）根据正比例函数的性质：由，随的增大而减小，即可得出． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象过点， ∴把，代入解析式得：， 解得， ∴函数表达式为； （2）解：：把代入，得，，因此点不在图象上； 对点：把代入，得，计算结果和点的纵坐标相等，因此点在图象上； ∴点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上； （3）解：∵正比例函数中，比例系数， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴对应的函数值满足． 【变式8-1】已知关于的函数，且该函数是正比例函数． (1)求的值； (2)若点，在该函数的图象上，请比较，的大小关系． 【答案】(1)的值为 (2) 【分析】（1）根据正比例函数定义建立等式与不等式求解，即可解题； （2）根据（1）得到正比例函数解析式，再根据正比例函数性质分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ，         解得， 的值为； （2）解：由（1）中，得，                         ， 随的增加而减少，                                 ， ． 【变式8-2】已知关于的函数． (1)当为何值时，函数为正比例函数？ (2)当为何值时，随的增大而减小？ (3)当为何值时，函数的图像经过点？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正比例函数中的求解即可； （2）根据正比例函数中的时，随的增大而减小求解即可； （3）将点代入中求解即可． 【详解】（1）解：∵函数为正比例函数， ∴，解得； （2）解：∵函数中，随的增大而减小， ∴，解得； （3）解：∵函数的图像经过点， ∴将点代入函数中，得， 解得． 【题型九】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【例9】已知一次函数， (1)当值为何值时，该函数为正比例函数； (2)当值为何值时，一次函数的图象与轴交于； (3)当值为何值时，一次函数的图象与轴交于负半轴； (4)当值为何值时，一次函数随的增大而增大； (5)当值为何值时，一次函数的图象经过一、二、四象限． 【答案】(1) (2) (3)且 (4) (5) 【分析】（1）由函数为正比例函数时可得，据此求解即可； （2）把代入函数解析式，得关于的方程，求解方程即可； （3）由题意可得，据此即可求出的取值范围即可； （4）根据一次函数的性质得到，然后解不等式即可； （5）若一次函数的图象经过一、二、四象限，可知且，由此列不等式可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数是正比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数的图象与轴交于， ∴， 解得：； （3）解：∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， 解得：且； （4）解：∵一次函数随的增大而增大， ∴， 解得：； （5）解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴， 解得，     ∴当时，该一次函数的图象经过一、二、四象限． 【变式9-1】一次函数和（，均为不等于0的常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在选项中标出对应的、，判断的取值范围，再做比较即可． 【详解】选项A，如图，在中，，，在中，，，即，前后一致，故符合题意； 选项B，如图，在中，，，在中，，，即，前后矛盾，故不符合题意； 选项C，如图，在中，，，在中，，，即，前后矛盾，故不符合题意； 选项D，如图，在中，，，在中，，，即，前后矛盾，故不符合题意． 【变式9-2】在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) 如图，直线即为所求， 图象经过第一和第三象限 (2) 如图，直线即为所求， 图象经过第一、第三和第四象限 (3) 如图，直线即为所求， 图象经过第一、第二和第三象限 【分析】本题主要考查了画一次函数的图象，判断图象经过的象限，解题的关键是掌握描点法． （1）根据正比例函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定点的坐标，然后作经过原点和该点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （2）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （3）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴过原点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一和第三象限； （2）解：当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第三和第四象限； （3）解：当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第二和第三象限； 【题型十】分配方案问题（一次函数的实际应用） 【例10】某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【答案】(1)（x为正整数），（x为正整数） (2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二．理由如下: ①当时，，解得， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ②当时，，解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ③当时，，解得， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出，关于的函数解析式； （2）分别列出、、三种关系式求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得关于的函数解析式为（为正整数）， 关于的函数解析式为（为正整数）； （2）略 【变式10-1】A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2) (3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元 【分析】（1）用A城的肥料减去A城运往C乡的肥料即可得到答案； （2）分别表示出从B城运往C乡的肥料和从B城运往D乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为； （2）解：从B城运往C乡的肥料为， 从B城运往D乡的肥料为， ∴ （3）解：的一次项系数为， 随的增大而增大，    又 当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元． 【变式10-2】某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． 【答案】(1)方案一：；方案二：当时，；当时， (2)选方案一更划算 【分析】（1）根据两个方案中的燃油计费规则分别写出函数解析式即可； （2）分别求出当时的燃油费用，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，方案一：． 方案二：分段计费，分两种情况： 当时，； 当时，； （2）解：当时， ，， ， ∴选方案一更划算． 【题型一】函数解析式 【例1】在物理学中，导线的电阻与温度之间存在函数关系，下表记录了温度（单位：）与某种金属导体的电阻（单位：）的部分对应数据，则与之间的函数关系可能是（     ） 温度 5 10 20 35 电阻 101 102 104 107 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将温度值分别代入函数关系式逐一验证排除即可． 【详解】解：将分别代入四个选项，所得值均为101，与表格数据一致． 将代入各选项： A． ，排除． B． ，符合． C． ，排除． D． ，排除． 将代入B选项，得； 将代入B选项，得，均与表格数据一致． 因此，与之间的函数关系可能是． 易错警示 求函数解析式要找准变量间的等量关系，并注意实际问题中自变量的实际意义及取值范围，切勿漏掉限制条件或写错比例系数。 【变式1-1】如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______，常量是______； (2)请直接写出梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式； (3)当梯形的高由8cm变化到2cm时，梯形的面积的变化情况． 【答案】(1)梯形的高，梯形的面积，上底，下底 (2) (3)面积从变化到 【分析】（1）根据自变量，因变量，常量的定义解答； （2）根据梯形的面积公式解答即可； （3）将分别代入关系式，再求出解即可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积，上底和下底是常量； （2）解：； （3）解：当时，； 当时，， 所以梯形的面积从变化为． 【变式1-2】如图，在中，，高．动点由点沿向点移动（不与点重合）．设的长为，的面积为． (1)在这个过程中，哪些量是常量，哪些量是变量？ (2)请写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． (3)当分别取，，时，计算出相应的的值． 【答案】(1)常量是和，变量是和． (2)与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． (3)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）观察动点移动过程中各个量是否发生改变，数值始终不变的即为常量，数值发生改变的即为变量． （2）先用含的代数式表示出的底边长，结合三角形面积公式列出与的关系式；再根据动点的运动边界，确定自变量的取值范围． （3）将给定的数值依次代入已经求出的函数关系式，计算即可得到对应的值． 【详解】（1）解：∵在中，，高，这两个量在动点移动过程中始终保持不变， ∴和是常量． ∵动点由点沿向点移动，的长为， ∴的值会随着的移动而变化； ∵的面积为，的位置变化会导致的底发生变化，又边上的高不变，从而使面积也发生变化， ∴和是变量． （2）解：∵，， ∴． ∵是的高，同时也是的高， ∴的高为． ∴． 将，代入上式，得到， 化简可得． ∵动点由点沿向点移动（不与点重合）， ∴． （3）解：当时，． 当时，． 当时，． 【题型二】动点问题的函数图象 【例2】如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐段分析变化趋势即可解答． 【详解】解：由题意得： 当蚂蚁从点O出发，在段，S随t的增大而增大； 在段，S随t的增大逐步变小；蚂蚁在中点时最小，然后逐步变大；其变化为曲线变化． 在段，即蚂蚁在圆弧上时，S不随t的变化而变化； 在段，S随t的增大逐步变小，最后S为0． 综上，选项B符合题意． 易错警示 看图象要结合动点运动的轨迹，明确横纵坐标代表的实际意义，抓住图象的拐点、端点对应动点的特殊位置，切勿脱离图形单看图。 【变式2-1】如图①，在四边形中，，，，动点从点出发，沿→→→的方向运动，到达点停止．设点运动的路程为（），的面积为（），如果与之间的关系图象如图②所示，那么四边形的面积为__________． 【答案】18 【分析】根据题意，分析P的运动路线，分阶段分别进行讨论，可得的值，再由梯形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，当P在上时， ， 此时y随x的增大而增大， 结合图2得：当时，点P与点C重合， ∴； 当P在上时，， 此时y保持不变， 结合图2得：当时，点P与点D重合， ∴； ∴四边形的面积为． 【变式2-2】某校八年级登山小组以的速度开始登山，走了一段时间后休息了一会儿．由于山路逐渐变陡，所以休息后就以的速度继续前进．一段时间后到达山顶，吃午饭并原地活动．午休后，又以的速度下山，中间再也没有休息过，直到返回山脚．此次登山活动，整个过程中所走路程与所用时间之间关系的图象大致是下列中的哪一个？ 【答案】（2） 【分析】根据题干所给信息分析即可． 【详解】解：①以速度登山：路程增加， ②休息一会儿：时间增加，路程不变，图像水平线段， ③以速度继续登山，：路程继续增加，倾斜程度比第一段更小（速度变慢）， ④到达山顶午休原地活动：时间增加，路程不变，图像水平线段， ⑤下山，速度，：继续走路，路程继续增加，倾斜程度最大（下山速度最快）． 综上，只有图（2）符合要求． 【题型三】正比例函数的定义 【例3】已知y关于x的函数是正比例函数，求m的值． 【答案】 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴， ∴． 易错警示 正比例函数解析式必须满足y=kx（k≠0），注意自变量的指数必须为1且一次项系数不为0，切勿漏掉k≠0这一隐含条件。 【变式3-1】已知关于x的函数，当a，b为何值时，它是正比例函数？ 【答案】当，时，该函数是正比例函数 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如的函数，k为常数，x的次数为1，且，那么就叫做正比例函数． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴，，， ∴，， 故当，时，该函数是正比例函数． 【变式3-2】已知关于的函数，当，为何值时，它是正比例函数？ 【答案】当，时，函数是正比例函数． 【分析】根据正比例函数的定义，形如y=kx，k≠0是正比例函数即可求解． 【详解】解：是正比例函数， 且且， 解得，． 即当，时，函数是正比例函数． 【点睛】本题考查正比例函数定义，解绝对值方程，解一元一次方程，掌握正比例函数定义是解题关键． 【题型四】求一次函数自变量或函数值 【例4】已知一次函数，下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，若点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式计算出y值，和点的纵坐标对比即可得到答案. 【详解】将各选项坐标依次代入验证： 选项A，把代入得，，该点不在函数图象上； 选项B，把代入得，，该点不在函数图象上； 选项C，把代入得，，该点在函数图象上； 选项D，把代入得，，该点不在函数图象上． 易错警示 求自变量时代入y值解方程，求函数值时代入x值计算，要分清谁是已知谁是未知，切勿将x和y的值张冠李戴。 【变式4-1】，是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】A 【分析】将点坐标代入函数解析式，化简后判断乘积的符号． 【详解】解：∵，是一次函数图象上不同的两点， ∴，， ∴， ∴， ∵A、B是不同两点， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式4-2】根据如图所示的计算程序计算变量的值，若输入，时，则输出的值是________． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴． 【题型五】已知函数经过的象限求参数范围 【例5】已知直线经过第一、二、四象限，且点和都在该直线上，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D．随的增大而减小 【答案】A 【分析】根据直线经过第一、二、四象限得到，，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限． ∴，，随的增大而减小，故D正确． ∵，． ∴，故B正确． ∴，故C正确． ∴． ∵随的增大而减小． ∴，故A错误． 易错警示 牢记“k正过一三，k负过二四；b正交y轴正半轴，b负交负半轴”，根据经过的象限倒推k、b的符号列不等式，切勿把符号规律记反. 【变式5-1】如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么m应满足的条件是___________ 【答案】 【详解】解：∵函数的图象经过第二、三、四象限， ∴函数图象与轴的交点在轴负半轴， ∴． 【变式5-2】直线经过一、二、三象限，那么不经过__________象限． 【答案】 第二 【分析】根据直线经过的象限判断和的符号，再根据符号判断直线经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：∵直线 经过一、二、三象限， ∴，且直线与轴交于正半轴，即， 对于直线，∵， ∴直线经过第一、三象限， ∵， ∴，即直线与轴交于负半轴， ∴直线经过一、三、四象限， ∴直线不经过第二象限． 【题型六】判断一次函数的增减性 【例6】某一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则这个函数的表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质．由随的增大而增大，可得一次项系数大于0，再判断是否经过点即可． 【详解】解： 随的增大而增大， 一次项系数大于0，排除选项B，C， 对于，当时，， 的图象经过点，A选项符合题意； 对于，当时，，排除选项D． 易错警示 一次函数的增减性由k决定，k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小，切勿抛开k值直接凭感觉看图判断。 【变式6-1】若点，都在一次函数的图象上，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点，都在一次函数的图象上，， ∴. 【变式6-2】某校初二年级某学习小组探究函数的图象与性质．下面是该组同学的探究过程，请补充完整： (1)下表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 4 3 2 0 1 3 4 ．．． 填空：___________，___________． (2)在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． (3)由函数图象可得： ①当___________时，随的增大而___________； 当___________时，随的增大而___________； ②当___________时，函数有最___________值为___________． 【答案】(1)1，2 (2) (3)①，增大；，减小；②，小，0 【分析】（1）把的值代入解析式求出的值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据图象作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，； （2）略 （3）解：由图象可知， ①当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； ②当时，函数有最小值为0． 【题型七】根据一次函数增减性求参数 【例7】已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一次函数的增减性由一次项系数的符号决定，需分情况讨论，结合x的取值范围确定最小值对应的自变量后代入求解． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得 ， ∵，不符合．∴舍去； 当，即时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得 ， ∵，符合条件． 易错警示 已知增减性求参数时，要转化为关于k的不等式（k>0或k<0）来求解，注意一次项系数不能为0，切勿漏解或忽略等号。 【变式7-1】在式子中，每增加1，增加，没变，因此也增加．在一次函数中，当由2增加到3时，函数值由5增加到7，则的值为（     ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】先求出的增加量和的增加量，根据题意每增加1，也增加即可求出． 【详解】解：∵由2增加到3，由5增加到7， ∴的增加量为，的增加量为， ∵每增加1，的增加量等于， ∴． 【变式7-2】设一次函数为常数，当时，该一次函数的最大值是7，则的值为_____ 【答案】2 【分析】一次函数的增减性由的符号决定，因此需要对的取值分情况讨论．如果，那么一次函数在自变量取值范围内随自变量的增大而增大，所以在区间的右端点处取得最大值，代入函数表达式建立关于的方程求解．如果，那么一次函数在自变量取值范围内随自变量的增大而减小，所以在区间的左端点处取得最大值，代入函数表达式建立关于的方程求解并判断． 【详解】一次函数的增减性由的符号决定，分两种情况讨论： 当时：随的增大而增大， 因此在范围内，取最大值4时，取得最大值7． 代入得：， 解得，符合的前提． 当时：随的增大而减小， 因此在范围内，取最小值2时，取得最大值7． 代入得， 解得，不符合的前提． 仅时的情况成立， 因此的值为2． 【题型八】比较一次函数值的大小 【例8】点，，在一次函数（是常数）的图像上，则，，大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数中，y随x增大而减小；比较三个点横坐标大小，横坐标越小对应的函数值越大． 【详解】解：点，，在一次函数的图象上，， 又， ． 易错警示 比较函数值大小，首选利用增减性判断；若k的符号未知，必须分k>0和k<0两种情况分类讨论，切勿直接代入盲目比较。 【变式8-1】已知点和点都在直线上，则与的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性分析即可． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴． 【变式8-2】已知，均在直线上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，当时随的增大而减小判断即可． 【详解】解：直线中，， 随的增大而减小． ，均在直线上，且， ． 【题型九】梯度计价问题 【例9】为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：t）之间的函数图象，则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水8t，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为13t C．若当月用水15t，则当月水费45元 D．若当月用水超过10t，则每多用1t水，当月水费就多4元 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再逐项判断，即可． 【详解】解：当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 把点代入得，解得：， ∴当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为，把点、代入得： ，解得：， 即：当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，，即小王家某月用水，则当月水费为24元，故A选项错误； 当时，，解得：， 即小王家某月水费为45元，则当月用水量为，故B选项正确；C选项错误； ∵， ∴当月用水超过，则每多用水，当月水费就多5元，故D选项错误． 