特训13 排列与组合、二项式定理-【快乐假期】2026-2027学年中职高三数学寒假作业

数学 特训13排列与组合、二项式定理 一、选择题（本大题共15个小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出) 1.将5封信投入4个邮箱，有多少种不同的投法 A.54 B.45 C.55 D.44 斯 2.某小组有6名同学，他们计划利用今年端午节三天假期到敬老院服务，每天安排2人，每 人只去一天，则不同的安排方法是 ( A.90种 B.270种 C.540种 D.720种 和 3.某景区有一座山，山南面有2条道路，山北面有3条道路，均可用上下山，某游客计划从 山的一面走到山顶，接着再从另一面下山，则不同的走法的种数是 阳 A.6 B.10 C.12 D.20 1 4.在二项式 2x3- 的展开式中，常数项等于 A.-42 B.42 C.14 D.-14 凶 5.现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一 套，那么不同的选法种数为 A.7 B.64 C.12 D.81 ·45· 6.已知(1十x)”的展开式中，第3项与第11项的二项式系数相等，则二项式系数和是 A.212 B.211 C.21o D.2 7.2026年全国高中生健美操大赛，某市高中生代表队运动员由3名男生和3名女生共6名 同学组成，这6名同学站成一排合影留念，则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列 种数共有 ( A.720种 B.144种 C.240种 D.432种 8.在(x一2)的二项展开式中，二项式系数最大的项是 ( A.160x3 B.-160x3 C.60x D.-60x 9.2026年山东省第二十六届运动会在临沂举办，现将4名志愿者分成3组，每组至少一人， 分赴3个不同场馆服务，则不同的分配方案种数是 ( A.18 B.36 C.54 D.72 10.已知C2g=C88,则x值为 A.4 B.5 C.4或5 D.6 山.若二项式（- 的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为 A.6 B.10 C.12 D.15 ·46· 12,设椭圆后+芳 =1的焦点在y轴上，其中a∈(1,2,3,4,5,6={(1,2,3,4,5,6,7，则满 足上述条件的椭圆个数为 ( A.20 B.24 C.12 D.11 13.已知(2x-1)4=a0十a1(x-1)十a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,则a2=（) A.18 B.24 C.36 D.56 14.如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某 一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种 植方案有 A.9种 B.8种 C.7种 D.6种 15.无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的 ① ② ④ 艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协 ⑥ ⑤ 作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次 ⑦ ⑧ 无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种 不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相 同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共 可以有 种灯光组合. A.9 B.12 C.15 D.18 ·47· 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请将答案填在题中的横线上） 16.有5个同学站成一排，甲、乙两人不相邻的站法有 17.甲将一颗骰子抛掷一次，所得向上的点数为a,则方程x2十ax十1=0，有两个不相等实 根的情况为 种. 18.z+2 的二项展开式中的第三项是10x,则n= 19.某班主任准备请2026年毕业生作报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人 至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序 共有 种.（用数字作答） 20.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用 同一种颜色，则不同的着色方法种数为 A C D ·48·.EF∥AC, ∴.EF⊥平面BB1O. 