假期作业16 计数原理、排列与组合-【快乐假期】2026-2027学年中职高二数学寒假作业

三0022 高二数学恐 假期作业16计数原理、排列与组合 积土而为山，积水而为海。 完成日期： 月 日 ●[每日一语] 别和往事过不去，因为它已经过去；别和现实过不去，因为你还要过下去 知识复盘 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (3)排列数公式的两种形式 ①A"=n(n-1)(n-2)…(n-m十1)，其 基本形式 一般形式 中m,n∈N*,并且m≤n. 完成一件事有 完成一件事有n类 两类不同方 不同方案， ②A- n! (n-m) 案， 在第1类方案中有 (4)全排列：把n个不同的元素全部取出的 在第1类方案 m1种不同的方法， 一个排列，叫做n个元素的一个全排 类 中有m种不 在第2类方案中有 列，全排列数为A”=n！（叫做n的阶 同的方法， m2种不同的方法， 乘).规定：0！=1. 法 在第2类方案 3.组合及组合数的定义 数 中有n种不同 在第n类方案中有 (1)组合 原 的方法， m,种不同的方法，那 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤ 那么完成这件 么完成这件事共有 n)个元素作为一组，叫做从n个不同元 事共有 N=m1+m2+ 素中取出m个元素的一个组合. N=m+n种 十m种不同的方 (2)组合数 不同的方法. 法 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 完成一件事需要n 素的所有不同组合的个数，叫做从n个 完成一件事需 个步骤， 不同元素中取出m个元素的组合数，用 要两个步骤， 做第1步有m1种 符号C表示. 分 做第1步有m 不同的方法， (3)排列与组合的关系 乘 种不同的方法， 做第2步有m2种 两者都是从n个不同元素中 相同点 做第2步有n 不同的方法， 取出m(m≤n)个元素 计 种不同的方法， 数 排列问题中元素有序，组合问 原 那么完成这件 做第n步有mn种 不同点 题中元素无序 理 事共有N=m 不同的方法，那么 组合数C与排列数A”间存 ×n种不同的 完成这件事共有N 关系 方法. =m1Xm2X…X 在的关系：A=CA mn种不同的方法. (4)组合数公式 2.排列与排列数 组 乘积 C=n(n-1)n-2)…(n-m+1) (1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n) 合 m! 形式 个元素，并按照一定的顺序排成一列， 数 其中m,n∈N,并且m≤n 叫做从n个不同元素中取出m个元素 公 阶乘 的一个排列， nl 形式 m！(n-m)！ (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 规定：C=1. 素的所有不同排列的个数，叫做从n个 (5)组合数的性质 不同元素中取出m个元素的排列数，用 性质1：C%=C%m. 符号A”表示. 性质2：C+1=C+C0-1. ·35· 快乐假期 素养提升 1.书架的第1层放有4本不同的计算机书， 8.某市的有线电视可以接收中央台12个 第2层放有3本不同的动漫书，第3层放 频道，本地台8个频道和其他省市40个 有2本不同的地理书，从书架上任取1本 频道的节目.若有3个频道正在转播同 书，不同的取法总数为 ( ) 一个节目，其余频道正在播放互不相同 A.10 B.24 C.9 D.12 的节目，则一台电视可以选看的不同节 2.从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙 目共有 个 地有2种走法，若从甲地到达丙地必须 9.某班从3名男同学和5名女同学中，选取3 经过乙地，则从甲地到丙地的不同走法 人参加学校的“创文知识”竞赛，要求男女生 的种数为 ( 都有，则不同的选法共有 种 A.5 B.6 C.8 D.12 10.用数字0,1,2,3,4,5,6组成 个没有重复数字并且是5的倍数的五 3计算？的结果是 位数 A.28 B.14 11.某电视台连续播放6个广告，其中有3 c号 D 个商业广告、2个宣传广告和1个公益 广告，要求最后播放的不能是商业广 4.甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日 告，宣传广告与公益广告不能连续播 战争胜利80周年阅兵庆典后，在天安门 放，2个宣传广告也不能连续播放，则有 广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相 多少种不同的播放方式？ 邻且都不站在两端的排法有 ( A.12种 B.24种 C.48种 D.120种 5.某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、 2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐， 则可以配成不同套餐的种数为() A.14 B.64 C.72 D.80 6.6名同学安排到3个社区A,B,C参加志 愿者服务，每个社区安排两名同学，其中 甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不 能到C社区，则不同的安排方法种数为 ( A.12 B.9 C.6 D.5 7.从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数 和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位 数，这样的三位数共有 () A.9个B.24个 C.36个D.54个 ·36· 三0022 意数类为) 12.2025蛇年春节档电影《哪吒之魔童闹 (2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不 海》，这部电影延续了《魔童降世》的传 在第三位、丁不在第四位； 奇，再次展现了哪吒的勇敢与坚强.现 (3)甲一定在乙的右端（可以不相邻）. 有名同学相约一起去观看该影片，他们 的座位在同一排且连在一起.甲、乙、 丙、丁四名同学排成一排，分别计算满 足下列条件的排法种数： (1)甲不在排头、乙不在排尾； 快乐驿站】 悖论问题 我正与同学讨论一悖论问题：村里唯一的理发师每月一定要给自己不理发的人理 发，问理发师的头谁理？真难！若是理发师自己理发，就是给自己理发的人理发，若是 理发师自己不理发，就是不给自己不理发的人理发，好深奥啊！讨论半天毫无结果， 后排同学钱某插过来一句话：这还不简单，理发师秃头呗！ ·37·飞受快乐假期 (2)若之在复平面内对应的点在第二象限， 则W2a+i-a<0 ,解得a>1十√2. (a-1>0 12.解：a,B为实系数一元二次方程ax2十bx十c =0的两个虚根， x=一b士4ac-Bi,不妨设a=m十mi(m,m∈ 2a R),则g=m-ni,g=9'g∈R,则a∈R, 即m3-3mn2+(3m2n-n3)i∈R, .3m2n=n3,n≠0，.n2=3m2, 即4ac-b2=3b2,化简ac=b2, ∴x=二b生36i,若a=-6y3i 2a 2a 则=62吕=号-. 若a=一636i 2a 州去题骨+得 综上所远，吕=吉土 假期作业16 1.C[根据题意可得从书架上任取1本书，有 4种十3种十2种=9种不同的取法.] 2.B[由分步计数原理可知，从甲地到丙地的不 同的走法种数为2×3=6.] 3.B 爱-&-器-1 2 4.B[甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元 素，共有AA种排法，甲乙相邻且在两端有 C2AA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的 排法有AA-C2AA=24(种).] 5.B[因为备有4种荤菜，8种素菜，2种汤，所以 荤菜有4种选法，素菜有8种选法，汤菜有2种 选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配 制出不同的套餐有4×8×2=64种.] 6.B[当乙、丙中有一人在A社区时有C2CC2= 6种安排方法；当乙、丙两人都在B社区时有 CC=3种安排方法，所以共有9种不同的安排 方法.] 7 90M-= 7.D[先从3个偶数中选出1个，再从3个奇数 中选出2个，先选后排，共有CCA=3X3X6 =54(个).] 8.解析：由题意可得该市的有线电视可接收12十8 十40=60个频道，而其中3个频道播放1个节 目，其余57个频道互不相同，则可选看57十1= 58个节目， 答案：58 9.解析：若1男2女，则有CC号=30， 若2男1女，则有CC=15, 合计30+15=45. 答案：45 10.解析：若未位为0，则可组成A个满足题意的 五位数；若末位为5，则可组成A;A个满足题 意的五位数，，，共可组成满足题意的五位数有 A+AA=660个. 答案：660 11.解：用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序，则 完成这件事有3类方法. 第1类，宣传广告与公益广告的播放顺序是2， 4,6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2× 1×1=36种不同的播放方式； 第2类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1， 4,6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2× 1×1=36种不同的播放方式； 第3类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1， 3,6.同样分6步完成这件事，共有3×3×2× 2×1×1=36种不同的播放方式， 由分类加法计数原理，得6个广告不同的播放 方式共有36十36+36=108种. 12.解：(1)法一：直接排，要分甲排在排尾和甲既 不排在排头也不排在排尾两种情况 若甲排在排尾共有A1A=6种排法. 若甲既不在排头也不在排尾共有A2A2A?=8 种排法，由分类计数原理知满足条件的排法共 有AA+A2A2A=14(种). 法二：也可间接计算：A一2A+A=14(种). (2)可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在 第二位，则乙有3种排法；甲、乙排好后，丙、丁 只有一种排法，由分步计数原理知满足条件的 所有排法共有3×3×1=9（种）. 三0022 (3)可先排丙、丁有A种排法，则甲、乙只有一 种排法，由分步计数原理满足条件的排列共有 =12). AX1=12(种)，或看作定序问题元 假期作业17 1.B[因为+)引 的展开式共有n十1项，所以n 十1=9，所以n=8.] 2.C[由题意知：展开式中含x的项为C·(一2x) =一6x,故x的系数为一6.] 3.A[令x=1,则(1-2)5=a+a1(1-1)+a2(1 -1)2+…+a5(1-1)5=a=-1.] 4.C[根据二项展开式的通项公式Tm+1= C(x2)9-m(-x1)m=(-1)mC0x18-3m, 令18-3m=0,解得m=6, .常数项为T,=(-1)C=84.] 5.B[由(+)”的展开式的通预为T1 C0x0m,知展开式中系数最大的项即二项式 系数最大的项，即C最大，所以m=5,即第6 项的系数最大.] 6.B[令二项式(1-2x)2025中x=1,则各项系数 的和为(1一2×1)2025=（-1)2025=一1.故 选B.] 7.B[根据题意可得2=64，解得n=6, 则(2一)展开式的通项为工1=Cx (-广=-1Dcx令6-2m=0, 得m=3, 所以常数项为T,=Cx(-)'=-C心 6×5×4=-20.] 3×2×1 8解析：（-） 的二项式系数和为2”=256， 可得n=8， 所以（版-） 的所有项的系数和为(1一2)8 =1. 答案：1 9.解析：令x=1,则(2十1)”=3”=a十a1十a2十…十a =81,所以n=4. 答案：4 10.解析：由题意得C=C, 所以n=9, 的展开式的通项公式为 T=cx(2”=()”Gx, 令g-m=0,得m=6, 所以常数项为T,=(合)”C-器 答案器 11.解：(1)由题意，结合二项式系数的性质可得， 2"=32,解得n=5. (2)在展开式中令x=1,得-1=a0十a1十a2十 …十any 即a0十a1十a2十…十an=-l. 12.解：(1)由题设，Cg+C十C=29,整理得 n2+n-56=0,解得n=-8(舍)或n=7. (2)由(1)知：二项式展开式通项为Tm+1= C?(ax2)7-mx登=a7-mCx14+罗， 当m=6时为含x的项，故7a=56,解得a=8. 假期作业18 1.C[由随机变量的分布列的性质知0.15+ 0.35+m十0.25=1，解得m=-0.25.] 2.B[X=3表示选出的4个代表中有3个男生1 个安生，周P0X-》-答智-] 3.D[由随机变量服从正态分布N(μ，o),可得 正态曲线的对称轴为x=μ， 因为P(≤c)=P(>c),所以c=4.] 4.D[分布列中出现的所有的概率之和等于 1,0.3+m+0.4=1,m=0.3, ∴.随机变量的数学期望E()=1×0.3十3× 0.3+5×0.4=3.2.] 5.D[因为随机支量B(4,号)， 所以P=3)=C×(号)'×(1-)=器】