27.4 高铁列车运行中的数量关系（第1课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第27章　反比例函数 27.4 高铁列车运行中的数量关系（第1课时） 高铁运行的数学建模 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 从一张车次时刻表出发 研究材料 以教材展示的年月G19次“复兴号”北京南至上海虹桥时刻表为材料。它是特定历史时刻表，不能当作当前出行依据。 核心问题 怎样从到发时刻获得行驶时间？只知道时间能确定路程吗？把列车运行作合理简化后，我们可以估计路程、比较平均速度，并反思偏差。 情境引入 活动任务 从所给高铁列车时刻表中能得到哪些信息？能提出哪些问题？ 车站 到时 发时 停留 北京南 — 16:00 — 济南西 17:22 17:24 2 min 南京南 19:24 19:26 2 min 上海虹桥 20:28 — — 答：可读到发、停站时刻；可问全程用时与平均速度。 全程4 h 28 min，两次停站各2 min。 到发时刻给用时，里程仍需补充。 情境引入 活动任务 根据时刻表信息，能否解决自己提出的问题？若不能，还需要哪些信息？ 车站 到时 发时 停留 北京南 — 16:00 — 济南西 17:22 17:24 2 min 南京南 19:24 19:26 2 min 上海虹桥 20:28 — — 答：用时可求；路程还需里程资料或速度过程模型。 同一用时可对应不同路程，不能仅凭时间求路程。 区分已有时刻信息与建模假设。 新知讲授 研究的条件与假设 教材给定 三段行驶用时分别约为 h、 h、 h；每段出站约 min加速至 km/h，进站前 min减至，中间近似匀速。 简化假设 进一步把加速和减速看作匀变速，速度图象相应为直线。所有按此计算的路程都是模型估计，不是实测里程。 新知讲授 匀变速阶段如何求路程 面积解释 速度随时间均匀地从增到，这段平均速度为 km/h。路程为平均速度乘用时。 图象解释 在图中，这段路程数值等于底为时间、髙为速度的三角形面积。匀速段对应矩形，减速段也对应三角形。 0.5 1 1.5 100 200 300 400 t/h v/(km/h) O A B 例题讲解 变式 加速阶段 min，速度由均匀增至 km/h，估计加速阶段路程。 答： km。 min等于 h。 路程 km。 先明确用时口径与运行假设，再将各阶段路程相加。 例题讲解 变式 速度由 km/h均匀降至，历时 min，估计路程。 答： km。 平均速度同样为 km/h。 相同底和高给出同样的三角形面积。 先明确用时口径与运行假设，再将各阶段路程相加。 例题讲解 活动任务 按教材近似用时 h、 h、 h，每段起止各用 min匀变速，中间 km/h匀速，估计三段路程。 （1） 北京南至济南西、济南西至南京南。 （2） 南京南至上海虹桥。 （1） 答：约 km、 km。 每段总路程。 分别代入。 （2） 答：约 km。 匀速时间为 h。 总路程。 先明确用时口径与运行假设，再将各阶段路程相加。 例题讲解 活动任务 上述三段的平均速度是否一样？不计算能否判断？依据是什么？ 答：不一样；加减速时长相同时，总用时越长，匀速段所占比例越大，平均速度越接近350 km/h。 三段起止低速阶段相同，损失的路程均为87.5 km。 平均速度随增大而增大。 先明确用时口径与运行假设，再将各阶段路程相加。 例题讲解 变式 按上述路程与用时，求三段平均速度。 答：约、、 km/h。 分别计算、、。 第二段大于第一段，大于第三段，与结构分析相符。 平均速度用总路程除以总用时，须说明是否含停站。 例题讲解 活动任务 估计全程路程与全程平均速度。全程平均速度等于三段平均速度的平均值吗？ 答：按三段近似时长，路程约 km；按行驶 h计，平均速度约 km/h，不等于简单平均。 路程相加。 应用总路程÷总用时；若含停站，应再计入停留时间。 平均速度用总路程除以总用时，须说明是否含停站。 新知讲授 平均速度要说明计时口径 行驶平均 本模型将三段近似行驶时间加成 h，计算的是按此近似时间口径的行驶平均速度。 全程口径 若从发车到到站计时，要包括停站。教材粗略的分段时长与历史时刻表分钟数不完全一致，不能混用后声称是精确平均速度。 