专题02 不等式解法与基本不等式求最值问题（专项训练）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题02 不等式解法与基本不等式求最值问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 一元二次与分式不等式的解法 2 题型02 由不等式解集求参数 2 题型03 基本不等式求最值 3 题型04 条件最值与“1”的代换 3 题型05 恒成立与有解问题 4 03 分层训练・达标过关 4 巩固过关 4 能力提升 5 1、解一元二次不等式的四步是： （1）化正：把二次项系数化为正数，若乘除负数，不等号方向要翻转； （2）求根：先算判别式 ， 时结合开口直接写解集； （3）定形：两根之间还是两根之外，看不等号方向； （4）检验：端点是否取到看不等号带不带等号。 2、分式不等式一律先化成整式： （1）移项、通分，把一边化成 0，绝不能直接乘分母（分母正负未知）； （2）再按“商的符号”转成分子分母同号的乘积不等式； （3）最后用数轴穿根，注意分母不能为 0，端点一律空心。 3、基本不等式求最值要凑齐三个条件： （1）一正：各项必须为正，负数先提负号； （2）二定：和定求积最大，积定求和最小； （3）三相等：等号成立的条件必须能取到，取不到就要改用单调性。 4、两类常考结构的处理套路： （1）条件是“和为定值”求倒数和最小，用“1”的代换：把 1 换成已知的定值式再展开； （2）恒成立问题： 恒成立即 ，有解即 。 题型01 一元二次与分式不等式的解法 不等式解法的处理技巧 （1）先看二次项系数，负数先乘 −1 并翻转不等号； （2）分式不等式移项通分后转成整式，分母不为零这一条不能丢； （3）结果用集合或区间表示，端点取不取到要与原不等式核对。 1．不等式的解集为（ ） A．     B． C．     D． 【答案】A 【详解】等价于， 令， 即， 解得，， 所以不等式的解集为， 即原不等式解集为. 2．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将其转化为一元二次不等式求解. 【详解】等价于且，得或， 故不等式的解集为. 故选：D 3．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，即， 解得或，则不等式的解集为或. 故选：B. 题型02 由不等式解集求参数 解集与系数的对应关系 （1）解集的两个端点就是对应方程的两根，用韦达定理列方程组； （2）开口方向决定二次项系数的正负，解集形式反过来告诉你不等号方向； （3）求出系数后代回原不等式验算一次，防止符号错。 1．（24-25高一上·江苏无锡·期中）若关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A． B．的解集为 C． D．的最大值为 【答案】D 【分析】题意说明的两根为,代入法1得的值，从而可逐项判断. 【详解】根据题意，关于的不等式的解集为， 所以的两根为， 则，解得， 所以，即A正确，C正确； 且为，解得或， 所以的解集为，B正确； ， 所以的最大值为，D错误. 故选：D 2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据不等式的解集可得参数的关系，代入所求不等式后可求其解集. 【详解】因为的解集为， 故且为方程的解. 故，故， 故不等式即为， 故，故， 故不等式的解集为， 故选：C 3．已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 题型03 基本不等式求最值 配凑与常数代换 （1）先把式子凑成“两项之积为定值”或“两项之和为定值”的形式； （2）出现 这类结构，先减后加把分母配成 ； （3）算出最值前一定要写等号成立的条件，并检查它是否落在定义域内。 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）设，且，则的最小值为（   ） A．9 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）设，且，则的最小值为(    ) A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求最小值. 【详解】∵， ∴， ∴， 当，即时，最小值为2. 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 题型04 条件最值与“1”的代换 条件最值的处理 （1）已知 （或 ）求 的最小值，把 1 换成 ； （2）已知 与 的混合条件，先化成同一个量再求； （3）两次使用基本不等式时，等号成立的条件必须同时满足。 1．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知利用1的代换法，结合基本不等式即可求解． 【详解】因为，且， 则， 当且仅当，即时取等号． 故选：B． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得． 【详解】，且， ，即， 当且仅当即且时取等号， 故选：D 3．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】将变形为，代入，再通过常数代换和基本不等式可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 题型05 恒成立与有解问题 恒成立问题的转化 （1） 恒成立 ； 有解 ； （2）存在性命题为真，转成方程或不等式有解；为假则先否定再解； （3）含参二次不等式恒成立，分 与 两类讨论，后者用开口与判别式。 1．若命题“，”是真命题，则可能等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据转化为求的最小值，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】由题意得， 因为当，，当且仅当时等号成立，则D选项符合题意. 故选：D. 2．（23-24高一上·江苏南通·阶段检测）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 3．（2025高三上·江苏·学业考试）若，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，，都有，结合可求得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，，都有，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 巩固过关 1．（21-22高一上·江苏扬州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】化简原不等式，结合一元二次不等式解法求结论. 【详解】不等式，可化为， 因为不等式的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】通过求出，代入所求式消元，运用基本不等式求解即得. 【详解】由可知，则，代入得：， 当时等号成立，即当时，取得最小值. 故选：D. 3．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式即得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 4．已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解. 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 5．已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【答案】B 【分析】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果. 【详解】由，得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3． 故选：B. 6．（24-25高一上·江苏·阶段检测）不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可解得. 【详解】由原式得且，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 能力提升 1．对满足的任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】先利用基本不等式求出的最小值，结合不等式恒成立，求解一元二次不等式即得参数范围. 【详解】因，， 则， 当且仅当，即时，取得最小值4. 此时不等式恒成立，故，解得. 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知，为正数，证明下列不等式成立： (1) (2)（其中） 【答案】(1) 因为，为正数， 所以，当且仅当时取等号， 所以. (2) 因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以. 【分析】（1）利用基本不等式即可证明； （2）利用基本不等式即可证明 【详解】（1）略 （2）略 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）已知，求函数的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）直接利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由得， 则函数， 当且仅当，即时取等号            所以，函数的最小值为． （2） 由基本不等式可得 ， 当且仅当，即时等号成立， ∴ 即， 所以，的最小值为36. 4．求解下列各题： (1)求的最小值． (2)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数解析式变形为，再利用基本不等式进行求解； （2）若恒成立，则．由已知条件，可得，将与相乘，展开后，利用基本不等式即可求得，从而转化为关于实数的不等式，即可求解． 【详解】（1）． 因为，所以． 由基本不等式，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 因此，即当时，取得最小值，最小值为； （2）因为，，， 所以等式两边同时除以，可得， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为． 因为恒成立，所以， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为． 5．完成下面几个小题： (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)若，求的最大值； (3)求在时的最小值． 【答案】(1) ， 当且仅当时，等号成立； (2)12； (3)3. 【分析】（1）利用基本不等式的“1”的代换，展开后使用二元均值不等式证明； （2）提取常数并配凑出和为定值，利用基本不等式求积的最大值； （3）分离常数配凑出分母形式，利用基本不等式求分式函数最小值. 【详解】（1）略； （2）， 当且仅当，即时，等号成立． 所以函数的最大值为12； （3）， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为3． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式解法与基本不等式求最值问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 一元二次与分式不等式的解法 2 题型02 由不等式解集求参数 2 题型03 基本不等式求最值 3 题型04 条件最值与“1”的代换 3 题型05 恒成立与有解问题 4 03 分层训练・达标过关 4 巩固过关 4 能力提升 5 1、解一元二次不等式的四步是： （1）化正：把二次项系数化为正数，若乘除负数，不等号方向要翻转； （2）求根：先算判别式 ， 时结合开口直接写解集； （3）定形：两根之间还是两根之外，看不等号方向； （4）检验：端点是否取到看不等号带不带等号。 2、分式不等式一律先化成整式： （1）移项、通分，把一边化成 0，绝不能直接乘分母（分母正负未知）； （2）再按“商的符号”转成分子分母同号的乘积不等式； （3）最后用数轴穿根，注意分母不能为 0，端点一律空心。 3、基本不等式求最值要凑齐三个条件： （1）一正：各项必须为正，负数先提负号； （2）二定：和定求积最大，积定求和最小； （3）三相等：等号成立的条件必须能取到，取不到就要改用单调性。 4、两类常考结构的处理套路： （1）条件是“和为定值”求倒数和最小，用“1”的代换：把 1 换成已知的定值式再展开； （2）恒成立问题： 恒成立即 ，有解即 。 题型01 一元二次与分式不等式的解法 不等式解法的处理技巧 （1）先看二次项系数，负数先乘 −1 并翻转不等号； （2）分式不等式移项通分后转成整式，分母不为零这一条不能丢； （3）结果用集合或区间表示，端点取不取到要与原不等式核对。 1．不等式的解集为（ ） A．     B． C．     D． 2．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 题型02 由不等式解集求参数 解集与系数的对应关系 （1）解集的两个端点就是对应方程的两根，用韦达定理列方程组； （2）开口方向决定二次项系数的正负，解集形式反过来告诉你不等号方向； （3）求出系数后代回原不等式验算一次，防止符号错。 1．（24-25高一上·江苏无锡·期中）若关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A． B．的解集为 C． D．的最大值为 2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 3．已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型03 基本不等式求最值 配凑与常数代换 （1）先把式子凑成“两项之积为定值”或“两项之和为定值”的形式； （2）出现 这类结构，先减后加把分母配成 ； （3）算出最值前一定要写等号成立的条件，并检查它是否落在定义域内。 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）设，且，则的最小值为（   ） A．9 B． C．4 D． 2．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）设，且，则的最小值为(    ) A．5 B．4 C．3 D．2 3．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 题型04 条件最值与“1”的代换 条件最值的处理 （1）已知 （或 ）求 的最小值，把 1 换成 ； （2）已知 与 的混合条件，先化成同一个量再求； （3）两次使用基本不等式时，等号成立的条件必须同时满足。 1．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 3．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 题型05 恒成立与有解问题 恒成立问题的转化 （1） 恒成立 ； 有解 ； （2）存在性命题为真，转成方程或不等式有解；为假则先否定再解； （3）含参二次不等式恒成立，分 与 两类讨论，后者用开口与判别式。 1．若命题“，”是真命题，则可能等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高一上·江苏南通·阶段检测）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 3．（2025高三上·江苏·学业考试）若，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 巩固过关 1．（21-22高一上·江苏扬州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 2．若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 4．已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 6．（24-25高一上·江苏·阶段检测）不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 能力提升 1．对满足的任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知，为正数，证明下列不等式成立： (1) (2)（其中） 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）已知，求函数的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值. 4．求解下列各题： (1)求的最小值． (2)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围． 5．完成下面几个小题： (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)若，求的最大值； (3)求在时的最小值． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $