25.2 降次——解一元二次方程（第2课时） 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第25章　一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程（第2课时） 配方法 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 已有结构与新问题 观察与分析 能直接开方，而没有现成的平方结构。两式只差移项、补常数的过程。 结论与应用 本课研究怎样把一般的二次方程变成平方等于常数。配方不是猜答案，而是主动构造完全平方式。 情境引入 重温完全平方公式 观察与分析 。当二次项系数为时，中间项系数决定，最后一项必须等于。 结论与应用 若一次项为，就取，即；需要补上的数为。 新知讲授 探究：先移项 观察与分析 方程先变成。左边保留含未知数的项，右边集中常数项。 结论与应用 接下来要使左边成为。原来的常数项并不是配方所需的常数项，不能直接把它写成完全平方。 新知讲授 探究：两边同加 观察与分析 为了在左边配出平方，两边都加：，因此。 结论与应用 两边同时加同一个数，保持等式成立。只在左边补会改变方程，右边必须同步计算。 新知讲授 探究：开方降次 观察与分析 由得到，再移项得。 结论与应用 配方只负责构造平方，真正的降次仍由开平方完成。把二次方程转成两个一次方程后，分别求解。 新知讲授 配方法 定义 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。 理解 配方的目标形式为。这里的由一次项系数决定，由等式右边的运算结果决定。 新知讲授 一次项系数的一半 观察与分析 要补成，因此应补。先取一半，再平方，顺序不能倒。 结论与应用 例如时，一半为，补的数为，得到。补数永远非负，但括号内可能有负号。 新知讲授 分数也按同一规则 观察与分析 需要补，因为一次项系数的一半是。不能因出现分数而改用或。 结论与应用 检查时把展开，中间项仍为，常数项是。 新知讲授 先把二次项系数化为一 观察与分析 两边先除以，得到。此时才使用一半再平方的规则。 结论与应用 应补。如果直接根据原来的配方，平方系数会与原方程不一致。 新知讲授 化系数时不能漏项 观察与分析 方程两边除以时，每一项都要除：变成。 结论与应用 只把二次项除以，而常数项或一次项保持不动，会破坏等式。先写完整的新方程，再移项能减少漏除。 新知讲授 配方后的三种结局 观察与分析 配成后，有两个不等实根；有两个相等实根；无实数根。 结论与应用 是否存在实数根，由配方后右端决定，不能只根据原方程常数项的正负猜测。 新知讲授 零右端给出重根 观察与分析 本来就是，因此。不需要再补数或把平方展开。 结论与应用 观察到完全平方可以直接进入降次步骤。完整步骤并不意味着机械增加运算，应保持最简结构。 新知讲授 负右端表示无实数根 观察与分析 化为，而任意实数的平方非负。 结论与应用 结论是无实数根。不能把负数强行写进实数平方根，也不能停止在配方结果而不回答根的情况。 新知讲授 先整理复杂两边 观察与分析 应先整理为，再在两边加，得到。 结论与应用 配方所用的一次项系数是合并后的系数。原题两边都含未知数时，必须先统一到同一边。 新知讲授 错误辨析：只加一边 观察与分析 由直接写成，等于只在左边加，导致新方程与原方程不等价。 结论与应用 正确应为，即。补数之后先核对两边，最后再开方。 新知讲授 错误辨析：符号与平方 观察与分析 应配成，补数为。括号内负号来自一次项系数，补入的数仍是正数。 结论与应用 不要写成，也不要补。展开后中间项必须还原为。 新知讲授 配方也能说明取值 观察与分析 。用完全平方非负，可以说明这个式子不可能等于。 结论与应用 这种观察与解方程的配方是一回事。平方结构还可用于判断大小，为以后研究二次函数做准备。 新知讲授 整理步骤的书写 观察与分析 配方法一般经历：整理、化系数、移常数、两边补数、写平方、开方。每步保留等号，便于检查等价变形。 结论与应用 真正需要记住的是补一次项系数一半的平方，而这个规则的前提是二次项系数已为。 例题讲解 例2 解下列方程。 （1） （2） （3） （1） 答：。 化系数并移项：。 两边加，得。 ，分别解一次方程。 （2） 答：。 化系数并移项：。 两边加，得。 ，分别解一次方程。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 例题讲解 例2 解下列方程。 （1） （2） （3） （3） 答：无实数根。 化系数并移项：。 两边加，得。 右端为负数，实数的平方不能为负，所以无实数根。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 课堂练习 练习 填空，补成完全平方形式。 （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 的一半是。 把所得括号展开，核对中间项系数与补入的常数项。 （2） 答：。 补数取六的平方。 把所得括号展开，核对中间项系数与补入的常数项。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 课堂练习 练习 填空，补成完全平方形式。 （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 先取一半再平方。 把所得括号展开，核对中间项系数与补入的常数项。 （4） 答：。 分数也按相同规则。 把所得括号展开，核对中间项系数与补入的常数项。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 课堂练习 练习 解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （1） 答：。 ，两边加。 ；。 （2） 答：。 ，两边加。 ；。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 课堂练习 练习 解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （3） 答：。 ，两边加。 ；。 （4） 答：。 ，两边加。 ；。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 课堂练习 练习 解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （5） 答：无实数根。 化系数并移项：。 两边加，得。 右端为负数，实数的平方不能为负，所以无实数根。 （6） 答：。 化系数并移项：。 两边加，得。 ，分别解一次方程。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 例题讲解 示例 用配方法解方程。 答：。 化系数并移项：。 两边加，得。 ，分别解一次方程。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 例题讲解 示例 用配方法解方程。 答：。 化系数并移项：。 两边加，得。 ，分别解一次方程。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 例题讲解 示例 用配方法解方程。 答：。 化系数并移项：。 两边加，得。 ，分别解一次方程。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 课堂总结 配方法 目标 前提 二次项系数先化为一 补数 一次项系数一半的平方 降次 按右端正、零、负分类 检查 两边同加、正负两根 针对训练 训练 用配方法解，应在两边同时加（ ）。A.；B.；C.；D.。 答：选C。 一次项系数的一半为，平方为。 两边同加，得。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 针对训练 训练 填空：。 答：依次为。 一次项系数的一半为，它的平方为。 展开，中间项为，核对补数。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 二次项系数不为时，可直接按原一次项系数配方。 错误 必须先化二次项系数为一。 （2） 配方时，两边必须同时加上同一个数。 正确 等式两边同加一个数才能保持等价。 （3） 配方后的平方等于负数时，方程无实数根。 正确 任何实数的平方都不小于零。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 针对训练 训练 用配方法解方程。 答：。 化系数并移项：。 两边加，得。 ，分别解一次方程。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 针对训练 训练 用配方法解方程。 答：。 化系数并移项：。 两边加，得。 ，分别解一次方程。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 针对训练 训练 用配方法解方程。 答：。 化系数并移项：。 两边加，得。 ，再解一次方程。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 针对训练 训练 用配方法解方程。 答：无实数根。 化系数并移项：。 两边加，得。 右端为负数，实数的平方不能为负，所以无实数根。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 针对训练 训练 用配方法解方程。 答：。 化系数并移项：。 两边加，得。 ，分别解一次方程。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 针对训练 训练 矩形花圃的长比宽多，面积，求宽。用配方法求解。 答：宽为。 ，配成。 或，取正值。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 针对训练 训练 一块正方形场地边长增加后，面积是原来的倍。求原边长。 答：原边长为。 ，整理为。 ，得或，取。 二次项系数先化为一，两边同时加一次项系数一半的平方。 方法归纳 解题方法总结 构造完全平方 ① 先化系数，再决定补入的数。 ② 把补数同时加在方程两边。 由平方形式求根 ① 右边非负时开平方降次。 ② 右边为负数时说明无实数根。 $