26.2 二次函数的图象和性质（第1课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第26章　二次函数 26.2 二次函数的图象和性质（第1课时） 二次函数的图象和性质 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 从解析式到图象 观察与分析 给出任意实数的函数值。列表得到若干数对，再在坐标系中描点，就能观察整个函数的变化趋势。 结论与应用 研究图象时，数值表、点的位置与解析式应相互吻合。曲线连接点，但不能把相邻点直接用折线连接。 情境引入 列表中的对称数值 观察与分析 取，函数值依次为。互为相反数的对应相等的。 结论与应用 这种数值特征会在图象中表现为关于轴对称。先找对称关系，可减少描点工作并提高图象准确度。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 新知讲授 抛物线 定义 我们把二次函数的图象叫作抛物线。 理解 它是一条平滑曲线，可能开口向上，也可能开口向下。不能只凭生活图案看起来弯曲，就认定它符合某个二次函数。 新知讲授 对称轴与顶点 定义 每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点。 理解 对，对称轴是轴，顶点为，也是最低点。对称轴是一条直线，顶点是一个点。 新知讲授 开口向上的增减 观察与分析 从图象看，时，从左往右增大，逐渐减小；时，逐渐增大。 结论与应用 描述增减必须带区间，不能说整个函数一直增大。顶点把图象分成下降与上升的两个部分。 新知讲授 顶点是最小值的位置 观察与分析 ，在时等号成立。因此的最小值为，取得最小值时自变量为。 结论与应用 区分“最小值”和“取得最小值的”：前者是纵坐标，后者是横坐标。这两个数碰巧相同，含义仍不同。 新知讲授 改变正系数的图象 观察与分析 比较，三者都关于轴对称，顶点相同，开口均向上。 结论与应用 同一非零下，系数越大，函数值越大；看整体图形时，系数越大，抛物线的开口越小。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 新知讲授 开口大小的比较方式 观察与分析 为了比较开口，可取同一高度，比较曲线离对称轴的水平距离。距离越小，曲线越窄。 结论与应用 也可固定同一非零横坐标，比较纵坐标变化幅度。图象必须使用相同的坐标单位，才能直接比较视觉宽窄。 新知讲授 负系数与开口向下 观察与分析 是关于轴的对称图象，对称轴仍为轴，顶点仍为原点。 结论与应用 所有函数值都不大于零，顶点成为最高点。这说明的符号决定开口方向。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -10 -5 5 10 x y O 新知讲授 开口向下的增减 观察与分析 在中，时，随增大而增大；时，随增大而减小。 结论与应用 与开口向上恰好相反。判断时沿从小到大的方向读曲线，不要沿着自己选择的路径任意观看。 新知讲授 负系数的开口大小 观察与分析 比较，当更小时，绝对值变大，图象更窄。 结论与应用 统一表述是：绝对值越大，开口越小。不能脱离正负条件，简单说越大开口就越小。 新知讲授 一般的轴与顶点 观察与分析 对，互为相反数的横坐标始终给出相等纵坐标，所以对称轴是轴，顶点是原点。 结论与应用 它们的位置不随变化；系数只控制开口方向与开口大小。后续平移会改变位置，但本课先研究这一基本形态。 新知讲授 由点求二次项系数 观察与分析 若经过，代入得，因此。一个横坐标非零的点即可确定。 结论与应用 若只知道经过原点，无法确定，因为所有都经过原点。要看条件是否含有独立信息。 新知讲授 点是否在图象上 观察与分析 判断是否在上，计算，与纵坐标相同，所以点在图象上。 结论与应用 若已知点在图象上，可据此列方程。代入时横纵坐标各有位置，不能把互换。 新知讲授 用对称性找另一点 观察与分析 若在上，则也在图象上。对称点纵坐标相同、横坐标互为相反数。 结论与应用 原点在对称轴上，对应点是自身。作图时先描顶点，再描成对的点，能使两侧图形自然对称。 新知讲授 比较函数值不必逐个计算 观察与分析 在中，离对称轴越远，越大，函数值越大。因此比较时的值可先比较。 结论与应用 当时，平方乘负数会逆转大小。先看符号，再比较距离，能减少计算并避免方向错误。 新知讲授 坐标单位必须一致 观察与分析 画多条抛物线时，在同一个坐标系中使用同样的刻度。两张单位不同的图不能直接比较开口宽窄。 结论与应用 函数值较大时，可缩小选取横坐标的范围，或选择合适纵轴刻度。图象既应完整体现顶点，也要有足够的对称点。 新知讲授 描点后的连接与延伸 观察与分析 列表得到的点只是曲线的一部分，二次函数定义域为全体实数时，图象向左右无限延伸。 结论与应用 用平滑曲线顺次连点，并在两端保留延伸趋势。不要把顶点画成尖角，也不要误画成只连接几个点的有限折线。 例题讲解 例 1 在同一平面直角坐标系中，画出的图象。 2 0.5 0 0.5 2 8 2 0 2 8 答：两函数的对应值见表。 时，两个函数值分别为与。 同一行左右对称的横坐标对应相等纵坐标。 符号决定开口，绝对值决定宽窄，增减要按轴左右分开。 例题讲解 例 1 在同一平面直角坐标系中，画出的图象。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 答：两曲线开口向上、轴为纵轴、顶点为原点；更窄。 按表中坐标描出顶点与成对的点，用平滑曲线连接。 同一高度处，较大正系数的曲线离轴更近。 符号决定开口，绝对值决定宽窄，增减要按轴左右分开。 课堂练习 练习 在同一平面直角坐标系中，画出的图象。 -2 -1 1 2 -10 -5 5 10 x y O 答：两者关于轴对称，形状相同，开口方向相反。 取，纵坐标分别为与。 先描原点与两侧对称点，再平滑连接。 列表先取原点与成对横坐标，描点后用平滑曲线连接；两图关于横轴对称。 课堂练习 练习 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着横坐标增大的变化情况。 （1） （2） （3） （4） （1） 答：开口向上；对称轴，顶点；时随增大而减小，时随增大而增大。 系数为正，左降右升。 （2） 答：开口向下；对称轴，顶点；时随增大而增大，时随增大而减小。 系数为负，左升右降。 符号决定开口，绝对值决定宽窄，增减要按轴左右分开。 课堂练习 练习 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着横坐标增大的变化情况。 （1） （2） （3） （4） （3） 答：开口向上；对称轴，顶点；时随增大而减小，时随增大而增大。 开口向上且较宽。 （4） 答：开口向下；对称轴，顶点；时随增大而增大，时随增大而减小。 开口向下且较宽。 符号决定开口，绝对值决定宽窄，增减要按轴左右分开。 例题讲解 示例 指出的开口方向、对称轴、顶点与增减情况。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 答：开口向上；对称轴，顶点；时随增大而减小，时随增大而增大。 系数，所以开口向上。 图象关于纵轴对称，顶点为原点；以为界判断两侧增减。 符号决定开口，绝对值决定宽窄，增减要按轴左右分开。 例题讲解 示例 指出的开口方向、对称轴、顶点与增减情况。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 x y O 答：开口向下；对称轴，顶点；时随增大而增大，时随增大而减小。 系数，所以开口向下。 图象关于纵轴对称，顶点为原点；以为界判断两侧增减。 符号决定开口，绝对值决定宽窄，增减要按轴左右分开。 例题讲解 示例 抛物线经过，求解析式。 -3 -2 -1 1 2 3 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 x y O A 答：。 ，得。 把已知点的横纵坐标代入解析式；非零横坐标才能确定系数。 例题讲解 示例 在中，比较时的函数值大小。 答：。 平方为，乘负数后大小反向。 符号决定开口，绝对值决定宽窄，增减要按轴左右分开。 例题讲解 示例 ，按开口从大到小排列。 答：，，。 比较系数绝对值，越小越宽。 符号决定开口，绝对值决定宽窄，增减要按轴左右分开。 例题讲解 示例 已知经过原点，能确定吗？ 答：不能。 代入得到，所有非零均满足。 把已知点的横纵坐标代入解析式；非零横坐标才能确定系数。 课堂总结 二次函数的图象和性质 图象 平滑抛物线 位置 对称轴为纵轴，顶点为原点 方向 正系数向上，负系数向下 宽窄 系数绝对值越大开口越小 增减 以纵轴为界，按开口分别判断 针对训练 训练 抛物线的性质正确的是（ ）。A.开口向上、顶点原点；B.开口向下；C.对称轴为横轴；D.最大值为。 答：选A。 ，所以开口向上，对称轴为纵轴。 ，在取最小值，D把最小值说成最大值。 符号决定开口，绝对值决定宽窄，增减要按轴左右分开。 针对训练 训练 的开口向，对称轴为，顶点为。 答：下；纵轴；。 首项系数为负，所以向下开口。 函数关于对称，时最高值为零。 先看系数符号判断开口，再利用平方非负确定顶点与最值。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 时，开口向下。 正确 负平方项使顶点成为最高点。 （2） 越大，开口越大。 错误 绝对值越大，图象越窄，开口越小。 （3） 的对称轴为横轴。 错误 对称轴是纵轴，横坐标相反时函数值相等。 逐项区分开口方向、开口大小与对称轴；系数符号和绝对值各管一项。 针对训练 训练 点在上，写出关于对称轴的对称点。 答：。 对称轴为，对称点横坐标和为零。 ，纵坐标保持。 关于纵轴的对称点保持纵坐标，横坐标互为相反数。 针对训练 训练 经过，求。 答：。 代入，得。 解得，非零且符合二次函数条件。 把已知点的横纵坐标代入解析式；非零横坐标才能确定系数。 针对训练 训练 在处的值怎样排序？ 答：。 三点到纵轴距离分别为。 系数为正，离轴越远函数值越大，依距离排序。 符号决定开口，绝对值决定宽窄，增减要按轴左右分开。 针对训练 训练 与哪个开口更小？方向如何？ 答：前者更小；前者向下、后者向上。 比较绝对值：，所以更窄。 负号给出向下开口，正号给出向上开口，宽窄与方向分开判断。 符号决定开口，绝对值决定宽窄，增减要按轴左右分开。 针对训练 训练 中纵坐标为的点有哪些？ 答：。 令，得。 ，补上共同纵坐标得到两个点。 符号决定开口，绝对值决定宽窄，增减要按轴左右分开。 针对训练 训练 拱门顶部为原点，竖直向上为纵轴。拱形满足，经过离中心水平、低于顶部的点。求及水平距中心处比顶部低多少。 答：；低。 ，故。 时。 以拱顶建系时，低于拱顶的纵坐标为负；由一个非顶点求出系数再代入。 针对训练 训练 正方形面积。边长从增加到时，面积如何变化？增加多少？ 答：随边长增大而增大，增加。 实际，在对称轴右侧递增。 。 符号决定开口，绝对值决定宽窄，增减要按轴左右分开。 方法归纳 解题方法总结 列表描点作图 ① 选成对的横坐标并描出顶点。 ② 使用同一刻度，平滑连点保持对称。 由系数读性质 ① 符号决定开口，绝对值决定宽窄。 ② 以零为界分别描述左右增减。 $