答案：垂直 14.解：(1)证明：因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所 以AA1∥CC1且AA1=CC1, 所以四边形AA1C1C为平行四边形， 所以AC∥A1C1,又因为AC寸平面A1PC1,A1C1C 平面A1PC1,所以AC∥平面A1PC1. (2)连接B1D1(图略)， 因为ABCD-A1B1C1D1为正方体， 所以四边形A1B1C1D1为正方形， 所以对角线B1D1⊥A1C1, 又因为P是棱B1B上的，点， 所以B1P⊥平面A1B1C1D1, 又因为A1C1C平面A1B1C1D1,所以B1P⊥A1C1, 又因为B1D1∩B1P=B1,B1D1,B1PC平面 B1D1P,所以A1C1⊥平面B1D1P, 因为A1C1∥AC,所以AC⊥平面B1D1P, 又因为D1PC平面B1D1P,所以AC⊥D1P. 15.解：(1)证明：连接AC(图略)，在正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,则AA1⊥BD. 又AC⊥BD,AA1,AC是平面ACA1内两条相交 直线， 故BD⊥平面ACA1,所以A1C⊥BD. (2)二面角A1-BC-D与二面角A1-BC-A的大 小相等，∠ABA1即为二面角的平面角，其正切值 为√2. 16.解：(1)证明：O,M分别为AB,VA中点， ∴.OM∥VB,.VB中平面MOC,OMC平面MOC, .VB∥平面MOC. (2),AC=BC,O为AB中点，.OC⊥AB, 平面VAB⊥平面ABC,OCC平面ABC. .OC⊥平面VAB,,OCC平面MOC, ∴.平面MOC⊥平面VAB. (3)在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=√2， ..AB=2,OC=1,..SAVAB=3, ,OC⊥平面VAB, .Vovan-OC SAv 3 i.VrAnc-Vov 特训13排列与组合、二项式定理 1.B[符合分步计数原理4×4×4×4×4=45，故 选B.] 2.A[此题是一个无条件的组合问题，可以理解为第一 天去2人，然后第二天去2人，第三天去2人，共分3 步，由分步计数原理，则不同的安排方法是：C哈·C· C=90,故选A.] 3.C[上山有2种，下山有3种，或上山有3种，下山有 2种，符合分步计数原理2×3+3×2=12.故选C.] 4.C [项式2x3-2）7 的展开式通项为 √x 2(-g-r2-,◆1 2=0,解得r=6.常数项为C9(-1)6×2=14.] ·7 5.C[由题意，有四件不同款式的上衣与三条不同颜色 的长裤， 从四件不同款式的上衣中，任选一件有C=4(种) 选法， 从三件不同颜色的长裤中，任选一件有C=3(种) 选法， 根据分步计数原理，可得共有4×3=12（种）不同的 选法.] 6.A[因为(1十x)n展开式中的第3项与第11项的二 项式系数相等，即C层=C0,所以n=12,所以二项式 系数和是212.] 7.D[根据题意，把3位女生中的两位捆绑在一起看做 一个复合元素有A种方法，再和剩下的一位女生，插 入到3位男生全排列后形成的4个空的其中2个空 中，故排列种数共有A号AA=432.] 8.B[由(x一2)6可知其展开式共7项，第4项的二项 式系数最大，所以T4=Cx3(-2)3=-160x3.] 9.B[将4人分成3组，一组2人，一组1人，一组1人， 分法有C?种，再分配给3个不同场馆有A, 所以不同的分配方案种数C·A=36种.] ,3x+x+8=28 10.C[由C影=C88,.3x≤28 ，或 (x+8≤28 ,3x=x十8 3x≤28，解得x=4或x=5.] (x十828 1.c周为1，=C@:()广=.c+ 是常数项，所以”12=0，所以m=12.] 2 12.A[当a=1时，b=2,3,4,5,6,7,有6个. 当a=2时，b=3,4,5,6,7,有5个. 当a=3时，b=4,5,6,7,有4个. 当a=4时，b=5,6,7,有3个. 当a=5时，b=6,7,有2个. 由分类计数原理得共有6+5+4+3十2=20（个）.] 13.B[对于等式(2x-1)4=[(2x-2)+1]4=[1+(2x -2)]4=ao十a1(x-1)十a2(x-1)2十a3(x-1)3+ a4(x-1)4.所以a2=C×22=24.故选B.] 14.D[由题意，按区域分四步： 第一步：A区域有3种颜色可选： 第二步：B区域有2种颜色可选； 第三步：C区域有1种颜色可选； 第四步：D区域只有1种颜色可选， 由分步计数原理可得，共有C3·C是·C·C= 6(种)不同的种植方案.] 15.B[编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8 号的无人机颜色必须相同， 两组颜色相同时，有A号=6种， 两组颜色不相同时，有A3=6种，故共有12种.] 16解析：甲、乙两人不相邻，所以由插空法知，共有 A·A=72种排法. 答案：72 17.解析：，方程x2十ax十1=0有两个不相等实根， a2-4>0,a>2或a<-2,a可取3,4,5,6，共 4种. 答案：4 9 18,解标：1=T+1=c经-3·（侣）=10x,则=5。 答案：5 19.解析：若甲、乙同时参加，有2C哈AA号=120（种），若 甲、乙有一人参与，有C2CA=960(种)，从而总共 的发言顺序有1080种. 答案：1080 20,解析：根据題意，设需要涂色的四个部分依次分A、 B、C、D,对于区域A,有4种颜色可选，有4种涂色 方法， 对于区域B,与区域A相邻，有3种颜色可选，有3 种涂色方法，对于区域C,与区域A,B相邻，有2种 颜色可选， 有2种涂色方法，对于区域D,与区域B,C相邻，有 2种颜色可选，有2种涂色方法， 则不同的涂色方法有4×3×2×2种=48种. 答案：48 特训14概率与统计 1.B[设北面人数为x,根据题意知， 108 x+7488+6912300, 解得x=8100, 所以北面共有8100人.] 2.D[四名同学争夺冠军有43=64种，甲包揽三项冠 军有1种，所求概率为证] 3.B[因为a,b,c成等差数列，所以a十c=2b,又有a十 b叶c=1,解得a十c=子.由分布列可得：P=1) a十c=号，故选B] 4.C[由题意得2+4十8+x+10=6×5,得x=6, 方差S2=号(42+2+2+0+4)=8.] 5.A[由正态分布的对称性知，(2c十1)-3=3-(2c一1)， 得c=多，故选A.] 6.C[P(=)=CD(1-p)n-,则P(g=2) =C号(0.8)2·(1-0.8)1=C号×0.82×0.2，故选C.] 7.D[在这五种家务中任选两种的所有情况共C号=10 种，其中有一项是煮饭的情况有C4=4种，故所求概 为-号] 8.C[由题意可知：x=1+2+3+4=2.5,y= 4 3十5十7+9=6，所以y与x的经验回归方程必过点 (2.5,6).故选C. 9.D[对于A,平均数为7+8+9+10+6+8=8，故A 正确；对于B,极差为10一6=4，故B正确；对于C,数 据排序后为6,7,8,9,10，中位数为88=8，故C正 2 确；对于D,方差为 (7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2+(6-8)2+(8-8)2 6 =号放D错误，故选D.] ·8 10.D[根据频率分布直方图知，12时到14时的频率为 0.35,9时到11时的频率为1-0.4一0.25一0.10= 0.25,所以9时到1时的销售额为：42×号需-30 (万元).] 11.解析：本次抽样的样本量是25×30=750. 答案：750 12.解析：该同学通过测试的概率为C号×0.62×0.4+ c8x0.6=器 答案 13.解析：由题中频率分布直方图，可知1.5×0.1+2.5 ×0.1+a×0.1+2.0×0.1+0.8×0.1+0.2×0.1 =1,解得a=3, 设消费金额的中位数为x万元，则0.15+0.25+ (x-0.5)×3=0.5,得x≈0.53， 所以估计该地区网络购物者在“双十一”当日的消费 金额的中位数为0.53万元. 答案：0.53 14.解析：(1)由22+20+工=24，解得x=6, 2 由18+19+20+y+26+26+28+29+30=25,解得 8 y=4. (2)设甲、乙两组数据的方差分别为、s元， 甲组数据的平均数为 15+16+19+22+26+27+29+30-23, 8 元=8[15-23)2+(16-23)2+(19-23)2+(2 -23)2+(26-23)2+(27-23)2+(29-23)2+(30 -23)2]=30, 元=8[18-25)2+(19-25)2+(24-25)2+(26 -25)2+(26-25)2+(28-25)2+(29-25)2+(30 -25)2]=17.25, 因为s品>，所以乙组的成绩更稳定， 15.解：(1)由题意，X的可能取值为{1,2,3,4,5,6}且各 点面的概率均为日，所以X的分布列为 4 5 6 1 1 1 1 P 1 66666 6 (2B(X)=号2，=日1+2+3+4+5+6)=3.5： DX)=日部4-E(X0]P=6×[1-352+ (2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+ 6-8509]- 16.解：(1)：成绩不低于80分的有360人， .(a+0.005)×10×1200=360, 解得a=0.025, 又(0.005+0.015+b+0.030+0.025+0.005)×10 =1, 解得b=0.02. ●