例题讲解 活动任务 画出列车全程速度随时间变化的图象。怎样由单段扩展到三段与停站？ 1 2 3 4 100 200 300 400 t/h v/(km/h) O 答：三段各由上升、水平、下降线段组成；两次停站各2 min时速度为0。 按近似1.5、2、1 h加两次停站作图，总用时约4.567 h。 每段起止各0.25 h，中间350 km/h；零速短线表示停站。 横轴按同一近似时间口径累计，各段到站速度均为0。 课堂练习 活动任务 查询三段实际长度后，怎样判断估计是否准确？若有差异，可能来自什么原因？ 答：资料核对示例：官方教材历史列车里程为0、406、1023、1318 km，三段为406、617、295 km。 本模型三段估计偏差依次为+31.5、-4.5、-32.5 km。 近似用时、低速时段及途中限速都可造成偏差；历史里程口径需一致。 总长接近不能保证各段都准确。 课堂练习 活动任务 假设三段起始和最后各 min匀变速，中间仍为 km/h匀速。三段路程分别多少？ 答：约、、 km。 总路程。 依次代入，总计1400 km。 先明确用时口径与运行假设，再将各阶段路程相加。 课堂练习 活动任务 由三段实际路程与时刻表，怎样描述列车实际运行状态？ 答：历史里程核对示例：三段平均速度约297.07、308.5、285.48 km/h，均低于350 km/h。 用406、617、295 km分别除以82/60、2、62/60 h。 在350 km/h匀变速模型下，加减速合计约24.80、28.46、22.86 min；仍不能唯一分开两段。 里程除以同段运行用时求平均；反推状态仍依赖模型。 课堂练习 活动任务 画出列车路程随时间变化的图象，并提出可由图象解决的问题。 1 2 3 4 400 800 1200 t/h s/km O S1 S2 S3 答：全程累计路程图如右：各段先弯、再直、后弯；停站时为水平短线。 三段末累计路程依次437.5、1050、1312.5 km。 例如第一段t=1 h时累计306.25 km；可由图或分段式求得。 累计路程不会倒退；停站只增时间，不增路程。 新知讲授 匀加速段的路程解析式 速度先变化 设起步后 h内匀加速，由 h达 km/h得，适用于。 路程是二次函数 平均速度为，所以。在起步时，在 h时 km，与前面的三角形面积一致。 新知讲授 匀速和减速段要接续 匀速段 第一段时，。起点处路程要继承加速阶段。 减速段 时，可写。这段逐渐变平滑，到站速度为，累计路程不应倒退。 课堂练习 活动任务 回顾用时刻表、运行状态估计路程，再由实际路程推断运行状态的过程，谈谈体会。 答：理想化假设使问题可计算；应把假设、估计、实际资料分开，并用新证据修正模型。 实际绝对匀速与匀变速很少实现。 模型能解释数量关系，但拟合近似不代表已还原真实全过程。 先明确用时口径与运行假设，再将各阶段路程相加。 例题讲解 活动任务 相邻站间运行 h，起始 h、最后 h分别匀变速，中段 km/h匀速。求路程关于的代数式。 答：，其中。 两个三角形面积为与。 加上矩形并合并同类项。 先明确用时口径与运行假设，再将各阶段路程相加。 方法归纳 活动实施与证据整理 分工研究 ① 5至8人一组，明确时刻表整理、计算、作图、资料核验任务。 ② 每项结果写明单位、时间口径和所用假设。 展示评价 ① 报告同时展示原始信息、模型结果和比较依据。 ② 通过同伴质疑检查数据来源、计算与结论边界。 例题讲解 变式 三段速度约291.67、306.25、262.5 km/h，简单平均约286.81 km/h。为何不是总行驶平均速度？ 答：各段用时不等，应按时间加权。 总平均为总路程÷总时间。 简单平均只在各段用时相等时才自然成立。 先明确用时口径与运行假设，再将各阶段路程相加。 例题讲解 变式 三段到发时刻依次为16:00至17:22、17:24至19:24、19:26至20:28。分别求不含停站的用时。 答：82 min、120 min、62 min。 16:00至17:22为82 min。 17:24至19:24为120 min；19:26至20:28为62 min。 每段用到站时刻减该段出站时刻，停站另计。 例题讲解 变式 教材约1.5、2、1 h与时刻表精确分钟数完全一致吗？ 答：不一致；它们是用于估计的粗略时间。 