专题02 三角形（二）（知识&考点&公式&14高频&2易错&6重难&10模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

专题02三角形（二） 目录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(4类) 公式清单(2类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(14类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(10类) 答题技巧清单 知识点01全等三角形 1.全等图形：能够完全 的两个图形；形状 ，大小 。 2.全等三角形定义：能够完全 的两个三角形叫做 三角形。 3.对应元素：重合的顶点叫 ；重合的边叫 ；重合的角叫 。书写△ABC≌△DEF时，对应顶点写在相同位置。 4.全等三角形性质： ①对应边相等 ②对应角相等 拓展推论：全等三角形周长相等、面积相等；对应中线、对应角平分线、对应高相等。 知识点02全等三角形的判定 1.SSS(边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。 2.SAS(边角边)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 易错：SSA(两边及其中一边对角)不能判定全等! 3.ASA(角边角)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 4.AAS(角角边)：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 ×不能判定全等：AAA(三个角相等，只是相似，大小不一定相同)、SSA。 知识点03线段垂直平分线的性质 1.定义： 于一条线段，并且 这条线段的直线，叫做这条线段的 (中垂线)。 注意：中垂线是直线，不是线段。 2.性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离 。 几何语言：∵直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，∴PA=PB 3.逆定理：到一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上 4.三角形三边垂直平分线交于一点，这个点叫 ；外心到三角形三个顶点距离 。 5.尺规作图：作已知线段的垂直平分线。 知识点04角平分线的性质 1.角平分线定义：把一个角分成两个相等角的射线。三角形的角平分线是 。 2.性质定理：角平分线上的点，到角两边的距离 。距离：指垂线段长度。 几何语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE 3.逆定理：在一个角的内部，到角两边距离 的点，在这个角的平分线上。 几何语言：PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，点P在∠AOB的平分线上 4.三角形三条角平分线交于一点，这个点叫 ；内心到三角形三边的距离相等。 5.尺规作图：作已知角的角平分线。 考点01全等三角形的概念与性质 考点内容：全等图形、全等三角形定义；全等三角形对应边相等、对应角相等。 常见考法： ①识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角； ②利用全等性质求线段长度、角度； ③利用全等性质进行简单线段、角相等证明。 考点02三角形全等的判定 考点内容：SSS、SAS、ASA、AAS四个判定定理；判定定理的使用条件。 常见考法： ①根据已知条件选择合适判定方法证明三角形全等； ②补充条件，使两个三角形全等； ③结合全等判定，证明线段相等、角相等； ④全等判定的简单综合证明。 考点03线段垂直平分线 考点内容：线段垂直平分线的性质定理、逆定理；尺规作线段垂直平分线。 常见考法： ①利用垂直平分线性质求线段长度； ②利用逆定理判断点在线段垂直平分线上； ③尺规作图作出线段垂直平分线； ④结合全等进行证明与计算。 考点04角平分线 考点内容：角平分线的性质定理、逆定理；尺规作角平分线。 常见考法： ①利用角平分线性质求线段长度； ②利用逆定理判断点在角平分线上； ③尺规作图作出已知角的角平分线； ④角平分线性质结合全等的几何证明。 一、线段垂直平分线性质 若点P在线段AB的垂直平分线上，则： 逆定理：若，则点P在线段AB的垂直平分线上。 二、角平分线性质 若点P在∠AOB的角平分线上，，则： 逆定理：若,，则点P在∠AOB的角平分线上。 辨析01全等判定条件误区(SSA不能判定全等) 判定：SSS、SAS、ASA、AAS;SAS必须是两边的夹角； 易错点：误用SSA(两边及其中一边对角)证明全等；混淆AAS与ASA,分不清夹边。 辨析02全等三角形对应边、对应角找错 全等三角形书写时，字母顺序代表对应顶点；△ABC≌△DEF,则AD,B⇔E,C→F;易错点：写全等时不按对应顶点顺序，造成后续求边长、角度出错。 辨析03线段垂直平分线性质辨析 性质：点在线段垂直平分线上→到线段两端距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点，在线段垂直平分线上；易错点：误以为“垂直于线段的直线就是垂直平分线”,垂直平分线必须同时满足垂直+平分线段两个条件。 辨析04角平分线性质辨析 性质：角平分线上的点，到角两边的距离(垂线段长度)相等； 易错点：直接认为角平分线上点到角两边上任意点距离相等，忽略“垂线段”这个前提。 辨析05尺规作图的语言规范误区 尺规作图只能使用无刻度直尺和圆规；作图痕迹(圆弧)必须保留； 易错点：作图时直接用刻度尺量长度；答题不保留作图圆弧痕迹，书写步骤不规范。 【题型一】判断两个图形是否全等 【例1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列各组图形是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】根据全等三角形的性质求角度 【例2】（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，若，，则______． 【变式2-3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，，若，，则的度数为__________． 【题型三】根据全等三角形的性质求线段 【例3】（25-26七年级下·上海·期中）如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【变式3-1】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）已知的三边长度为4、和，的三边长度为，则的周长是____． 【变式3-2】（25-26八年级上·云南怒江·期中）已知一个三角形的三边长分别是8，11，18，另一个三角形的三边长分别是8，，．若这两个三角形全等，则a的值是________． 【变式3-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，，点、在一条直线上，若，，则的长为______． 【题型四】全等三角形的性质综合解答 【例4】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，已知，且点F，B，E，C在同一条直线上． (1)连接．若，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 【变式4-1】（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，已知． (1)若，，求的度数； (2)若，，求AB的长． 【变式4-2】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，，点B的对应点D在边上． (1)求证：平分； (2)若点A，B，E在同一条直线上，且，求的度数． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)若，，求的长度； (2)求证：； (3)若，，则_______． 【题型五】用“SSS”证明三角形全等 【例5】（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，若，． (1)求证：； (2)如图，连接交于点，请判断与的位置关系并证明． 【变式5-1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，,,． (1)求证：． (2)已知,，求的度数． 【变式5-2】（25-26八年级上·河南周口·期中）油布伞是中国传统手工艺的重要代表，融合了实用性与艺术性，被多省列入非物质文化遗产名录．油布伞的截面如图所示，伞骨，支撑杆．当点O沿伞杆滑动时，可使雨伞开闭． (1)问雨伞开闭过程中，与有何关系？说明理由． (2)若，当雨伞由闭合撑开到时，点O沿滑动的距离是多少？ 【题型六】用“SAS”证明三角形全等 【例6】（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知，如图，延长的各边，使得，顺次连接D，E，F，得到为等边三角形．求证： (1)； (2)为等边三角形． 【变式6-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 【变式6-2】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）随着技术的发展.中国在空天地一体化网络建设中处于领先地位，某科技企业研发的基站信号覆盖范围可抽象为三角形，如图，在中，为的中点，为边上一点．连接，并延长至点，使得，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【变式6-3】（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，在中，点在边上，，与相交于点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式6-4】（25-26八年级上·河北唐山·期中）琪琪将两个大小不同的含角的直角三角板如图所示放置在桌面上如图1．从图中抽象出的几何图形如图2．已知在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并证明． 【题型七】用“AAS”证明三角形全等 【例7】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，点E在的边上，且． (1)求证：； (2)若的平分线交于点F，交于点D，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，则的长为________． 【变式7-1】（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【变式7-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式7-3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当等于多少时，，请说明理由： (2)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求度数．若不可以，请说明理由． 【题型八】用“ASA”证明三角形全等 【例8】（26-27八年级上·天津南开·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【变式8-1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使落在上，展开得到折痕．继续折叠，使点与点重合，展开得到折痕，设与交于点，连接，． (1)猜想和的数量关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【变式8-2】（25-26八年级上·重庆永川·期中）如图，，，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【变式8-3】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知，是的边上的高，平分，且交于点E． (1)如图1，若．求证：． (2)如图2，点F是的中点，过A作交的延长线于点G．求证． 【题型九】添加条件使得三角形全等 【例9】（26-27八年级上·黑龙江·期中）如图，已知，请添加一个条件使与全等的是__________． 【变式9-1】（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，若要得到可以添加一个条件是______．      【变式9-2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在和中，，，请添加一个条件___________，使． 【变式9-3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【题型十】根据具体情况选择合适的判定定理 【例10】（26-27八年级上·江西·期中）如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具，测的长即等于内槽宽，那么判定的理由是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（26-27八年级上·宁夏·期中）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点；（2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【题型十一】利用垂直平分线的性质求长度 【例11】（26-27八年级上·湖南长沙·期中）如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（     ） A．13 B．12 C．11 D．16 【变式11-1】（25-26七年级下·广东河源·期中）如图，在中，点是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26七年级下·广东梅州·期中）如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 【变式11-3】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（     ） A． B． C． D． 【题型十二】全等三角形的实际应用 【例12】数学兴趣小组来到某公园与美丽的花海合影．如图，小荷和小柳在花海围栏旁的点处拍了一张照片．小荷设计了一个方案测量花海的边缘点与围栏旁点之间的距离．小荷先从点处沿方向走2.5至点处，又沿着与垂直的方向走了3至点处并放置了一个标记物，接着往前再走3至点处，最后从点处向左沿着与垂直的方向走了一定距离至点处．此时，她看到标记物正好遮住了花海边缘的点处，经过测量，，图中所有点均在同一平面内，请你帮兴趣小组求出花海的边缘点与围栏旁点之间的距离． 【变式12-1】（26-27七年级上·山东淄博·期中）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴到地面的距离，在游人乘坐的过程中，当海盗船静止在点处时，，此时测得点到铅垂线的距离，当船头从处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离． 【变式12-2】（25-26七年级下·贵州六盘水·期中）某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． (1)直接写出山间土路边长的取值范围_________； (2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 【变式12-3】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期中）小区的便民服务点要搭建一个四边形遮阳棚，其中，点E在棚架上，点F在棚架上，施工时发现，且支撑杆． (1)工人师傅说：“不用测量和，就能知道这两段棚架长度相等．”你同意他的说法吗？请说明理由； (2)已知米，米，搭建该遮阳棚的材料单价为每平方米20元，求搭建这个四边形遮阳棚一共需要花费多少元？ 【题型十三】灵活选择适当的方法证明全等 【例13】（25-26七年级下·重庆江北·期中）如图，在中，点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【变式13-1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【变式13-2】（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，中，，的平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于，．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点． 求证下列结论： (1)； (2)； (3)； 【变式13-3】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 【变式13-3】（26-27八年级上·福建厦门·期中）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)【灵活运用】的取值范围是_______________________； (2)【问题拓展】如图3，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 题型十四】角平分线的性质与面积问题 【例14】（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，的平分线交于点，点为的中点．连接．点为上一点，且．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】（26-27八年级上·广西钦州·期中）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为（     ） A．