专题03 图形的相似（知识&考点&公式&6高频&3易错&3重难&4模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材北师大版

专题03 图形的相似 目 录 识记类 思维导图 知识清单(8类) 考点清单(7类) 公式清单(11类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 成比例线段 定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 比例的项： · 、 叫比例__________ · 、 叫比例__________ · 叫 、、 的第四比例项 比例中项：如果 ，那么 叫做 、 的__________。 知识点02 比例的基本性质 基本性质： （交叉相乘相等） 合比性质： 等比性质： 知识点03 黄金分割 定义：点 把线段 分成两条线段 和 （），如果____________________，那么称线段 被点 黄金分割。 黄金比： 黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点。 知识点04 平行线分线段成比例定理 基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论（三角形中）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 两种基本图形： - A字型： 在三角形内部，平行于 - 8字型（X型）： 在三角形外部，交叉平行 知识点05 相似多边形 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质： - 对应角相等 - 对应边成比例 - 周长比 = __________ - 面积比 = 相似比的__________ 知识点06 相似三角形的判定 定义法：三角分别相等，三边成比例的两个三角形相似。 判定定理1（__________）：两角分别相等的两个三角形相似。 判定定理2（__________）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 判定定理3（__________）：三边成比例的两个三角形相似。 直角三角形特有判定：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 常见相似模型： - A字型：平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似 - 8字型：对顶三角形，有一组对顶角相等 - 母子相似（射影定理模型）：直角三角形斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 知识点07 相似三角形的性质 对应关系： - 对应角相等 - 对应边成比例 重要性质： 性质 结论 对应高的比 等于__________ 对应中线的比 等于__________ 对应角平分线的比 等于__________ 周长比 等于__________ 面积比 等于__________ 注意：面积比是相似比的平方，不是相似比！ 知识点08 图形的位似 定义：如果两个相似多边形对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 位似比：位似图形的相似比也叫位似比。 坐标系中的位似： 在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，相似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于__________或__________。 位似的性质： - 位似图形一定相似 - 对应边互相平行（或共线） - 对应顶点连线交于位似中心 考点01 比例的性质应用 考查形式：已知比例式，求代数式的值；比例式变形。 解题关键： - 基本性质：交叉相乘 - 设 法：设 ， - 等比性质：分母和不为 才能用 考点02 黄金分割计算 考查形式：已知线段长度，求黄金分割点分成的两段长度。 解题关键： - 黄金比 - 较长段 = 全长 - 较短段 = 全长 全长 - 一条线段有两个黄金分割点 考点03 平行线分线段成比例 考查形式：在三角形或平行线图形中，求线段长度；证明比例式。 解题关键： - 找平行线 - 确定对应线段 - 列比例式求解 常见图形：A字型、8字型 考点04 相似三角形的判定 考查形式：给出两个三角形的条件，判断是否相似；补充条件使两个三角形相似。 解题思路： - 有平行 直接得相似（A字型/8字型） - 有一对等角 再找一对等角（AA） - 有两边成比例 找夹角相等（SAS） - 直角三角形 找锐角相等或斜边直角边成比例 考点05 相似三角形的性质应用 考查形式：已知相似比，求周长比、面积比；已知面积比反求相似比。 解题关键： - 周长比 = 相似比 - 面积比 = 相似比 - 已知面积比求相似比要开平方 易错：面积比是相似比的平方，不要记反！ 考点06 相似三角形的实际应用 考查形式：测高、测距问题（旗杆、树高、河宽等）。 解题方法： - 构造相似三角形 - 把实际问题转化为相似三角形问题 - 利用相似比列比例式求解 常见模型： - 影子测高：物高/影长 = 物高/影长 - 标杆测高 - 镜子反射测高 考点07 位似图形 考查形式：判断位似中心和位似比；坐标系中画位似图形。 解题关键： - 对应顶点连线的交点就是位似中心 - 坐标系中以原点为位似中心，坐标乘以 或 序号 公式/结论 说明 1 比例基本性质： 交叉相乘相等 2 合比性质： 分子加减分母 3 等比性质： 和的比 分母和不为 4 黄金比： 较长段/全长 5 平行线分线段成比例： 三条平行线截两直线 6 相似三角形周长比 = 相似比 7 相似三角形面积比 = 相似比 注意是平方！ 8 对应高/中线/角平分线比 = 相似比 9 坐标系位似变换： 或 以原点为位似中心 10 相似多边形周长比 = 相似比 11 相似多边形面积比 = 相似比 辨析01 相似三角形与全等三角形概念的辨析 对比项 相似 全等 形状 相同 相同 大小 不一定相同 完全相同 对应边 成比例（比） 相等（） 关系 全等是相似比为 的特殊相似 辨析02 相似三角形的性质“周长比”与“面积比”的区别 已知相似比为 周长比 面积比 正确结论 常见错误 易错：面积比是相似比的平方，不是相似比！已知面积比求相似比要开平方。 辨析03 “AA”判定与“SAS”判定 判定方法 条件 注意 AA 两角对应相等 最常用，只要找两对相等角 SAS 两边成比例且夹角相等 必须是夹角，不是任意角！ 易错：两边成比例，一角相等，这个角必须是两边的夹角才相似！如果不是夹角，不一定相似。 辨析04 “A字型”与“8字型” 图形 特征 比例关系 A字型 ， 在 上， 在 上 8字型 ，交叉相交 关键：看到平行线就找相似三角形，注意对应顶点要写对位置。 辨析05 相似比的顺序 易错：相似比是有顺序的！ · ，相似比是 与 的对应边比 · 与 的相似比 注意：先说哪个三角形，对应边比就是哪个在前。 辨析06 相似与位似概念的辨析 对比项 相似 位似 形状 相同 相同 对应顶点连线 不一定交于一点 一定交于一点（位似中心） 关系 位似是特殊的相似 易错：相似图形不一定位似，但位似图形一定相似。 辨析07 黄金分割的两段 线段 占全长比例 较长段 较短段 比例关系 易错：一条线段有两个黄金分割点，不要只找一个！ 【题型一】比例的性质应用 【例1-1】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【例1-2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【变式1-1】（25-26九年级下·山东淄博·期中）已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【题型二】黄金分割的计算 【例2-1】（25-26七年级上·湖南张家界·期中）一般认为，人的肚脐至头顶的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金比例）最好看，如图是一个参加空姐选拔的选手的净身高情况，那么她应穿多高的鞋子才最好看（精确到1cm）？（　　） A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm 【例2-2】（25-26九年级上·上海长宁·期中）如果点是线段的黄金分点，且，若，则________． 【变式2-1】（25-26九年级上·北京昌平·期中）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【变式2-2】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_______________． 【题型三】相似三角形的判定 【例3-1】（25-26九年级上·四川巴中·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【例3-2】（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在中，，交于点，交于点． 求证： (1)； (2)． 【变式3-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型四】相似三角形的性质 【例4-1】（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果，，，那么的周长等于（    ）． A． B． C． D． 【例4-2】（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，已知，且．若，，则的长为（   ）    A． B． C． D．以上均不对 【变式4-1】（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，是的中位线，与交于点．则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，相交于点E，则（   ） A． B． C． D． 【题型五】相似三角形的应用 【例5-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）综合实践小组的同学利用平面镜、尺子等工具测量了某广场上路灯的高度．如图，在支架的点C处放置一面平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当小亮站在点F处时，恰好能从平面镜中看到路灯顶端A的像．已知小亮眼睛到地面的高度为，支架的高度为，小亮与支架的水平距离为，点B、D、F在同一直线上，，，，图中所有点均在同一平面内，求该路灯的高度． 【例5-2】（25-26九年级上·山东聊城·期中）某数学活动小组欲测量某建筑的高度，如图，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆的顶点和该建筑的顶点在同一条直线上． 若，，求该建筑的高． 【变式5-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 【变式5-2】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（1469），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁的高度． 步骤一：在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且清虚阁，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线； 步骤二：从标杆后退到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线． 