易错警示 解决梯度计价问题，要找准收费标准的“分界点”及各段对应的单价，分段列解析式或计算，切勿直接用总价乘统一单价或遗漏基础费用。 【变式9-1】为保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计了居民用水“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元/ 超过但不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ (1)户居民本月用水量为12，求户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若户居民本月的水费为96元，则户居民本月用水量为__________． 【答案】(1)42元 (2) (3) 【分析】（1）将拆分为和超过的，分别按对应水价计算后求和． （2）分三段讨论的范围（不超过、到之间、超过），分别列出对应的函数关系式． （3）先判断元所在的计费段，再代入对应函数关系式求解． 【详解】（1）解：， 答：户居民本月的水费为元； （2）解：当时，； 当时， ； 当时， ； 综上： （3）解：先计算各段最大水费： 时，元； 时，元． 因，代入，得， 解得． 答：户居民本月用水量为． 【变式9-2】某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量（） 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 5 4 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式； (2)小刚一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 【答案】(1)当时，；当时，； (2)10元 【分析】（1）根据题中分段计价的方式求出函数表达式即可得到答案； （2）由（1）中所求函数表达式，按照题意求出费用即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意， 当时，； 当时，； （2）解：小刚一次性购买所付的费用为元； 小刚分两次购买（每次购买）所付的费用为元； 小刚一次性购买所付的费用比分两次购买（每次购买）所付的费用少元． 【题型一】一次函数图象平移问题 【例1】将函数的图像向下平移个单位长度，所得图像对应的函数表达式是____________________． 【答案】 【分析】根据平移规律“上加下减、左加右减”即可解答． 【详解】解：原函数表达式为， ∵将图像向下平移个单位长度， ∴新函数表达式为，化简得． 【变式1-1】若直线与直线互相平行，则m 的值为__________． 【答案】 【分析】两条一次函数图象平行时，一次项系数相等，且常数项不相等，据此列方程计算即可． 【详解】解：∵直线与直线互相平行， ∴， ∴． 【变式1-2】将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则的值为_______________． 【答案】/ 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后的解析式，再利用两图象重合对应系数相等求出和的值，最后计算． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度，平移后解析式为：， ∵平移后的图象与的图象重合， ∴， ：， ∴． 【题型二】一次函数图象与对称问题 【例2-1】对于直线，与它 (1)关于x轴成对称的直线解析式为 ． (2)关于y轴成对称的直线解析式为 ． (3)关于直线成对称的直线解析式为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据关于x轴成对称的直线上的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到点在直线上，代入即可得出结果； （2）根据关于y轴成对称的直线上的对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点在直线上，代入即可得出结果； （3）根据关于直线成对称的对应点的横纵坐标位置互换，得到点在直线上，代入即可得出结果. 【详解】（1）解：关于x轴成对称的直线上的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， 设点在对称的直线上，则点在直线上， ∴， ∴； （2）解：关于y轴成对称的直线上的对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数， 设点在对称的直线上，则点在直线上， 故， ∴； （3）解：关于直线成对称的直线上的对应点的横纵坐标位置互换， 设点在对称的直线上，则点在直线上， 故， ∴. 【变式2-1】在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度，使其与一次函数的图象关于轴对称，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．-4 【答案】A 【分析】先根据一次函数左右平移规律“左加右减”得到平移后的函数解析式，再利用关于y轴对称的函数的性质求出关于y轴对称的解析式，对比系数即可求出的值． 【详解】解：将正比例函数的图象向左平移个单位长度，可得平移后的解析式为． ∵平移后的函数图象与的图象关于轴对称， 关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等， 因此将中的替换为， 即可得到其关于轴对称的解析式． ∴平移后的解析式与为同一个函数， 可得， ∴． 【变式2-2】函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示； -3 -2 -1 0 1 2 3 … 6 4 2 0 2 4 6 … 经历同样的过程画函数和的图象． (1)函数的自变量的取值范围____________． 对于函数，当_________时，． (2)观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化． ①图象与图象的交点坐标为___________ ②图象关于__________对称 ③对于函数，当时，的取值范围_____________． (3)探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． (4)拓展应用：，是函数的图象上的任意两点，且满足时，，则的取值范围是_____________． 【答案】(1)全体实数， (2)①；②；③ (3)函数向下平移个单位长度得，函数向左平移个单位长度得； (4) 【分析】（1）根据函数图象进行解答即可； （2）根据函数图象进行解答即可； （3）根据函数图象进行解答即可； （4）先推导出函数，当时，随的增大而减小，得到当时，，进而推导出函数当时，，需满足对称轴，解得，即可解答． 【详解】（1）解：由图象，可知，函数的自变量的取值范围全体实数； 对于函数，当时，． （2）解：由图像，可知 ①图象与图象的交点坐标为； ②图象关于对称 ③对于函数，当时，的取值范围． （3）解：由图象，可知 函数向下平移个单位长度得， 函数向左平移个单位长度得； （4）解：如图， 函数， 当时，随的增大而减小， 即当时，， 函数的对称轴为， 且当时，， ∴函数需满足对称轴， 解得． 【题型三】一次函数的规律探究问题 【例3】已知一次函数的图象如图，点在x轴正半轴上，且坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；……． (1)点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______； (2)①点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______； ②点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______． A．直线    B．轴 【答案】(1)；；； (2)①A；；②B； 【分析】（1）根据一次函数表达式求出点的坐标及点的坐标，进而求出结论； （2）根据题意可得，，（其中为自然数），据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：一次函数，当时，， ∴点的坐标是； ∵，， ∴； 当时，， ∴点的坐标是； ∵，， ∴； （2）解：①由（1）知：，，，，， 在中，当时，， ∴点的坐标是； 以此类推可得：，，（其中为自然数）， ∵， ∴点在直线上，其坐标为； ②∵， ∴点在轴上，其坐标为． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过逐次作垂线，求出前几个点的坐标，发现横坐标的变化规律，利用规律求的横坐标． 【详解】解：由题意，从点出发， 过作轴的垂线交于，则的横坐标为， 代入得，， 过作轴的垂线交于，则的纵坐标为， 代入得，， 过作轴的垂线交于，则的横坐标为， 代入得，， 过作轴的垂线交于，则的纵坐标为， 代入得，， 过作轴的垂线交于，则的横坐标为， 代入得，， 同理，过作轴的垂线交于，则的纵坐标为， 代入得，， 观察各点横坐标：， 即横坐标为；横坐标为；横坐标为；， 规律：的横坐标为，的横坐标为， ，即， 的横坐标为． 【变式3-2】如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴， ， ， …… ∴， ∴． 【题型四】最大利润问题（一次函数的实际应用） 【例4】随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共90个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购x个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 100 128 足球 80 105 (1)求该商场采购费用y（单位：元）与x（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这90个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了k元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将90个球全部卖出获得的最低利润是1860元，求k的值． 【答案】(1)； (2)2400元 (3) 【分析】（1）根据采购费用等于篮球和足球的费用之和，列出函数关系式即可； （2）设总利润为元，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质求最值即可； （3）设总利润为元，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质求解即可. 【详解】（1）解：设该商场采购x个篮球，则采购个足球， 由题意，； （2）解：设总利润为元， 由题意，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大； 答：商场能获得的最大利润为2400元； （3）解：设总利润为元， 由题意，得， 当时， ∵，， ∴必定大于2250，不满足题意， ∴，即时， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴当时，有最小值，为， 解得，符合题意； 故. 