粗略合计270 min。 精确行驶合计264 min，加停站4 min为268 min。 先明确用时口径与运行假设，再将各阶段路程相加。 例题讲解 变式 某段最高速度350 km/h，到站速度为0。段平均速度能等于两者简单平均175 km/h吗？ 答：仅凭最高和到站速度不能确定；全程匀减速是平均175 km/h的一种情况。 本活动还包括加速和长匀速段。 平均速度应以全过程路程除以全过程用时。 端点速度不能替代全过程的路程与用时。 例题讲解 变式 若某模拟路段 h、 km、最高速度350 km/h，求。 答： h。 由。 解得0.5，但不能只凭此确定两个时长各是多少。 先明确用时口径与运行假设，再将各阶段路程相加。 例题讲解 变式 若模型路程比实际里程偏大，保持最高速度和总用时不变，可以怎样调整？ 答：可增加加减速总时长，或引入中途较低速运行段。 由可见总低速时长增加会减小路程。 调整应以实际速度记录为证据。 先明确用时口径与运行假设，再将各阶段路程相加。 例题讲解 变式 把“列车全程始终350 km/h”改成与材料相符的结论。 答：模型假设中间路段近似350 km/h，起止阶段速度改变，真实状态需运行记录验证。 保留假设与观测的区别。 最高速度不等于全程平均速度。 先明确用时口径与运行假设，再将各阶段路程相加。 课堂总结 高铁运行的数学建模 读表 时刻→用时→停留 假设 起止匀变速，中段匀速 模型 速度面积求路程；分段函数 比较 核对资料，解释偏差 反思 区分估计、事实与不确定性 针对训练 训练 只知道列车运行2 h，能唯一确定路程吗？ 答：不能。 不同速度过程可能有相同总用时。 还需路程资料或速度过程模型。 时间只提供一个量，路程还取决于速度过程。 针对训练 训练 起步加速12 min，换成小时为多少？ 答： h。 12除以60。 与km/h相乘时必须使用h。 时间单位先统一再乘速度。 针对训练 训练 有一段匀速350 km/h，能断言全程平均350 km/h吗？ 答：不能。 加速、减速与停站会降低平均值。 应计算总路程与总用时。 最高速度不能替代整个过程的平均速度。 针对训练 训练 模拟列车12 min内由0均匀加速至300 km/h，求路程。 答： km。 用时0.2 h，平均速度150 km/h。 路程150×0.2=30 km。 由零匀加速，平均速度等于最大速度的一半。 针对训练 训练 模拟路段用时1 h，起止各10 min匀变速，中段300 km/h匀速，求路程。 答： km。 总低速时间为1/3 h。 用。 低速段的平均速度为中段的一半。 针对训练 训练 某模拟行程两段分别150 km用0.5 h、250 km用1 h，平均速度多少？ 答：约266.67 km/h。 总路程400 km，总用时1.5 h。 400除以1.5，不能简单平均300与250。 不等时分段用总路程除以总时间。 针对训练 训练 固定总用时和最高速度，起止匀变速总时长增加，模型路程怎样变？ 答：减小。 。 低速阶段延长压缩了匀速运行。 保持其余量固定，再讨论一个参数变化。 针对训练 训练 模拟总路程900 km，行驶3 h，中途停留6 min，发站至到站平均速度约多少？ 答：约290.32 km/h。 总用时3.1 h。 900除以3.1，约290.32。 计时口径为发站到到站时，停站不能扣除。 针对训练 训练 模拟城际列车用时0.8 h，起止各0.1 h匀变速，最高240 km/h，中间匀速，估计路程与平均速度。 答：路程168 km；平均210 km/h。 路程240×(0.8-0.1)=168。 平均168/0.8=210。 先合计面积，再求平均；两者不是同一量。 针对训练 训练 模拟路段500 km，用时2 h，最高300 km/h，中段匀速且起止匀变速。能求什么，不能唯一求什么？ 答：加减速总时长为2/3 h；无法唯一确定起始和最后各自时长。 由500=600-150(t1+t2)求和。 一个和不能唯一确定两个独立未知数。 区分可确定的参数组合与尚欠缺的信息。 方法归纳 解题方法总结 建立运行模型 ① 从历史时刻表提取同一口径的用时。 ② 明确加减速假设，按速度图象面积分段求路程。 解释研究结论 ① 平均速度用总路程除以总时间，说明是否含停站。 ② 用权威实际里程核验，不能由总量接近保证分段准确。 $