请你根据以上数据，计算清虚阁的高度． 【题型六】图形的位似 【例6-1】（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于，则的周长为_____． 【例6-2】（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，的顶点坐标分别为 (1)画出绕点C顺时针旋转得到的，并写出点的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，并写出点的坐标． 【变式6-1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段轴，的长为2，点A的坐标为，以点O为位似中心，在第一象限内画线段，使它与线段位似（点A，B的对应点分别为点，）．若，则点的坐标为______． 【变式6-2】（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． (1)请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； (2)与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 【题型一】平行线分线段成比例 【例1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（   ） A．3 B．9 C．12 D．18 易错警示 · 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 · 关键：找准"对应"——同一直线上被截的两段，对应另一截线上的两段 · 口诀："上比上 = 下比下 = 全比全"，不要交叉比 · 平行线分线段成比例定理的前提：必须有平行线 · 反过来：知道线段成比例，也不能直接推平行，要满足对应成比例且位置对应 · A字型、8字型是最常见的两种基本图形 【变式1-1】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，若，，，则的值为________． 【变式1-2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，如果，那么（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为______． 【题型二】相似三角形动点中求时间多解问题易错问题 【例2】（25-26九年级上·广西百色·期中）如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 易错警示 · 相似三角形没有指定对应顶点时，要分情况讨论： ① △ABC ∽ △APQ ② △ABC ∽ △AQP · 两种对应关系列两个比例方程，解出两个时间值 · 最后检验：时间是否在动点运动范围内，超出的要舍去 · 先画运动轨迹图，标出出发点、方向、速度 · t秒后某点走过的路程 = 速度×t，剩余线段 = 总长 - 已走路程 · 代入比例时，线段长度必须与对应边匹配 【变式2-1】（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在中，动点M从点A出发，在边上以每秒的速度向点B运动，同时动点N从点C出发，在CA边上以每秒的速度向点A运动，点M，N的运动时间为t秒（），连接． (1)______，______，______；（用含t的代数式表示） (2)若与相似，求t的值． 【变式2-3】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，已知梯形中，，，P为一动点从点B出发，沿方向，以的速度由点B向点D运动；Q为另一动点，从C出发，沿方向，以的速度由点C向点D运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒． (1)如图1，当P运动t秒时，恰好有，求t的值； (2)如图2，过点Q作于点E． ①在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、A、D为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【题型三】相似三角形的判定与性质综合 【例3】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，在矩形中，连接，过作于．交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)点为线段延长线上．连接，若，求的长． 易错警示 · 判定相似的四条路： ① 两角分别相等 → 相似（最常用） ② 两边成比例且夹角相等 → 相似 ③ 三边成比例 → 相似 ④ 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似 · "两边成比例"必须是夹角相等，不能是任意角 · 相似三角形：对应边比 = 相似比k · 周长比 = 相似比k · 面积比 = 相似比的平方 k² 【变式3-1】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，正方形的对角线，相交于点，点是延长线上一点，连接，分别交，于点，，过点作于，交线段于． (1)若 ，求的大小； (2)求证：． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1，中，，平分，延长至，使，连接． (1)①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． (2)如图2，过作于，，求的值． 【变式3-3】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【题型一】相似三角形与动点问题综合 【例1-1】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在三边互不相等的中，，．动点从开始沿边运动，速度为秒，动点同时从点开始沿边运动，速度为秒，当点P到达点时，，就不再运动．设，两点运动时间为秒，解决以下问题： (1)证明：当时，； (2)若与相似，求的值． 【例1-2】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图所示，中，，，．点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．，分别从，同时出发．    (1)经过几秒，、间的距离等于？ (2)线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． (3)几秒时，与相似？ 【变式1-1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点、运动时间为．    (1)当 时，的面积为？ (2)当 时，使线段的长度为？ (3)当与相似时，的值是多少？ 【题型二】由平行截线求相关线段的长或比值 【例2-1】（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为________． 【例2-2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，若，，则长为______． 【变式2-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，则的长为_______． 【变式2-2】（25-26九年级上·山西临汾·期中）已知，则的长为__________． 【题型三】相似三角形与特殊四边形的性质综合问题 【例3-1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”． (1)下列四边形中，是“奋进四边形”的是_________； ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)正方形中，点M，N分别为上一点，且，如图1，连接，过点M作于点M，交于点，连接 ，若四边形为“奋进四边形”． ①求证：； ②若，求的值； (3)如图2，中，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长． 【例3-2】（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点运动，过点作交于点，取的中点，连接，点在的右侧，四边形为平行四边形． (1)如图，当点在线段上时，若，求的长． (2)如图，当点在线段上时，若直线将矩形的面积分为相等的两部分，求的长． (3)如图，当点在线段上时，若直线将矩形的面积分为相等的两部分，且为的中点，请直接写出的长． 【变式3-1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第88页的部分内容． 如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证：，证明：连接． (1)请根据素材提示，结合图①，写出完整的证明过程． (2)结论应用： 在平行四边形中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点． ①如图②，若为正方形，且，则的长为______； ②如图③，连接交于点，若四边形的面积为，则的面积为______． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海浦东·期中）如图，在矩形中，E是射线上一点，，是对角线的中点．连接并延长，交线段或线段于点． (1)当点在上： ①求证：； ②若，求的值． (2)若，，求的长． 【题型一】A字型相似模型 【模型解读】 平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的小三角形与原三角形相似。这是最常见的相似基本图形，看到平行线就要想到A字型相似。 【结论】 图形特征： 在 中，， 在 上， 在 上。 则： 1. 2. 对应边成比例： 3. 推论： 【例1】（25-26九年级上·上海浦东·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上． （1）求正方形DEFG的边长； （2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ． 【变式1-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在边上，且． （1）求证：； （2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数． （3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长． 【变式1-3】（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在中，，，，点D为边的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转至，连结． (1)线段的长为___________ ； (2)当时，求线段的长； (3)当点F落在内部时，求的取值范围； (4)当与的某一边平行时，直接写出线段的长． 【题型二】8字型（X型）相似模型 【模型解读】 两条线段交叉相交，形成对顶三角形。如果有一组对边平行，这两个对顶三角形就相似。8字型相似也是高频基本图形。 【结论】 图形特征： ， 与 交于点 。 则： 1. 2. 对应边成比例： 3. 面积比等于相似比的平方： 注意：对应顶点要写对， 对应 ， 对应 。 【例2】（25-26九年级上·北京昌平·期中）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【变式2-1】（25-26九年级上·四川广元·期中）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF． （1）求证：CE＝AF； （2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，，垂足为点，且． （1）求证：； （2）过点作的垂线，交于点，求证：． 【题型三】母子相似（射影定理）模型 【模型解读】 直角三角形斜边上的高把原三角形分成两个小直角三角形，这两个小直角三角形和原三角形两两相似。这就是“母子相似”模型，也叫射影定理模型。 【结论】 图形： 中，， 于 。 则有三个相似三角形： 射影定理结论： 1. 2. 3. 4. 面积法： 记忆：直角边的平方等于它在斜边上的射影乘以斜边。 【例3】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，在中，于，求证：． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 【变式3-2】（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）已知：如图，在中，D是AC上一点，连接BD，且∠ABD =∠ACB． （1）求证：△ABD∽△ACB； （2）若AD=5，AB= 7，求AC的长. 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E． （1）求证：△ACD∽△ABE； （2）若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由． 【题型四】K字型相似模型 【模型解读】 K字型相似（又称一线三等角模型），指一条直线上有三个等角，中间角的顶点将直线分成两段，两侧各形成一个三角形，这两个三角形构成相似关系。 【结论】 图形特征 1. 三个等角的顶点在同一条直线上 2. 中间角（）为公共顶点角 3. 两侧各有一个三角形： 和 核心结论：若 ，则 比例关系：由相似可得对应边成比例： 【例4】（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，在中，，，是上一点，，是上一动点，连接，作，射线交线段于. （1）求证：； （2）当是线段中点时，求线段的长； 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，点，，分别在，，边上，，． （1）求证：； （2）设，若，求线段的长． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°． （1）求证：； （2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长． 技巧 一句话要点 比例计算——"设k法" 遇到连比a:b:c=2:3:4，直接设每一份为k，所有量用k表示，代入所求式子约掉k。 比例变形——"交叉相乘法" a/b=c/d等价于ad=bc；等积式化比例式，交叉相乘验证。 黄金分割计算——"0.618速算法" 较长段=全长×0.618，较短段=全长×0.382；一条线段有两个黄金分割点。 平行线分线段成比例——"找平行列比例法" 看到平行线，直接列对应线段成比例；注意对应边要一一对应。 A字型相似——"平行即相似法" 三角形中一条边平行于第三边，截得的小三角形与原三角形相似，对应边成比例。 8字型相似——"对顶平行法" 两条线交叉，对顶三角形有一组对边平行，两个三角形相似。 相似三角形判定——"先找等角法" 证明相似优先找两对相等角（AA），最常用；两边成比例必须找夹角。 相似比与周长比——"周长等比法" 相似三角形周长比等于相似比，直接用，不用平方。 相似比与面积比——"面积平方比法" 面积比等于相似比的平方，注意是平方，不是相似比本身。 已知面积比求线段比——"开平方逆用法" 已知面积比求相似比，要开平方；不要直接拿面积比当线段比。 影子测高——"物高影长正比例法" 同一时刻物高与影长成正比，列比例式：物高₁/影长₁=物高₂/影长₂。 等积式证明——"化比例找相似法" 要证ab=cd，先化成a/c=d/b，再找相似三角形，由相似得比例。 中间比过渡——"桥梁法" 两个比没有直接联系时，找一个中间比当桥梁，两边都等于它。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的相似 目 录 识记类 思维导图 知识清单(8类) 考点清单(7类) 公式清单(11类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 成比例线段 定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 比例的项： · 、 叫比例外项 · 、 叫比例内项 · 叫 、、 的第四比例项 比例中项：如果 ，那么 叫做 、 的比例中项。 知识点02 比例的基本性质 基本性质： （交叉相乘相等） 合比性质： 等比性质： 知识点03 黄金分割 定义：点 把线段 分成两条线段 和 （），如果 ，那么称线段 被点 黄金分割。 黄金比： 黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点。 知识点04 平行线分线段成比例定理 基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论（三角形中）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 两种基本图形： - A字型： 在三角形内部，平行于 - 8字型（X型）： 在三角形外部，交叉平行 知识点05 相似多边形 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质： - 对应角相等 - 对应边成比例 - 周长比 = 相似比 - 面积比 = 相似比的平方 知识点06 相似三角形的判定 定义法：三角分别相等，三边成比例的两个三角形相似。 判定定理1（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。 判定定理2（SAS）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 判定定理3（SSS）：三边成比例的两个三角形相似。 直角三角形特有判定：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 常见相似模型： - A字型：平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似 - 8字型：对顶三角形，有一组对顶角相等 - 母子相似（射影定理模型）：直角三角形斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 知识点07 相似三角形的性质 对应关系： - 对应角相等 - 对应边成比例 重要性质： 性质 结论 对应高的比 等于相似比 对应中线的比 等于相似比 对应角平分线的比 等于相似比 周长比 等于相似比 面积比 等于相似比的平方 注意：面积比是相似比的平方，不是相似比！ 知识点08 图形的位似 定义：如果两个相似多边形对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 位似比：位似图形的相似比也叫位似比。 坐标系中的位似： 在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，相似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 。 位似的性质： - 位似图形一定相似 - 对应边互相平行（或共线） - 对应顶点连线交于位似中心 考点01 比例的性质应用 考查形式：已知比例式，求代数式的值；比例式变形。 解题关键： - 基本性质：交叉相乘 - 设 法：设 ， - 等比性质：分母和不为 才能用 考点02 黄金分割计算 考查形式：已知线段长度，求黄金分割点分成的两段长度。 解题关键： - 黄金比 - 较长段 = 全长 - 较短段 = 全长 全长 - 一条线段有两个黄金分割点 考点03 平行线分线段成比例 考查形式：在三角形或平行线图形中，求线段长度；证明比例式。 解题关键： - 找平行线 - 确定对应线段 - 列比例式求解 常见图形：A字型、8字型 考点04 相似三角形的判定 考查形式：给出两个三角形的条件，判断是否相似；补充条件使两个三角形相似。 解题思路： - 有平行 直接得相似（A字型/8字型） - 有一对等角 再找一对等角（AA） - 有两边成比例 找夹角相等（SAS） - 直角三角形 找锐角相等或斜边直角边成比例 考点05 相似三角形的性质应用 考查形式：已知相似比，求周长比、面积比；已知面积比反求相似比。 解题关键： - 周长比 = 相似比 - 面积比 = 相似比 - 已知面积比求相似比要开平方 易错：面积比是相似比的平方，不要记反！ 考点06 相似三角形的实际应用 考查形式：测高、测距问题（旗杆、树高、河宽等）。 解题方法： - 构造相似三角形 - 把实际问题转化为相似三角形问题 - 利用相似比列比例式求解 常见模型： - 影子测高：物高/影长 = 物高/影长 - 标杆测高 - 镜子反射测高 考点07 位似图形 考查形式：判断位似中心和位似比；坐标系中画位似图形。 解题关键： - 对应顶点连线的交点就是位似中心 - 坐标系中以原点为位似中心，坐标乘以 或 序号 公式/结论 说明 1 比例基本性质： 交叉相乘相等 2 合比性质： 分子加减分母 3 等比性质： 和的比 分母和不为 4 黄金比： 较长段/全长 5 平行线分线段成比例： 三条平行线截两直线 6 相似三角形周长比 = 相似比 7 相似三角形面积比 = 相似比 注意是平方！ 8 对应高/中线/角平分线比 = 相似比 9 坐标系位似变换： 或 以原点为位似中心 10 相似多边形周长比 = 相似比 11 相似多边形面积比 = 相似比 辨析01 相似三角形与全等三角形概念的辨析 对比项 相似 全等 形状 相同 相同 大小 不一定相同 完全相同 对应边 成比例（比） 相等（） 关系 全等是相似比为 的特殊相似 辨析02 相似三角形的性质“周长比”与“面积比”的区别 已知相似比为 周长比 面积比 正确结论 常见错误 易错：面积比是相似比的平方，不是相似比！已知面积比求相似比要开平方。 辨析03 “AA”判定与“SAS”判定 判定方法 条件 注意 AA 两角对应相等 最常用，只要找两对相等角 SAS 两边成比例且夹角相等 必须是夹角，不是任意角！ 易错：两边成比例，一角相等，这个角必须是两边的夹角才相似！如果不是夹角，不一定相似。 辨析04 “A字型”与“8字型” 图形 特征 比例关系 A字型 ， 在 上， 在 上 8字型 ，交叉相交 关键：看到平行线就找相似三角形，注意对应顶点要写对位置。 辨析05 相似比的顺序 易错：相似比是有顺序的！ · ，相似比是 与 的对应边比 · 与 的相似比 注意：先说哪个三角形，对应边比就是哪个在前。 辨析06 相似与位似概念的辨析 对比项 相似 位似 形状 相同 相同 对应顶点连线 不一定交于一点 一定交于一点（位似中心） 关系 位似是特殊的相似 易错：相似图形不一定位似，但位似图形一定相似。 辨析07 黄金分割的两段 线段 占全长比例 较长段 较短段 比例关系 易错：一条线段有两个黄金分割点，不要只找一个！ 【题型一】比例的性质应用 【例1-1】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】线段成比例强调的是线段之间的数量关系，即两条线段的长度之比是否相等，由此计算即可求解． 【详解】解：选项A、 ， ∴ 四条线段不成比例，A错误； 选项B 、，则， ∴ 四条线段成比例，B正确； 选项C 、， ∴ 四条线段不成比例，C错误； 选项D 、， ∴ 四条线段不成比例，D错误； 故选：B． 【例1-2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 【变式1-1】（25-26九年级下·山东淄博·期中）已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，代入所求代数式并化简即可． 【详解】解：设，则， ∴． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按顺序对应成比例，据此列比例式求解即可． 【详解】解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． 【题型二】黄金分割的计算 【例2-1】（25-26七年级上·湖南张家界·期中）一般认为，人的肚脐至头顶的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金比例）最好看，如图是一个参加空姐选拔的选手的净身高情况，那么她应穿多高的鞋子才最好看（精确到1cm）？（　　） A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm 【答案】C 【分析】根据黄金分割的概念，可以知道黄金分割点把一条线段分成两部分，其中较短线段与较长线段的比约是0.618．因此，可以建立方程解决问题． 【详解】解：设她应穿xcm高的鞋子．根据题意，得 ≈0.618，解得x≈10． 经检验，x＝10是分式方程的解， 所以她应穿约10 cm高的鞋子才最好看． 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念，掌握黄金分割是解题的关键． 【例2-2】（25-26九年级上·上海长宁·期中）如果点是线段的黄金分点，且，若，则________． 【答案】 【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可． 【详解】解：∵是线段的黄金分点，且， ∴ ∵ ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍． 【变式2-1】（25-26九年级上·北京昌平·期中）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】C 【分析】根据黄金矩形的定义，得出宽与长的比例即可得出答案． 【详解】解：黄金矩形的宽与长的比等于黄金数， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义题型，给一个新的定义，根据定义来解题，对于这道题是基础题型． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_______________． 【答案】12.36cm 【分析】根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽＝20•，然后进行近似计算即可． 【详解】解：∵书的宽与长之比为黄金比，长为20cm， ∴它的宽＝20•10（1）≈12.36（cm）． 故答案为：12.36cm． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍． 【题型三】相似三角形的判定 【例3-1】（25-26九年级上·四川巴中·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再证明出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由（1）可得，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵为等边三角形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例3-2】（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在中，，交于点，交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：，， ． ． ， ， ； (2) ， ． ，， ， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解决问题的关键． （1）利用已知得出，即可得出答案； （2）利用，得出，进而求出即可． 【详解】（1）略 （2） 略 【变式3-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、等边对等角、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质结合已知可得，据此即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，再结合D是的中点可得，进而完成解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ 又∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型四】相似三角形的性质 【例4-1】（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果，，，那么的周长等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质及相似三角形的周长的比等于相似比的运用． 先求出等边三角形的周长，再根据三角形相似比得到周长比，从而求出周长． 【详解】解：∵等边三角形，， ∴． ∵点在边上，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【例4-2】（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，已知，且．若，，则的长为（   ）    A． B． C． D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质，连接交于点，分别由和求出和即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式4-1】（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，是的中位线，与交于点．则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的中位线的性质．根据中位线的性质可得，进而证明得出，，设，则，，进而表示出的面积，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线， ∴， ∴ ∴， ∴ 设，则， ∴ ∴ 故选：D． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，相交于点E，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方． 根据图形得出，结合相似三角形的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型五】相似三角形的应用 【例5-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）综合实践小组的同学利用平面镜、尺子等工具测量了某广场上路灯的高度．如图，在支架的点C处放置一面平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当小亮站在点F处时，恰好能从平面镜中看到路灯顶端A的像．已知小亮眼睛到地面的高度为，支架的高度为，小亮与支架的水平距离为，点B、D、F在同一直线上，，，，图中所有点均在同一平面内，求该路灯的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质．过点作，可证四边形为矩形，，根据相似三角形对应边成比例可得，可以求出的长度，再根据求出路灯的高度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 于点，于点，交的延长线于点， ，，， ， 四边形为矩形， ， 根据入射角等于反射角，可得：， ， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：路灯的高度为． 【例5-2】（25-26九年级上·山东聊城·期中）某数学活动小组欲测量某建筑的高度，如图，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆的顶点和该建筑的顶点在同一条直线上． 若，，求该建筑的高． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的运用，熟悉相似三角形的判定及性质是解题的关键． 根据题意可得，即，再代入长度求解即可． 【详解】解：， ， ， 由题意知，，，， ，， ， 解得， ， 答：该建筑的高为． 【变式5-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得出，代入数据求出的长即可； （2）由题意知，得出，由相似三角形的性质得出，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 即的长为； （2）解：由（1）知，， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即点E到地面的高度为． 【变式5-2】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（1469），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁的高度． 步骤一：在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且清虚阁，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线； 步骤二：从标杆后退到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线． 请你根据以上数据，计算清虚阁的高度． 【答案】清虚阁的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键. 根据垂直的定义得到 ，根据相似三角形的性质得到，得到，求得，于是得到结论． 【详解】解： ， ， ， ， ，即 ， ， 解得， ， 解得， 答：清虚阁的高度为米． 【题型六】图形的位似 【例6-1】（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于，则的周长为_____． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即．再根据相似三角形的周长比等于相似比，结合已知条件求出相似比，进而求出的周长． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，且等于相似比． ， ． 与的相似比为． 相似三角形的周长比等于相似比，． 的周长等于， 的周长． 【例6-2】（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，的顶点坐标分别为 (1)画出绕点C顺时针旋转得到的，并写出点的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，并写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求；； (2) 如图，即为所求，． 【分析】（1）根据旋转的性质，画出，进而写出的坐标即可； （2）根据位似的性质，画出，进而写出的坐标即可； 【详解】（1） 略 （2） 略 【变式6-1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段轴，的长为2，点A的坐标为，以点O为位似中心，在第一象限内画线段，使它与线段位似（点A，B的对应点分别为点，）．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据位似比画图，即可得到结果． 本题考查位似的知识，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：由题可知，与位似，且相似比为, ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为， ∵ ∴点的坐标为， 【变式6-2】（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． (1)请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； (2)与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 【答案】(1)； 如图，即为所求． (2)位似；位似中心的坐标为原点；相似比为 【分析】本题主要考查的知识点是平面直角坐标系中图形的位似变换(包括坐标变换、位似中心与位似比的确定)． （）先根据“横坐标、纵坐标都乘”的规则，分别计算出点的坐标，再在坐标系中描出这三个点并依次连线，即可得到； （）根据位似的定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行(或在同一直线上)，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比；判断与是相似，再观察对应顶点连线的交点确定位似中心，最后通过坐标的比例关系求出位似比，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵点， ∴点的横坐标、纵坐标都乘，得 的坐标，即； 的坐标，即； 的坐标，即； 在坐标系中画出，再依次连接这三个点， 即可得到； （2）解：位似；位似中心的坐标为原点；相似比为。 如图：连接与、与、与，三条连线都经过原点， 各对应顶点的横、纵坐标的绝对值的比都是，所以相似比(位似比)为， 因此，与位似，位似中心的坐标为，位似比为． 【题型一】平行线分线段成比例 【例1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（   ） A．3 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”可得，设，则，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴，化简得， 解得， 经检验，是方程的解， ∴． 易错警示 · 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 · 关键：找准"对应"——同一直线上被截的两段，对应另一截线上的两段 · 口诀："上比上 = 下比下 = 全比全"，不要交叉比 · 平行线分线段成比例定理的前提：必须有平行线 · 反过来：知道线段成比例，也不能直接推平行，要满足对应成比例且位置对应 · A字型、8字型是最常见的两种基本图形 【变式1-1】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，若，，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据，可得，代入数值求出的长，再根据计算即可． 【详解】， ， ，，， ， ， ． 【变式1-2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例定理进行证明即可． 【详解】解：， ， ， ． 【变式1-3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 【题型二】相似三角形动点中求时间多解问题易错问题 【例2】（25-26九年级上·广西百色·期中）如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，36 (3)或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）用矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由题意，， ∴， 当时，则，解得； （2）解：是定值； ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，能与相似． 易错警示 · 相似三角形没有指定对应顶点时，要分情况讨论： ① △ABC ∽ △APQ ② △ABC ∽ △AQP · 两种对应关系列两个比例方程，解出两个时间值 · 最后检验：时间是否在动点运动范围内，超出的要舍去 · 先画运动轨迹图，标出出发点、方向、速度 · t秒后某点走过的路程 = 速度×t，剩余线段 = 总长 - 已走路程 · 代入比例时，线段长度必须与对应边匹配 【变式2-1】（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据运动情况得到，，再根据求解，即可解题； （2）分两种情况：①当时，②当时，结合相似三角形性质列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ， ． ∵点是的中点，， ∴． ∴ ． （2）解：当运动时间为时，，． ①当时， 则， 即． 解得：． ②当时， 则时， 即． 解得：，． 综上所述，或或． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在中，动点M从点A出发，在边上以每秒的速度向点B运动，同时动点N从点C出发，在CA边上以每秒的速度向点A运动，点M，N的运动时间为t秒（），连接． (1)______，______，______；（用含t的代数式表示） (2)若与相似，求t的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，列代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，由，得到，即可解答． （2）由勾股定理求出，分类讨论：① ②，根据相似三角形的性质，逐项求解即可． 【详解】（1）解：∵动点M从A向B以运动，运动时间为t， ∴； ∵动点N从C向A以运动， ∴； ∵，且， ∴． 故答案为：． （2）在中，，，由勾股定理，得． ∵与有公共角， ∴相似需满足“两边对应成比例且夹角相等”，分以下两种情况： ①时 ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得； ②， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得． ∴或． 【变式2-3】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，已知梯形中，，，P为一动点从点B出发，沿方向，以的速度由点B向点D运动；Q为另一动点，从C出发，沿方向，以的速度由点C向点D运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒． (1)如图1，当P运动t秒时，恰好有，求t的值； (2)如图2，过点Q作于点E． ①在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、A、D为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒 (2)①存在，秒或秒；②存在，秒或4秒或秒 【分析】（1）根据题意，得，，根据相似三角形的性质得，即，求解即可； （2）①过点D作于点，证明四边形是矩形，得，，在中，，设，得，，证明得，得，，分两种情况求解：当时；当时； ②过点作于点，证明四边形是矩形，得，，，在中，，在中，，，分三种情况求解：当时；当时；当． 【详解】（1）解：点P沿方向以的速度向由点向点D运动；点沿方向以的速度向由点向点运动， 点P由点到点D的运动时间为：（秒）， 点由点C到点D的运动时间为：（秒）， 运动时间为t秒， ，， ， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 的值为秒； （2）①过点D作于点， ， ，，，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 运动时间为t秒， ∴， 设， ，， ， ， ， ，即， ，， 存在P、A、D为顶点的三角形与相似， 当时， ，即， 解得：， （秒）； 当时， ∴，即， 解得：， （秒）； 综上所述，t的值为秒或秒时，以P、A、D为顶点的三角形与相似； ②过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， ∴， 在中，， 在中，，， 存在以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形； 当时，得， ， 解得：，， ， （不合题意，舍去），； 当时，得：， ， 解得：， ； 当时，得：， ， 解得：，， （不合题意舍去），； 综上所述，当t的值为秒或4秒或秒时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识点．利用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【题型三】相似三角形的判定与性质综合 【例3】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，在矩形中，连接，过作于．交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)点为线段延长线上．连接，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）由四边形是矩形，可得，，再由，可得，则，即可证明结论； （2）由四边形是矩形，，，可得，由，可得，再证明，即可求解； （3）过点作于点，证明，可得，，则，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 在中，， 由（1）可知，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或（舍去）． 易错警示 · 判定相似的四条路： ① 两角分别相等 → 相似（最常用） ② 两边成比例且夹角相等 → 相似 ③ 三边成比例 → 相似 ④ 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似 · "两边成比例"必须是夹角相等，不能是任意角 · 相似三角形：对应边比 = 相似比k · 周长比 = 相似比k · 面积比 = 相似比的平方 k² 【变式3-1】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，正方形的对角线，相交于点，点是延长线上一点，连接，分别交，于点，，过点作于，交线段于． (1)若 ，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：连接，如图所示： 由正方形的对角线相互垂直平分可知，，则， 在正方形中，对角线平分，则， 是的一个外角， ， ， ， ， ，则， ， ， ． 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余、正方形对角线平分对角得到相关角度，数形结合表示出，代入值计算后，再由直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由正方形性质得出相关角度及，推出，进而由三角形相似的判定与性质得出，恒等变形即可得证． 【详解】（1）解：在中，，则， 在正方形中，对角线平分，则， ， ， ， 在中，； （2）略 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1，中，，平分，延长至，使，连接． (1)①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． (2)如图2，过作于，，求的值． 【答案】(1)①证明：∵，平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②．理由如下： ， ， ， 又∵， ， ， 又∵， 为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ； (2) 【分析】（1）①由平分，得，结合题设，可得一组等角；再加上对顶角，满足两角分别相等，即可证；②由①的相似得比例式，变形为，结合证，得，故为等腰直角三角形，进而即可求解； （2）根据角平分线性质，与的面积比等于；又两三角形同高，面积比等于底，故．由、得，推出，则可得到． 【详解】（1）解：①略； ②略； （2）解：，平分， ∴点到和的距离相等， 的面积的面积， 又的面积的面积， ， ， 由（1）得，即， 又， ， ， ． 【变式3-3】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴． (2)6 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，则，，即可证明结论成立； （2）利用菱形的性质得，，得，由，即得，由相似三角形性质和，得，得，由，得，由，即得． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 由对称性知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型一】相似三角形与动点问题综合 【例1-1】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在三边互不相等的中，，．动点从开始沿边运动，速度为秒，动点同时从点开始沿边运动，速度为秒，当点P到达点时，，就不再运动．设，两点运动时间为秒，解决以下问题： (1)证明：当时，； (2)若与相似，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据，动点的速度为秒，动点的速度为秒，求出，，得到，推出， 根据，判定； （2）根据与相似，分或两种情况，当时，推出，得到，解得；当时，推出，得到，解得． 【详解】（1）当时，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， （2）∵的三边互不相等， ∴若与相似，则或， 当时，， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得． ∴若与相似，则或． 【点睛】本题主要考查了三角形相似，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，根据相似比列方程，解方程． 【例1-2】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图所示，中，，，．点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．，分别从，同时出发．    (1)经过几秒，、间的距离等于？ (2)线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． (3)几秒时，与相似？ 【答案】(1) (2)解：线段不能将分成面积相等的两部分，理由： 设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分， 依题意有的面积， 根据题意得 ， ， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； (3)秒或2.4秒时，与相似 【分析】考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）设经过秒，点和点间的距离是，列出方程求解即可； （2）设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）设经过秒时，与相似，分①时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）设经过秒，，依题意有， 解得（舍去），， 故经过24秒，； （2）略 （3）设经过秒时，与相似， ①时， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∴， ∴， ∴， 综上所述，秒或2.4秒时，与相似． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点、运动时间为．    (1)当 时，的面积为？ (2)当 时，使线段的长度为？ (3)当与相似时，的值是多少？ 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）经过秒，的面积等于9，先用含的代数式分别表示和的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可将时间求出； （2）根据勾股定理求得，根据线段的长度为，建立方程，解方程，即可求解； （3）利用相似三角形对应边的比相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，则． ， 由题意得， 解得， 所以运动时间为； （2）解：在中，， ∵，， ∴ 解得：或， ∴或时，使线段的长度为 故答案为：或． （3）解：若当时，． 即， 解得； 当时，． 即， 解得． 综上所述，当与相似时，的值是或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的判定．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解． 【题型二】由平行截线求相关线段的长或比值 【例2-1】（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，由平行线分线段成比例可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【例2-2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，若，，则长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据题意，可得，然后代入可得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·山西临汾·期中）已知，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理并准确找到对应线段的比例关系是解题的关键．先通过线段比例关系求出相关线段的比例，再结合已知长度计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【题型三】相似三角形与特殊四边形的性质综合问题 【例3-1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”． (1)下列四边形中，是“奋进四边形”的是_________； ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)正方形中，点M，N分别为上一点，且，如图1，连接，过点M作于点M，交于点，连接 ，若四边形为“奋进四边形”． ①求证：； ②若，求的值； (3)如图2，中，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是“奋进四边形”， ， ； ②； (3)或 【分析】（1）根据各四边形的特征即可求解； （2）①证明得．根据四边形是“奋进四边形”得，即可求证； ②过点N作，可得四边形为矩形，推出，由①可得．根据题意可得、为等腰直角三角形，据此即可求解； （3）过点P作，垂足为D，先由勾股定理求解，分类讨论当时，当时，根据相似三角形的性质设未知数，再通过对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：直角梯形的对角线不一定相等，矩形四个内角均为直角且对角线相等； 菱形的对角线不一定相等，正方形四个内角均为直角且对角线相等； ∴是“奋进四边形”的是②④； （2）①略； ②如图1，过点N作，垂足为E， ∵四边形是正方形， ∴ ∴ 四边形为矩形， ． 由①知， ∵ ． ∵在正方形中，， 又∵ ，即， 为等腰直角三角形， ． ∵ ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∴ ∴； （3）解：中，， 根据勾股定理得，， 四边形为“奋进四边形”， ． ∵， ∴ 第一种情况：当时， ∴， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， ； 第二种情况：当时， ， 设．则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， 综上：或． 【例3-2】（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点运动，过点作交于点，取的中点，连接，点在的右侧，四边形为平行四边形． (1)如图，当点在线段上时，若，求的长． (2)如图，当点在线段上时，若直线将矩形的面积分为相等的两部分，求的长． (3)如图，当点在线段上时，若直线将矩形的面积分为相等的两部分，且为的中点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出矩形对角线的长，结合证得，再借助三角形中位线定理与勾股定理求的长度； （2）通过相似三角形得到线段比例关系，设，由平行四边形对角线互相平分确定点相关线段，再利用直线平分矩形面积必过矩形对称中心，构造相似三角形列方程求解； （3）当在上时，利用平行四边形性质确定点相关线段，结合直线过矩形对称中心构造相似，列方程求出的长． 【详解】（1）解：在矩形中，， 由勾股定理，． ， ． ， ， ，即， ，． 过点作于点， 在中，为的中点，且， 由三角形中位线逆定理可得，为的中点， ，． 在中，， 由勾股定理：，即； （2）解：， ， ， 设， ，．， 过点作于点， 在中，为的中点，， 为的中点， ，． 四边形为平行四边形， ，． ，即， ，即、两点到的距离在同一水平线上，点到的距离为， 点到的竖直距离等于到的距离，即， 设矩形的对称中心（对角线交点）为， 则到的距离为，到的竖直距离为， 直线将矩形面积平分， 直线必过对称中心． 过作于，过作于， 则，， 在上，，，且，， 由相似三角形对应边成比例得，即， 化简左边：， ， ，两边同乘， 得， 解得， ，即； （3）解：设， 四边形为矩形，， ， ， ，在上，在上， ，且， 为的中点， 点到的距离为，点到的竖直距离为， 四边形为平行四边形， ，， 点到的距离为，点到的竖直距离与点相同，为． 设矩形对称中心为，则到的距离为，到的竖直距离为， 直线过点， 过作于，过作于， 则， 在上，，，且，， 由，得， 令，则， 即， ，解得， ， ，即． 【变式3-1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第88页的部分内容． 如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证：，证明：连接． (1)请根据素材提示，结合图①，写出完整的证明过程． (2)结论应用： 在平行四边形中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点． ①如图②，若为正方形，且，则的长为______； ②如图③，连接交于点，若四边形的面积为，则的面积为______． 【答案】(1)证明：连接， ∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． (2)①，②4 【分析】（1）由题意可得是的中位线，则，，可得，则，即可证明结论； （2）①由题意可得，，，可得，可得，利用正方形可得，由，即可求解； ②连接，可得是、的中位线，可证明，，可得，，则，由四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵四边形是正方形，对角线、交于点，为边的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴． ②如图，连接，过点作于点，作于点， ∵在平行四边形中，对角线、交于点，为边的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海浦东·期中）如图，在矩形中，E是射线上一点，，是对角线的中点．连接并延长，交线段或线段于点． (1)当点在上： ①求证：； ②若，求的值． (2)若，，求的长． 【答案】(1)①证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ② (2) 【分析】（1）①由矩形的性质可得，，由等边对等角并结合平行线的性质得出，，即可得证；②求出，由直角三角形的性质并结合勾股定理可得，，从而即可得出结果； （2）由题意可得点只能在线段上，此时延长线交线段于点，设，，则，由，计算得出，证明，得出，代入对应线段的长计算即可得出结果． 【详解】（1）略； ②∵， ∴， 由①可得， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵E是射线上一点，， ∴点只能在线段上，此时延长线交线段于点， 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①可得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由可得， 将代入可得， 整理可得， 解得或（负值不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴． 【题型一】A字型相似模型 【模型解读】 平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的小三角形与原三角形相似。这是最常见的相似基本图形，看到平行线就要想到A字型相似。 【结论】 图形特征： 在 中，， 在 上， 在 上。 则： 1. 2. 对应边成比例： 3. 推论： 【例1】（25-26九年级上·上海浦东·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝30°， 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°， ∠DAC＝30°，AC＝6， ∴CD＝， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6， ∴BC＝， ∴BD＝BC－CD＝， ∵DE∥CA， ∴， ∴DE＝4； （2）解：如图． ∵点M是线段AD的中点， ∴DM＝AM， ∵DE∥CA， ∴＝． ∴DF＝AG． ∵DE∥CA， ∴＝，＝． ∴＝． ∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG， ∴． 【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系． 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上． （1）求正方形DEFG的边长； （2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）过点作AM⊥BC于点M，由AB=AC=10，BC=16，根据等腰三角形的性质与勾股定理，即可求得AM的长，又由四边形DEFG是矩形，易证得△ADG∽△ABC，设MN=DE=x，由相似三角形对应高的比等于相似比，即可得方程，则可表示出DG的长，由正方形的性质可得DE=DG，可得结果； （2）由题意得：DN=2DE，由（1）知：，即可得到结论． 【详解】解：过点作AM⊥BC于点M， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BM=BC=3， 在Rt△ABM中，AM==4， ∵四边形DEFG是矩形， ∴DG∥EF，DE⊥BC， ∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形， ∴MN=DE， 设MN=DE=x， ∵DG∥EF， ∴△ADG∽△ABC， ∴DG：BC=AN：AM， ∴， 解得：DG=﹣x+6， ∵四边形DEFG为正方形， ∴DE=DG，即x=﹣x+6， 解得x=， ∴正方形DEFG的边长为； （2）由题意得：DN=2DE， 由（1）知：， ∴DE=． 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质，相似三角形对应高的比等于相似比． 【变式1-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在边上，且． （1）求证：； （2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数． （3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）＝60°；（3）AF＝11 【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出，证得； （2）作CH＝BE，连接DH，根据角的数量关系证得，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH为等边三角形，即可得出＝60°； （3）借助辅助线AO⊥CE，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE∽△BDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值． 【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A， ∴  ∠A＝90°－∠ABD． ∵∠BDC＋∠BDA＝180°， ∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD． ∴  ∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD． ∴DB＝AB． 解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH， ∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC， ∴∠BAE＝∠DBC． ∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA， 又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC， ∴∠CAE＝∠C． ∴AE＝CE． ∵BE＝CH， ∴BE＋EH＝CH＋EH． 即BH＝CE＝AE． ∵AB＝BD， ∴△BDH≌△ABE． ∴BE＝DH． ∵BE＝CD， ∴CH＝DH＝CD． ∴△DCH为等边三角形． ∴∠ACB ＝60°． （3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O． ∵DH∥AE， ∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°． ∴△ACE是等边三角形． 设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x， ∵DH∥AE， ∴△BFE∽△BDH． ∴． ∴， ． ∵△ABF的周长等于30， 即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30， 解得AB＝16－． 在Rt△ACO中，AC＝，AO＝， ∴BO＝16－． 在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2， 即． 解得（舍去）． ∴AC＝． ∴AF＝11． 【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力． 【变式1-3】（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在中，，，，点D为边的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转至，连结． (1)线段的长为___________ ； (2)当时，求线段的长； (3)当点F落在内部时，求的取值范围； (4)当与的某一边平行时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可． （2）由旋转可得：，，证明，可得，进一步可得答案． （3）当点F落在上时，过点D作于，由（2）同理可得：，可得，进一步求解即可；当点F落在上时，过点D作于，延长交的延长线于，同理：，，，，设，则，证明，，进一步求解即可． （4）当时，过点D作于，则，可得，进一步求解即可；当时，过点E作于，设，同理可得：，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． （2）如图所示， 点D为边的中点， ， 由旋转可得：，， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图所示，当点F落在上时，过点D作于， 由（2）同理可得：， ， ，， 由旋转可得：，， ， ， ， 如图所示，当点F落在上时，过点D作于，延长交的延长线于， 同理可得：，，，， 设，则， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 当点F落在内部时，的取值范围为； （4），， ， 第一种情况，如图所示，当时，过点D作于， 则， ， ， ， 第二种情况，如图所示，当时，过点E作于， ， 设， 同理可得：， ， ， ， ， 由上可知，， ， 解得：， ， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，利用分类讨论的思想，作出合适的辅助线是解题的关键． 【题型二】8字型（X型）相似模型 【模型解读】 两条线段交叉相交，形成对顶三角形。如果有一组对边平行，这两个对顶三角形就相似。8字型相似也是高频基本图形。 【结论】 图形特征： ， 与 交于点 。 则： 1. 2. 对应边成比例： 3. 面积比等于相似比的平方： 注意：对应顶点要写对， 对应 ， 对应 。 【例2】（25-26九年级上·北京昌平·期中）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【答案】 证明：∵ABCD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵ADBC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB，即． 【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出． 【详解】略 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． 【变式2-1】（25-26九年级上·四川广元·期中）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E为DC的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴； （2）24． 【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证； （2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵的面积为2， ∴，即， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF． （1）求证：CE＝AF； （2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长． 【答案】（1）见解析（2）2 【分析】（1）通过已知条件，易证△ADF≌△CDE，即可求得； （2）根据＝，易求得BE和BF，根据已知条件可得＝＝，证明△AMF∽△CMD，，再证明△ABC～△MEC,即可求出ME． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE， 又∵∠ADE＝∠CDF， ∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF， ∴∠ADF＝∠CDE， 在△ADF和△CDE中， ， ∴△ADF≌△CDE， ∴CE＝AF． （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， 由（1）得：CE＝AF＝2， ∴BE＝BF， 设BE＝BF＝x， ∵＝，AF＝2， ∴，解得x＝， ∴BE＝BF＝， ∵＝，且CE＝AF， ∴＝＝， ∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF， ∴△AMF∽△CMD， ∴， ∴，且∠ACB＝∠ACB, ∴△ABC～△MEC,    ∴∠CAB＝∠CME=∠ACB， ∴ME=CE=2． 【点睛】本题主要考查了三角形全等，三角形相似和菱形的判定和性质，熟练它们的判定和性质是解答此题的关键． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，，垂足为点，且． （1）求证：； （2）过点作的垂线，交于点，求证：． 【答案】 证明：（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【分析】（1）利用条件证明，后证明即可； （2）利用平行线分线段成比例定理，巧用等量代换即可． 【详解】 略 【点睛】本题考查了三角形的相似，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的证明，熟练掌握三角形相似的条件，根据平行线分线段成比例定理，选择合适的比例式是解题的关键． 【题型三】母子相似（射影定理）模型 【模型解读】 直角三角形斜边上的高把原三角形分成两个小直角三角形，这两个小直角三角形和原三角形两两相似。这就是“母子相似”模型，也叫射影定理模型。 【结论】 图形： 中，， 于 。 则有三个相似三角形： 射影定理结论： 1. 2. 3. 4. 面积法： 记忆：直角边的平方等于它在斜边上的射影乘以斜边。 【例3】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，在中，于，求证：． 【答案】 证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】略 【变式3-1】（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 【答案】 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABE=90° ∴∠ABG+∠EBG=90° ∵ ∴∠ABG+∠BAG=90° ∴∠EBG=∠BAG ∴Rt△BEG∽Rt△AEB ∴ ∴ （2）由（1）有： ∵BE=CE ∴ ∴ ∵∠CEG=∠AEC ∴△CEG∽△AEC ∴∠CGE=∠ACE ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD ∴OB=OC ∴∠DBC=∠ACE ∴ 【分析】（1）易证△BEG∽△AEB，利用对应边成比例即可解决； （2）由（1）的结论及BE=CE，易证明△CEG∽△AEC，从而可得∠CGE=∠ACE，由OB=OC，可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式3-2】（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）已知：如图，在中，D是AC上一点，连接BD，且∠ABD =∠ACB． （1）求证：△ABD∽△ACB； （2）若AD=5，AB= 7，求AC的长. 【答案】 （1）证明：∵∠A=∠A,∠ABD =∠ACB, ∴△ABD∽△ACB. （2） 【详解】（1） 略 （2）解: ∵△ABD∽△ACB， ∴， ∴， ∴ 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E． （1）求证：△ACD∽△ABE； （2）若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由． 【答案】 证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°． ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABE （2）连接DE， ∵△ACD∽△ABE, ∴AD：AE＝AC：AB． ∴AD：AC＝AE：AB． ∵∠A＝∠A． ∴△AED∽△ABC， 【分析】（1）根据已知条件，利用相似三角形的判定方法AA进行证明即可得到结论； （2）连接DE，根据（1）中的结论，可得对应边成比例，交换下比例项，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，正确连接辅助线，熟练运用相似三角形的判定进行证明是解题的关键． 【题型四】K字型相似模型 【模型解读】 K字型相似（又称一线三等角模型），指一条直线上有三个等角，中间角的顶点将直线分成两段，两侧各形成一个三角形，这两个三角形构成相似关系。 【结论】 图形特征 1. 三个等角的顶点在同一条直线上 2. 中间角（）为公共顶点角 3. 两侧各有一个三角形： 和 核心结论：若 ，则 比例关系：由相似可得对应边成比例： 【例4】（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，在中，，，是上一点，，是上一动点，连接，作，射线交线段于. （1）求证：； （2）当是线段中点时，求线段的长； 【答案】（1）见解析；（2）长为2或3 【分析】（1）由三角形外角性质可得∠CED=∠B+∠BDE，结合∠DEF=∠B可推出∠BDE=∠CEF，再加上∠B=∠C可证明△DBE∽△ECF； （2）由△DBE∽△ECF可得对应边成比例，设，则，建立方程求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵，， ∴. ∴. （2）∵（已证）. ∴； ∵为的中点，， ∴. 设，则；又， ∴，解得或3. 故长为2或3. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，此图形可作为“一线三等角”模型记住证明方法，第（2）题由相似得到对应边成比例，建立方程是解题的关键. 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°， ∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°， ∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD ； （2）3． 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论； （2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴， ∵△ABP∽△PCD ， 设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，点，，分别在，，边上，，． （1）求证：； （2）设，若，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】（1）， ， 在和中，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°． （1）求证：； （2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长． 【答案】 （1）证明：， ， ， 在和中，， ； （2）8． 【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）略 （2）在中，， ， ， ， 由（1）已证：， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 技巧 一句话要点 比例计算——"设k法" 遇到连比a:b:c=2:3:4，直接设每一份为k，所有量用k表示，代入所求式子约掉k。 比例变形——"交叉相乘法" a/b=c/d等价于ad=bc；等积式化比例式，交叉相乘验证。 黄金分割计算——"0.618速算法" 较长段=全长×0.618，较短段=全长×0.382；一条线段有两个黄金分割点。 平行线分线段成比例——"找平行列比例法" 看到平行线，直接列对应线段成比例；注意对应边要一一对应。 A字型相似——"平行即相似法" 三角形中一条边平行于第三边，截得的小三角形与原三角形相似，对应边成比例。 8字型相似——"对顶平行法" 两条线交叉，对顶三角形有一组对边平行，两个三角形相似。 相似三角形判定——"先找等角法" 证明相似优先找两对相等角（AA），最常用；两边成比例必须找夹角。 相似比与周长比——"周长等比法" 相似三角形周长比等于相似比，直接用，不用平方。 相似比与面积比——"面积平方比法" 面积比等于相似比的平方，注意是平方，不是相似比本身。 已知面积比求线段比——"开平方逆用法" 已知面积比求相似比，要开平方；不要直接拿面积比当线段比。 影子测高——"物高影长正比例法" 同一时刻物高与影长成正比，列比例式：物高₁/影长₁=物高₂/影长₂。 等积式证明——"化比例找相似法" 要证ab=cd，先化成a/c=d/b，再找相似三角形，由相似得比例。 中间比过渡——"桥梁法" 两个比没有直接联系时，找一个中间比当桥梁，两边都等于它。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $