专题02 圆与方程全章4考点7题型（期中复习讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题02 圆与方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 圆的方程 考点二 直线与圆的位置关系 考点三 圆与圆的位置关系 考点四 最值问题 05 重难题型突破 题型一 圆的方程 题型二 直线与圆的位置关系 题型三 弦长问题 题型四 切线问题 题型五 圆与圆的位置关系 题型六 最值问题 题型七 轨迹问题 06 限时分层演练 基础固本练 综合进阶练 1.考查形式：通常以选择题、填空题为主（考查方程、位置关系、弦长、切线、最值），也可能在解答题（如解析几何大题）的第一问或作为几何背景出现。 2. 高频考点：圆的方程的求解（待定系数法、几何性质法）、直线与圆相交的弦长问题、切线方程、圆与圆的位置关系。 3. 难度预测：基础题和中档题为主，但涉及“与圆有关的最值问题”或“轨迹问题”时，常作为压轴小题出现，难度较大。 1. 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。 2. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 3. 能用直线和圆的方程解决一些简单的几何问题（如弦长、切线、最值）。 4. 体会数形结合思想、方程思想在解析几何中的应用。 考点一　圆的方程 ⚠️概念辨析 1.标准方程 vs 一般方程：标准方程(x －a)2＋(y －b)2 ＝r2 . 直观展示了圆心 (a,b) 和半径 r；一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 侧重于代数运算。 2.一般方程： Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0 中A，B必须相等。 挖空梳理 1 ．圆的标准方程：圆心为(a ，b) ，半径为 r(r>0)的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2 ＝r2 . 2 ．圆的一般方程 当D2＋E2 －4F>0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程，圆心为 半径为 方法提炼：   求圆的方程的两种常用方法： 1. 几何法：利用圆的几何性质（如圆心在弦的中垂线上、圆心到切线的距离等于半径等）求出圆心和半径，直接写出标准方程。 2. 待定系数法：已知条件与圆心、半径关系不大，多设一般方程；已知条件与圆心、半径关系密切，多设标准方程。 ⚠️避坑指南 使用一般方程时，千万别忘了检验 当D2＋E2 －4F>0 这个隐含条件！这是考试中最容易丢分的地方。 考点二　直线与圆的位置关系 ⚠️记忆口诀 “相交相切与相离，圆心距离比半径。等号相交与相切，大于相离要记清。” （即：d<r 相交，d=r 相切，d>r 相离） 挖空梳理 1 .直线与圆的位置关系的判定方法 关系 相交 相切 相离 几何法 d<r d＝r d>r 代数法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 2 .弦长（圆一般采用几何法） （1）利用垂径定理：已知半径 r、弦心距 d、弦长 l ，则 （2） 弦长最小(大)问题：一般先找定点P，定点为弦的中点。过点的所有弦中最长的为直径. 3. 求切线方程的方法 （抓住圆心到直线的距离等于半径） （1）过圆上一点圆的切线方程是：， （2）从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法：抓住圆心到直线的距离等于半径来求；切线长的解题思路：勾股定理 （3） 涉及到切线长最小值：转化成圆心到直线的距离问题。（面积、切点弦长最小等） ⚠️易混易错 1.在求过某一定点的圆的切线时，必须先判断该点是在圆上还是圆外。如果在圆上，只有一条切线；如果在圆外，一定有两条切线。如果解出来只有一条，说明另一条切线斜率不存在（即垂直于x轴的直线）。 2.利用几何法求弦长（构造直角三角形：半弦长、弦心距、半径）通常比代数法（韦达定理）计算量更小。 3.过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直的切线。 考点三　圆与圆的位置关系 ⚠️记忆口诀 判定圆与圆的位置关系，主要看圆心距 d与两圆半径 的关系，以及利用方程联立后的公共解个数。 挖空梳理 1.圆与圆的位置关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 几何法 d>R＋r d＝R＋r R －r<d<R＋r d＝R －r d<R －r 公切线条数 4 3 2 1 0 2.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程。 ⚠️避坑指南 1.求两圆公共弦所在直线方程：将两圆的一般方程相减即可得到公共弦方程。但要注意，前提是两圆必须相交。 2. 求两圆公共弦长：求出公共弦方程后，利用其中一个圆的圆心到该直线的距离 d，再利用勾股定理 考点四　最值问题 ⚠️记忆口诀 “点在圆外连线找，点在圆内过心找。距离最值加减r，斜率截距用切线”. 挖空梳理 1. 圆上动点到定点距离的最值：设圆心为 C，定点为 P，半径为 r。最大值为 |PC| + r，最小值为 | |PC| - r |。 2. 斜率型最值（如求 的最值）：转化为圆上动点 (x,y) 与定点 (a,b) 连线的斜率，利用直线与圆相切时的临界条件求解。 3. 截距型最值（如求 ax+by 的最值）：令 ax+by=t，转化为直线与圆有公共点时，截距 t 的取值范围，利用圆心到直线的距离 d = r 求解。 ⚠️易混易错 1.数形结合是解决最值问题的核心。一定要画图，看清是求“距离”、“斜率”还是“截距”，对应的几何意义截然不同。 2. 别忘了利用圆的对称性。遇到类似“直线上找一点向圆作切线，求切线长最短”的问题，本质是求点到圆心的距离最短。 题型一 圆的方程 典例1 （25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】利用待定系数法、配方法进行求解即可. 【详解】设的外接圆方程为， 因为的三个顶点分别为， 所以有， 配方得， 故选：C 💡破题要诀 求圆的方程的两种方法 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 注意：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解． 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏扬州·期中）与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点 【分析】先求圆的圆心和半径，再求圆心关于直线的对称点，即可求得对称圆的方程. 【详解】圆：，所以圆心为. 设关于直线的对称点为，则. 故所求圆的方程为：.故选：A 2.（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D 3.（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求圆的一般方程 【分析】利用待定系数法进行求解即可. 【详解】设圆的方程为，圆心坐标为， 因为圆的圆心在直线上， 所以， 因为圆与轴的交点分别为，， 所以， 所以有， 所以圆的方程为. 故答案为： 题型二 直线与圆的位置关系 典例2 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】依题意可得，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】因为点在直线上，所以，即， 圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 💡破题要诀 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断； （2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】依题意可得，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】因为点在直线上，所以，即， 圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 2.（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系、求点到直线的距离 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合半径关系判断即可. 【详解】由题知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上到直线的距离等于1的点的个数为2. 故选：B 题型三 弦长问题 典例3 （26-27高二上·江苏南通·阶段检测）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为，则该圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据圆的弦长公式，结合待定系数法进行求解即可. 【详解】圆C的圆心坐标为，设半径为， 圆C与轴相切，则有， 又因为圆心C在直线上， 所以，则 设圆心C到直线的距离为，， 因为圆C被直线截得弦长为， 所以有， 于是有，即， 所以， 即该圆的半径为3. 💡破题要诀 解决有关弦长问题的常用方法及结论 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|， 迁移应用 1.（26-27高三上·天津红桥·开学考试）直线：截圆：的弦长为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【详解】由题知圆:的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，. 弦长为. 2.（多选 25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线，圆C：，则下列说法正确的是（    ） A．直线l与圆C恒相交 B．当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 C．若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则 D．若直线l与圆C交于A，B两点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、直线过定点问题 【分析】对于A，先得到直线过定点，结合点在圆C内部，即可判断直线与圆的位置关系；对于B，当时，直线l被圆C截得的弦长最短，再求直线方程即可；对于C，由直线与圆的位置关系，可得圆心C到l的距离为1时，圆C上恰有三个点到直线l的距离为，然后求直线方程即可；对于D，由题可知，再由的面积为即可求解． 【详解】圆C：，圆心，半径， 直线， 令， 所以直线l过定点，又点在圆C内部， 所以直线l与圆C恒相交，故A正确； 当时，直线l被圆C截得的弦长最短，又直线的斜率为， 故直线的斜率为1，所以直线的方程为，故B正确； 因为圆C的半径为，所以当且仅当圆心C到l的距离为1时， 圆C上恰有三个点到直线l的距离为， 此时直线l的斜率为0或不存在，所以或，故C错误； 设圆心C到l的距离为d，则，且， 又的面积为， 当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 3.（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线和半圆的位置关系进行求解即可. 【详解】， 问题方程有两个不相等的实根，可以转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，如图所示： 半圆的圆心为，半径为， 点到直线的距离为，或舍去， 函数的图象与直线有两个不同的交点， 只需. 故选：D 题型四 切线问题 典例4 （多选 26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（   ） A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、切线长、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】根据切线长公式、两点间距离公式可判断A，B，C，根据三角形的面积公式可求解D. 【详解】 对于A，圆心C到直线的距离为， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得，当时取等号， 所以的取值范围是，故A正确； 对于B，因为，，，， 所以四边形面积为，故B错误； 对于C，因为，所以， 在直角三角形中，，所以，设， 因为，整理得， 则有，所以满足条件的点有两个，故C正确； 对于D，， 所以当时，即，面积最大值为， 此时四边形为正方形，则满足要求，故D正确. 💡破题要诀 直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结合图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏连云港·期中）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】利用切线与切点和圆心所在直线垂直，根据直线垂直的条件得到切线的斜率，进而利用点斜式写出切线的方程. 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率为， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率为, 所以直线的方程为,即. 故选：D 2.（多选 26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆和直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．四边形的面积的最小值为4 D．的最大值为4 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】切线长、求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦 【分析】分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可判断A选项；推导出，可得出，利用三角形的面积公式可判断B选项；分析可知，当最小时，四边形为正方形，求出线段的中点坐标，结合直线的点斜式方程可判断C选项；分析可知，，可判断D选项. 【详解】圆心为，半径为，连接、，则. 对于A选项，由勾股定理可得， 当时，取最小值，此时，也取最小值， 且，则，A错； 对于B选项，越小，越大，越大. ， ，，，故B正确. 对于C选项，由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 故， 当且仅当时，等号成立，故四边形面积的最小值为4,C对； 对于 D 选项，设， 因为，则， 因为，则，且E为的中点， 所以，，()，D 错. 题型五 圆与圆的位置关系 典例5（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上存在点满足，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设点，由得到，从而两圆有公共点，利用圆心距和两圆半径的关系可得不等式，求出答案 【详解】设点，由得， 因为圆上存在点满足， 故圆与圆有公共点， 其中的圆心为，半径为2， 所以， 两边平方得，，故恒成立， 两边平方得，解得， 所以a的取值范围是. 💡破题要诀 1、求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. 2、求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 迁移应用 1.（26-27高二上·江苏·阶段检测）设r为正实数，集合，，当时，r的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【详解】由，得，即集合对应的圆面完全包含于集合对应的圆面内. 集合：圆心、半径的圆及其内部；集合：圆心、半径的圆及其内部. 两圆圆心距：. 根据两圆内含或内切的位置关系条件，圆心距大圆半径小圆半径，即，代入得，解得. 结合的前提，得的取值范围为. 2.（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、相交圆的公共弦方程、三角形面积公式及其应用、两圆的公共弦长、圆的弦长与中点弦 【分析】将两圆方程作差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系，利用两点间距离公式，进而求得四边形的面积. 【详解】圆的方程配方得，因此圆心，半径； 圆的方程配方得，因此圆心，半径. 由两点间距离公式得. 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦所在直线方程，即. 点到直线的距离，因此弦长的一半为， 即. 四边形可拆分为以为公共底的两个三角形和， 点到直线的距离， 因此总面积 4.（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、轨迹问题——圆、圆的公切线条数 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义求出点的轨迹方程，再通过比较两圆的圆心距与半径之和，半径之差的大小关系来确定两圆的位置关系，进而得出公切线条数. 【详解】已知，，，因为动点满足， 又，，则， 则， 化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 已知圆的方程为，则其圆心，半径， 所以， 又因为，即，所以两圆外切， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应关系，当两圆外切时，公切线有条. 题型六 与圆相关的最值问题 典例6 （多选25-26高二上·江苏无锡·期中）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先将曲线的方程化为标准方程，确定其几何图形，再根据不同选项的要求，结合圆的性质进行分析. 【详解】曲线的方程可化为， 令，其几何意义是圆上的点到原点的距离的平方， 圆心到原点的距离为， 圆上的点到原点的最大距离为圆心到原点的距离加上半径，即， 的最大值为，正确. 设，其几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 则可化为，即， 直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径， 即，化简得，解得， 的最大值为，错误. 设，则，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时的截距取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最大值是，正确. 设，即，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最小值是，错误. 故选：. 💡破题要诀 1、圆上的点到定点的距离最值问题：一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 2、圆上的点到直线的距离最值问题：已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 3、切线长度最值问题 （1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； （2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 4、过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 5、利用代数法的几何意义求最值 （1）形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； （2）形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； （3）形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏南通·期中）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用数形结合的思想，将问题转化为求直线在轴上的截距的最值问题，计算即可. 【详解】易知表示圆心为坐标原点，半径为2的圆， 设，即，为该直线在纵轴上的截距， 当直线与圆相切时，截距可取到最值， 此时原点到直线的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 2.（多选 26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线过定点，且与圆相交于，两点，则（     ） A．的最大值是6 B．面积的最大值为 C． D．的最大值是-5 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题 【分析】根据直线点斜式的概念，求出直线经过的定点，然后根据直线与圆的位置关系，判断弦长最大时的情况，判断选项A的正误；根据三角形面积公式，和圆的弦长公式，利用弦心距表示出三角形面积，判断弦心距的范围，进而求出三角形面积的范围，判断选项B的正误；根据向量加法和向量数量积的运算律，以及勾股定理，对进行化简变形，进而判断选项C的正误；根据向量数量积的定义，以及余弦定理，利用弦心距的范围，求出的范围，进而求出的范围，判断选项D的正误. 【详解】由题意得，即定点， 弦的最大值是直线经过圆心时的直径长，即的最大值是6，所以A正确； 设圆心到直线的距离为，可知，所以， 可知圆半径，所以， 则， 由，得，所以的最大值为，所以B错误； 作的中点，可得， 所以 ，所以C正确； 可知， 当经过原点时，，此时，即， 当不过原点时，由，取得最小值，即，得， 可知， 所以，所以， 综上可得，所以D正确； 3.（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆的方程为，直线. (1)求圆关于直线对称的圆的方程； (2)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程、将军饮马问题求最值 【分析】（1）求得圆心关于直线的对称点，可得圆的方程； （2）由，可得所求最小值． 【详解】（1）由圆的方程为知圆心，半径． 设圆心关于直线的对称点为，则， 解得， 所以圆的方程为； （2）因为，    所以当，，三点共线时，取得最小值． 因为，所以的最小值为． 题型7 与圆相关的轨迹问题 典例7 （25-26高二上·江苏镇江·期中）已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】首先根据题意得到的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点，即可求解. 【详解】设，，因为， 所以，， 化简得：，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点. 到轴的最大距离为4， 所以的面积最大值为. 故选：B 💡破题要诀 求与圆有关的轨迹问题的方法 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 迁移应用 1.（多选 25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面上，动点与两定点，满足（且），则的轨迹是个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知为坐标原点，，动点满足，记的轨迹为圆.由直线上的一点向圆引切线，切点为，.下列结论正确的是（   ） A．的方程为 B．圆与圆的公切线有且只有一条 C．的最小值为2 D．当的最小值时，直线的方程为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——圆、切线长 【分析】对A，由化简可得；对B，判断两圆位置关系，确定公切线条数；对C，由判断；对D，将切点弦看作两圆公共弦求解. 【详解】对于A：设，由得， 整理得，A正确； 对于B：圆C可化为，圆心坐标，半径， 圆的圆心坐标，半径， 因为，所以两圆外切，公切线有其只有条，B错误； 对于C：因为点在直线上，所以设， 所以， 当时，取得最小值，C正确； 对于D：连接，则， 所以， 则当最小时，最小， 而当与直线垂直时，最小为圆心到直线的距离， 此时直线的斜率为，由求得，所以， 所以， 所以以为圆心，为半径的圆Q的方程为， 所以为圆与圆的公共弦，方程为， 整理得，D正确； 故选：ACD    2.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：； (1)若直线与圆相切，且在轴和轴上的截距相等，求直线的方程. (2)过点的直线与圆交于，两点，线段中点为，求点轨迹方程. 【答案】(1)或或 (2) 【难度】0.62 【知识点】直线截距式方程及辨析、求平面轨迹方程、由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）截距相等要分截距为 0（过原点）和截距不为 0两类设直线，利用圆心到切线距离等于半径列方程求解；（2）由垂径定理得到，而A，P，B，M共线，所以，根据直径所对圆周角为直角，判定P的轨迹是以MC为直径的圆，从而可求得轨迹方程. 【详解】（1）圆：，化为标准方程可得 得圆心  ， 由直线在轴和轴上的截距相等可假设： ①当相等的截距为0时，设直线：即，由得， 所以直线的方程为：， ②当相等的截距不为0时，设直线，由得或， 所以直线的方程为：或， 综上，直线的方程为：或或； （2）由是中点，得，又A，P，B，M共线，得， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点， 因为，，所以圆心为，半径为， 则点轨迹方程为． 3.（25-26高二上·江苏·期中）已知动点与两个定点，的距离之比为. (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线与动点的轨迹相切，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——圆 【分析】（1）设，由结合两点间距离公式可求； （2）可得斜率不存在时满足，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可； 【详解】（1）由题意知：设， 由，得， ∴，整理得. 故动点的轨迹C的方程为； （2）由（1）知道，曲线C为以为圆心，2为半径的圆， ①若直线l斜率不存在，则直线l为，此时圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，满足题意； ②若直线l斜率存在，设为k，则直线l方程为，即， 此时圆心C到直线l的距离，化简得：. 综上，直线l方程为或. 基础固本练（限时：25分钟） 1.（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【详解】的标准形式为， 圆的半径的平方大于0，故，解得， 故实数的取值范围是． 2.（25-26高二上·广西来宾·期中）圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程求解参数即可. 【详解】设该圆的标准方程为， 将代入方程，可得，解得， 得到圆的标准方程为，故C正确. 故选：C 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】依题意可得，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】因为点在直线上，所以，即， 圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 4．（25-26高二上·江苏泰州·期中）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先求出A，B两点坐标得到长度，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可 【详解】 直线分别与轴，轴交于，两点,则， 点P在圆上 圆心为，半径为：， 则圆心到直线距离， 故点P到直线的距离的范围为， 则， 故选：B. 5.（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两点，点，且，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、轨迹问题——圆 【分析】设的中点为，由已知得，设，求出点的轨迹方程知点轨迹是圆，从而根据点与圆的关系得的取值范围，即可得解． 【详解】圆的圆心为，半径为， 设的中点为， 因为，则, 所以， 所以，化简得， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，    又， 所以的取值范围是，即， 因为，从而的取值范围是． 故选：B. 6.（多选 26-27高二上·河南南阳·阶段检测）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、切线长、求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、直线过定点问题 【分析】A.求解含参数直线的定点，可通过赋值消去参数，令参数对应变量为0，代入直线方程即可求出恒过定点；B.判断两圆位置关系，需先配方得出圆心与半径，通过计算圆心距和半径和、差的大小关系，确定公切线条数；C.求两圆公共弦直线方程，直接将两圆一般方程作差消去二次项，化简后即可得到对应直线解析式；D.求圆外点切线长最小值，依据切线长公式，转化为求圆心到定直线的最短距离，再结合勾股定理计算. 【详解】A 选项，直线：，令，得，即无论取何值，直线恒过定点， A 正确； B 选项，圆，即，故圆心，半径， 圆，即，故圆心，半径， 圆心距，，圆心距等于半径和，两圆外切，外切恰有 3 条公切线，B 正确； C 选项，两圆：① ，② , 两式相减，得公共弦所在的直线方程为，C 错误； D 选项，圆，圆心，半径，是切线，由勾股定理，要最小，只需最小， 是原点到直线的距离，， D 正确. 7.（多选 23-24高二上·山东德州·阶段检测）已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是0 B．的最大值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】已知切线求参数、直线与圆的位置关系求距离的最值、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由可看成与原点间的连线的斜率，设，结合直线与圆有交点，求得 的值，可判定A正确，B不正确；由表示点到原点的距离，结合圆的性质，可判定C错误；设，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可判定D正确. 【详解】由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 当时，可看成与原点间的连线的斜率， 设，即，所以直线与圆M有交点， 由，解得， 所以的最小值为，无最大值，所以A正确，B不正确； 由表示点到原点的距离， 又由，所以的最大值为， 即的最大值为，所以C错误； 设，可得， 当直线与圆有公共点时，则，解得， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：AD. 8.（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由圆心（或半径）求圆的方程、由圆与圆的位置关系确定圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据圆的方程得到圆心坐标，然后利用距离公式得到圆心到直线的距离，再利用勾股定理得到半径，最后列方程求即可； （2）根据相切得到圆心在直线上，在的中垂线上，然后联立方程得到圆心坐标，再计算半径，写标准方程即可. 【详解】（1）由题意得圆：（为实数）． 圆的圆心， 则到直线的距离， 所以圆的半径， 则， 解得. （2）因为圆与圆相切， 所以圆的圆心在直线上， 又因为，， 所以, 所以直线的方程为， 即为①， 因为圆与圆相切于点， 所以为圆上的点，又圆过点， 所以圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为， 所以的中垂线方程为②， 联立① ②得 ， 所以圆圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 综合进阶练（限时：30分钟） 1.（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A 2.（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）德国数学家米勒提出了一个经典的几何问题——“米勒问题”，其核心是：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、求平面两点间的距离、由距离求点的坐标 【分析】根据米勒问题的结论，当最大时，过、、三点的圆与轴相切于点，利用圆心在的垂直平分线上及圆与轴相切的性质列方程求解即可. 【详解】由题意，，， 则线段的中点坐标为，即， 直线的斜率， 所以线段的垂直平分线方程为，即. 因为过、、三点的圆与轴相切于点， 所以圆心必在直线上， 设圆心坐标为， 则圆的半径，且切点的坐标为. 又因为圆过点， 所以，即， 化简得， 整理得， 即，解得或. 当时，半径；当时，半径. 由正弦定理可知，在的外接圆中，， 因为为定值，且为锐角， 所以当半径最小时，最大，即最大. 因为，所以当时，取最大值， 此时点的横坐标为. 3.（多选 25-26高二上·江苏淮安·期中）已知圆，圆，则（   ） A．过点作圆的切线有且仅有2条 B．圆与圆无公共点 C．点在圆上，点在圆上，则的最大值为12 D．圆上到直线的距离为2的点恰有3个 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、判断点与圆的位置关系、判断圆与圆的位置关系、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出圆、的圆心及半径，再结合圆的性质逐项判断即得. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，点在圆外，过点作圆的切线有且仅有2条，A正确； 对于B，，即，圆与圆相交，有2个公共点，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，点到直线的距离， 则与直线平行且距离为2的两条平行线中，一条过圆的圆心，另一条与圆相切， 因此圆上到直线的距离为2的点恰有3个，D正确. 故选：ACD 4.（多选 25-26高二上·江苏南通·期中）已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为6 C．的取值范围是 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、定点到圆上点的最值（范围）、求平面轨迹方程 【分析】先由点到点的距离将其表示为关于的方程，再化简便可得到点的轨迹方程判断A；转化为动点到定点距离的平方加1，当到圆上的距离最大时有最大值判B； 为两个定圆上两点间的距离，最大值为圆心距加两个圆的半径，最小值为圆心距减去两个圆的半径；当时，四边形为正方形，判断存在点. 【详解】因为，所以 化简得到，点的轨迹方程为，选项A正确； ，几何意义为点到定点距离的平方加1， 因为点在圆上，圆心为 ，半径 ， 到圆心距离为 ，则到圆上的最大距离为 所以最大值为，选项B错误； 圆，圆心为 ,半径 ； 两圆心距为 ; 则的最小距离为； 的最大距离为； 所以范围是，选项C正确； 当时，四边形为正方形，故时，因为点到的最小距离为，则存在点，，选项D正确. 故选：ACD 5.（多选 25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与交于点，则下列结论正确的是（   ） A．四边形周长的最小值为 B．的最大值为2 C．若，则三角形的面积为 D．若，则的最大值为 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】切线长、两圆的公共弦长、圆的弦长与中点弦 【分析】设，可得四边形周长为，求最值即可判断A，由，，可得的取值范围，判断B，因为，计算，，，，，得出三角形的面积为，判断C，设，写出，的方程并联立，得点的轨迹，判断D． 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 对于选项A，设，因为， 所以，则四边形周长为， 则当最小时，四边形周长最小， 又易知的最小值为2，则四边形周长最小为，所以A正确， 对于选项B，易知，则， 由选项A知，， 所以，又，所以，故B错误， 对于选项C，因为，则，由选项A和B知，， 则，又， 所以三角形的面积为，故C错误，    对于选项D，当点P与原点重合时，，选项A和B知， ，则， 所以，又，则， 当点P与原点不重合时， 因为，所以在以为直径的圆上． 设，则的中点坐标为，， 则以为直径的圆的方程为， 将此圆的方程与圆M的方程相减， 可得直线的方程为， 又的方程为，由，解得， 所以，得到，代入， 化简得， 所以点C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以的最大值为， 又，则的最大值为，故D正确． 故选：AD. 6.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知，，，，，，则的最小值为______． 【答案】25 【难度】0.45 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的对称性的应用 【分析】将所求问题转换成与的距离问题，再结合两圆位置关系即可求解. 【详解】    设点，由可知： 点在以为圆心、半径的圆上， 设点，由可知： 点在以为圆心、半径的圆上， ， 它表示点与点的距离的平方， 因为，两点关于原点对称， 所以的轨迹是以为圆心、半径仍为的圆， ， 又，说明小圆完全内含于大圆， 内含两圆上点的最小距离为， 因此的最小值为. 7.（25-26高三上·江苏宿迁·期中）已知点，圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若过点的直线与圆交于两点， （i）求直线斜率的取值范围； （ii），其中为坐标原点，求. 【答案】(1)或 (2)（i），（ii）2 【难度】0.4 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】1）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解； （2）（i）由圆心到直线的距离小于半径，即可求解；（ii）直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，求得即可得解. 【详解】（1）当斜率不存在时，与相切， 当斜率存在时，设， 则，解得：， 即， 所以过点且与圆相切的直线方程为或； （2）（i）设，．由（1）可知直线斜率存在， 设直线的方程为． 因为直线与圆交于两点，所以， 解得． 所以的取值范围为． （ii）将代入方程， 整理得， 所以， 所以． 解得， 所以直线的方程为. 圆心到直线的距离，即直线过圆心， 所以. 8.（25-26高二上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，已知点，圆． (1)若． ①直线过点且被圆截得弦的弦长为，求直线的方程； ②设圆与轴相切，与圆外切于点，求圆的方程； (2)斜率为的直线过点，若直线上存在点，以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1)①或；② (2) 【难度】0.4 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由直线与圆的位置关系求参数、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】（1）①先对的斜率进行分类讨论，再结合勾股定理与点到直线的距离公式建立方程，求解参数，最后得到直线方程，②作出符合题意的图形，利用圆与圆的位置关系得到三点共线，进而确定，再代入求解参数，最后得到圆的方程即可. （2）结合题意转化为点到直线距离问题，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）对于①：当时，， 将圆化为标准方程，可得， 可得，，由题意得过点， 当的斜率不存在时，的方程为，令，解得或， 则弦长为2，与题意不符，故排除， 当的斜率存在时，设的方程为，即， 设圆心到直线的距离为，且弦长为， 则由勾股定理得， 由点到直线的距离公式得， 得到，解得或， 则直线的方程为或. 对于②：如图，作出符合题意的图形，设， 因为圆与轴相切，所以， 因为圆与圆外切于点，所以三点共线， 可得，即，圆的方程为， 将代入，可得，解得， 则圆的方程为. （2）因为斜率为的直线过点， 所以直线的方程为，即， 因为圆与圆有公共点，所以， 设点到直线的距离为， 因为在直线上存在点，所以， 由，则，解得， 则实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 圆的方程 考点二 直线与圆的位置关系 考点三 圆与圆的位置关系 考点四 最值问题 05 重难题型突破 题型一 圆的方程 题型二 直线与圆的位置关系 题型三 弦长问题 题型四 切线问题 题型五 圆与圆的位置关系 题型六 最值问题 题型七 轨迹问题 06 限时分层演练 基础固本练 综合进阶练 1.考查形式：通常以选择题、填空题为主（考查方程、位置关系、弦长、切线、最值），也可能在解答题（如解析几何大题）的第一问或作为几何背景出现。 2. 高频考点：圆的方程的求解（待定系数法、几何性质法）、直线与圆相交的弦长问题、切线方程、圆与圆的位置关系。 3. 难度预测：基础题和中档题为主，但涉及“与圆有关的最值问题”或“轨迹问题”时，常作为压轴小题出现，难度较大。 1. 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。 2. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 3. 能用直线和圆的方程解决一些简单的几何问题（如弦长、切线、最值）。 4. 体会数形结合思想、方程思想在解析几何中的应用。 考点一　圆的方程 ⚠️概念辨析 1.标准方程 vs 一般方程：标准方程(x －a)2＋(y －b)2 ＝r2 . 直观展示了圆心 (a,b) 和半径 r；一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 侧重于代数运算。 2.一般方程： Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0 中A，B必须相等。 挖空梳理 1 .圆的标准方程：圆心为(a ，b) ，半径为 r(r>0)的圆的标准方程为_____________________ 2 .圆的一般方程当D2＋E2 －4F>0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程，圆心为_______ 半径为_______ 方法提炼：   求圆的方程的两种常用方法： 1. 几何法：利用圆的几何性质（如圆心在弦的中垂线上、圆心到切线的距离等于半径等）求出圆心和半径，直接写出标准方程。 2. 待定系数法：已知条件与圆心、半径关系不大，多设一般方程；已知条件与圆心、半径关系密切，多设标准方程。 ⚠️避坑指南 使用一般方程时，千万别忘了检验 当D2＋E2 －4F>0 这个隐含条件！这是考试中最容易丢分的地方。 考点二　直线与圆的位置关系 ⚠️记忆口诀 “相交相切与相离，圆心距离比半径。等号相交与相切，大于相离要记清。” （即：d<r 相交，d=r 相切，d>r 相离） 挖空梳理 1 .直线与圆的位置关系的判定方法 关系 相交 相切 相离 几何法 代数法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 2 .弦长（圆一般采用几何法） （1）利用垂径定理：已知半径 r、弦心距 d、弦长 l ，则 ______. （2） 弦长最小(大)问题：一般先找定点P，定点为弦的中点。过点的所有弦中最长的为______. 3.求切线方程的方法 （抓住圆心到直线的距离等于半径） （1）过圆上一点圆的切线方程是：_____________________ （2）从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法：抓住圆心 到直线的距离等于______来求；切线长的解题思路______ （3） 涉及到切线长最小值：转化成圆心到直线的______.问题。（面积、切点弦长最小等） ⚠️易混易错 1.在求过某一定点的圆的切线时，必须先判断该点是在圆上还是圆外。如果在圆上，只有一条切线；如果在圆外，一定有两条切线。如果解出来只有一条，说明另一条切线斜率不存在（即垂直于x轴的直线）。 2.利用几何法求弦长（构造直角三角形：半弦长、弦心距、半径）通常比代数法（韦达定理）计算量更小。 3.过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直的切线． 考点三　圆与圆的位置关系 ⚠️记忆口诀 判定圆与圆的位置关系，主要看圆心距 d与两圆半径 的关系，以及利用方程联立后的公共解个数。 挖空梳理 1.圆与圆的位置关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 几何法 d>R＋r d＝R＋r R －r<d<R＋r d＝R －r d<R －r 公切线 2.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程______即得两圆公共弦所在直线方程。 ⚠️避坑指南 1.求两圆公共弦所在直线方程：将两圆的一般方程相减即可得到公共弦方程。但要注意，前提是两圆必须相交。 2.求两圆公共弦长：求出公共弦方程后，利用其中一个圆的圆心到该直线的距离 d，再利用勾股定理 求解。 考点四　最值问题 ⚠️记忆口诀 “点在圆外连线找，点在圆内过心找。距离最值加减r，斜率截距用切线”. 挖空梳理 1. 圆上动点到定点距离的最值：设圆心为 C，定点为 P，半径为 r。最大值为 _______，最小值为 _______。 2. 斜率型最值（如求 的最值）：转化为圆上动点 (x,y) 与定点 (a,b) 连线的_______，利用直线与圆相切时的临界条件求解。 3. 截距型最值（如求 ax+by 的最值）：令 ax+by=t，转化为直线与圆有公共点时，截距 t 的取值范围，利用圆心到直线的距离 _______ 求解。 ⚠️易混易错 1.数形结合是解决最值问题的核心。一定要画图，看清是求“距离”、“斜率”还是“截距”，对应的几何意义截然不同。 2. 别忘了利用圆的对称性。遇到类似“直线上找一点向圆作切线，求切线长最短”的问题，本质是求点到圆心的距离最短。 题型一 圆的方程 典例1 （25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 求圆的方程的两种方法 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 注意：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解． 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏扬州·期中）与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 题型二 直线与圆的位置关系 典例2 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 💡破题要诀 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断； （2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2.（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 弦长问题 典例3 （26-27高二上·江苏南通·阶段检测）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为，则该圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 💡破题要诀 解决有关弦长问题的常用方法及结论 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|， 迁移应用 1.（26-27高三上·天津红桥·开学考试）直线：截圆：的弦长为__________． 2.（多选 25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线，圆C：，则下列说法正确的是（    ） A．直线l与圆C恒相交 B．当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 C．若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则 D．若直线l与圆C交于A，B两点，则面积的最大值为 3.（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四 切线问题 典例4 （多选 26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（   ） A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 💡破题要诀 直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结合图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏连云港·期中）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2.（多选 26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆和直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．四边形的面积的最小值为4 D．的最大值为4 题型五 圆与圆的位置关系 典例5（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上存在点满足，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1、求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. 2、求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 迁移应用 1.（26-27高二上·江苏·阶段检测）设r为正实数，集合，，当时，r的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 2.（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六 与圆相关的最值问题 典例6 （多选 25-26高二上·江苏无锡·期中）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 💡破题要诀 1、圆上的点到定点的距离最值问题：一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 2、圆上的点到直线的距离最值问题：已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 3、切线长度最值问题 （1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； （2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 4、过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 5、利用代数法的几何意义求最值 （1）形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； （2）形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； （3）形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏南通·期中）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 2.（多选26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线过定点，且与圆相交于，两点，则（     ） A．的最大值是6 B．面积的最大值为 C． D．的最大值是-5 3.（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆的方程为，直线. (1)求圆关于直线对称的圆的方程； (2)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值. 题型7 与圆相关的轨迹问题 典例7 （25-26高二上·江苏镇江·期中）已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 💡破题要诀 求与圆有关的轨迹问题的方法 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 迁移应用 1.（多选 25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面上，动点与两定点，满足（且），则的轨迹是个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知为坐标原点，，动点满足，记的轨迹为圆.由直线上的一点向圆引切线，切点为，.下列结论正确的是（   ） A．的方程为 B．圆与圆的公切线有且只有一条 C．的最小值为2 D．当的最小值时，直线的方程为 2.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：； (1)若直线与圆相切，且在轴和轴上的截距相等，求直线的方程. (2)过点的直线与圆交于，两点，线段中点为，求点轨迹方程. 3.（25-26高二上·江苏·期中）已知动点与两个定点，的距离之比为. (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线与动点的轨迹相切，求的方程. 基础固本练（限时：25分钟） 1.（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·广西来宾·期中）圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 4．（25-26高二上·江苏泰州·期中）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两点，点，且，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（多选 26-27高二上·河南南阳·阶段检测）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 7.（多选 23-24高二上·山东德州·阶段检测）已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是0 B．的最大值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 8.（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 综合进阶练（限时：30分钟） 1.（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）德国数学家米勒提出了一个经典的几何问题——“米勒问题”，其核心是：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 3.（多选 25-26高二上·江苏淮安·期中）已知圆，圆，则（   ） A．过点作圆的切线有且仅有2条 B．圆与圆无公共点 C．点在圆上，点在圆上，则的最大值为12 D．圆上到直线的距离为2的点恰有3个 4.（多选 25-26高二上·江苏南通·期中）已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为6 C．的取值范围是 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 5.（多选 25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与交于点，则下列结论正确的是（   ） A．四边形周长的最小值为 B．的最大值为2 C．若，则三角形的面积为 D．若，则的最大值为 6.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知，，，，，，则的最小值为______． 7.（25-26高三上·江苏宿迁·期中）已知点，圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若过点的直线与圆交于两点， （i）求直线斜率的取值范围； （ii），其中为坐标原点，求. 8.（25-26高二上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，已知点，圆． (1)若． ①直线过点且被圆截得弦的弦长为，求直线的方程； ②设圆与轴相切，与圆外切于点，求圆的方程； (2)斜率为的直线过点，若直线上存在点，以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $