专题3.4 圆周角重难点题型专训（2个知识点+5大题型+1大提高题型+自我检测）-2026-2027学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题3.4 圆周角重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 圆周角定理】 4 【基础题型二 同弧或等弧所对的圆周角相等】 5 【基础题型三 半圆(直径)所对的圆周角是直角】 11 【基础题型四 90度的圆周角所对的弦是直径】 15 【基础题型五 已知圆内接四边形求角度】 19 第二部分·练提高题型 【提高题型一 圆周角与圆弧的关系综合应用】 30 第三部分・自我检测 知识点01 圆周角 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，=． S 同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． 3. 圆周角定理的推论 （1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 4. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 【即时训练】 1．（26-27九年级上·江苏·单元测试）下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据圆周角的定义，选项C中的为圆周角． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角度数___________． 【答案】 【分析】根据圆周角定理，同圆中同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半． 【详解】解：同圆中，所对的圆周角是． 知识点02 圆的内接四边形 1. 圆内接四边形的定义 （1）一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补； （2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用圆的内接四边形的性质解答即可． 本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则四边形是的内接四边形， 故， 又， ， 的度数为， 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点，，，，则_______°． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理，先根据圆周角定理求出，结合圆内接四边形对角互补，得出，即可作答． 【详解】解：∵为弧所对的圆周角， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 故答案为： 【基础题型一 圆周角定理】 【例1】（2025九年级上·江苏徐州·单元测试）如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 【例2】（23-24九年级上·江苏苏州·课后练习）如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再求它们的和即可． 【详解】解：∵，和都是所对的圆周角，点C、D是弧上任两点， ∴， ∴． 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是的中点．连接，当取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关知识的应用，折叠的性质，三角形三边关系，连接、，由三角形任意两边之差小于第三边得，当共线时，最小，设的弧度为，求出所对圆心角为，证明，求出后再减去即可． 【详解】解：如图，连接、， ， 由三角形任意两边之差小于第三边得，当共线时，最小， 设的弧度为， 的弧度为， ， 的弧度为， 由折叠的性质可得：的弧度为， 的弧度为：， 点是的中点， 的弧度为：， 的弧度为：，即所对圆心角为， ， 半径为5， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，圆O是的外接圆，，，则圆O的半径为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理，得到，判定是等边三角形，得到，选择即可． 【详解】如图，连接， 因为，， 所以， 所以是等边三角形， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 3．（2023九年级上·江苏连云港·单元测试）如图，是的外接圆，已知，则的大小为________． 【答案】 /40度 【分析】等边对等角求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果. 【详解】解：∵是的外接圆，， ∴， ∴， ∴， ∴. 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，AB是圆O的直径，D、E为圆O上位于异侧的两点，连接并延长至点使得，连接交圆于点，连接、、． (1)求证：； (2)设交于点，若，，是弧的中点，求的值． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 因为是的直径， 所以，即， 又， 所以垂直平分， 所以； (2) 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，勾股定理等知识，关键在于做辅助线，利用锐角三角函数的定义是关键． （1）连接，利用垂直平分，可得； （2）连接，利用三角函数求出，则，求出即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）如图，连接， 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 在中，，， 所以， 所以， 因为是弧的中点，是的直径， 所以， 所以， ∴. 【基础题型二 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例1】（2025九年级上·江苏泰州·阶段测试）如图，是的直径，若，∠D=60°，则长等于（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得出，，求出，根据含度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练应用圆周角定理是解此题的关键． 【例2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、、、在上，且，．则的周长为___________． 【答案】9 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等得到，进而推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为． 故答案为：9． 1．（2025九年级上·江苏扬州·阶段测试）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（　　） A．55° B．64° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝36°，∠ABD＝∠ACD＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数． 【详解】解：∵BC＝CD， ∴， ∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是， ∴∠BAC＝∠DAC＝36°， ， ∵∠ABD＝∠ACD＝44°， ∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，C、D是上直径两侧的点，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直径所对的圆周角是，求出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，以及，求出，再利用三角形内角和定理，即可求出 【详解】∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，解决本题的关键是牢记相关概念与推论． 3．（2026九年级上·江苏镇江·课后练习）如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上， ∴， ∴. 4．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，是的直径，、在上，，求证：． 【答案】证明： 连接， ， ，． ， ． ． ． 【分析】作辅助线半径，先用平行线性质得到两组角相等，再利用半径相等得到等腰三角形底角相等，等量代换证明两个圆心角，最后用圆心角、弦的关系证弦相等． 【详解】略 【基础题型三 半圆(直径)所对的圆周角是直角】 【例1】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，先确定点在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点在该量角器所在的圆上， ∴， 故选：B ． 【例2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，内接于，是直径，若，则___________°． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据圆周角定理解题即可． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵是直径， ∴， ∴． 故答案为： ． 1．（2026九年级上 江苏连云港·课后练习）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏·阶段测试）如图，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练应用圆周角定理是解此题的关键．根据圆周角定理得出，，求出，根据含度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，内接于，仅用无刻度的直尺按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在上找一点P，使得； (2)如图2，在上找一点Q，使得． 【答案】(1) 如图1，点即为所求作： (2) 如图2，点即为所求作： 【分析】本题考查了作图——复杂作图，圆周角，掌握圆周角定理是解题关键． （1）连接并延长交于点，连接，由是直径，则，即可得解； （2）连接并延长交于点，连接，则是直径，由同弧所对的圆周角相等可得，由直径所对的圆周角是直角可得，则，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型四 90度的圆周角所对的弦是直径】 【例1】（2024九年级上·安徽宿州·阶段测试）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到为直径，，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，，， ∴， ∴的半径为； 故选A． 【例2】（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为________． 【答案】5 【分析】已知直角三角形两条直角边长，直角三角形外接圆的直径等于斜边长，先由勾股定理求出斜边长，再计算半径即可． 【详解】解：设两条直角边分别为，，斜边为． 由勾股定理得：． ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴外接圆直径为， ∴外接圆半径为． 1．（2025九年级上·江苏连云港·阶段测试）如图，弦CD所对的圆心角为，AB为直径，CD在半圆上滑动，F是CD的中点，过点D作AB的垂线，垂足为E，则∠DEF的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，，再判断出点四点共圆，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， 弦所对的圆心角为， ， ，且点是的中点， ，（等腰三角形的三线合一）， 又， 点四点共圆， 则由圆周角定理得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）小明用一把含角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法：①如图1，角的顶点在圆上，弦的长即为圆的半径长，②如图2，直角顶点在圆上，弦长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形、圆周角定理，掌握相关知识是解题的关键．设圆的圆心为点，连接，，求得，即为等边三角形，从而求出的长即为圆的半径长，故①正确；通过直角顶点在圆上，求出为圆的直径，则长的一半即为圆的半径长，故②正确． 【详解】解：设圆的圆心为点，连接，， ， 角的顶点在圆上， ，即为等边三角形， ， 的长即为圆的半径长，故①正确； 直角顶点在圆上， 为圆的直径， 长的一半即为圆的半径长，故②正确； 故选：C． 3．（2025九年级上·江苏南通·阶段测试）如图，P是矩形ABCD外一点，有以下结论：①S△PAB+S△PCD=S矩形ABCD②S△PBC=S△PAC+S△PCD③PA2+PC2=PB2+PD2；④若PD⊥PB，则P、A、B、C、D在同一个圆上其中正确的序号是__________ 【答案】①②③④ 【分析】过点P作PE⊥AB交AB延长线于点E，交CD延长线于点F，根据矩形的性质可得四边形BCFE是矩形，从而得到AD=BC=EF，再由，可得①正确；再根据，可得②S△PBC=S△PAC+S△PCD，故②正确；再根据勾股定理可得③正确；然后根据直径所对的圆周角是直角可得④正确，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB交AB延长线于点E，交CD延长线于点F， 在矩形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∠ABC=90°， ∴PE⊥CD， ∴∠E=∠F=∠ABC=90°， ∴四边形BCFE是矩形， ∴AD=BC=EF， ∴，故①正确； ∵， ∴S△PBC=S△PAC+S△PCD，故②正确； ∵， ∴， ∵AE=DF，BE=CF， ∴PA2+PC²=PB²+PD²，故③正确； 在矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°， ∴点A、B、C、D在同一个圆上，且圆心位于矩形对角线的交点处， ∵PD⊥PB， ∴∠BPD=90°， ∴点P位于以BD为直径的圆上， ∴P、A、B、C、D在同一个圆上，故④正确； 故答案为：①②③④ 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，圆的基本性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形内接于，连接、相交于点E．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，连接，求证：． 【答案】(1) 证明：， ， 即， ， ， ； (2) 证明：作直径，连接，如图2，   ， ， ， ，， ， 为直径， ， ， ， 即． 【分析】（1）利用得到，则，然后根据圆周角定理得到，从而得到结论； （2）作直径，连接，如图2，先利用垂直定义得到，再利用圆周角定理得到，，，然后根据等角的余角相等得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 【基础题型五 已知圆内接四边形求角度】 【例1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴, ∴， 故选：． 【例2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是直径，点E在上，连接，若，则________． 【答案】20 【分析】连接，由圆内接四边形对角互补可得的度数，由直径所对的圆周角相等和直角三角形两锐角互余可得的度数，再由同弧所对的圆周角相等可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，弦，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、平行线的性质，对性质的综合应用是解题的关键． 先根据圆周角定理推导出，根据等边对等角得到，，再根据平行线求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形ABCD为的内接四边形，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由内接四边形得到，再由圆周角定理计算即可． 【详解】∵四边形ABCD为的内接四边形，， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了内接四边形和圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 4．（2025九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，△ABC内接于⊙O． (1)在上作点D（不与B重合），连接CD，使得∠ACD=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)延长CB到点E，使得BE=CD，连接AD、AE．　 ①求证：AE=AC；　 ②若CD=8，BC=12，∠ACB=30°，求tan∠ABC的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，与⊙O交于另一个点D，点D即为所作； （2）①利用圆内接四边形的性质证明∠ABE=∠ADC，推出△ABE≅△ADC，即可证明结论； ②过点A作AH⊥BC于H，求得CH=EH=10，BH=2，再求得AH，利用正切函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为所作； （2）①证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC=180°， ∴∠ABE+∠ABC=180°， ∴∠ABE=∠ADC， ∵∠ACD=∠ACB， ∴AD=AB， 又∵CD=BE， ∴△ABE≅△ADC， ∴AE=AC； ②解：过点A作AH⊥BC于H， ∵BE=CD=8， ∴CE=20， ∵AE=AC，AH⊥BC， ∴CH=EH=BC=10，BH=EH-BE=2， ∵∠ACB=30°，CH=10， ∴AH=CHtan30°=， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【提高题型一 圆周角与圆弧的关系综合应用】 【例1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论:是的外心；是的外心；；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】本题命题思路是以等边外心为背景，进而得到，，，四点共圆，从而对角互补，利用旋转，可以转化四边形为一个规则的等边三角形，最后利用轴对称性可解决周长最小值的问题． 【详解】解：连接，； ∵为的外心； ∴； ∵正方形； ∴； ∴； ∴是的外心； 故正确．    对于，连接，； ∵； ∴不是的外心； 故错误．    对于，连接； ∴； ∴，，，三点共圆； ∴； ∵ 即； 故正确．    对于， ∵， ∴，，，四点共圆， 如图所示，以点为旋转中心，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点， ∴， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， ∴，，三点共线； 由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形； ∵； 过点作的垂线，垂足为； ∴； ∵； 在中， ； ∴； ∴； ∵； ∴； 故正确．    对于，如下图所示；作EM和EN关于和的对称线段； ∴，； ∴； 当，，，四点共线时，周长最小； 即 连接， ∴， 连接； ∴是等腰三角形； ∵，； ∴； ∵； ∴； ∴三角形是以为顶角的等腰三角形； 过点作的垂线，垂足为， ∵； ∴； 在中； ∴； ∴； 即； 故错误；    综上所述，①③④正确； 故选． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等边三角形性质及其外心的性质，圆周角定理，四点共圆及圆内接四边形的性质，旋转变换，利用轴对称解决周长最小值，等腰三角形的解法及解直角三角形，见外心连顶点，到三个顶点距离相等，判定外心只需确顶点是都到三角形三个顶点距离相等，四边形对角互补要旋转，转化定型求面积，求周长最小值利用轴对称变换是关键，转化两点间距离最短即可，最后牢记特殊三角形的边长之比非常重要，例如等腰三角形三边之比为． 【例2】（2026九年级上·江苏徐州·阶段测试）已知线段，C为平面内一动点，连接，，则的面积的最大值为______． 【答案】 【分析】作的外接圆，圆心为点O，则，故，作于点F，于点E，则，由，求得，所以，由，得，所以，则的面积的最大值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点O，连接、、，则， ，， ， ， 作于点F，于点E，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，且， ， 的面积的最大值为． 1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中，，在的同侧作正，正和正，则四边形面积最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】过作于，过作，交于，根据等边三角形的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三线合一的性质，得出，进而得出，即点、、在一条直线上，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，再根据平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据平行四边形和三角形的面积，得出，再以为直径作圆，当最大时，的面积最大，此时为半径，再根据三角形的面积公式，结合二次根式的乘法，计算即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过作于，过作，交于， ，， ， 是正三角形，， ， ，即点、、在一条直线上， 在正、正和正， ，，，， ， ， ， ， 同理可得，   四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 以为直径作圆，当最大时，的面积最大，此时为半径， ， 四边形面积的最大值是2． 故选：B 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三线合一的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理、含角的直角三角形、圆周角定理、二次根式的乘法，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 2．（2025九年级上·江苏宿迁·阶段测试）如图，是的直径，点在上，且的长是长的2倍，的平分线交于点，则的度数为（    ） A．90° B．95° C．100° D．105° 【答案】D 【分析】根据AB是⊙O的直径和的长是长的2倍，可以求得∠ABC的度数，再根据CD平分∠ACB，可以得到∠ABD的度数，然后即可计算出∠CBD的度数． 【详解】∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵的长是长的2倍，的度数＋的度数＝180°， ∴的度数为120°，的度数为60° ∴∠ABC＝60°，∠CDB＝30°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝45°， ∴∠ABD＝∠ACD＝45°， ∴∠CBD＝∠ABC＋∠ABD＝60°＋45°＝105°， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，解答本题的关键是求出∠ABC和∠ABD的度数． 3．（24-25九年级上·江苏盐城）如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，，，则________． 【答案】/100度 【分析】先求出∠ADB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠AOB的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（26-27九年级上·江苏·课后练习）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接、， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据等边对等角得到，圆内直径所对的圆周角是直角得到，利用角之间的和差关系得到，再利用同圆中相等的圆周角所对的弧相等及同圆中相等的弧所对的圆周角相等得到结论； （2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到和，再结合条件，利用（1）的结论得到，利用角之间的和差关系得到，最后利用同圆中相等的圆周角与弧、弦的关系得出结论； （3）根据全等三角形的判定和性质得到和，根据勾股定理、垂径定理和等量代换得到，设，在中，根据勾股定理列方程得，最后在中，根据勾股定理得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接、， 由（1）知，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵为的直径，， ∴，， ∴， 整理得，， 即 又∵， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴． 1．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 2．（2026九年级上·江苏常州·课后练习）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·江苏·阶段测试）如图，甲、乙、丙三位球员分别站在足球门前的点，，处射门，点，，都在同一个以为弦的圆上，若球员面对足球门的视角越大踢进足球的可能性越大，则下列说法正确的是（　　） A．甲踢进足球的可能性最大 B．乙踢进足球的可能性最大 C．丙踢进足球的可能性最大 D．三位球员踢进足球的可能性一样大 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，解答本题的关键就是找到射门角，即射门点与球门两侧所成的角，且角越大，进球率越高．根据射门角越大，射门进球的可能性就越大． 【详解】解：因为点都在圆上，故通过观察处的射门角相等； 故三位球员踢进足球的可能性一样大． 故选：D． 4．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角求得，根据圆内接四边形的性质得出，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2023九年级上·江苏镇江·课后练习）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 【详解】解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 6．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，正确求出的度数是解题关键．利用圆内接四边形的性质得出，利用得出，再由得出，根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵是四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．（2023九年级上·江苏徐州·单元测试）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 8．（2025九年级上·山东枣庄·单元测试）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过O作于F，连接，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 9．（25-26九年级上·江苏淮安·课后练习）已知，作射线，使得，作于点H，则长的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据圆周角所对的弦是直径，确定点C在以为直径的圆上，通过构造辅助线，结合矩形的性质、等腰直角三角形的性质求的最大值，作出正确辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为点，连接， ∵，， ∴是的直径， ∴点在上，且， 作于点，于点， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴长的最大值为． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形内接于，为直径，平分，要想求出四边形的面积，只要知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的值 【答案】C 【分析】先结合为直径，得出，根据平分，得，，，然后证明，故，再证明四边形是矩形，又因为，则四边形是正方形，得出四边形的面积，即可作答． 【详解】解：∵为直径， ∴， 过点分别作的延长线，，连接， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴    ， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵的延长线，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴四边形的面积， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正方形的判定，角平分线的性质，圆内接四边形对角互补，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11．（2025九年级上·江苏南京·阶段测试）已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列命题： ①若AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形； ②若OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形； ③若AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形； ④若AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形． 其中所有真命题的序号是_______________． 【答案】③ 【分析】根据平行四边形的特征，矩形的判定方法，判断即可； 【详解】解：①假命题，如图AECD是平行四边形，AB=AE=CD，∠ABC=∠AEB，四边形ABCD不是平行四边形； ②假命题，如图，OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，四边形ABCD不能证明是平行四边形； ③真命题，如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，则AB∥CD，BC即为平行线间的距离， ∵AD＝BC， ∴AD为平行线间的距离，即AD与平行线垂直， ∴四边形的四个内角都为90°，四边形ABCD是矩形； ④假命题，如图，ABCE是矩形，CD=CE=AB，OA＝OC，∠ABC＝90°，四边形ABCD不是矩形； 综上所述③是真命题， 故答案为：③； 【点睛】本题考查了真假命题的判定，平行四边形和矩形的特征，结合圆的性质寻找反例是解题关键． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P为上一点，过点C，D，P作，当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为_____ ．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外心，通过勾股定理得出圆心到中点距离的变化规律是本题解题的关键．根据垂径定理确定圆心所在直线，然后根据勾股定理得出圆心与中点之间距离的变化规律，从而得出点的轨迹路程． 【详解】解：当点在上时，为圆的直径， ∴， ∴， ∴为中点或与重合， 当点在下方时，过作于，交于，过作于，如图1， 设，则，， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得： ， 即， 整理得：， ∴在时，， ∴移动了， 当在上方时，过作垂线，交于，于，如图2: 设，则，， ∴， 根据勾股定理得： ， 即， 整理得：， ∴时，有最大值，时，，时，， 即点向上移动后，再向下移动， ∴的运动路线总长为：． 故答案为：． 13．（2025九年级上·江苏淮安·单元测试）如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 14．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）在矩形中，，，点E是的中点，连接，在平面内有一动点F，若与全等时，则_______． 【答案】或或 【分析】以的中点为圆心为半径作圆，得出点的位置，进而分别求得即可求解． 【详解】解：矩形中，，，点是的中点， ， ， 如图所示，以的中点为圆心，为半径作圆， 当在上时，与全等， 则，， 四边形是矩形，则，， ， 当、关于对称时，设、交于点，则， ， ， 当、关于对称时，连接，则四边形是矩形， ， 又，且， 四边形是矩形， ． 【点睛】本题以矩形与全等三角形为载体，通过分类讨论动点的不同位置，结合勾股定理、面积法与对称性质求解线段长度，同时借助圆的对称性确定点轨迹，充分体现了数形结合、分类讨论的几何解题思想，是解决动点全等问题的典型思路． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在的内接四边形中，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．根据圆内接四边形的对角互补求得的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵在的内接四边形中，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，若，求证：． 【答案】 证明：如图，延长至，使得， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】延长至，使得，先证明，再证明，进而得为等边三角形，从而可得，由此即可得证． 【详解】略． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键． 17．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，点、在上，点在上，分别交、于点、，下列几个信息：①；②；③．从上面三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题．    (1)你选择的条件是_______，结论是_______（填序号）； (2)证明你构造的命题． 【答案】(1)①③；②（也可以①②；③或者②③；①） (2)选择①③；②．证明： 为直径，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【分析】选择的补充条件是①③，可得结论②．首先根据圆周角定理及垂直的定义得到，，从而得到，再利用等边对等角得到，那么，然后根据等角的余角相等得出，从而证得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对圆周角、等边对等角、同角或等角的余角相等，综合运用这些知识解决问题是解题的关键． 18．（2026九年级上·江苏扬州·阶段测试）如图1，数学探究：中，，，D是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，求的大小． (2)如图2，延长，交射线于点． ①试探究的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为__________，此时__________． 【答案】(1) (2)①不变，②， 【分析】（1）由对称性质得，由三角形外角的性质得，即可求解； （2）①设，则，由对称性质得，由三角形外角的性质得，即可求解； ②点以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点作于，交优弧于点，连接，当时，即点位于点时，的面积最大，即可求解． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形， ， ， 边关于对称的线段为， ， ； （2）解：①的大小始终不变，大小为， 设，则， 边关于对称的线段为， ，， ， ， ， ， ； ②由①得， ， 点以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点作于，交优弧于点，连接， 当时，即点位于点时，的面积最大， ， ，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 面积最大值是， 此时，点的位置如图所示，过点作于， 则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 【点睛】利用圆的基本性质找出点的运动轨迹和取得最值时点的位置是解题的关键． 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接，求证：． [初步探索]．小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： 根据小明的思路，若圆的半径为5，则的最大值为 ． [类比迁移]．如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接，若圆的半径为5，求周长的最大值． [拓展延伸]．如图3所示，等腰，点在圆上，，圆的半径为5，连接，求的最小值． 【答案】 证明：由旋转得，，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ； [初步探索]10； [类比迁移]； [拓展延伸] 【分析】初步探索由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则；当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是10； 类比迁移先由证明是的直径，且圆心在上，则，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，的值最大，则，即可求得周长的最大值是； 拓展延伸连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明，得，所以，则的最小值为． 【详解】证明略 初步探索是的弦，且的半径为5， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， 的最大值是10， 故答案为：10． 类比迁移解：如图2，，， 是的直径，且圆心在上， ，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， ， 的最大值是， ， 周长的最大值是． 拓展延伸解：如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接， ，， ， 连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 20．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读理解： (1)【学习心得】 小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，AB=AC，∠BAC=46°，D是外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A 的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=______°． (2)【问题解决】 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=28°，求∠BAC的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题． (3)【问题拓展】 如图3，在的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC=∠DFC． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解． （2）由、、、共圆，得出， （3）先判断出点、、、在以为直径的同一个圆上，得出，同理得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，，， 以点为圆心，点、、必在上， 是的圆心角，而是圆周角， ， 故答案是：； （2）证明：取中点，连接、， 在中，， 同理： ， 点、、、在以为圆心的同一个圆上， ； （3），， 点、、、在以为直径的同一个圆上， ， 同理：点、、、在以为直径的同一个圆上， ∴， 又∠ADC=∠BEC=90°，∠ACD=∠BCE， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，主要考查了同弧所对的圆周角相等，直角三角形的性质，判断四点共圆是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 圆周角重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 圆周角定理】 3 【基础题型二 同弧或等弧所对的圆周角相等】 4 【基础题型三 半圆(直径)所对的圆周角是直角】 6 【基础题型四 90度的圆周角所对的弦是直径】 7 【基础题型五 已知圆内接四边形求角度】 9 第二部分·练提高题型 【提高题型一 圆周角与圆弧的关系综合应用】 12 第三部分・自我检测 知识点01 圆周角 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，=． S 同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． 3. 圆周角定理的推论 （1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 4. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 【即时训练】 1．（26-27九年级上·江苏·单元测试）下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角度数___________． 知识点02 圆的内接四边形 1. 圆内接四边形的定义 （1）一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补； （2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点，，，，则_______°． 【基础题型一 圆周角定理】 【例1】（2025九年级上·江苏徐州·单元测试）如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·江苏苏州·课后练习）如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是的中点．连接，当取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，圆O是的外接圆，，，则圆O的半径为（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2023九年级上·江苏连云港·单元测试）如图，是的外接圆，已知，则的大小为________． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，AB是圆O的直径，D、E为圆O上位于异侧的两点，连接并延长至点使得，连接交圆于点，连接、、． (1)求证：； (2)设交于点，若，，是弧的中点，求的值． 【基础题型二 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例1】（2025九年级上·江苏泰州·阶段测试）如图，是的直径，若，∠D=60°，则长等于（　　） A．4 B．5 C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、、、在上，且，．则的周长为___________． 1．（2025九年级上·江苏扬州·阶段测试）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（　　） A．55° B．64° C．65° D．70° 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，C、D是上直径两侧的点，若，则等于（　　） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·江苏镇江·课后练习）如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 4．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，是的直径，、在上，，求证：． 【基础题型三 半圆(直径)所对的圆周角是直角】 【例1】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，内接于，是直径，若，则___________°． 1．（2026九年级上 江苏连云港·课后练习）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏·阶段测试）如图，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C． D． 3．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，内接于，仅用无刻度的直尺按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在上找一点P，使得； (2)如图2，在上找一点Q，使得． 【基础题型四 90度的圆周角所对的弦是直径】 【例1】（2024九年级上·安徽宿州·阶段测试）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【例2】（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为________． 1．（2025九年级上·江苏连云港·阶段测试）如图，弦CD所对的圆心角为，AB为直径，CD在半圆上滑动，F是CD的中点，过点D作AB的垂线，垂足为E，则∠DEF的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）小明用一把含角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法：①如图1，角的顶点在圆上，弦的长即为圆的半径长，②如图2，直角顶点在圆上，弦长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 3．（2025九年级上·江苏南通·阶段测试）如图，P是矩形ABCD外一点，有以下结论：①S△PAB+S△PCD=S矩形ABCD②S△PBC=S△PAC+S△PCD③PA2+PC2=PB2+PD2；④若PD⊥PB，则P、A、B、C、D在同一个圆上其中正确的序号是__________ 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形内接于，连接、相交于点E．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，连接，求证：． 【基础题型五 已知圆内接四边形求角度】 【例1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是直径，点E在上，连接，若，则________． 1．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，弦，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形ABCD为的内接四边形，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 4．（2025九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，△ABC内接于⊙O． (1)在上作点D（不与B重合），连接CD，使得∠ACD=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)延长CB到点E，使得BE=CD，连接AD、AE．　 ①求证：AE=AC；　 ②若CD=8，BC=12，∠ACB=30°，求tan∠ABC的值． 【提高题型一 圆周角与圆弧的关系综合应用】 【例1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论:是的外心；是的外心；；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 【例2】（2026九年级上·江苏徐州·阶段测试）已知线段，C为平面内一动点，连接，，则的面积的最大值为______． 1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中，，在的同侧作正，正和正，则四边形面积最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2025九年级上·江苏宿迁·阶段测试）如图，是的直径，点在上，且的长是长的2倍，的平分线交于点，则的度数为（    ） A．90° B．95° C．100° D．105° 3．（24-25九年级上·江苏盐城）如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，，，则________． 4．（26-27九年级上·江苏·课后练习）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 1．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 2．（2026九年级上·江苏常州·课后练习）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏·阶段测试）如图，甲、乙、丙三位球员分别站在足球门前的点，，处射门，点，，都在同一个以为弦的圆上，若球员面对足球门的视角越大踢进足球的可能性越大，则下列说法正确的是（　　） A．甲踢进足球的可能性最大 B．乙踢进足球的可能性最大 C．丙踢进足球的可能性最大 D．三位球员踢进足球的可能性一样大 4．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2023九年级上·江苏镇江·课后练习）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2023九年级上·江苏徐州·单元测试）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2025九年级上·山东枣庄·单元测试）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 9．（25-26九年级上·江苏淮安·课后练习）已知，作射线，使得，作于点H，则长的最大值是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形内接于，为直径，平分，要想求出四边形的面积，只要知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的值 11．（2025九年级上·江苏南京·阶段测试）已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列命题： ①若AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形； ②若OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形； ③若AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形； ④若AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形． 其中所有真命题的序号是_______________． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P为上一点，过点C，D，P作，当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为_____ ．    13．（2025九年级上·江苏淮安·单元测试）如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 14．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）在矩形中，，，点E是的中点，连接，在平面内有一动点F，若与全等时，则_______． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在的内接四边形中，，则________． 16．（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，若，求证：． 17．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，点、在上，点在上，分别交、于点、，下列几个信息：①；②；③．从上面三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题．    (1)你选择的条件是_______，结论是_______（填序号）； (2)证明你构造的命题． 18．（2026九年级上·江苏扬州·阶段测试）如图1，数学探究：中，，，D是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，求的大小． (2)如图2，延长，交射线于点． ①试探究的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为__________，此时__________． 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接，求证：． [初步探索]．小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： 根据小明的思路，若圆的半径为5，则的最大值为 ． [类比迁移]．如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接，若圆的半径为5，求周长的最大值． [拓展延伸]．如图3所示，等腰，点在圆上，，圆的半径为5，连接，求的最小值． 20．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读理解： (1)【学习心得】 小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，AB=AC，∠BAC=46°，D是外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A 的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=______°． (2)【问题解决】 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=28°，求∠BAC的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题． (3)【问题拓展】 如图3，在的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC=∠DFC． 1 学科网（北京）股份有限公司 $