【变式4-1】呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1) (2)，进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意得款牛奶贝的进货量为袋，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 由图可知直线穿过原点，当时，， 可得， 解得， 所以y关于x的函数解析式为； （2）解：由材料2可得， ， 化简得， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，有最大值为8500， 答：进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润． 【变式4-2】随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 【题型五】行程问题（一次函数的实际应用） 【例5】一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以的速度匀速行驶．已知警车加满油后，油箱中的余油量与行驶时间之间的函数关系图象是如图所示的直线l的一部分． (1)求直线l的函数表达式． (2)警车加满油时，油箱中的油量是多少升？ (3)已知警车往返的耗油量相同．若要求警车按原路返回加油站时油箱中的余油量不少于，则其巡逻的最远路程是多少千米？ 【答案】(1)（）； (2)警车加满油时油箱中的油量是升； (3)巡逻的最远路程是千米． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）警车加满油对应行驶时间的时刻，进而根据函数表达式作答即可； （3）根据题意求出单程耗油量的最大值，进而求出警车最远开出的单程时间，根据警车速度计算即可． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为（）， 由图可知直线过点和， 将两点代入解析式得： 解得， 因此直线l的函数表达式为（）； （2）解：警车加满油对应行驶时间的时刻， 将代入函数表达式得：， 即加满油时油箱有60升油； （3）解：∵要求返回后余油量不少于， ∴往返总耗油量不大于， 即单程耗油量不大于， ， 当时， 解得， 即警车最远开出的单程时间为， ∵警车速度为， ∴最远单程路程为． 【变式5-1】李虹和张惠平时的耐力与速度相差无几．某日体育课上，老师设计了一个的赛跑方案，让李虹从起跑就全速前进，而让张惠留着后劲儿，待到剩下最后时再加速，并跟踪记录了赛跑的全过程．赛跑的全过程如图所示． (1)你从这幅图中读出了哪些信息？ (2)老师设计这个方案的目的是什么？ 【答案】(1) 解：由图象可知，李虹前60秒跑了360米，速度为米/秒，始终在张惠的前面，后秒跑了米，速度为2米/秒； 张惠前60秒跑了300米，速度为米/秒，后秒，跑了米，速度为米/秒； 李虹总用时80秒，张惠总用时75秒，最终张惠获胜； (2)体育老师设计这个方案的目的是为了说明长跑应在开始时保存实力，在最后的再进行冲刺，反而会获胜 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-2】在一次百米赛跑过程中，小明跑过的路程与所用时间之间的函数关系如图所示． (1)s是t的什么函数？ (2)写出s与t之间的函数关系式． (3)小明在此次比赛中的速度是多少？ 【答案】(1)正比例函数 (2) (3) 【分析】（1）根据图象进行判断即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）由（2），即可得出结果. 【详解】（1）解：图象为过原点的一条线段， 故s是t的正比例函数； （2）解：设， 把代入，得，解得， ∴； （3）解：小明的速度为：. 【题型六】一次函数与几何综合 【例6】如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）直线与轴交点的纵坐标为，与轴交点的横坐标为，代入计算即可； （2）由题意可知的横坐标为，设，由折叠的性质可知，根据勾股定理得到，即，设直线解析式为，根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：令，得，解得，即； 令，得，即； （2）解：∵是长方形，在边上， ∴的横坐标为， 设， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 即， 解得， 即， 设直线解析式为， 代入、得， 解得， 即直线解析式为． 【变式6-1】【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，根据旋转的性质得到，，证明，得到，，即可求解点C的坐标； （2）过点作交于点，过点作轴于点，证明，得到，，根据一次函数的性质得到，，进而求出点的坐标为，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：如图2，过点作轴于点， 则， ∴， ∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：如图3，过点作交于点，过点作轴于点， 则， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴，， 对于， 当时，则；当，则，解得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴点D的坐标为． 【变式6-2】如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)或 【分析】（1）求出时y的值即可得到答案； （2）根据列式求解即可； （3）由（2）可得，则，据此求出点M的横坐标，进而求出其纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点M的坐标为或． 【题型一】、符号与图像位置模型（象限判定模型） 【模型解读】 一次函数 的图像是一条直线，通过 （斜率）和 （截距）的符号，可以快速判定直线经过的象限，反之亦然。 结论： 当 时，直线经过第一、二、三象限； 当 时，直线经过第一、三、四象限； 当 时，直线经过第一、二、四象限； 当 时，直线经过第二、三、四象限。 证明（推导）： 令 ，得 ，即直线与 轴交于点 。 令 ，得 ，即直线与 轴交于点 。 根据 决定直线的倾斜方向（ 向上倾斜， 向下倾斜），结合 决定与 轴交点在原点上方还是下方，画出草图即可得出结论。 【例1】已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解； （2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解； （3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解． 【详解】（1）解： 为正比例函数， ， ． （2）解： 不经过第一象限， 可得， 解得． （3）解：分两种情况讨论， 当，即，随的增大而增大， 则当，， 可得， 解得； 当，即，随的增大而减小， 则当，， 可得， 解得； 综上或． 【变式1-1】我们称绝对值函数的最值点为函数的顶点，如的顶点坐标是； (1)函数的顶点坐标是 ，经过 象限 (2)对于函数 ①函数图象经过原点时，求的值． ②直接写出函数经过不同象限时，对应的的取值范围． (3)点在函数上，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；第一、第二、第三、第四 (2)①1；②当函数的图象经过第一、第二、第三、第四象限时，；当函数的图象经过第一、第二、第四象限时，；当函数的图象经过第一、第二象限时，； (3) 【分析】（1）可求出当时，，此时y随x增大而减小，当时，，此时y随x增大而增大，据此可得函数的最小值，即可得到对应的顶点坐标；求出，函数的图象经过的象限，当时，函数的图象经过的象限即可得到答案； （2）①利用待定系数法求解即可；②可求出当时，函数有最小值，最小值为；再分，，，和这五种情况，分别讨论当时和当时函数图象经过的象限即可得到答案； （3）可求出当时，函数的图象一定经过点，则当时，，据此列出不等式组求解即可；当时，则时，y随x增大而减小，此时，不成立． 【详解】（1）解：当时，， ∴y随x增大而减小， 当时，， 此时函数图象经过第二、三象限， 当时，， ∴y随x增大而增大， 当时，， 当时，， 此时函数图象经过第一、三、四象限； 综上所述，当时，函数有最小值，最小值为，即函数的顶点坐标是，该函数经过第一、第二、第三、第四象限； （2）解：①∵的图象经过原点， ∴， ∴； ②当时，， ∴y随x增大而减小， 当时，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，函数有最小值，最小值为； 当时，且当时，， 当，， ∴函数与x轴的交点在x轴的负半轴，且此时； ∴当时，函数的图象一定经过第二、第三象限； 当时，且当时，， ∴当时，函数的图象一定经过点， 又∵此时， ∴当且时，函数的图象一定经过第一、第四象限； 综上所述，当时，函数的图象一定经过第一、第二、第三、第四象限； 当时，， 当时，，此时函数图象经过第二、第四象限， 当时，，此时函数图象经过第一、第四象限， ∴当时，函数的图象经过第一、第二、第四象限； 当时，，， ∴此时函数与x轴的交点在x轴的正半轴， ∴当时，函数的图象经过第一、第二、第四象限； ∵函数与x轴交于点， ∴当时，函数的图象经过第一、第四象限； 综上所述，当时，函数的图象经过第一、第二、第四象限； 当时，函数的最小值为， 此时当时，函数的图象经过第一、第二象限， 当时，函数的图象经过第一象限， 综上所述，当时，函数的图象经过第一、第二象限； 当时，函数的最小值为， 此时当时，函数的图象经过第一、第二象限， 当时，函数的图象经过第一象限； 综上所述，当函数的图象经过第一、第二、第三、第四象限时，；当函数的图象经过第一、第二、第四象限时，；当函数的图象经过第一、第二象限时，； （3）解：当时， 则当时，， 在中，当时，， ∴当时，函数的图象一定经过点， ∴当时，， ∵， ∴当时，； ∴时，， 解得； 当时，则时，y随x增大而减小， ∴此时，不成立； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，比较一次函数值的大小，求一次函数解析式，解一元一次不等式组，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式1-2】请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． （1）①当时， ②当时，______； ③当时，______； 显然，②和③均为某个一次函数的一部分 （2）在平面直角坐标系中，作出函数的图象． （3）一次函数（为常数，）的图象过点，无解，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）②；③；（2）见解析；（3）的取值范围为且． 【分析】（1）②根据绝对值的性质解题：正数的绝对值是它本身； ③负数的绝对值等于它的相反数； （2）结合（1）中结论，分别画出和的图象即可解题； （3）方程组无解，表示与的函数图像没有交点： 分两种情况讨论①当时②当时两种情况讨论，画出临界图形得到临界一次函数的解析式即可解题． 【详解】（1）②当时，， 故答案为：； ③当时，， 故答案为：； （2）如图所示 （3）如图所示： 方程组无解，表示与的函数图像没有交点： ①当时，一次函数呈上升状态，要保证与的图像没有交点，临界位置如图所示，此时一次函数过点和，，在此基础上将顺时针旋转即符合题意，则的取值范围为； ②当时，一次函数呈下降状态，要保证与的图像没有交点，临界位置如图所示，此时一次函数与平行，，在此基础上将逆时针旋转符合题意且时也符合题意，则的取值范围为；综上，的取值范围为且． 【点睛】本题考查一次函数的图象、一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式，涉及绝对值的化简等知识，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键． 【题型二】两直线交点与二元一次方程组模型 【模型解读】 两条一次函数图像的交点坐标，在代数上就是它们所对应的二元一次方程组的解。这是“数形结合”的核心考点。 【图形特征】 直线 ，直线 （），交于点 。 结论： 如图，交点 的坐标 即为方程组 的唯一解 。 证明（推导）： ∵ 点 在直线 上，∴ 成立。 ∵ 点 也在直线 上，∴ 也成立。 ∴ 同时满足两个方程，即 是方程组的解。 （反之，若方程组有唯一解，则两直线必相交于该坐标点）。 【例2】如图，直线经过点． (1)求直线的表达式； (2)直线与轴交于点，直线与直线交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点的坐标，得到，再联立函数解析式求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 由，解得， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，直线：与轴、轴分别交于，，与直线：交于点． (1)根据函数图象，方程组的解为__________； (2)求，的值及的面积． 【答案】(1) (2)，，的面积为 【分析】（1）根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论； （2）根据函数图象上点的坐标特征可得，的值，继而得到直线的解析式，从而求得点的坐标，再根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：交于点， ∴方程组的解为 ； （2）解：设点到轴的距离为， ∴， ∵直线：与直线：交于点， ∴，， 解得：，， ∴直线所对应的函数解析式为， ∵直线：与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∴， ∴， ∴，，的面积为． 【变式2-2】如图，直线经过点和点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、解方程组以及割补法求面积： （1）利用待定系数法求解析式，联立两直线的解析式解方程组即可得到交点； （2）先求出点的坐标，再确定的长，的面积减去的面积即为的面积． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点和点代入， 得， 解得：， 直线的解析式为． ，相交于点， ， 解得：， ． （2）解：当时， ， 解得：， ， ， ． 【题型三】直线与坐标轴围成面积模型 【模型解读】 一次函数图像与两条坐标轴围成一个直角三角形，通过解析式求该三角形面积，或已知面积求解析式中的参数。 【图形特征】 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与原点 构成 结论： 如图，直线 与坐标轴围成的 的面积为： 。 证明（推导）： 1. 求与 轴交点：令 ，则 。∴ 点 ，底边 。 1. 求与 轴交点：令 ，则 ，解得 。∴ 点 ，底边 。 1. 根据三角形面积公式：。 【例3】如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在y轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）将代入，得，得到，再将代入得，，求解即可； （2）设直线交轴于点，，得到；根据 得，继而得到点的纵坐标，求解即可； 【详解】（1）解：将代入，得， 将代入得，， 解得； （2）解：由（1）可得直线的解析式为， 在中， 当时，， 解得， ； 如图，设直线交轴于点， 在中，当时，， ， ； 中， 当时，，则， ， ， ，， ， ， 解得， 点的纵坐标为或点的纵坐标为， 点的坐标为或； 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与直线相交于点． (1) ， ； (2)点为直线上一点，且点在第二象限，若，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的垂线，与直线，直线分别相交于点、，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据点在直线上，求出点的坐标，把点的坐标代入直线上，求出的值； （2）根据直线的解析式求出点、的坐标，设点的坐标是，根据得到关于的方程，解方程求出的值，利用待定系数法求出直线的函数解析式； （3）设点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标是，根据列方程求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得：， 点的坐标为， 点在直线上， ， 解得：； （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 当时， 可得：， 点的坐标是， ， 设点的坐标是， 点的坐标是， ，， ， ， 解得：， ， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， ，， ， ， 可得：或， 解得：或， 当时，， 点的坐标是， 当时，， 点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． (1)求一次函数的表达式； (2)如图，点为射线上一动点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意求出点的坐标，代入点坐标得到方程组即可得到结论； （2）求出的面积，分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，得到的面积，求得此时点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数上， ∴将代入，得， 解得，即． ∵一次函数过点和， ∴代入得方程组：， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数与轴交于，令，得， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 设， 当点在线段上时， ， 即， 解得， 对应的坐标为； 当点在线段的延长线上时， ， 即， 解得， 对应的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 技巧 一句话要点 识别一次函数/正比例函数——“结构特征”辨析法 解析式化为 形式，抓住核心：、自变量 的次数为1、常数项 可为任意实数（ 时为正比例函数）。 判断图象经过的象限——“k、b符号”口诀法 定增减与倾斜， 定y轴交点；结合“k正过一三，k负过二四”与 的正负，快速画出草图判定象限。 判断增减性——“看k不看b”法 只需看比例系数 ： 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小。与 无关。 求一次函数解析式——“待定系数”两步法 设 ；将已知两点坐标代入，解二元一次方程组求出 、 的值（正比例函数只需代入一个非原点坐标）。 一次函数图象的平移——“左加右减，上加下减”法 左右平移改变自变量 （左加右减括号内）；上下平移改变常数项 （上加下减括号外），只改变 不改变 。 求两直线的交点坐标——“联立方程组”法 将两个一次函数解析式联立成二元一次方程组，方程组的解即为交点坐标 。 利用图象解不等式——“看上下位置”法 比较两个函数大小，就是看图象谁在谁的上方；上方图象对应的函数值大，寻找对应 的范围即可。 k与b的几何意义——“倾斜与截距”法 决定直线的倾斜程度， 越大直线越陡； 是直线与 轴交点的纵坐标（截距）。 实际应用（方案选择/最值）——“建模 + 增减性”法 根据题意列出函数关系式，结合实际意义求出自变量取值范围，利用 的正负（增减性）求最大利润或最低成本。 分段计费问题——“找拐点分段”法 观察图象或题意，找出计费标准改变的“拐点”，分区间写出对应的函数解析式，注意各段自变量的取值范围。 判断点是否在图象上——“代入验证”法 将点的横坐标代入解析式求出 值，若等于该点纵坐标，则点在直线上；否则不在。 与坐标轴围成面积——“交点坐标找底高”法 先求出直线与 轴、 轴的交点坐标，利用坐标的绝对值作为直角三角形的底和高，再用面积公式计算。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(6类) 公式清单(11类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(10类) 易错题型清单(9类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 函数的概念与表示方法 1.变量的概念：在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做 ；数值始终不变的量叫做 。 2.函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 和 ，并且对于变量 的每一个确定的值，变量 都有 与之对应，那么称 是 的函数，其中 是 。判断两个变量是否成函数关系的关键是“ ”。 3.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量取值的全体。常见限制条件： 整式型（如 ）：自变量取 。 分式型（如 ）： ，即 。 二次根式型（如 ）： ，即 。 4.实际问题型：必须使实际问题有意义（如人数必须为正整数，时间不能为负）。 函数的三种表示方法： 、 、 。它们各有优缺点，常常结合使用。 知识点02 一次函数与正比例函数的概念 1.一次函数的概念：若两个变量 、 之间的关系式可以表示成 （、 为常数，且 ）的形式，则称 是 的一次函数。 2.正比例函数的概念：特别地，当一次函数 中 时，即 （），称 是 的正比例函数。 3.两者的关系： 是一次函数的特殊形式。即正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 4.核心易错点：无论是一次函数还是正比例函数，都必须满足 的条件。若 （如 ），则它不是一次函数，而是一个常函数。 知识点03 正比例函数与一次函数的图象和性质 1.图象的画法：一次函数 的图象是一条 。画图象时，通常取两个点（如与 轴、 轴的交点）即可；正比例函数 的图象是一条经过 的直线，通常取 和 两点画图。 2. 的作用（决定增减性与倾斜方向）： 当 时，直线从左向右上升， 随 的增大而 。 当 时，直线从左向右下降， 随 的增大而 。 3. 的作用（决定与 轴的交点）： 直线 与 轴的交点坐标为 。 当 时，直线交 轴于 。 当 时，直线交 轴于 。 当 时，直线过原点。 4.直线经过的象限（结合 、 符号）： ：经过第一、 、三象限。 ：经过第一、三、 象限。 ：经过第 、二、四象限。 ：经过第二、三、 象限。 知识点04 确定一次函数的表达式（待定系数法） 1.求正比例函数表达式：已知图象过原点以外的一点 ，设表达式为 ，代入得 ，解出 即可。 2.求一次函数表达式：已知直线上 坐标，设表达式为 ，将两点坐标代入，得到关于 、 的二元一次方程组，解方程组求出 、 的值，再代回原式。 3.待定系数法的步骤：设（设出函数表达式）→ 代（代入已知点坐标）→ 解（解方程或方程组）→ 写（写出最终表达式）。 4.核心思想：待定系数法体现了 。在解答题中，求出 和 的值后，必须将表达式写出来，不能只写 、 的值。 知识点05 一次函数的实际应用与图象信息 1.图象信息的获取：看懂函数图象的关键是抓住交点（表示两个函数值相等或相遇）、 （表示状态发生改变）以及 （如 轴截距表示起始量， 轴截距表示某量为 0 时的状态）。 2.实际问题中的建模：将实际问题中的变量关系抽象为一次函数模型。建立解析式时，通常用待定系数法或根据题意直接列等量关系式。 3.最优化问题（方案选择）：比较两种方案的优劣，通常转化为比较两个一次函数值的大小。利用 （如 时 的取值范围）来确定在什么范围内选择哪种方案更划算。 4.分段函数初步：在实际问题中，若在不同范围内收费标准或变化规律不同，函数图象会呈现折线状。此时需要分段求出解析式，并标明每一段对应的 。 考点01 函数的概念及自变量的取值范围 考点内容：在某个变化过程中，有两个变量 和 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应，那么称 是 的函数， 是自变量。函数的表示方法有：列表法、图象法、关系式法。 ①判断两个变量之间是否具有函数关系（核心是看“唯一对应”）； ②求函数自变量的取值范围（整式型全体实数；分式型分母不为0；二次根式型被开方数大于等于0；实际问题需符合实际意义）； ③求给定自变量的值对应的函数值（代入求值），或已知函数值求自变量； ④从图象中获取信息，判断函数关系或解决实际问题。 易错提醒：函数概念中“唯一对应”是关键，如 中 不是 的函数（一个 对应两个 ）。求自变量取值范围时，若函数关系式中同时包含分式和二次根式，需同时满足两个条件（如 ，需 且 ）。 考点02 一次函数与正比例函数的概念 考点内容：若两个变量 之间的关系可以表示成 （ 为常数，）的形式，则称 是 的一次函数。特别地，当 时，称 （）为正比例函数。 ①判断给定的函数是否为一次函数或正比例函数； ②根据定义求解析式中的待定字母系数（如已知 是一次函数，求 的取值范围）； ③根据实际问题列出一次函数或正比例函数关系式； ④根据 的值判断函数的类型。 易错提醒：一次函数中 是隐含且必须满足的条件，解题时若题目给出如 是一次函数，不仅要关注 的次数为1，千万不要漏掉 这个条件。正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 考点03 一次函数的图象与性质 考点内容：一次函数 的图象是一条直线。当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小。 决定直线与 轴交点的位置（交点为 ）。 ①画出一次函数的图象（通常采用“两点法”，取与坐标轴的交点作图）； ②根据 的符号判断直线所经过的象限（口诀：正右斜、负左斜；正上移、负下移）； ③根据直线所经过的象限反推 的符号； ④利用增减性比较函数值的大小，或求参数的取值范围。 易错提醒： 和 的符号组合决定了直线经过的象限，如 时经过第一、三、四象限，注意不要死记硬背，画个草图最稳妥。利用增减性比较函数值时，务必确认点是否在同一象限或直接利用代数大小比较。 考点04 用待定系数法求一次函数解析式及图象平移 考点内容：先设出函数解析式（如 ），再根据已知条件（如两对对应值或图象上两个点的坐标）列出方程（组），求出待定系数，从而得到解析式，这种方法叫待定系数法。一次函数图象平移规律：上加下减（只改变 的值），左加右减（只改变 的值，北师大八上重点掌握上下平移）。 ①已知直线经过两个已知点，求解析式； ②已知直线与某已知直线平行，且经过某点，求解析式（平行则 值相同）； ③已知直线的平移方向和距离，求平移后的解析式，或由平移前后的解析式反推平移过程； ④结合坐标系中的图形面积求解析式。 考点05 一次函数与方程、不等式的关系 考点内容：一次函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 的解；两条直线的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解；图象在 轴上方的部分对应的 范围，就是不等式 的解集。 ①求一次函数图象与 轴、 轴的交点坐标； ②根据图象直接写出不等式 或 的解集； ③利用图象法解二元一次方程组（找出交点坐标）； ④比较两个一次函数值的大小时，根据图象的高低确定自变量的取值范围。 易错提醒：看图写不等式解集时，要特别注意“空心点”和“实心点”（包含与不包含）。在比较两个函数值大小时（如 ），要寻找图象中直线 在直线 上方的部分，并对应 轴的取值范围。 考点06 一次函数的实际应用与图象信息题 考点内容：将实际问题转化为一次函数模型，利用一次函数的性质（增减性）求最值，或进行方案选择。常见的有行程问题、销售利润问题、水电费分段计费问题等。 ①建立一次函数模型解决实际生活中的分段计费、最优方案等问题； ②从函数图象（折线图）中读取信息，理解每一段折线表示的实际意义，求出各段函数的解析式； ③利用一次函数的增减性，在限制自变量的取值范围内求最大利润或最小成本； ④行程问题中的相遇、追及问题（两直线交点表示相遇） 易错提醒：实际问题中，自变量的取值范围往往有限制（如人数必须为正整数，时间不能为负等），求最值时一定要在允许的取值范围内进行。读图时，务必看清横轴和纵轴分别代表什么物理量及单位，特别注意图象的起点、拐点和终点的实际含义。 序号 名称 公式（代数与图象语言） 说明 1 一次函数的定义 （，为常数） 若两个变量间的关系式可以表示成的形式，则称是的一次函数。注意：是必要条件。 2 正比例函数的定义 （） 当一次函数 中 时，称为正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。 3 正比例函数的图象与性质 图象是过原点 的直线。当 时，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当 时，图象经过第二、四象限，随的增大而减小。 决定直线的倾斜方向和增减性。越大，直线越陡。 4 一次函数 的增减性 当 时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小。 一次函数的增减性只与 的正负有关，与 无关。 5 一次函数图象与坐标轴的交点 与 轴交点：令 ，得 与 轴交点：令 ，得 叫做直线在 轴上的截距。 交于正半轴， 交于负半轴， 过原点。 6 一次函数图象经过的象限 当 时，过第一、二、三象限；当 时，过第一、三、四象限；当 时，过第一、二、四象限；当 时，过第二、三、四象限。 结合 （倾斜方向）和 （与y轴交点位置）画草图记忆，切忌死记硬背。 7 待定系数法求解析式 设 代入两点坐标 解方程组求 写出解析式 求一次函数解析式最常用的方法。因为一次函数有两个待定系数 ，所以需要已知直线上两个点的坐标。 8 图象的平移规律 平移 个单位：向上平移：向下平移：向左平移：向右平移： 口诀：“上加下减（在 上加减），左加右减（在 上加减）”。平移不改变 的值，即平移前后两直线平行。 9 一次函数与一元一次方程 直线 与 轴交点的横坐标，即为方程 的解。 数形结合：解方程就是找图象与 轴（）交点的横坐标。 10 一次函数与二元一次方程组 两条直线 与 的交点坐标 ，即为方程组 的解。 两条直线的交点，就是同时满足两个解析式的点。若两直线平行（ 且 ），则方程组无解。 11 一次函数与不等式 的解集：直线在 轴上方部分对应的 取值范围； 的解集：直线在 轴下方部分对应的 取值范围。 根据图象直观写出不等式的解集，遵循“看交点，分左右，定上下”的原则。 辨析01 确定函数自变量的取值范围，需综合考虑多种限制条件 　　在求函数自变量的取值范围时，要保证函数关系式有意义且符合实际意义。不要漏掉隐含的限制条件；若函数关系式中含有分式，则分母不能为0；若含有二次根式，则被开方数必须大于等于0；若含有零指数幂或负整数指数幂，底数不能为0。此外，在实际问题中，自变量的取值还必须使实际问题有意义（如边长、时间不能为负数等），切忌仅从解析式的角度考虑而忽略实际背景。 辨析02 一次函数与正比例函数的关系：正比例函数是一次函数的特例 　一次函数的一般形式为 （ 为常数，），而正比例函数的一般形式为 （ 为常数，）。不要将两者混淆；正比例函数是当一次函数中 时的特殊情况。切记“”是一次函数和正比例函数定义中不可或缺的前提条件，若 ，则 （常函数），就不再是一次函数了。 辨析03一次函数图象的性质由 的符号共同决定，切勿记混 在一次函数 中， 决定直线的倾斜方向与函数的增减性：当 时， 随 的增大而增大（直线从左向右上升）；当 时， 随 的增大而减小（直线从左向右下降）。 决定直线与 轴的交点位置：当 时，交于 轴正半轴；当 时，交于 轴负半轴；当 时，交于原点。不要仅凭 的符号判断图象经过的象限，必须将 和 结合起来分析（例如 时图象经过第一、二、三象限）。 辨析04 一次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减” 一次函数图象的平移规律，口诀是“左加右减（针对自变量 ），上加下减（针对整体函数值 ）”。不要将横向平移和纵向平移的加减位置弄反。例如，将直线 向左平移 个单位（），解析式变为 ；向右平移 个单位，解析式变为 ；向上平移 个单位，解析式变为 ；向下平移 个单位，解析式变为 。平移前后 值保持不变，两直线平行。 辨析05 用待定系数法求解析式，确定条件数量不可少 求一次函数解析式通常使用待定系数法。不要混淆所需已知点的个数；由于一次函数 中有 和 两个待定系数，因此通常需要已知图象上的两个点的坐标，代入解析式构建二元一次方程组求解。而正比例函数 只有一个待定系数 ，因此只需一个点（非原点）即可确定解析式。若题目已知直线与 轴的交点或与另一条平行直线的关系，则可能只需一个坐标即可直接得出 或 的值。 辨析06 一次函数与坐标轴的交点坐标求法，切勿将坐标轴弄反 求一次函数 的图象与坐标轴的交点坐标时，不要将 轴和 轴的代入方法弄反。求与 轴的交点（即横轴交点），必须令 ，解出 ，交点坐标为 ；求与 轴的交点（即纵轴交点），必须令 ，解出 ，交点坐标为 。特别注意，图象与 轴的交点纵坐标恰好是 的值。在计算一次函数图象与两坐标轴围成的三角形面积时，底和高分别是交点的横坐标和纵坐标的绝对值，切记面积不能为负数。 辨析07 一次函数与方程、不等式的关系（数形结合） 　　一次函数图象与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程组有紧密联系，需掌握“数形结合”思想。不要将图象与代数式的对应关系搞错；函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程 的解；当图象在 轴上方时，对应的自变量 的取值范围就是不等式 的解集。两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。解题时，要学会从图象的上下位置和交点位置直接读取答案。 辨析08 实际应用中的分段函数与方案选择，必须关注自变量取值范围 　　在解决带有图象的实际问题（如行程问题、阶梯收费、方案选择）时，不要忽略自变量的取值范围。当情境发生变化（如收费标准改变）时，函数往往是一个分段函数。解题时，必须准确找出每一段的边界点（自变量分界点），分别求出各段的函数解析式。进行方案比较时（如比较两种收费方式哪个更划算），本质上就是比较两个一次函数值的大小，通常通过求交点坐标，结合图象或不等式来分类讨论得出最优方案。 【题型一】函数的概念 【例1】下列各曲线中表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列曲线中，能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【题型二】求自变量的值或函数值 【例2】在中，如果，那么________． 【变式2-1】已知函数，当时，函数y的值为（   ） A．15 B．9 C． D． 【变式2-1】已知二次函数，当x的值为时，对应的函数值为___________． 【题型三】函数的三种表示方法 【例3】在用表达式和图象这两种方式表达玩具车以的速度匀速行驶的过程时，得到了表达式和如图所示的函数图象． (1)请从图象上任意找出5个点，并写出这5个点的坐标． (2)说明（1）中得到的5个点的坐标均可使表达式成立． (3)任意写出满足表达式的三个有序正数对，说明分别以这三个有序正数对为坐标的三个点都在函数图象上． 【变式3-1】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 【变式3-2】下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【题型四】函数解析式 【例4】在长方形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度运动（点不与点重合）；点是边上任意一点．设点的运动时间为，三角形的面积为，则关于的函数表达式为：__________． 【变式4-1】已知等腰三角形的周长为20，则它的底边长关于腰长的函数解析式是_______________（不要求写自变量的取值范围）． 【变式4-2】某饮品店售卖自制冰粉，销售利润（元）与售出份数（份）的关系如表所示： /份 0 10 20 30 40 … /元 0 … 由表可知，与的关系式为__________． 【题型五】从函数的图象获取信息 【例5】暖水镇坐拥温泉资源，是汝城知名文旅小镇．甲、乙两人沿同一路线从汝城县城匀速前往暖水镇，两地路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙两人同时出发 B．甲的速度是 C．乙的速度是 D．甲比乙晚到 【变式5-1】如图1，在长方形中剪去一个小长方形，动点从点出发，沿的路线绕多边形匀速运动到点时停止，三角形的面积随着点的运动路程变化的函数图象如图2所示，则的长为（     ） A．2 B． C．3 D．4 【变式5-2】小明周末到离家一定距离的图书馆阅读学习，在图书馆阅读学习一段时间后，小明先以的速度原路返回，行走后在一文具超市停留，然后以返回开始时的速度回到家里，设小明从家出发到返回家中所用时间为，离家的距离为，y与x的函数图象如图所示．下列结论中：①图书馆离小明家；②小明在图书馆的阅读学习时间为；③小明原路返回的平均速度为；④若小明是离开图书馆原路返回，则他在可到家．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型六】根据一次函数的定义求参数 【例6】已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 【变式6-1】若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】若函数是正比例函数（为常数），则的值为________． 【题型七】列一次函数解析式并求值 【例7】如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 【变式7-1】一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为． (1)写出用表示的函数表达式． (2)当时，求的值． 【变式7-2】用函数解析式表示下列问题中y与x的关系： (1)一个长方体的长为，宽为，高为，体积为； (2)某水箱有水，以的速度开始往外放水，放水时间为，剩余水量为． 【题型八】正比例函数的性质 【例8】已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)已知图象上的两点，，如果，比较，的大小 【变式8-1】已知关于的函数，且该函数是正比例函数． (1)求的值； (2)若点，在该函数的图象上，请比较，的大小关系． 【变式8-2】已知关于的函数． (1)当为何值时，函数为正比例函数？ (2)当为何值时，随的增大而减小？ (3)当为何值时，函数的图像经过点？ 【题型九】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【例9】已知一次函数， (1)当值为何值时，该函数为正比例函数； (2)当值为何值时，一次函数的图象与轴交于； (3)当值为何值时，一次函数的图象与轴交于负半轴； (4)当值为何值时，一次函数随的增大而增大； (5)当值为何值时，一次函数的图象经过一、二、四象限． 【变式9-1】一次函数和（，均为不等于0的常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． (1)； (2)； (3)； 【题型十】分配方案问题（一次函数的实际应用） 【例10】某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【变式10-1】A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 【变式10-2】某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． 【题型一】函数解析式 【例1】在物理学中，导线的电阻与温度之间存在函数关系，下表记录了温度（单位：）与某种金属导体的电阻（单位：）的部分对应数据，则与之间的函数关系可能是（     ） 温度 5 10 20 35 电阻 101 102 104 107 A． B． C． D． 易错警示 求函数解析式要找准变量间的等量关系，并注意实际问题中自变量的实际意义及取值范围，切勿漏掉限制条件或写错比例系数。 【变式1-1】如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______，常量是______； (2)请直接写出梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式； (3)当梯形的高由8cm变化到2cm时，梯形的面积的变化情况． 【变式1-2】如图，在中，，高．动点由点沿向点移动（不与点重合）．设的长为，的面积为． (1)在这个过程中，哪些量是常量，哪些量是变量？ (2)请写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． (3)当分别取，，时，计算出相应的的值． 【题型二】动点问题的函数图象 【例2】如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 易错警示 看图象要结合动点运动的轨迹，明确横纵坐标代表的实际意义，抓住图象的拐点、端点对应动点的特殊位置，切勿脱离图形单看图。 【变式2-1】如图①，在四边形中，，，，动点从点出发，沿→→→的方向运动，到达点停止．设点运动的路程为（），的面积为（），如果与之间的关系图象如图②所示，那么四边形的面积为__________． 【变式2-2】某校八年级登山小组以的速度开始登山，走了一段时间后休息了一会儿．由于山路逐渐变陡，所以休息后就以的速度继续前进．一段时间后到达山顶，吃午饭并原地活动．午休后，又以的速度下山，中间再也没有休息过，直到返回山脚．此次登山活动，整个过程中所走路程与所用时间之间关系的图象大致是下列中的哪一个？ 【题型三】正比例函数的定义 【例3】已知y关于x的函数是正比例函数，求m的值． 易错警示 正比例函数解析式必须满足y=kx（k≠0），注意自变量的指数必须为1且一次项系数不为0，切勿漏掉k≠0这一隐含条件。 【变式3-1】已知关于x的函数，当a，b为何值时，它是正比例函数？ 故当，时，该函数是正比例函数． 【变式3-2】已知关于的函数，当，为何值时，它是正比例函数？ 【题型四】求一次函数自变量或函数值 【例4】已知一次函数，下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 易错警示 求自变量时代入y值解方程，求函数值时代入x值计算，要分清谁是已知谁是未知，切勿将x和y的值张冠李戴。 【变式4-1】，是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【变式4-2】根据如图所示的计算程序计算变量的值，若输入，时，则输出的值是________． 【题型五】已知函数经过的象限求参数范围 【例5】已知直线经过第一、二、四象限，且点和都在该直线上，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D．随的增大而减小 易错警示 牢记“k正过一三，k负过二四；b正交y轴正半轴，b负交负半轴”，根据经过的象限倒推k、b的符号列不等式，切勿把符号规律记反. 【变式5-1】如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么m应满足的条件是___________ 【变式5-2】直线经过一、二、三象限，那么不经过__________象限． 【题型六】判断一次函数的增减性 【例6】某一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则这个函数的表达式可能是（    ） A． B． C． D． 易错警示 一次函数的增减性由k决定，k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小，切勿抛开k值直接凭感觉看图判断。 【变式6-1】若点，都在一次函数的图象上，则______． 【变式6-2】某校初二年级某学习小组探究函数的图象与性质．下面是该组同学的探究过程，请补充完整： (1)下表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 4 3 2 0 1 3 4 ．．． 填空：___________，___________． (2)在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． (3)由函数图象可得： ①当___________时，随的增大而___________； 当___________时，随的增大而___________； ②当___________时，函数有最___________值为___________． 【题型七】根据一次函数增减性求参数 【例7】已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为（     ） A． B． C． D．或 易错警示 已知增减性求参数时，要转化为关于k的不等式（k>0或k<0）来求解，注意一次项系数不能为0，切勿漏解或忽略等号。 【变式7-1】在式子中，每增加1，增加，没变，因此也增加．在一次函数中，当由2增加到3时，函数值由5增加到7，则的值为（     ） A．2 B．3 C．5 D．7 【变式7-2】设一次函数为常数，当时，该一次函数的最大值是7，则的值为_____ 【题型八】比较一次函数值的大小 【例8】点，，在一次函数（是常数）的图像上，则，，大小关系是（     ） A． B． C． D． 易错警示 比较函数值大小，首选利用增减性判断；若k的符号未知，必须分k>0和k<0两种情况分类讨论，切勿直接代入盲目比较。 【变式8-1】已知点和点都在直线上，则与的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式8-2】已知，均在直线上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【题型九】梯度计价问题 【例9】为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：t）之间的函数图象，则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水8t，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为13t C．若当月用水15t，则当月水费45元 D．若当月用水超过10t，则每多用1t水，当月水费就多4元 易错警示 解决梯度计价问题，要找准收费标准的“分界点”及各段对应的单价，分段列解析式或计算，切勿直接用总价乘统一单价或遗漏基础费用。 【变式9-1】为保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计了居民用水“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元/ 超过但不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ (1)户居民本月用水量为12，求户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若户居民本月的水费为96元，则户居民本月用水量为__________． 【变式9-2】某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量（） 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 5 4 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式； (2)小刚一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 【题型一】一次函数图象平移问题 【例1】将函数的图像向下平移个单位长度，所得图像对应的函数表达式是____________________． 【变式1-1】若直线与直线互相平行，则m 的值为__________． 【变式1-2】将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则的值为_______________． 【题型二】一次函数图象与对称问题 【例2-1】对于直线，与它 (1)关于x轴成对称的直线解析式为 ． (2)关于y轴成对称的直线解析式为 ． (3)关于直线成对称的直线解析式为 ． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度，使其与一次函数的图象关于轴对称，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．-4 【变式2-2】函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示； -3 -2 -1 0 1 2 3 … 6 4 2 0 2 4 6 … 经历同样的过程画函数和的图象． (1)函数的自变量的取值范围____________． 对于函数，当_________时，． (2)观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化． ①图象与图象的交点坐标为___________ ②图象关于__________对称 ③对于函数，当时，的取值范围_____________． (3)探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． (4)拓展应用：，是函数的图象上的任意两点，且满足时，，则的取值范围是_____________． 【题型三】一次函数的规律探究问题 【例3】已知一次函数的图象如图，点在x轴正半轴上，且坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；……． (1)点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______； (2)①点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______； ②点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______． A．直线    B．轴 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【题型四】最大利润问题（一次函数的实际应用） 【例4】随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共90个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购x个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 100 128 足球 80 105 (1)求该商场采购费用y（单位：元）与x（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这90个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了k元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将90个球全部卖出获得的最低利润是1860元，求k的值． 【变式4-1】呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 【变式4-2】随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【题型五】行程问题（一次函数的实际应用） 【例5】一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以的速度匀速行驶．已知警车加满油后，油箱中的余油量与行驶时间之间的函数关系图象是如图所示的直线l的一部分． (1)求直线l的函数表达式． (2)警车加满油时，油箱中的油量是多少升？ (3)已知警车往返的耗油量相同．若要求警车按原路返回加油站时油箱中的余油量不少于，则其巡逻的最远路程是多少千米？ 【变式5-1】李虹和张惠平时的耐力与速度相差无几．某日体育课上，老师设计了一个的赛跑方案，让李虹从起跑就全速前进，而让张惠留着后劲儿，待到剩下最后时再加速，并跟踪记录了赛跑的全过程．赛跑的全过程如图所示． (1)你从这幅图中读出了哪些信息？ (2)老师设计这个方案的目的是什么？ 【变式5-2】在一次百米赛跑过程中，小明跑过的路程与所用时间之间的函数关系如图所示． (1)s是t的什么函数？ (2)写出s与t之间的函数关系式． (3)小明在此次比赛中的速度是多少？ 【题型六】一次函数与几何综合 【例6】如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 【变式6-1】【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 【变式6-2】如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【题型一】、符号与图像位置模型（象限判定模型） 【模型解读】 一次函数 的图像是一条直线，通过 （斜率）和 （截距）的符号，可以快速判定直线经过的象限，反之亦然。 结论： 当 时，直线经过第一、二、三象限； 当 时，直线经过第一、三、四象限； 当 时，直线经过第一、二、四象限； 当 时，直线经过第二、三、四象限。 证明（推导）： 令 ，得 ，即直线与 轴交于点 。 令 ，得 ，即直线与 轴交于点 。 根据 决定直线的倾斜方向（ 向上倾斜， 向下倾斜），结合 决定与 轴交点在原点上方还是下方，画出草图即可得出结论。 【例1】已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 【变式1-1】我们称绝对值函数的最值点为函数的顶点，如的顶点坐标是； (1)函数的顶点坐标是 ，经过 象限 (2)对于函数 ①函数图象经过原点时，求的值． ②直接写出函数经过不同象限时，对应的的取值范围． (3)点在函数上，若，直接写出的取值范围． 【变式1-2】请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． （1）①当时， ②当时，______； ③当时，______； 显然，②和③均为某个一次函数的一部分 （2）在平面直角坐标系中，作出函数的图象． （3）一次函数（为常数，）的图象过点，无解，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【题型二】两直线交点与二元一次方程组模型 【模型解读】 两条一次函数图像的交点坐标，在代数上就是它们所对应的二元一次方程组的解。这是“数形结合”的核心考点。 【图形特征】 直线 ，直线 （），交于点 。 结论： 如图，交点 的坐标 即为方程组 的唯一解 。 证明（推导）： ∵ 点 在直线 上，∴ 成立。 ∵ 点 也在直线 上，∴ 也成立。 ∴ 同时满足两个方程，即 是方程组的解。 （反之，若方程组有唯一解，则两直线必相交于该坐标点）。 【例2】如图，直线经过点． (1)求直线的表达式； (2)直线与轴交于点，直线与直线交于点，与轴交于点，求的面积． 【变式2-1】如图，直线：与轴、轴分别交于，，与直线：交于点． (1)根据函数图象，方程组的解为__________； (2)求，的值及的面积． 【变式2-2】如图，直线经过点和点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)求的面积． 【题型三】直线与坐标轴围成面积模型 【模型解读】 一次函数图像与两条坐标轴围成一个直角三角形，通过解析式求该三角形面积，或已知面积求解析式中的参数。 【图形特征】 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与原点 构成 结论： 如图，直线 与坐标轴围成的 的面积为： 。 证明（推导）： 1. 求与 轴交点：令 ，则 。∴ 点 ，底边 。 1. 求与 轴交点：令 ，则 ，解得 。∴ 点 ，底边 。 1. 根据三角形面积公式：。 【例3】如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在y轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与直线相交于点． (1) ， ； (2)点为直线上一点，且点在第二象限，若，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的垂线，与直线，直线分别相交于点、，若，请直接写出点的坐标． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． (1)求一次函数的表达式； (2)如图，点为射线上一动点，若，求点的坐标． 技巧 一句话要点 识别一次函数/正比例函数——“结构特征”辨析法 解析式化为 形式，抓住核心：、自变量 的次数为1、常数项 可为任意实数（ 时为正比例函数）。 判断图象经过的象限——“k、b符号”口诀法 定增减与倾斜， 定y轴交点；结合“k正过一三，k负过二四”与 的正负，快速画出草图判定象限。 判断增减性——“看k不看b”法 只需看比例系数 ： 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小。与 无关。 求一次函数解析式——“待定系数”两步法 设 ；将已知两点坐标代入，解二元一次方程组求出 、 的值（正比例函数只需代入一个非原点坐标）。 一次函数图象的平移——“左加右减，上加下减”法 左右平移改变自变量 （左加右减括号内）；上下平移改变常数项 （上加下减括号外），只改变 不改变 。 求两直线的交点坐标——“联立方程组”法 将两个一次函数解析式联立成二元一次方程组，方程组的解即为交点坐标 。 利用图象解不等式——“看上下位置”法 比较两个函数大小，就是看图象谁在谁的上方；上方图象对应的函数值大，寻找对应 的范围即可。 k与b的几何意义——“倾斜与截距”法 决定直线的倾斜程度， 越大直线越陡； 是直线与 轴交点的纵坐标（截距）。 实际应用（方案选择/最值）——“建模 + 增减性”法 根据题意列出函数关系式，结合实际意义求出自变量取值范围，利用 的正负（增减性）求最大利润或最低成本。 分段计费问题——“找拐点分段”法 观察图象或题意，找出计费标准改变的“拐点”，分区间写出对应的函数解析式，注意各段自变量的取值范围。 判断点是否在图象上——“代入验证”法 将点的横坐标代入解析式求出 值，若等于该点纵坐标，则点在直线上；否则不在。 与坐标轴围成面积——“交点坐标找底高”法 先求出直线与 轴、 轴的交点坐标，利用坐标的绝对值作为直角三角形的底和高，再用面积公式计算。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $