特训16 综合实战培优特训二-【快乐假期】2026-2027学年中职高三数学寒假作业

数学 特训16综合实战培优特训二 (时间：120分钟满分120分) 第I卷（选择题共60分） 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出) 1.设全集U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},则Cu(AUB)= 饗 ( A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}》 斯 2.下列四个命题中，为真命题的是 ( A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>|b,则a>b2 C.若a>b,c>d,则a-c>b-d n D若a>6,则日←8 3.已知直线l与直线y=√3x十1垂直，则直线l的斜率是 A.√3 B.-3 3 D.-3 3 1 4.已知偶函数y=fx在[0，十∞)上单调递增，设a=f(-),6=f(-1)c=f2),则a, 俐 b,c的大小关系为 ( A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<b<c 5.已知200°的终边上有一点(-1，a),则sin160°= ( e 1 A.-a B. C. D. 1+a √/1+a2 1+a ( 凶 6.设1是直线，a,B是两个不同的平面，则下列能判断l∥α的是 A.l∥B,a∥B B.l与平面a内无数条直线平行 C.lCB,a∥B D.l⊥B,a⊥3 7.已知不等式|x-m<2的解集是(-1,3)，则实数m= A.0 B.1 C.2 D.3 ·61· 8.如图所示，△ABC的边长均为1，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，则 下列运算结果为单位向量的是 A.AD+DE+DF B.AD+DE C.AD-DE+DF D.AD-DE 9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上两人所得与 下三人等.问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之 和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得 多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，丁所得为 () A号线 8钱 C钱 10.如果两个整数a,b除以m所得的余数相同，则称整数a,b关于模m同余，记作a= b(modm),若92=59(modm),则m可能的取值是 () A.2 B.11 C.22 D.31 1,若双曲线C,看-y=1(m>0)的一条渐近线的方程为3x+2)=0,则m () m B号 c号 D. 12.过点(3,1)作圆(x一1)2+y2=x2的切线有且只有一条，则该切线的方程为 () A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0 C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0 13.已知f(x)是定义在R上的减函数，若f(2x一3)>f(1),则x的取值范围为 A.（2,+∞) B.（-∞，2) C.(-1,+∞) D.(-∞，-1) 14.盒子中有4只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取2个，那么日等于() A.恰有1只是坏的概率 B.2只都是坏的概率 C.恰有1只是好的概率 D.至多1只是坏的概率 15.等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为 () A.-2 B.1 C.-2或1 D.2或-1 16.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△FPF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 () A号 B.2-1 C.√2-1 2 D.2 ·62· 17.如图所示，正三棱锥S-ABC的棱长都是2，D是SC的中点，有以下 结论； ①SA∥BD②AB⊥SC③SC与平面ABC所成的角为60° ④正三校维SABC的体积是22，其中结论正确的是 A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 18.已知向量a=(1,2+sinx),b=(2,cosx),c=（一1,2)，若(a-b)∥c,则锐角x等于 () A.15° B.30 C.45 D.60° 19.现有甲、乙两名教师和3名学生站成一排照相，如果教师甲位于教师乙的右边（可以相 邻，也可以不相邻)，则至少有2名学生相邻的概率为 () A品 R号 n品 20.已知圆C:x2十y一4x十3=0与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线D的一条渐近线 相切，则双曲线D的离心率为 () A或4 B.2y3或2 3 C2⑤ 3 D.2 第Ⅱ卷（非选择题共60分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上） 21.函数f(x)=1+1-x的定义域是 22.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都人选的概率 为 23.在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=4,则AC= 24.设向量a,b的夹角的余弦值为3，且a=1,b1=3,则(2a+b)·b=」 5.已知椭圆+y=1与双曲线多-=1(a>0,6>0)的离心率之积为2，则该双曲线的 渐近线方程为 ·63· 三、解答题（本大题共5个小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 26.（7分)已知二次函数f(x)满足f(0)=一1，其图象开口向上且顶点为(1，一2). (1)求f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在区间[a一1,4]上单调，求实数a的取值范围. ·64· 27.(8分)如图所示，D是直线BC上的一点，BD=6,∠B=45°，sin∠BAD (1)求AD; (2)若2BD=3DC,求AC. ·65· 28.(8分)如图，过圆锥的顶点S作截面SAB与底面成60°的二面角，且A,B分底面圆周为 1:2两段弧，已知截面SAB的面积为8√3. (1)求圆锥的侧面积； S (2)求底面圆心到截面SAB的距离. ·66· 29.(8分)如图所示，从A到B修筑一段公路需 1000米 50米50米 B 要50车的石料，石料厂S到A的距离是1000米.现用一辆车依次把石料从S运送到施 工路段，第1车石料卸在A处，然后每隔50米卸一车石料，分别卸在A1,A2,…的位 置，运送第1车石料该车往返的路程记作a1米，第2车往返的路程记作a2米，…第50 车往返的路程记作as0米，求： (1)该车运送第20车石料往返的路程； (2)该车所有往返的路程之和. ·67· 30.(9分)已知椭圆C的焦点为F1（一1,0)，F2(1,0),过F2的直线与椭圆C交于A,B两 点.若△FAB的周长为4√5. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C中以M 为中点的弦所在直线方程. 时 些 烯 ·68·24.解析：由一1，a,一4成等差数列，可得2a=一1一4 =-5,解得a=一号， 又由-1，b,-4成等比数列，可得b2=(-1)×(-4) =4,解得b=士2，所以ab=士5. 答案：士5 25.解析：若f(x)为偶函数，则f(一x)=f(x), f(-x)=sin(-z)tacos(-x) 一x =一sinx十acos z_sinx-acos x x f(x)=sin ztacos a x sin acos zsin aacos x 反之，若a=0,f(x)=sin工，易知f(x)为偶函数， f(x)为偶函数台a=0. 答案：a=0 26.解：(1)因为1og。4=2,所以a2=4. 又因为a>0且a≠1，所以a=2. (2)g(x)=f(x2-2x+m)=log2(x2-2x+m), 因为x2一2x十m>0的解集为R, 所以△=（-2)2-4m<0,解得m>1. 所以m的取值范围为(1，十∞). 27.解：(1)由a1十a3=a1十a1g2=10 ,解得∫a1=2 (a2=a1q=4 (9=2, 所以数列{an}的通项公式为an=a1g-1=2X2m-1 =2n. (2)bn-a2m-a2m-1=22m-22m-1=22-1, 因为”=2m3=4,所以数列{bm》为首项为2，公 比为4的等比教列，所以S。=2X1二4)=2730. 1-4 28.证明：(1)因为CD⊥平面ABC,BCC平面ABC,所 以CD⊥BC.因为AB是直径，C为圆周上一点，所以 AC⊥BC,AC∩CD=C,AC,CDC平面ACD,所以 BC⊥平面ACD. 因为DAC平面ACD,所以DA⊥BC. (2)因为OM分别为AB、BD的中点，所以OM∥ AD.又因为ADC平面DAC,OM工平面DAC,所以 OM∥平面DAC. 0 29.解：(1)由题意得乞+m+n=1, 1 3m+6n=2, 解得m= 1 3,n=6 (2)由题意可得P(X>0)=2, 则YB(,2): ·82 所以PY=0)=()° PY=D=c××(2)°= PY=2)=×()×- 8 PY=)=(侵)广日 所以Y的概率分布列为 Y 0 1 2 1 8 8 8 所以E0)=0X日+1×号+2×+3X日-， 3 D)=3x合×(-）=是 30解：1)由题老知：是一9-1①，又斋运线方煜为y =,小2-E6是是=1…1 ∴02=1,62=2a2=2,双南线方程为2-苦 =1. (2),点M(3,4)在圆x2+y2=r2上，.9+16=r2, .2=25,∴.圆的方程为x2十y2=25,令x=0,y2= 25,y=士5，.P(0,5),由题意知直线1的斜率存在 且不为0. 设直线l的方程为y=kx十5，A(x1,y1),B(x2y2), (y=kx+5 {22-2=2消y得：22-(22+10x+25)-2=0. 即(2-k2)x2-10kx-27=0, 10k 27 则+422=一2 BP=(-x2,5-y2),AB=(x2-x1y2-y1), .BP=2 AB, 3 -x2=2x2-2x1,3x2=2x1x1=2x2, 10k 心x1+x2=2x2干222， ∴号2哈 10k Ak 6k 六22=2-k2西2-k2' 6k 4级 27 又1222e‘2-2= 2-k2, ∴.24k2=-27(2-k2), .3k2=54,k2=18,k=±3√2， 又△=100k2+108(2-k2)>0,8k2<216,k2<27, .k=土3√2， .直线l的方程为y=士3√2x十5. 特训16综合实战培优特训二 1.D[由B={x|x2-4x+3=0}={1,3},AUB= {-1,1,2,3},所以Cu(AUB)={-2,0.] 2.B[当c=0时，若a>b,则ac2=bc2,故A错误；由不 等式的性质可知a>bl≥0，则a2>b2,故B正确；当a =c=2,b=d=1时，a-c=b-d,故C错误；当a=1,b =-1时，>，故D错误] 3.D[直线l与直线y=√3x+1垂直，.直线l的斜 为后一源 4.A[因为y=fx)为偶画数，所以a=f(受） f(2）b=f-1D=f1).因为y=fx)在[0，+0) 上单调递增，所以f(1)<f(受)<f(2),即6<a <c.] 5.C[由题意知sin200°= 十a所以sin160°- a sin(360°-200)=-sin200°=-a亏] √1+a2 6.C[对于A:l可能在a内，故不能判断l∥a,故A不 正确；对于B:l可能在a内，故不能判断l∥α，故B不 正确；对于C:因为1CB,a∥B,由面面平行的性质定理 有1∥a,故C正确；对于D:l可能在a内，故不能判断 l∥a,故D不正确.] 7.B[由x-m<2,解得-2<x-m<2, 解得m-2<x<m十2， 因为|x-m<2的解集为（一1,3）， 所以微十写解释=11 8.A[由题意逐个判断，AD+DE+DF=AE+DF AE+EC=AC,是单位向量，A正确；AD十DE=AE, 不是单位向量，B错误；AD-DE十DF=AD十DF+ ED=AF十ED=0,C错误；AD-DE=AD十ED= FE十ED=FD,不是单位向量，D错误.] 9.D[设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数为a1,a2,a3,a4,a5, Sm为{an}的前n项和，公差为d, 所以/S,=5, a1十a2=a3十a4十a5, 4 15a1+10d=5, a1=3' 所以 所以 2a1+d=3a1+9d, 所以a4=a1十3d=号-号=名，所以T所得为 晋钱] 10.B[由92=59(modm),得92-59=33=33(modm),所 以m为33的约数，又m∈N￥，所以m=11或33.] 11.A[由题意知，双曲线的渐近线方程为y=土1z m （m>0,3z+2y=0可化为y=-含x,所以 m 号，解得m=合] 8 12.B[由题意，过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切 线有且只有一条，则，点(3,1)在圆上，代入可得2= 5,圆的方程为(x-1)2十y2=5,则过点(3,1)的切线 方程为(x-1)(3-1)+y(1-0)=5,即2x+y-7 =0.] 13.B[因为f(x)是定义在R上的减函数，且f(2x一3)> f(1),所以2x-3<1,解得x<2.∴.x的取值范围为 (-∞，2).] 14.B[4只螺丝钉分别记做a,b,c,d;其中a,b2只是 坏的.现从盒中随机地抽取2个的情况有ab,ac,ad, bc,bd,cd6种，其中2只都是坏的有ab一种.] 15.C[当q=1时，S3=3a1成立，当q≠1时，S3= a11-g）=3a1,即q2+g-2=0→q=-2或g= 1-q 1(舍).] 16.C[设椭圆长轴为2a,半焦距为c,则|F1F2|=2c. 则|PF2|=2c,PF1|=2√2c,于是2a=|PF|+|PF2 =22c+2c,.e=￡=26=。2c。=2-1] a2a2√2c+2c 17.D[因为SA与BD是异面直 线，所以①不正确；作OS⊥平面 ABC,连接OC,延长交AB于点 E,因为AB⊥OC,AB⊥OS,OCA ∩OS=O,OC,OSc平面S0C, E 所以AB⊥平面SOC,又，SCC B 平面SOC,所以AB⊥SC,所以②正确；因为SO⊥平 面ABC,所以∠SCE是SC与平面ABC所成的角， 里袋∠sCA=60,所以③不正确，00=号×V2 -2周为0+南Ac,0--（= 2,所以正三拔维SABC的体积V=日××2 ×2-2g2,所以④正确] 18.C ['.'a-b=(-1,2+sin x-cos z), 又(a-b)∥c,∴.2+sinx-cosx=2, 即sinx=cosx,.x=45°.] 19.D[甲、乙2名教师和3名学生站成一排照相，基本 事件总数n=A=120,教师甲位于教师乙的右边（可 A 以相邻，也可以不相邻)包含的基本事件个数m= A号 =60,至少有2名学生相邻的对立事件是三名学生 都不相邻，至少有2名学生相邻的概率是P=1 袋-品] 20.B[圆C:(x一2)2+y2=1的圆心为(2,0)，半径为1， 当双曲线的焦，点在x轴上时，其渐近线方程为bx士 ay=0, 由题意得2b =1,即362=a2, √b2+a2 所以=1 a2=3 ,b223 所以e=1+g-, ● 苣双曲线的焦点在y轴上时，3 则e= &1+ =2.] 21.解析：由题意得z≠0， {1-x≥0， 解得x≤1且x≠0，所以 函数f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,1]. 答案：(-o∞，0)U(0,1] 22.解析：假设5名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，从5名 同学中随机选3名的情况有（甲，乙，丙），（甲，乙， 丁)，（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁， 戊)，（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁， 戊)，共10种选法，甲、乙都入选的情况有（甲，乙， 丙)，（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），共3种，所以甲、乙都 入运的概奉P=品 答案：品 23.解析：由正弦定理可得BC=AC sin A sin B' .Ac-sin B.BC-4. sin A 答案：4√2 24.解析：设a与b的夹角为0，因为a与b的夹角的余弦值 为号即s0=号 又|a=1,|b=3, 所以a:b=a·1b1cos0=1X3X号=1， 所以(2a+b)·b=2a·b+b=2×1+32=11. 答案：11 25.解析：设双曲线的焦距为2c,因为椭圆的离心率为 -25,由题可得5×日=2，即号-5， 5 5 则/（）-1=2， 所以双曲线的渐近线方程为y=士2x 答案：y=士2x 26.解：(1)设f(x)=a(x-1)2-2(a>0). 则由f(0)=-1,得a一2=-1，即a=1. 故f(x)=(x-1)2-2=x2-2x-1. (2)由(1)可知，函数f(x)在区间[1，十∞)上单调. 又因函数f(x)在区间[a-1,4幻上单调且4>1，所以 {a-1≥1即2a<5,故实数a的取值范周为[2,5. (a-1<4 27.解：()由正弦定理知，AD=,BD 'sin45=sin/BAD,并将已知BD =6,naAD-号入得0-是解得AD-5亿 5 (2)在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD 2AB·BDcos45°，代入数值得25×2=AB2+36-12X 号AB,解得AB=72负值舍去) ·8 由2BD=3DC得CD=4,BC=6+4=10. AC=√AB2+BC-2AB·BCcos45 =√/(7√2)2+102-2×7√2×10cos45°=√58. 28.解：(1)取AB中点D,连接OD,SD(图略)，则∠SDO= 60°，设半径为r,因为A,B分底面圆周为1：2两段弧， ∠A0B=120,则OD=专SD=AD=∴· r=8V3,r=4,可求得S0=2√3，SB=√S02+OB2= √(23)2+42=2√7， Sw=2sB·2w-2×27×2xX4=87x (2②)设底面圆心到减面SAB的距离为k,由V=号× 1 ×4X4Xsn120X23=号×83Xh,得A=5. 29.解：(1)根据题意有a1=2000,a2=2000+100, a3=2000+200,… am=2000+100(n-1)(1≤n≤50，n∈N*), .a1,a2,…ya50 构成首项a1=2000,公差为d=100的等差数列， 所以车运送第20车石料往返的路程为： a20=2000+100×19=3900米， (2)设该车所有往返路程之和为S50, S50=a1十a2+a3+…+a50, 因为{an}为首项a1=2000,公差为d=l00的等差数列， 等差数列前n项和为Sn=a1十nn,1)d 2 (n∈N*), 所以S0=50X2000+50×(50-1)X100 2 =222500(米). 30.解：(1)由已知得4a=4√5，则a=√5， 又由c=1,可得b2=a2-c2=4, 所以精周C的方载为号+苦-1 (2)根据题意得中，点弦的斜率存在，且M在椭圆内， 设A(c1y1),B(x2y2), 所以-1，+ 两式作差，得x1十x2)(-x2) 5 (y+y2)1-22=0, 4 所以日×士+}×”吉”×2-0， 2 2 x1一x2 所以号×()+×1X=0, 所以=25 5 所以中点的我所在的方程为y一12气+写） 即所求的直线方程为2x一√5y十2√5=0.