6 B．9 C．12 D．18 【变式14-2】（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．15 B．18 C．30 D．36 【变式14-3】如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【题型一】利用全等三角形求证正方形网格角度之和 【例1】（25-26八年级上·北京·期中）如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 易错警示 网格中全等三角形要找准对应顶点，不能凭肉眼目测角大小；证明角度和时，不要混淆互余角、全等对应角。 【变式1-1】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【题型二】根据全等三角形的性质判断结论是否正确 【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 易错警示 写全等式子时字母必须对应；判断结论时，只有对应边、对应角相等，非对应边角不相等，不要主观脑补条件。 【变式2-1】（25-26八年级上·湖北·期中）如图，，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2-2】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．是等边三角形 【变式2-3】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图．在中，P是上一点，于点D，于点E，且，F是上一点，且．下列结论：①；②；③，其中正确的是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式2-4】（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在一个被称为风筝模型的四边形中，，，分别在边，上的两点，处拉两根彩线，，补充下列条件，能使两根彩线和的长度相等的是（   ） A． B． C． D．以上都可以 【题型一】全等三角形动点问题（解答题压轴） 【例1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，平分，，，，，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)当时，求的值． (3)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 【变式1-1】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题． (1)_________；_________；（用含t的代数式表示） (2)如图①，点P与点Q运动的过程中，能否成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理． (3)如图②，点D是的中点，连接、，点P、点Q在运动过程的某一时刻与全等，求此时的长． 【变式1-2】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在长方形中，，点P在线段上以的速度由A向终点B运动，同时，点Q在线段上由点B向终点C匀速运动，它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等且时，求证：． (2)在运动过程中，若，求此时点Q的运动速度． 【变式1-3】（25-26七年级下·重庆九龙坡·期中）如图，在正方形中，，点M在上，且，动点P从点M出发，以每秒3个单位的速度沿折线运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒5个单位的速度在B、C之间往返运动，当点P到达终点D时，另一个点也随之停止运动．记点P运动的时间为t（单位：s）．    (1)当点P在上运动，且Q由运动时，若，求t的值； (2)在运动过程中，连接，记D、P、M、Q围成的图形面积为S，直接写出S与t的关系式，并写出t的取值范围； (3)在运动过程中，是否存在某个时刻，使点B、D、P围成的三角形与点B、D、Q围成的三角形全等，若存在请直接写出t的值，若不存在请说明理由． 【题型二】全等三角形解答题压轴 【例2】（26-27八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点． (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【变式2-1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【变式2-2】（25-26七年级下·重庆·期中）已知，连接，点在上（点不与点，点重合），连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，点是的内角平分线的交点，连接，，点是的外角平分线的交点，连接，请探究与的数量关系； (3)如图3，若，点是的中点，求证：． 【变式2-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 【变式2-4】（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，．D是直线上任意一点，连接，过点C作，且，过点E作，垂足为F，连接，分别交，于点M，N． (1)如图1，当点D在线段上时，与相等吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，若，． ①的长度为________； ②设的面积为，四边形的面积为，则的值为________； (3)如图2，当点D在线段的延长线上时，点M是线段的中点吗？说明理由． 【题型三】全等三角形中最值问题（选填压轴） 【例3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为_______． 【变式3-1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南信阳·期中）在锐角三角形中，的面积为16，平分．若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_____． 【变式3-3】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，，，点，点分别在线段，上运动，且满足，当最小时，的度数为_____． 【题型四】全等三角形中多结论问题（选填压轴） 【例4】（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是的角平分线，点在的延长线上，，，，垂足为．有下列四个结论：①与的面积相等；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有________． 【变式4-2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中： ①；②当时，；③；④． 所有正确结论的序号是___________． 【变式4-3】（26-27八年级上·天津武清·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是_______． 【题型五】垂直平分线中最值问题 【例5】（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知中，，，边上的高，点G是边的垂直平分线上任一点，H是边上一动点，那么的最小值是___________． 【变式5-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，垂直平分，交边于点D，交边于点E，在线段上有一动点P，连接，，则的周长最小值为_________． 【变式5-2】（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【变式5-3】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 【题型六】角平分线中最值问题 【例6】（26-27八年级上·重庆璧山·期中）如图，在四边形中，，，点是边上的动点，连接、，若平分，则的最小值为______． 【变式6-1】（26-27八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，平分交于点，是上一动点，若，的面积为5，则的最小值为_________． 【变式6-2】（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，中，，，，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点，分别为，上一个动点，则的最小值为__________． 【变式6-3】（25-26七年级下·陕西汉中·期中）如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 【题型一】尺规作图-三角形 ①审题，确定已知条件(已知三边/两边夹角/两角一边) 仔细读题，分清题目给出的是哪一类条件：SSS(三条边长)、SAS(两条边长+这两边的夹角)、ASA(两个角+两角夹边);SSA不能唯一确定三角形，无法尺规作图，梳理已知线段长度、已知角的度数。 ②画出基准边，确定第一个顶点 用直尺先画出一条水平线段，长度等于题目给出的基准边；标注线段两个端点，作为三角形的两个基础顶点。 ③根据尺规作图规则，用圆规截取等长线段、画弧确定第三个顶点 ·若为SSS(已知三边) 圆规量取第二条边的长度，以基准边左端点为圆心画弧，再量取第三条边长度，以基准边右端点为圆心画弧，两 段圆弧的交点就是三角形第三个顶点。 ·若为SAS(已知两边及其夹角) 以基准边一个端点为顶点，用尺规作出已知角，在角的另一条射线上，用圆规截取第二条已知边长，得 到第三个顶点。 若为ASA(已知两角及其夹边):以基准边两个端点分别为顶点，在基准边同侧，分别作出题目给定的两个角；两条角的射线相交，交点即为第三个顶点。 ④连接各顶点，得到目标三角形 用直尺连接基准边端点与刚才找到的第三个顶点，补齐三角形另外两条边，完整画出三角形。 ⑤保留作图痕迹，写出结论 圆弧、截取的弧线都不能擦掉，这是得分关键；最后写文字结论：△XXX即为所求作的三角形。 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点D在边上．求作，使，并满足点E在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式1-1】（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知：线段，和（如图）．用尺规作图，作，使，，． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，已知线段a及，求作，使，，，不写作法，保留作图痕迹． 【变式1-3】（25-26八年级上·北京·期中）如图，中，． (1)尺规作图：在AC边上确定点D，使得（保守作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，将，判断是否为等腰三角形．并说明理由． 【题型二】全等三角形模型-连接两点构造全等 固定解题步骤： ①观察图形，确定需要证明全等的两个三角形； ②作辅助线：连接指定两点； ③标记新增的公共边、对顶角等隐藏条件； ④补齐边角条件，选择判定定理证明全等； ⑤利用全等性质，得到目标边、角相等。 【例2】（26-27七年级上·山东威海·期中）如图，已知：，则______________． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【题型三】全等三角形模型-倍长中线构造全等 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，方法：延长AD到点E,使ED=AD,连接BE. 结论1： 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，方法：连接ED,延长ED到点F,使DF=DE,连接CF. 结论2： 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，方法：作CE⊥AD于E,BF⊥AD于F, 结论2：（SAS） 【例3】（26-27八年级上·江苏南通·期中）中，，，是的中线，设长为，则的取值范围是__________． 【变式3-1】（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【变式3-2】（26-27八年级上·江西赣州·期中）【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________； A．    B．   C．    D． (2)连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是________； (3)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． (4)在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为________． 【变式3-3】（26-27八年级上·河南周口·期中）【问题情境】数学兴趣小组交流时提出了问题：如图①，在中，若，，是边上的中点，试求中线长的取值范围． 【初步探索】 (1)小华经过思考得到了如下解决方法：如图①，延长至点，使，连接，可证得≌，从而求出中线的取值范围，其中判定全等的依据是__________； 【问题解决】 (2)图①中，与的数量关系是__________，位置关系是__________； 【拓展提升】 (3)老师表扬了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图②，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，连接，求的长． 【题型四】全等三角形模型-截长补短构造全等 方法 截长法 补短法 条件 在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD 图示 方法 在AB上截取AE=AC，连接DE 延长AC到点E，使CD=CE，连接DE 结论 是等腰三角形 是等腰三角形 【例4】（26-27八年级上·广西南宁·期中）综合与探究 已知，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明______；再证明______；即可得出线段、、之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． (3)在四边形中，，，E、F分别是、所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系． 【变式4-1】（26-27八年级上·四川成都·期中）按要求解答下列问题： (1)【初步探索】 如图1：在四边形中，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是．（、、三个角之间的数量关系） (2)【灵活运用】 如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． (3)【拓展延伸】 已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请直接写出与的数量关系． 【变式4-2】（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是______． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形中，，，点，分别是，上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以40海里/时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 【题型五】全等三角形模型-一线三等角构造全等 已知：点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD). 同侧型 结论1： 异侧型 结论2： 【例5】（26-27八年级上·云南昆明·期中）问题情境：如图1，在四边形中．，，是上一点，连接，，，． 问题探究： (1)判断的形状并证明： (2)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 【变式5-1】（26-27八年级上·新疆昌吉·期中）已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，证明 (2)如图1，请写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)其他条件不变的前提下如图2，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【变式5-2】（26-27七年级上·山东东营·期中）完成以下小题 (1)已知：如图①，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：． (2)如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展与应用：小甬按如图方式测量旗杆高度，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在C处放置一块直角三角板，使直角顶点P落在C处，边与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上．小甬认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． 【变式5-3】（26-27八年级上·山东德州·期中）解决问题 (1)如图1，已知中，，，直线经过点，直线直线，垂足分别为点．求证：． (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【题型六】全等三角形模型-手拉手模型 已知：在△ABC和△ADE中，AB=AC、AD=AE、∠BAC=∠DAE，连接BD、CE相交于0，连接OA. 结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE， 结论2：∠BOC=∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE. 【例6】（26-27八年级上·广西钦州·期中）【基础巩固】 (1)如图1，在和中，，，，求证：； 【深入探究】 (2)如图2，在和中，，，，，，三点在一条直线上，与交于点，若点为中点． ①求的大小； ②，求的面积． 【变式6-1】（26-27八年级上·河北唐山·期中）按要求完成下列各题： (1)如图1，，，且，分别连接，，求证：． (2)如图2，，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． 【变式6-2】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在中，和的平分线相交于点K． (1)如图1，当，则的度数为________； (2)如图2，当时，，若，求的长度； (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点E，使，延长至点D，使，求四边形的面积． 【变式6-3】（26-27八年级上·山东临沂·期中）解决以下问题 (1)如图1，，，，交于点F，交于点，试探究与的关系； (2)将（1）中条件“”改为“”，如图2．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请求出与的夹角的度数． 【题型七】作已知直线的垂直平分线 ①审题：明确目标，对给定线段AB作垂直平分线； ②取大于的长度作为圆规半径； ③分别以点A、点B为圆心在线段AB上下两侧画圆弧，上下两组圆弧各自交于两点，记为C、D； ④用直尺连接交点C、D; ⑤保留圆弧作图痕迹，写出结论。 【例7】（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，已知线段． (1)用尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若点P在直线上，且，求的长，并说明依据． 【变式7-1】（26-27八年级上·江苏南京·期中）尺规作图 (1)在边上找一点，使的周长等于 (2)在边上找一点，使得 【变式7-2】（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在四边形中，，，连接． (1)求证：； (2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F（不写作法，保留作图痕迹） 【变式7-3】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，． (1)求作的垂直平分线，分别交，于点，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连结，若的周长比的周长大，求的长． 【题型八】尺规作图与垂直平分线（选填题） 【例8】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026九年级下·湖北·专题练习）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式8-2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，是等边三角形，以点为圆心，大于点到的距离为半径画弧，交于点，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连结交于点，则下列结论中一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26八年级上·海南三亚·期中）如图，在长方形中，在线段上取一点M，使得，以点M为圆心，为半径作弧，交于点N，分别以点A、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，连接、，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型九】作已知角的角平分线 已知：∠AOB，求作：∠AOB的角平分线。 ①审题：明确作图目标，作出∠AOB的角平分线； ②以顶点O为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交OA于点C,交OB于点D; ③分别以点C D为圆心，大于的长为半径，在∠AOB内部画弧。两弧交于一点P ④用直尺作射线OP; ⑤保留圆弧作图痕迹，写出结论。 【例9】（26-27八年级上·广东广州·期中）如图，已知中，，在上有一点D，延长，并在的延长线上取点E，使，连接． (1)作图：作的平分线，交于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【变式训练9-1】（26-27八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，是的高． (1)利用尺规作图法作出的平分线，交边于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【变式训练9-2】（26-27八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，是边上的高． (1)作的平分线，交于点（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【变式训练9-3】（26-27八年级上·江苏南京·期中）尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在已知的内部求作一点，使得点到三角形三个顶点的距离相等； (2)在已知边上求作一点，使点到的距离等于的长． 【题型十】角平分线与尺规作图（选填题） 【例10】（26-27八年级上·河北廊坊·期中）如图，．按下列要求作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②以点N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交于点F．则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练10-1】（26-27八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积是（     ） A．6 B．12 C．7 D．14 【变式训练10-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点②以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【变式训练10-3】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，中，，以B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若为上一动点，连结，则的最小值为（     ） A．无法确定 B． C．1 D．2 技巧 一句话要点 全等三角形的性质——对应边角定位法 全等三角形对应边相等，对应角相等；找边角先对齐顶点字母，只有对应边角相等，非对应边角不一定相等。 全等三角形判定——定理匹配法 SSS：三边对应相等；SAS：两边及其夹角相等；ASA：两角及其夹边相等；AAS：两角及一角对边相等；SSA、AAA不能证全等。 全等模型-倍长中线——线段转移法 遇到中点/中线，延长中线一倍，构造SAS全等，将分散的边转移到同一个三角形中，再用三边关系求解。 全等模型-截长补短——线段和差转化法 求证a+b=c型线段和差，截长：长线段截取一段；补短：延长短线段，构造全等实现线段等量代换。 全等模型-一线三等角（K型）——等角推导法 同一直线上存在三个相等角，利用平角推导出一组等角，搭配一组等边，用AAS/ASA证明三角形全等。 全等模型-手拉手旋转——共顶点夹角法 共顶点两组等线段，加上公共角，推导出夹角相等，用SAS证全等；对应边相等，旋转角等于顶角。 角平分线性质——距离相等法 角平分线上的点，到角两边的垂线段长度相等；判定：在角内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上。 垂直平分线性质——等距判定法 线段垂直平分线上任意一点，到线段两个端点距离相等；判定：到线段两端距离相等的点，在线段垂直平分线上。 1/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02三角形（二） 目录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(4类) 公式清单(2类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(14类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(10类) 答题技巧清单 知识点01全等三角形 1.全等图形：能够完全重合的两个图形；形状相同，大小相等。 2.全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3.对应元素：重合的顶点叫对应顶点；重合的边叫对应边；重合的角叫对应角。书写△ABC≌△DEF时，对应顶点写在相同位置。 4.全等三角形性质： ①对应边相等 ②对应角相等 拓展推论：全等三角形周长相等、面积相等；对应中线、对应角平分线、对应高相等。 知识点02全等三角形的判定 1.SSS(边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。 2.SAS(边角边)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 易错：SSA(两边及其中一边对角)不能判定全等! 3.ASA(角边角)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 4.AAS(角角边)：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 ×不能判定全等：AAA(三个角相等，只是相似，大小不一定相同)、SSA。 知识点03线段垂直平分线的性质 1.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)。 注意：中垂线是直线，不是线段。 2.性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，∴PA=PB 3.逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上 4.三角形三边垂直平分线交于一点，这个点叫外心；外心到三角形三个顶点距离相等。 5.尺规作图：作已知线段的垂直平分线。 知识点04角平分线的性质 1.角平分线定义：把一个角分成两个相等角的射线。三角形的角平分线是线段。 2.性质定理：角平分线上的点，到角两边的距离相等。距离：指垂线段长度。 几何语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE 3.逆定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，点P在∠AOB的平分线上 4.三角形三条角平分线交于一点，这个点叫内心；内心到三角形三边的距离相等。 5.尺规作图：作已知角的角平分线。 考点01全等三角形的概念与性质 考点内容：全等图形、全等三角形定义；全等三角形对应边相等、对应角相等。 常见考法： ①识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角； ②利用全等性质求线段长度、角度； ③利用全等性质进行简单线段、角相等证明。 考点02三角形全等的判定 考点内容：SSS、SAS、ASA、AAS四个判定定理；判定定理的使用条件。 常见考法： ①根据已知条件选择合适判定方法证明三角形全等； ②补充条件，使两个三角形全等； ③结合全等判定，证明线段相等、角相等； ④全等判定的简单综合证明。 考点03线段垂直平分线 考点内容：线段垂直平分线的性质定理、逆定理；尺规作线段垂直平分线。 常见考法： ①利用垂直平分线性质求线段长度； ②利用逆定理判断点在线段垂直平分线上； ③尺规作图作出线段垂直平分线； ④结合全等进行证明与计算。 考点04角平分线 考点内容：角平分线的性质定理、逆定理；尺规作角平分线。 常见考法： ①利用角平分线性质求线段长度； ②利用逆定理判断点在角平分线上； ③尺规作图作出已知角的角平分线； ④角平分线性质结合全等的几何证明。 一、线段垂直平分线性质 若点P在线段AB的垂直平分线上，则： 逆定理：若，则点P在线段AB的垂直平分线上。 二、角平分线性质 若点P在∠AOB的角平分线上，，则： 逆定理：若,，则点P在∠AOB的角平分线上。 辨析01全等判定条件误区(SSA不能判定全等) 判定：SSS、SAS、ASA、AAS;SAS必须是两边的夹角； 易错点：误用SSA(两边及其中一边对角)证明全等；混淆AAS与ASA,分不清夹边。 辨析02全等三角形对应边、对应角找错 全等三角形书写时，字母顺序代表对应顶点；△ABC≌△DEF,则AD,B⇔E,C→F;易错点：写全等时不按对应顶点顺序，造成后续求边长、角度出错。 辨析03线段垂直平分线性质辨析 性质：点在线段垂直平分线上→到线段两端距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点，在线段垂直平分线上；易错点：误以为“垂直于线段的直线就是垂直平分线”,垂直平分线必须同时满足垂直+平分线段两个条件。 辨析04角平分线性质辨析 性质：角平分线上的点，到角两边的距离(垂线段长度)相等； 易错点：直接认为角平分线上点到角两边上任意点距离相等，忽略“垂线段”这个前提。 辨析05尺规作图的语言规范误区 尺规作图只能使用无刻度直尺和圆规；作图痕迹(圆弧)必须保留； 易错点：作图时直接用刻度尺量长度；答题不保留作图圆弧痕迹，书写步骤不规范。 【题型一】判断两个图形是否全等 【例1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 【变式1-1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列各组图形是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等图形，能完全重合的两个平面图形是全等图形．据此进行判断即可． 【详解】解：观察发现：B，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形； A选项中两个图形能完全重合，是全等形， 故选：A． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 【答案】D 【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义． 【详解】解：观察图（4）、（5）、（6）三组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形． 故选：D． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等图形，掌握知识点是解题的关键． 根据全等图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．这两个图形不是全等图形，不符合题意； B．这两个图形不是全等图形，不符合题意； C．这两个图形不是全等图形，不符合题意； D．这两个图形是全等图形，符合题意； 故选D． 【题型二】根据全等三角形的性质求角度 【例2】（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全等三角形的性质，得到，再根据三角形的外角的性质得出． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． 【变式2-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由全等三角形的性质得到，，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． 【变式2-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，若，，则______． 【答案】 【分析】根据全等三角形性质求出，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：， (全等三角形对应角相等)， 在中，根据三角形内角和为， ． 【变式2-3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，，若，，则的度数为__________． 【答案】/110度 【分析】考查了全等三角形的性质． 根据全等得出，再结合三角形内角和为计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【题型三】根据全等三角形的性质求线段 【例3】（25-26七年级下·上海·期中）如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【答案】4 【分析】根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵顶点、、分别与顶点、、对应，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）已知的三边长度为4、和，的三边长度为，则的周长是____． 【答案】18 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【详解】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长如下： 情况1：列方程组，解得， 此时△ABC的三边长为4，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为0，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 【变式3-2】（25-26八年级上·云南怒江·期中）已知一个三角形的三边长分别是8，11，18，另一个三角形的三边长分别是8，，．若这两个三角形全等，则a的值是________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解决此题的关键． 由全等三角形的性质，对应边相等，列出方程求解． 【详解】解：由题意得，，无解； 或，解得， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，，点、在一条直线上，若，，则的长为______． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为：4． 【题型四】全等三角形的性质综合解答 【例4】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，已知，且点F，B，E，C在同一条直线上． (1)连接．若，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． （1）由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到； （2）由全等三角形的性质推出，由三角形三边关系定理得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． 【变式4-1】（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，已知． (1)若，，求的度数； (2)若，，求AB的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，再利用三角形外角的性质进行解答即可； （2）根据全等三角形的性质得到，利用线段的差得到，再求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，，点B的对应点D在边上． (1)求证：平分； (2)若点A，B，E在同一条直线上，且，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴， ∴，即平分． (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的定义及三角形内角和定理． （1）根据全等三角形的性质得到相关角的关系，再结合角平分线的定义进行证明即可； （2）设，则，先根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理列出方程解出x的值，最后再利用全等三角形的性质推出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)若，，求的长度； (2)求证：； (3)若，，则_______． 【答案】(1)3 (2) 解：∵， ∴， ∵，且， ∴； (3)4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，得出因为，故，即可作答． （2）根据全等三角形的性质，得，结合三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）根据全等三角形的性质，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，, ∴ ∵， ∴， （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 【题型五】用“SSS”证明三角形全等 【例5】（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，若，． (1)求证：； (2)如图，连接交于点，请判断与的位置关系并证明． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴； (2) ，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【分析】（）利用判定定理“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而由“三线合一”得到，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，,,． (1)求证：． (2)已知,，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出． （1）先根据证明，根据即可得出； （2）根据全等的性质得出，再根据三角形的外角的性质可得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， ∵,， ∴， ∴． 【变式5-2】（25-26八年级上·河南周口·期中）油布伞是中国传统手工艺的重要代表，融合了实用性与艺术性，被多省列入非物质文化遗产名录．油布伞的截面如图所示，伞骨，支撑杆．当点O沿伞杆滑动时，可使雨伞开闭． (1)问雨伞开闭过程中，与有何关系？说明理由． (2)若，当雨伞由闭合撑开到时，点O沿滑动的距离是多少？ 【答案】(1) 解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：， 理由如下： ，，， ， 在与中， ， ， ． (2)点O沿滑动的距离是 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，等边三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）与相等，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题公共边，可考虑证明三角形全等，从而推出角相等； （2）利用闭合时的长度减去当雨伞由闭合撑开到时的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵伞骨， ∴， ∴， 当雨伞闭合时，， 当时，则， ， 为等边三角形，故， 故O沿滑动的距离是． 【题型六】用“SAS”证明三角形全等 【例6】（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知，如图，延长的各边，使得，顺次连接D，E，F，得到为等边三角形．求证： (1)； (2)为等边三角形． 【答案】(1) 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，得到，线段的和差关系推出，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，平角的定义，三角形的外角以及三角形的内角和定理推出，，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式6-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，, ∴， 在与中， ， ∴． (2)4 【分析】（1）要证明，已经有两组边对应相等，不难发现，，同角的补角相等，由可证得； （2）由可知，再计算的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴． 【变式6-2】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）随着技术的发展.中国在空天地一体化网络建设中处于领先地位，某科技企业研发的基站信号覆盖范围可抽象为三角形，如图，在中，为的中点，为边上一点．连接，并延长至点，使得，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1) 证明：是的中点， . 在和中， ． (2) 【分析】（1）结合是的中点，运用证明，即可作答． （2）由全等三角形的性质得，再结合平行线的性质得，最后代入数值到计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， . 又，， ， ． 【变式6-3】（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，在中，点在边上，，与相交于点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据得，依据“”判定和全等即可； （2）依题意得，根据得，再根据三角形内角和定理得，再根据全等的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴， ∴， 即的度数为． 【变式6-4】（25-26八年级上·河北唐山·期中）琪琪将两个大小不同的含角的直角三角板如图所示放置在桌面上如图1．从图中抽象出的几何图形如图2．已知在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并证明． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． (2) 解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）求出，再利用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，求出即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【题型七】用“AAS”证明三角形全等 【例7】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，点E在的边上，且． (1)求证：； (2)若的平分线交于点F，交于点D，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，则的长为________． 【答案】(1)证明：∵，且， ∴， ∴； (2)证明：∵的平分线交于点F， ∴， ∵交于点D， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (3)2 【分析】（1）根据和，即可求证； （2）易证和，即可证明； （3）根据全等的性质可得，即可解题； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵ ∴， ∴． 【变式7-1】（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）因为，，所以可先推导与相等；可利用定理证明． （2）因为，所以可得到对应边相等，进而求出的长度；再结合三角形面积公式，计算的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， 在中，， 在和中： ∵ （2）解：由全等得： ∵共线，且， ∴， ∴， ∴ 【变式7-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质、平行线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得， 再由三角形内角和定理得出，最后由平行线性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式7-3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当等于多少时，，请说明理由： (2)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1) 解：当时，，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴； (2)可以；当的度数为或时，的形状是等腰三角形 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识： （1）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． （2）分三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）略 （2）解：可以；当的度数为或时，的形状是等腰三角形， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 此时，点D与点B重合，不合题意； 当时，， ∴． 综上，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【题型八】用“ASA”证明三角形全等 【例8】（26-27八年级上·天津南开·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ， ． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，可证，再根据“”证，即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得，再根据外角的性质，计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ， ， ， 则的度数为． 【变式8-1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使落在上，展开得到折痕．继续折叠，使点与点重合，展开得到折痕，设与交于点，连接，． (1)猜想和的数量关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1) ，理由如下： 由折叠可得，，，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解题的关键是掌握折叠的性质． （1）先通过折叠的性质得出，，，，进而推导出，证明推出，又由得出结论； （2）根据已知条件得出，再由折叠可得，，，推出，得到，进而得到，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由折叠可得，，， ， ， ， ， ． 【变式8-2】（25-26八年级上·重庆永川·期中）如图，，，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得，根据三角形内角和定理得到，则有，再利用全等三角形判定即可证明； （2）根据全等三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知，是的边上的高，平分，且交于点E． (1)如图1，若．求证：． (2)如图2，点F是的中点，过A作交的延长线于点G．求证． 【答案】(1) 证明：∵平分， ， ∵ ∴， 又∵是的边上的高， ∴， ∴在和中： ∴ (2) 证明：∵，F是的中点， ∴，， ∴在和中： ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识． （1）根据角平分线的定义进一步得出，证明，再利用即可证明； （2）由平行线的性质得出，根据点F是的中点，则，证明，由全等三角形的性质得出，结合（1）可知，最后根据线段的和差进而求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【题型九】添加条件使得三角形全等 【例9】（26-27八年级上·黑龙江·期中）如图，已知，请添加一个条件使与全等的是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要使，已知，，具备了两组边相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可，答案不唯一． 【详解】解：添加条件是， 在和中， ∵， ∴． 【变式9-1】（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，若要得到可以添加一个条件是______．      【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定即可完成． 【详解】解：由题意知， 若添加，则由可判定． 【变式9-2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在和中，，，请添加一个条件___________，使． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】已知，，可根据、、三种判定定理补充条件，分别为边，角，角． 【详解】解：已知，， 若添加条件，在和中， ． 若添加条件，在和中， ． 若添加条件，在和中， ． 故答案为：或或（答案不唯一）． 【变式9-3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 【点睛】注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【题型十】根据具体情况选择合适的判定定理 【例10】（26-27八年级上·江西·期中）如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具，测的长即等于内槽宽，那么判定的理由是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判定全等即可得出，从而可确定判定的理由． 【详解】解：如图， ∵O是、的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴那么判定的理由是． 【变式10-1】（26-27八年级上·宁夏·期中）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点；（2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹，结合全等三角形的判定是解答的关键． 【详解】解：由作图痕迹，得，，， ∴． 【变式10-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析被墨迹污染后的三角形剩余部分的特征，并结合全等三角形的判定定理来判断． 【详解】解：被墨迹污染的三角形，剩余部分保留了两个角和它们的夹边，符合全等三角形的判定条件，因此，根据可以画出一个与原三角形完全一样的三角形． 【变式10-3】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 【题型十一】利用垂直平分线的性质求长度 【例11】（26-27八年级上·湖南长沙·期中）如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（     ） A．13 B．12 C．11 D．16 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，所以的周长可表示为，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为． 【变式11-1】（25-26七年级下·广东河源·期中）如图，在中，点是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再根据与的周长之差为列式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵与的周长之差为， ∴， ∴， ∴． 【变式11-2】（25-26七年级下·广东梅州·期中）如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，进而求出的长，最后利用三角形周长公式及线段和差关系求解即可． 【详解】解：的垂直平分线经过点且与边交于点， 垂直平分， ，， ，， ， ， ， 的周长． 【变式11-3】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长是． 【题型十二】全等三角形的实际应用 【例12】数学兴趣小组来到某公园与美丽的花海合影．如图，小荷和小柳在花海围栏旁的点处拍了一张照片．小荷设计了一个方案测量花海的边缘点与围栏旁点之间的距离．小荷先从点处沿方向走2.5至点处，又沿着与垂直的方向走了3至点处并放置了一个标记物，接着往前再走3至点处，最后从点处向左沿着与垂直的方向走了一定距离至点处．此时，她看到标记物正好遮住了花海边缘的点处，经过测量，，图中所有点均在同一平面内，请你帮兴趣小组求出花海的边缘点与围栏旁点之间的距离． 【答案】花海的边缘点与围栏旁点之间的距离是1.5 【分析】利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：根据题意，得，，，， 且点，，在同一条直线上， 在和中， ， ， ， ． 答：花海的边缘点与围栏旁点之间的距离是1.5． 【变式12-1】（26-27七年级上·山东淄博·期中）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴到地面的距离，在游人乘坐的过程中，当海盗船静止在点处时，，此时测得点到铅垂线的距离，当船头从处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离． 【答案】 【分析】过点作，证明可得，再由求出即可． 【详解】解：如图，过点作， 根据题意可知，， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点到地面的距离是． 【变式12-2】（25-26七年级下·贵州六盘水·期中）某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． (1)直接写出山间土路边长的取值范围_________； (2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵点是的中点， ∴， 在与中， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定第三边范围即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）先求出，在中，根据得出结论即可； 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，即； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 【变式12-3】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期中）小区的便民服务点要搭建一个四边形遮阳棚，其中，点E在棚架上，点F在棚架上，施工时发现，且支撑杆． (1)工人师傅说：“不用测量和，就能知道这两段棚架长度相等．”你同意他的说法吗？请说明理由； (2)已知米，米，搭建该遮阳棚的材料单价为每平方米20元，求搭建这个四边形遮阳棚一共需要花费多少元？ 【答案】(1)同意工人师傅的说法． 理由：连接， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)160元 【分析】（1）连接，先证明，再证明，即可证明结论； （2）由（1）可知，可得米，米，即可求出四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴米，米， ∴（平方米） 总费用：（元）． 答：搭建这个四边形遮阳棚一共需要花费160元． 【题型十三】灵活选择适当的方法证明全等 【例13】（25-26七年级下·重庆江北·期中）如图，在中，点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1) 根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）略 （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 【变式13-1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)①或②或③ (2) 选择①，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择②，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， （1）添加①或②或③均可证明全等； （2）由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等． 【详解】（1）解：选择①或②或③ （2）略 【变式13-2】（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，中，，的平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于，．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点． 求证下列结论： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)证明：的角平分线和的外角平分线， 在中 ； (2)证明：，， ， 为的角平分线， ， 在和中 ， ，； (3)证明：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， . 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义然后利用三角形的内角和定理整理即可得解； （2）证明得出，，即可； （3）利用角角边证明全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得证. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式13-3】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）先推导和的角的关系，再结合，利用全等三角形来证明全等； （）先通过角的推导证明，得，则，再证明，得，求得的值，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式13-3】（26-27八年级上·福建厦门·期中）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)【灵活运用】的取值范围是_______________________； (2)【问题拓展】如图3，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：线段与的关系为：且．理由如下： 过点C作于点． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵ ∴， ∴． 【分析】（1）根据，得到，利用三角形三边关系定理解答即可． （2）过点C作于点．证明，根据三角形全等的性质，解答即可． 【详解】（1）解：如图2，延长到点E,使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵, ∴， ∵，， ∴ 故． （2）解：略． 题型十四】角平分线的性质与面积问题 【例14】（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，的平分线交于点，点为的中点．连接．点为上一点，且．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出、的面积，过点作于，于，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作于，于， ∵的平分线交于点， ∴， ∵，， ∴． 【变式14-1】（26-27八年级上·广西钦州·期中）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为（     ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质和三角形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：∵平分，于点， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∵，， ∴的面积为. 【变式14-2】（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．15 B．18 C．30 D．36 【答案】A 【分析】作于点，作于点，连接，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，作于点，连接， ∵在中，点是，的平分线的交点，， ∴，， ∴ ． 【变式14-3】如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据等量代换进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得． 【题型一】利用全等三角形求证正方形网格角度之和 【例1】（25-26八年级上·北京·期中）如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质， 由题意可得：，，即可证明，从而得出，根据三角形的外角可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， , ， ， ． 故选：C． 易错警示 网格中全等三角形要找准对应顶点，不能凭肉眼目测角大小；证明角度和时，不要混淆互余角、全等对应角。 【变式1-1】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由图可得，，进而得到，再利用等边对等角求出的度数，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1-2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型二】根据全等三角形的性质判断结论是否正确 【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 根据已知条件分析和易得可判断A选项；由得出，再由全等三角形的判定和性质即可判定B、C选项即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 易错警示 写全等式子时字母必须对应；判断结论时，只有对应边、对应角相等，非对应边角不相等，不要主观脑补条件。 【变式2-1】（25-26八年级上·湖北·期中）如图，，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，是解题的关键． 证明可判断①②正确；根据证明可判断④正确；无法判断③正确． 【详解】解：，，， ， ，，，故②正确； ， 即，故①正确； ，，， ，故④正确； 根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，故③错误． 故选：B． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质等知识点，证得和是解题的关键． 先利用等边三角形的性质可证明即可判断A选项；根据全等三角形的性质、角的和差以及三角形内角和定理可得，即可判断C选项；再证明可得、即可判断B选项；再证明，即可证明是等边三角形，从而判断D选项． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，即A选项正确，不符合题意； ∴，，， ∵， ∴，故C选项错误，符合题意； 在和中， ， ∴， ∴、，即B选项正确，不符合题意； ∵， ∴是等边三角形，即D选项正确，不符合题意． 故选C． 【变式2-3】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图．在中，P是上一点，于点D，于点E，且，F是上一点，且．下列结论：①；②；③，其中正确的是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定．证明，可得，，从而得到，进而得到，再由平行线的性质可得，然后根据题意无法得到与的大小关系，则无法确定与是否全等． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∴， 根据题意无法得到与的大小关系， ∴无法确定与是否全等，故③错误； 故选：B 【变式2-4】（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在一个被称为风筝模型的四边形中，，，分别在边，上的两点，处拉两根彩线，，补充下列条件，能使两根彩线和的长度相等的是（   ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 在和中，利用即可证明，则；然后根据各选项的条件逐项分析即可． 【详解】解：连接， 在和中， ， ∴， ∴； A．∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故符合题意； B．∵，，， ∴， ∴，故符合题意； C．∵，，， ∴， ∴，故符合题意； 故选D． 【题型一】全等三角形动点问题（解答题压轴） 【例1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，平分，，，，，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)当时，求的值． (3)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 【答案】(1) (2)当时， (3) ，，， ． 点以的速度从点向点F运动，动点以的速度从点向点运动， ，， ，即， 即， 在运动过程中，不管取何值，都有． 【分析】本题主要综合考查了全等三角形的判定与性质，动点问题的分类讨论思想，三角形面积公式的应用． ()通过角平分线性质得，根据证明，得到线段相等，再结合已知线段长度计算目标线段； ()分两种情况讨论，根据动点运动的不同阶段(点在上)分类列方程，由全等三角形的性质可求解，舍去不合题意的解后确定值； ()利用三角形面积公式，结合全等得到的高相等的条件，将面积比转化为底的比，再根据动点速度表示出底的长度，推导出面积的固定比例关系． 【详解】（1）解：平分， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ，， ． （2）， ． ①当时，点G在线段上运动，点E在线段上运动， ，， ， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上运动，点在线段上运动， ，， ， ． 综上所述，当时，． （3）略 【变式1-1】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题． (1)_________；_________；（用含t的代数式表示） (2)如图①，点P与点Q运动的过程中，能否成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理． (3)如图②，点D是的中点，连接、，点P、点Q在运动过程的某一时刻与全等，求此时的长． 【答案】(1)； (2)能， (3)cm 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，几何动点问题，解题的关键是： （1）根据路程=速度×时间即可求解； （2）由等边三角形的性质可得方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出方程，可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：，； （2）解∶能， 理由如下：∵是等边三角形． ∴， ∴当时，是等边三角形． 即 解得 因此当时，是等边三角形； （3）解：设点P、点Q运动t秒后，与全等． 由题意可得，， ∵是等边三角形，点D是的中点 ∴，， ①当时，， 即， 解得， ∴； ②当，时，， 即， 这两个方程组无解且不符合题意，故不满足， 综上，当时，． 【变式1-2】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在长方形中，，点P在线段上以的速度由A向终点B运动，同时，点Q在线段上由点B向终点C匀速运动，它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等且时，求证：． (2)在运动过程中，若，求此时点Q的运动速度． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等且， ∴ ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据四边形是矩形，，得出，，因为点Q的运动速度与点P的运动速度相等且，所以证明，即可作答． （2）因为，所以，，因为点P在线段上以的速度由A向终点B运动，所以，．即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵点P在线段上以的速度由A向终点B运动， ∴，． 【变式1-3】（25-26七年级下·重庆九龙坡·期中）如图，在正方形中，，点M在上，且，动点P从点M出发，以每秒3个单位的速度沿折线运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒5个单位的速度在B、C之间往返运动，当点P到达终点D时，另一个点也随之停止运动．记点P运动的时间为t（单位：s）．    (1)当点P在上运动，且Q由运动时，若，求t的值； (2)在运动过程中，连接，记D、P、M、Q围成的图形面积为S，直接写出S与t的关系式，并写出t的取值范围； (3)在运动过程中，是否存在某个时刻，使点B、D、P围成的三角形与点B、D、Q围成的三角形全等，若存在请直接写出t的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，理由见解析． 【分析】（1）根据，时的不同表达即可求解； （2）分类讨论即可求解； （3）由题意可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：当点P在上运动时：， ， 时： 则， 解得：； 时： 则， 解得：， 故当时，； （2）解：时：    ∵ ∴ 化简得：； 时，    ∵ ∴ 化简得：； 时：    ∵ ∴ 化简得： 时：    ∵ ∴ 化简得： 综上：； （3）解：∵， ∴当时，且点在线段上运动时，点B、D、P围成的三角形与点B、D、Q围成的三角形全等， ∴， 解得：， 故当时，点B、D、P围成的三角形与点B、D、Q围成的三角形全等． 【点睛】本题考查了正方形中的动点问题，涉及了用“割补法”表示不规则图形的面积、三角形的全等等知识点．综合性较强，需要学生具备完整而严密的分类讨论思想． 【题型二】全等三角形解答题压轴 【例2】（26-27八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点． (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：作，交于点， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)7 【分析】（1）先由三角形的内角和定理求得，再根据三角形的内角和定理求得，，然后根据角平分线的定义求得，进而可求解； （2）作，交于点，分别证明，得到，，进而由可证得结论； （3）由（2）知，，作，，连接，，证明得到，再证明得到，利用两点之间线段最短得到，当D、M、共线时取等号，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴由（2）知，， 作，，连接，， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴，当D、M、共线时取等号， ∴的最小值是7． 【变式2-1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明出，再利用“”即可证明； （2）由（1）可得，则，结合题意得出，再证明，即可得证； （3）由（1）可得，则，，由（2）可得，结合题意得出，由，得出，求出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴，， 由（2）可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26七年级下·重庆·期中）已知，连接，点在上（点不与点，点重合），连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，点是的内角平分线的交点，连接，，点是的外角平分线的交点，连接，请探究与的数量关系； (3)如图3，若，点是的中点，求证：． 【答案】(1) (2) (3)延长至点，使得，如图所示： ∵点是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）先过点作，再结合平行线的性质，得，即可作答； （2）根据角平分线的定义，以及三角形的内角和性质得，同理得，再结合平行线的性质，得，整理得，最后代入计算，即可作答． （3）运用倍长中线法进行证明，得出，再根据，，证明，即可作答． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 过程如下： ∵点是内角平分线交点， ∴ ∴ ∵， 则 延长至点，如图所示： ∵点是外角平分线交点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 则 ， ， 即， ∵ ∴， 故． （3）略 【变式2-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 【答案】(1)证明：，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； (2)解：猜想、、之间的数量关系为：． 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， 又，， ； (3)当时，仍然成立． 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定． （1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出； （2）猜想、、之间的数量关系为：．首先证明，据此推得，所以，最后根据，判断出即可． （3）当时，仍然成立，依照（2）的证明过程即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当时，仍然成立， 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又，， ； ∴当时，仍然成立． 【变式2-4】（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，．D是直线上任意一点，连接，过点C作，且，过点E作，垂足为F，连接，分别交，于点M，N． (1)如图1，当点D在线段上时，与相等吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，若，． ①的长度为________； ②设的面积为，四边形的面积为，则的值为________； (3)如图2，当点D在线段的延长线上时，点M是线段的中点吗？说明理由． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)①2；②6 (3)解：点M是线段的中点，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点M是线段的中点． 【分析】（1）证明，即可得到； （2）①由全等三角形的性质得到，则可得到，，证明，即可得到；②证明，得到，则可证明，进而得到，据此根据三角形的面积公式求解即可； （3）先证明，得到，再证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）得，， ∴； ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②由（2）①得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）略 【题型三】全等三角形中最值问题（选填压轴） 【例3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为_______． 【答案】1 【分析】过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两点之间线段最短得到取最小值时点的位置是解题的关键． 如图，在下方作，且使得，则，，可证得，则，，进而可知当点在上时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：如图，在下方作，且使得，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， 即，当点在上时，取得最小值， 此时，， 故答案为：18． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南信阳·期中）在锐角三角形中，的面积为16，平分．若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】解：如图，在截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为8， 故答案为：8． 【变式3-3】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，，，点，点分别在线段，上运动，且满足，当最小时，的度数为_____． 【答案】/80度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，几何图形中角度的求解，三角形外角性质，准确作出辅助线为解题关键，以为边，为顶点，向下作，使得，连接，先证明，进而推出，当、、三点共线时，最小，此时，求出，，利用三角形外角性质求出结果即可． 【详解】解：如图，以为边，为顶点，向下作，使得，连接， 在与中， ， ， ， ； 当、、三点共线时，最小，此时，点位置如图所示， 此时，， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型四】全等三角形中多结论问题（选填压轴） 【例4】（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是的角平分线，点在的延长线上，，，，垂足为．有下列四个结论：①与的面积相等；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【分析】本题考查三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据高相等但底不一定相等得到与的面积不一定相等，故①错误；根据三角形内角和以及等边对等角得到，故②正确； 设，则，证明，得到，则，求出 ∴，代入计算得到③说法正确；在上截取，连接，证明，得到，则，根据三线合一得到，最后根据证明，得到④说法正确． 【详解】解：∵与过点高相同， ∴要使与的面积相等，必须有，即是的中线， ∵是的角平分线， ∴不一定是的中线， ∴与的面积不一定相等， 故①错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故②正确； 设，则， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③说法正确； 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， 故④说法正确； 故答案为：②③④． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有________． 【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．证明≌，可得①正确；即可求得，可得③正确；再证明≌，可得②④正确和，即可证明⑤正确；结合全等三角形的判定与性质及角平分线的判定定理即可求出⑥正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴，，，故①正确，符合题意； ∵， ∴，故③正确，符合题意； 在和中，， ∴≌， ∴，，，故②④正确，符合题意； ∵， ∴是等边三角形，故⑤正确，符合题意； 作于，于，如图所示： 则， 在和中，， ∴≌， ∴， 又∵于，于， ∴是的平分线，故⑥正确，符合题意； 则正确的有①②③④⑤⑥． 故答案为：①②③④⑤⑥． 【变式4-2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中： ①；②当时，；③；④． 所有正确结论的序号是___________． 【答案】②④ 【分析】①在线段上截取，连接，可证，得，，可证，得，即； ②当时，，由得，利用角的和差可证，即； ③由得，利用角的和差可证，则与不一定相等； ④由得，利用角的和差可证，，由三角形全等的性质可证，从而可证． 【详解】解：①在线段上截取，连接， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 则①错误； ②当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 则②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 则当时，， 此时， 但题目中未给出的具体值，所以与不一定相等； 则③错误； ④∵， ∴， ∴， 由③得， ∵， ∴， 则， ∴， ∴； 则④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形、平行线的性质，角的和差等，在线段上截取，连接，利用截长补短构建全等三角形是解题的关键． 【变式4-3】（26-27八年级上·天津武清·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是_______． 【答案】 ①②③ 【分析】利用角平分线定义和三角形内角和定理计算判断①；通过计算角度证明，结合角平分线和公共边证明全等判断②；通过作辅助线构造全等三角形，利用线段和差关系判断③． 【详解】解：①，分别平分，， ，， ， ， ，故①正确； ②， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中 ， ，故②正确； ③如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故③正确； 综上所述，正确的结论是①②③． 【题型五】垂直平分线中最值问题 【例5】（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知中，，，边上的高，点G是边的垂直平分线上任一点，H是边上一动点，那么的最小值是___________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，过点C作于点H，交的垂直平分线于点G，此时，即的最小值为的长度，最后再根据面积法求解即可． 【详解】解：点G在的垂直平分线上， ， ∴， 过点C作于点H，交的垂直平分线于点G，此时，如图： ∴的最小值为的长度． ∵的面积为， 又∵三角形面积为， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【变式5-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，垂直平分，交边于点D，交边于点E，在线段上有一动点P，连接，，则的周长最小值为_________． 【答案】14 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，然后等量代换求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长 ∴当点B，P，C三点共线时，的周长取得最小值，最小值为14． 【变式5-2】（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 【变式5-3】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，将转化为．根据垂线段最短可知当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离，利用三角形面积公式即可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵l是边的中垂线，点E是直线l上动点， ∴， ∴， ∵点F是直线上动点， ∴当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离， 设点C到直线的距离为h， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴的值最小为． 【题型六】角平分线中最值问题 【例6】（26-27八年级上·重庆璧山·期中）如图，在四边形中，，，点是边上的动点，连接、，若平分，则的最小值为______． 【答案】2 【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 又∵平分，， ∴， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，，取得最小值，最小值为． 【变式6-1】（26-27八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，平分交于点，是上一动点，若，的面积为5，则的最小值为_________． 【答案】2 【分析】过点作于F，利用的面积为5，先求出，当时，的值最小，由平分，即可求出的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作于F， ∵，的面积为5， ∴， 当时，的值最小， 又∵平分， ∴此时，即的最小值为． 【变式6-2】（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，中，，，，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点，分别为，上一个动点，则的最小值为__________． 【答案】8 【分析】过M作于D，在线段上取一点E，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点P，Q分别为，上一个动点，得到当P在上，Q与E重合时，最小． 【详解】解：过M作于D，在线段上取一点E，使，连接，， ，为的平分线，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， 当P在上时， 点P，Q分别为，上一个动点， 当P在上，Q与E重合时，最小． 【变式6-3】（25-26七年级下·陕西汉中·期中）如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 【答案】2 【分析】因为是的中线，所以和面积相等，可先求出的面积．已知的面积和的长度，结合，用三角形面积公式可求出的长度．因为是角平分线，根据角平分线的性质，点D到和的距离相等，可得D到的距离等于．因为G在上，根据垂线段最短，的最小值即为D到的距离． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵，，， ∴， 解得． ∵是的角平分线， ∴点到的距离等于． 又∵点在上， ∴的最小值就是点到的距离， 即． 【题型一】尺规作图-三角形 ①审题，确定已知条件(已知三边/两边夹角/两角一边) 仔细读题，分清题目给出的是哪一类条件：SSS(三条边长)、SAS(两条边长+这两边的夹角)、ASA(两个角+两角夹边);SSA不能唯一确定三角形，无法尺规作图，梳理已知线段长度、已知角的度数。 ②画出基准边，确定第一个顶点 用直尺先画出一条水平线段，长度等于题目给出的基准边；标注线段两个端点，作为三角形的两个基础顶点。 ③根据尺规作图规则，用圆规截取等长线段、画弧确定第三个顶点 ·若为SSS(已知三边) 圆规量取第二条边的长度，以基准边左端点为圆心画弧，再量取第三条边长度，以基准边右端点为圆心画弧，两 段圆弧的交点就是三角形第三个顶点。 ·若为SAS(已知两边及其夹角) 以基准边一个端点为顶点，用尺规作出已知角，在角的另一条射线上，用圆规截取第二条已知边长，得 到第三个顶点。 若为ASA(已知两角及其夹边):以基准边两个端点分别为顶点，在基准边同侧，分别作出题目给定的两个角；两条角的射线相交，交点即为第三个顶点。 ④连接各顶点，得到目标三角形 用直尺连接基准边端点与刚才找到的第三个顶点，补齐三角形另外两条边，完整画出三角形。 ⑤保留作图痕迹，写出结论 圆弧、截取的弧线都不能擦掉，这是得分关键；最后写文字结论：△XXX即为所求作的三角形。 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点D在边上．求作，使，并满足点E在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】在的上方作，在射线上截取线段，使得，在射线上截取线段，使得，连接，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 【变式1-1】（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知：线段，和（如图）．用尺规作图，作，使，，． 【答案】见解析 【分析】先在射线上截取，作，在射线上截取，连接，即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，已知线段a及，求作，使，，，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】 如图，就是所求作的三角形． 【分析】本题考查了用尺规作三角形，熟练掌握用尺规作三角形是解题的关键．先作，，则，然后在射线和上分别截取和，再连接即可． 【详解】略 【变式1-3】（25-26八年级上·北京·期中）如图，中，． (1)尺规作图：在AC边上确定点D，使得（保守作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，将，判断是否为等腰三角形．并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形， 因为，所以； 由（1）知 在中， 因为 （等角对等边） 所以是等腰三角形 【分析】本题考查尺规作等角、等腰三角形相关性质与判定及三角形内角和定理，运用从条件推导角边关系的方法，关键在于精准尺规作等角与正确计算角度以判定等腰，易错点是角度计算及关系梳理出错； 先利用尺规作与相等的找到点，接着依据及度数算出，结合算出，通过与关系判断是否为等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【题型二】全等三角形模型-连接两点构造全等 固定解题步骤： ①观察图形，确定需要证明全等的两个三角形； ②作辅助线：连接指定两点； ③标记新增的公共边、对顶角等隐藏条件； ④补齐边角条件，选择判定定理证明全等； ⑤利用全等性质，得到目标边、角相等。 【例2】（26-27七年级上·山东威海·期中）如图，已知：，则______________． 【答案】 【分析】连结，证出，再利用三角形内角和的推论即可求得答案． 【详解】解：作射线，在射线上取点， ， ， ，， ， ， 是的外角， ． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 【题型三】全等三角形模型-倍长中线构造全等 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，方法：延长AD到点E,使ED=AD,连接BE. 结论1： 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，方法：连接ED,延长ED到点F,使DF=DE,连接CF. 结论2： 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，方法：作CE⊥AD于E,BF⊥AD于F, 结论2：（SAS） 【例3】（26-27八年级上·江苏南通·期中）中，，，是的中线，设长为，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】通过倍长中线构造全等三角形，将已知边和中线的倍放到同一个三角形中，利用三角形三边关系求解中线的取值范围． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，可得， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得， 代入得， 化简得，即． 【变式3-1】（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先证明，则，，由，得到，则，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3-2】（26-27八年级上·江西赣州·期中）【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________； A．    B．   C．    D． (2)连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是________； (3)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． (4)在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为________． 【答案】(1)B (2) (3)， 理由如下：延长到M，使得，连接，如图， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴； (4)6 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据三角形三边的关系即可求出的取值范围，进而可求出的取值范围； （3）延长到，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，即可得到结论； （4）由（3）可得，，，，则，说明即可求解． 【详解】（1）解：（1）延长到点E，使， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， 故选：B； （2）∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； （3）略 （4）延长到M，使得，连接， 由（3）可知，， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 【变式3-3】（26-27八年级上·河南周口·期中）【问题情境】数学兴趣小组交流时提出了问题：如图①，在中，若，，是边上的中点，试求中线长的取值范围． 【初步探索】 (1)小华经过思考得到了如下解决方法：如图①，延长至点，使，连接，可证得≌，从而求出中线的取值范围，其中判定全等的依据是__________； 【问题解决】 (2)图①中，与的数量关系是__________，位置关系是__________； 【拓展提升】 (3)老师表扬了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图②，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，连接，求的长． 【答案】(1) (2)相等；平行 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的判定条件即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质可得所求线段相等和对应角相等，进而得出所给线段的位置关系； （3）根据题目所给的辅助线的作法作出辅助线，然后根据全等的条件证明两三角形全等，再根据全等的性质得到答案． 【详解】（1）解：延长至点，使，连接， 是边上的中点， ， ， ． （2）解：， ，， ． （3）解：延长到，使，连结， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ,， ， ， ， ． 【题型四】全等三角形模型-截长补短构造全等 方法 截长法 补短法 条件 在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD 图示 方法 在AB上截取AE=AC，连接DE 延长AC到点E，使CD=CE，连接DE 结论 是等腰三角形 是等腰三角形 【例4】（26-27八年级上·广西南宁·期中）综合与探究 已知，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明______；再证明______；即可得出线段、、之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． (3)在四边形中，，，E、F分别是、所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)或或 【分析】（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段、、之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短的方法，先证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路：先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是． （2）略 （3）解：或或， 理由： ①， 如图，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②， 如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ③由（1）（2）可知，； ④如图，点E在延长线上，点F在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系； 综上所述，线段、、之间的数量关系为或或． 【变式4-1】（26-27八年级上·四川成都·期中）按要求解答下列问题： (1)【初步探索】 如图1：在四边形中，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是．（、、三个角之间的数量关系） (2)【灵活运用】 如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． (3)【拓展延伸】 已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)； (2)仍成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ； (3)． 【分析】（1）如图1：延长到点G，使，连接，，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此即可得出结论； （2）如图：延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定可得出； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定得出，最后根据，推导得到，即． 【详解】（1）解：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中，， ， ． （2）略 （3）解：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， ， ∴， ∴， 即， ∴． 【变式4-2】（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是______． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形中，，，点，分别是，上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以40海里/时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 【答案】(1) (2)成立，理由如下， 解：延长到点，使，连接， ，， ， ，， ， ，，． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． (3) 【分析】（1）先根据边角边证明，推出，再利用边边边证明推出，结合图形通过等量代换即可求出 （2）根据平角的定义和，通过等量代换推出，根据边角边证明，推出，再利用边边边证明推出，结合图形通过等量代换即可求出． （3）根据题意可推出，利用平角的定义通过等量代换推出，结合已知条件，利用边角边证明推出和，再结合已知条件，利用边边边证明即可证明，利用，通过等量代换推出，结合图可知，从而求出度数． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ，，． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）略 （3）解：作的延长线，使，连接，如图所示， 由题意可知，，，，，，，， ，， ， ， ， ，， ， ，． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 由图可知，， ． 【题型五】全等三角形模型-一线三等角构造全等 已知：点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD). 同侧型 结论1： 异侧型 结论2： 【例5】（26-27八年级上·云南昆明·期中）问题情境：如图1，在四边形中．，，是上一点，连接，，，． 问题探究： (1)判断的形状并证明： (2)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 【答案】(1)为等腰直角三角形； 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； (2) 【分析】（1）先证明，得出，，再得出，即可得出结论； （2）证明，得出，，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式5-1】（26-27八年级上·新疆昌吉·期中）已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，证明 (2)如图1，请写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)其他条件不变的前提下如图2，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：由题意可得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)，理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴； (3)解：，理由如下： 由题意可得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, ∴，， ∴． 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解； （3）由同角的余角相等可得，再利用即可证明，从而可得，，即可得解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 【变式5-2】（26-27七年级上·山东东营·期中）完成以下小题 (1)已知：如图①，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：． (2)如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展与应用：小甬按如图方式测量旗杆高度，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在C处放置一块直角三角板，使直角顶点P落在C处，边与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上．小甬认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． 【答案】(1)证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ； (2)结论成立， 证明如下：， ， ， 在和中， ， ， ，， ； (3)同意 ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【分析】（1）根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，于是； （2）同（1）理得出，进而得出即可得出答案； （3）同理得到，得出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式5-3】（26-27八年级上·山东德州·期中）解决问题 (1)如图1，已知中，，，直线经过点，直线直线，垂足分别为点．求证：． (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵直线直线， ∴, ∵,, ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴ (2) 证明：∵,, ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）根据三角形的外角定理以及角度的转化可知，进而证明，再根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据三角形的外角定理以及角度的转化可知，进而证明，再根据全等三角形的性质即可求解 【详解】（1）略 （2）略 【题型六】全等三角形模型-手拉手模型 已知：在△ABC和△ADE中，AB=AC、AD=AE、∠BAC=∠DAE，连接BD、CE相交于0，连接OA. 结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE， 结论2：∠BOC=∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE. 【例6】（26-27八年级上·广西钦州·期中）【基础巩固】 (1)如图1，在和中，，，，求证：； 【深入探究】 (2)如图2，在和中，，，，，，三点在一条直线上，与交于点，若点为中点． ①求的大小； ②，求的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， 在和中， ， ； (2)①；②8 【分析】（1）首先证明，然后证明即可； （2）①同理证明得到，再根据三角形内角和定理求解即可；②首先由得到，然后证明出，得到，进而求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：①， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②作于点，如图所示： ， ， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ， ， ∴． 【变式6-1】（26-27八年级上·河北唐山·期中）按要求完成下列各题： (1)如图1，，，且，分别连接，，求证：． (2)如图2，，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵，，且， ∴； (2)，，理由如下： 如图，设与交于点F， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． 【分析】（1）利用证明即可； （2）设与交于点F，证明，得到，，然后利用三角形内角和定理得到即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式6-2】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在中，和的平分线相交于点K． (1)如图1，当，则的度数为________； (2)如图2，当时，，若，求的长度； (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点E，使，延长至点D，使，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)10 (3)50 【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义进行求解即可； （2）先求出，设，，，根据三角形的面积公式求出的值，进而求出的长度即可； （3）先证明，再证明，得到，分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵和的平分线相交于点K， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中， ， ， 平分，平分， ，． ， ． ， 设，，， ， ． （负值舍去）． ．     （3）解：由（2）可知，， ∴， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设， ， ． ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ． ． 【变式6-3】（26-27八年级上·山东临沂·期中）解决以下问题 (1)如图1，，，，交于点F，交于点，试探究与的关系； (2)将（1）中条件“”改为“”，如图2．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请求出与的夹角的度数． 【答案】(1)， (2)成立，不成立， 【分析】（1）证明，即可证明，推出，，然后根据角度的转换即可解答； （2）根据（1）中方法即可解答． 【详解】（1）解：，． 理由：， ， 即， 在和中 ， ． ，， ， ， ． （2）解：成立，不成立 ， ， 即， 在和中 ， ． ，． ， ． 【题型七】作已知直线的垂直平分线 ①审题：明确目标，对给定线段AB作垂直平分线； ②取大于的长度作为圆规半径； ③分别以点A、点B为圆心在线段AB上下两侧画圆弧，上下两组圆弧各自交于两点，记为C、D； ④用直尺连接交点C、D; ⑤保留圆弧作图痕迹，写出结论。 【例7】（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，已知线段． (1)用尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若点P在直线上，且，求的长，并说明依据． 【答案】(1) (2)解： 依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． ∵点P在的垂直平分线上， ∴． 【详解】（1）略 （2）略 【变式7-1】（26-27八年级上·江苏南京·期中）尺规作图 (1)在边上找一点，使的周长等于 (2)在边上找一点，使得 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)如图，点即为所求， 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接，则点即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点，连接，再作线段的垂直平分线交于点，连接，则点即为所求． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线交于点，连接，则点即为所求，图略． ∴， ∴的周长等于； （2）解：作线段的垂直平分线交于点，连接，再作线段的垂直平分线交于点，连接，则点即为所求，图略． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在四边形中，，，连接． (1)求证：； (2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)证明：∵， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据证明即可； （2）根据要求作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 【变式7-3】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，． (1)求作的垂直平分线，分别交，于点，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连结，若的周长比的周长大，求的长． 【答案】(1)如图，即为所求， (2) 【分析】（1）利用尺规作图即可． （2）根据垂直平分线性质和三角形周长的差值计算即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型八】尺规作图与垂直平分线（选填题） 【例8】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 【变式8-1】（2026九年级下·湖北·专题练习）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】连接，由作图可得，由即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知是的垂直平分线， ， 的周长为． 【变式8-2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，是等边三角形，以点为圆心，大于点到的距离为半径画弧，交于点，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连结交于点，则下列结论中一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图方法可知，是的垂直平分线，，根据等边三角形的性质只能得到． 【详解】解：由作图方法可知，是的垂直平分线， ，，故D正确， 是等边三角形， ， ， 对于条件不足，不能证明成立，不符合题意， 故选：D． 【变式8-3】（25-26八年级上·海南三亚·期中）如图，在长方形中，在线段上取一点M，使得，以点M为圆心，为半径作弧，交于点N，分别以点A、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，连接、，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图及其性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由长方形和可得，再根据作图可得直线是线段的垂直平分线，得出的度数，再利用求出的度数，最后在利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， 长方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由作图可得，直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ． 故选：A． 【题型九】作已知角的角平分线 已知：∠AOB，求作：∠AOB的角平分线。 ①审题：明确作图目标，作出∠AOB的角平分线； ②以顶点O为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交OA于点C,交OB于点D; ③分别以点C D为圆心，大于的长为半径，在∠AOB内部画弧。两弧交于一点P ④用直尺作射线OP; ⑤保留圆弧作图痕迹，写出结论。 【例9】（26-27八年级上·广东广州·期中）如图，已知中，，在上有一点D，延长，并在的延长线上取点E，使，连接． (1)作图：作的平分线，交于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)解：作图，如下图所示： (2)证明：如图所示， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在与中 ∴， ∴． 【分析】（1）以为圆心以任意长为半径画弧交于，交于；分别以点、为圆心以大于为半径画弧，两弧交于点；连接交于点，即为所求； （2）由，可得，由平分可得，即可证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 【变式训练9-1】（26-27八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，是的高． (1)利用尺规作图法作出的平分线，交边于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)如图，即为所求， (2) 【分析】（1）按照角平分线的作法进行作图； （2）根据三角形内角和定理求出,然后利用三角形的角平分线以及直角三角形的性质求出相关角的度数，最后根据求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：∵，， ∴, ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 【变式训练9-2】（26-27八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，是边上的高． (1)作的平分线，交于点（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)如图，为所求作； (2) 【分析】（1）以点为圆心，适当长度为半径画弧分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于一点，最后连接交于点； （2）根据三角形高的定义可得，再根据三角形的外角性质得到，然后利用角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：是边上的高， ， ， ， 平分， ， ， 在中，， ． 【变式训练9-3】（26-27八年级上·江苏南京·期中）尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在已知的内部求作一点，使得点到三角形三个顶点的距离相等； (2)在已知边上求作一点，使点到的距离等于的长． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)如图，点D即为所求， 作，交的延长线于E，作的平分线，交于点D， 则点D是求作的点． 【分析】（1）线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，作边、的垂直平分线交于一点O，点到三角形三个顶点的距离相等； （2）角平分线上的点到角的两边距离相等，从而作，交的延长线于E，作的平分线，交于点D． 【详解】（1）略 （2）略 【题型十】角平分线与尺规作图（选填题） 【例10】（26-27八年级上·河北廊坊·期中）如图，．按下列要求作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②以点N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交于点F．则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图易得，根据平行线的性质，三角形的外角的性质，进行判断即可. 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵是的一个外角， ∴， 无法得到， 综上，只有选项D符合题意． 【变式训练10-1】（26-27八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积是（     ） A．6 B．12 C．7 D．14 【答案】C 【分析】根据题意知平分，过点G作交于点H，再根据角平分线的性质得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点G作交于点H， 由基本作图的步骤可知，是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练10-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点②以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：由作图可知平分，， ，， ， ， ， ． 【变式训练10-3】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，中，，以B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若为上一动点，连结，则的最小值为（     ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据基本作图得到平分，过G点作于H点，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短解决问题． 【详解】解：由作法得平分， 过G点作于H点，如图，    ∵为的平分线，，， ∴， ∵P为上一动点， ∴的最小值为的长， 即的最小值为1． 技巧 一句话要点 全等三角形的性质——对应边角定位法 全等三角形对应边相等，对应角相等；找边角先对齐顶点字母，只有对应边角相等，非对应边角不一定相等。 全等三角形判定——定理匹配法 SSS：三边对应相等；SAS：两边及其夹角相等；ASA：两角及其夹边相等；AAS：两角及一角对边相等；SSA、AAA不能证全等。 全等模型-倍长中线——线段转移法 遇到中点/中线，延长中线一倍，构造SAS全等，将分散的边转移到同一个三角形中，再用三边关系求解。 全等模型-截长补短——线段和差转化法 求证a+b=c型线段和差，截长：长线段截取一段；补短：延长短线段，构造全等实现线段等量代换。 全等模型-一线三等角（K型）——等角推导法 同一直线上存在三个相等角，利用平角推导出一组等角，搭配一组等边，用AAS/ASA证明三角形全等。 全等模型-手拉手旋转——共顶点夹角法 共顶点两组等线段，加上公共角，推导出夹角相等，用SAS证全等；对应边相等，旋转角等于顶角。 角平分线性质——距离相等法 角平分线上的点，到角两边的垂线段长度相等；判定：在角内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上。 垂直平分线性质——等距判定法 线段垂直平分线上任意一点，到线段两个端点距离相等；判定：到线段两端距离相等的点，在线段垂直平分线上。 1/2 学科网（北京）股份有限公司 $