专题01丰富的图形世界期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题01丰富的图形世界期中复习讲义 1.几何体识别：能识别常见立体图形（圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球），分清棱柱、棱锥的底面、侧面、顶点、棱；掌握棱柱的特征，区分直棱柱与斜棱柱，会判断几何体的分类。 2.展开与折叠：理解正方体的展开图，能识别正方体 11 种展开图，快速判断相对面、相邻面；会判断常见立体图形（圆柱、圆锥、棱柱）的侧面展开图，能根据展开图还原几何体。 3.截面问题：了解用平面截几何体的原理，掌握平面截正方体、圆柱、圆锥、棱柱可能得到的截面形状，能判断截面的形状，理解截面形状与截的角度、方向有关。 从三个方向看物体的形状：会画简单几何体以及组合几何体的主视图、左视图、俯4.视图；能根据三视图还原简单几何体，根据三视图判断小立方体的个数。 点、线、面、体：理解点、线、面、体之间的关系，掌握 “点动成线，线动成面，面动成体”，能判断平面图形旋转后得到的立体图形。 5.空间想象能力：建立初步空间观念，实现立体图形和平面图形之间的相互转化，培养空间想象能力。 6.易错点辨析：正方体展开图中排除 “田字格、凹字形” 不能折叠成正方体的情况；区分棱与侧棱；注意三视图长对正、高平齐、宽相等；由俯视图还原几何体时，注意小立方体个数的多种可能性，不要漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 常见的几何体 ★ 题型二 组合几何体的构成 ★★ 题型三 几何体中的点、棱、面 ★ 题型四 点、线、面、体四者之间的关系 ★★ 题型五 平面图形旋转后所得的立体图形 ★★ 题型六 从不同方向看几何体 ★★ 题型七 几何体展开图的认识 ★★ 题型八 由展开图计算几何体的表面积 ★★★ 题型九 由展开图计算几何体的体积 ★★★ 题型十 正方体几种展开图的识别 ★★ 题型十一 正方体相对两面上的字 ★★ 题型十二 含图案的正方体的展开图 ★★★ 题型十三 求展开图上两点折叠后的距离 ★★★★ 题型十四 补一个面使图形围成正方体 ★★★ 题型十五 截一个几何体 ★★ 题型十六 用七巧板拼图形 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 立体图形的相关概念 1. 定义 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形。 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分： ① 有曲面：圆柱、圆锥、球等； ② 没有曲面：棱柱、棱锥等。 2. 棱柱的有关概念及其特征 ① 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形。 ② 棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系： 底面多边形的边数 n确定该棱柱是 n 棱柱，它有 2n个顶点，3n 条棱，n 条侧棱，有 n+2 个面，n个侧面。 知识点02:立体图形特征对比表 大类 几何体 底面数量 & 形状 侧面构成 是否含曲面 是否存在顶点 柱体 正方体 2 个全等正方形 6 个长方形平面 无 8 个顶点 柱体 长方体 2 个全等长方形 6 个长方形平面 无 8 个顶点 柱体 n 棱柱 2 个全等 n 边形 n 个长方形平面 无 2n 个顶点 柱体 圆柱 2 个全等圆形 1 个曲面 有 无顶点 锥体 n 棱锥 1 个 n 边形 n 个三角形平面 无 1 个公共顶点 锥体 圆锥 1 个圆形 1 个曲面 有 1 个顶点 球体 球 无底面 单一闭合曲面 有 无顶点、无棱 知识点03:几何体两种标准分类方法（课堂重点讲解） 按形态分为三类：柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、球体（球） 按组成面是否含曲面划分： 全平面围成：正方体、长方体、所有棱柱、所有棱锥 含曲面：圆柱、圆锥、球 知识点04:几何基本元素：点、线、面、体 1. 基础定义 面：分为平面、曲面；平整无弯曲为平面，弧形弯折为曲面；面和面相交形成线； 线：分为直线、曲线；线与线相交形成点； 体：立体图形统称为体，全部由面围成。 2. 运动转化关系 运动规律 文字说明 生活实例 点动成线 点持续运动，轨迹形成线 笔尖画线、流星划过天空 线动成面 线平移 / 摆动，扫出一个平面 雨刷摆动、拉直绳子平移 面动成体 平面绕固定轴旋转一周，形成立体图形 长方形旋转成圆柱、直角三角形旋转成圆锥 立体图形 平面图形 旋转轴（绕哪条线转） 旋转后形成的立体 长方形 一条长边 / 短边 圆柱 直角三角形 直角边 圆锥 半圆 半圆的直径 球 直角梯形 垂直底边的腰 圆台 知识点05:截面基础概念 用一个平面去截一个几何体，截出的平面图形叫做截面；截面的形状由几何体本身形状和平面截取的角度、位置共同决定。 核心重点：平面截正方体 正方体共 6 个平面，平面每接触 1 个面，截面就多出 1 条边，因此截面最多为六边形。 截取平面接触正方体面的个数 对应截面形状 截取说明 3 个面 锐角三角形 平面经过正方体三个顶点截取，无法截出直角、钝角三角形 4 个面 正方形、长方形、平行四边形、梯形 平行于面截取得正方形 / 长方形；斜着截上下两条对边得梯形 5 个面 五边形 平面同时穿过正方体 5 个面 6 个面 六边形 平面均匀穿过正方体全部 6 个面 知识点06:常见几何体截面特征汇总 几何体 可能截出的截面 不能截出的图形 正方体 三角形、四边形、五边形、六边形 圆、弧形图形 圆柱 圆、长方形、椭圆 三角形 圆锥 圆、椭圆、等腰三角形 四边形、五边形 球 无论怎么截，截面永远是圆 多边形 关键结论 平面截球体，截面一定是圆形；曲面类几何体可以截出弧形，全平面围成的棱柱、棱锥只能截出多边形。 知识点07:立体图形的表面展开图 1. 展开图定义 将立体图形的表面沿棱剪开，平铺在同一平面上得到的平面图形，称为立体图形的展开图；同一个立体图形沿不同棱剪开，展开图样式不唯一。 2. 常见基础几何体标准展开图 长方体 / 正方体：6 个长方形（正方体为 6 个完全相同正方形）； 圆柱：2 个全等圆形 + 1 个长方形；长方形的长 = 底面圆周长，宽 = 圆柱的高； 圆锥：1 个圆形 + 1 个扇形；扇形弧长 = 底面圆周长； n 棱柱：2 个全等 n 边形 + n 个长方形。 知识点08:正方体 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可得到11 种不同的展开图。 把它归为四类： 一四一型：有 6 种； 二三一型（一三二型）：有 3 种； 三三型：有 1 种； 二二二型：有 1 种。 正方体展开图口诀 ① 一线不过四，田凹应弃之 ② 找相对面：相间，“Z” 端是对面 ③ 找邻面：间二，拐角邻面知 找正方体相对面技巧 同行隔一个，异行隔一列；不相邻、无公共顶点、无公共边的两个面为相对面。 知识点09:由展开图计算几何体的表面积与体积 1. 表面积计算 展开图的总面积 = 几何体的表面积 正方体：S = 6a2（a 为棱长） 长方体：S = 2(ab+bc+ac)(a,b,c为长宽高） 圆柱：S = 2π2 + 2πrh（r 底面半径，h 高） 2. 体积计算 正方体：V = a3 长方体：V = abc 圆柱：V = πr2 h 圆锥：V =πr2 h 知识点010:平面图形与七巧板 1. 平面图形识别 认识线段、角、三角形、四边形、圆等基本平面图形 区分直线、曲线，平面与曲面 2. 用七巧板拼图形 七巧板由 5 个三角形、1 个正方形、1 个平行四边形组成 可拼出多种几何图形、生活图案，锻炼图形组合与空间想象 题型一、常见的几何体 1．下列几何体中，是棱柱的几何体个数为______．    2．生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图的不锈钢漏斗的形状类似于（   ） A．棱锥 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥 3．鲜艳欲滴的水果是人们的最爱，观察图中的三幅图片，与如图所示的实物相类似的立体图形按从左到右的顺序依次是    (    ) A．球、圆锥、圆柱 B．球、棱柱、棱锥 C．圆柱、圆锥、球 D．球、圆柱、圆锥 题型二、组合几何体的构成 4．一个棱长为5厘米的正方体，在此正方体的上表面的正中间向下挖一个棱长3厘米的正方体小洞，接着在小洞底面的正中间再向下挖一个棱长1厘米的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是____________平方厘米． 5．玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为__________． 6．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 题型三、几何体中的点、棱、面 7．一个直棱柱一共有七个面，这个直棱柱侧棱数是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将每条棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有____________． 9．下列立体图形中，其表面所包含的平面图形都是三角形的是（     ） A． B． C． D． 题型四、点、线、面、体四者之间的关系 10．夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，从这些现象中我们发现（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 11．有下面三种现象：①扔一块小石子，石子在空中飞行的路线；②夜晚天空划过流星的痕迹；③汽车雨刮器在挡风玻璃上刮出的痕迹．其中能说明“点动成线”的现象是（     ） A．① B．①② C．①②③ D．②③ 12．如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱________⊥面．    题型五、平面图形旋转后所得的立体图形 13．如图所示的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到圆柱的图形序号是：______． 14．一个直角三角形两条直角边长分别是和，以其中一条直角边为轴旋转一周，得到几何体的体积为________． 15．如图是将三角形绕虚线l旋转一周得到的立体图形，则旋转的三角形是下列选项中的（   ） A． B． C．D． 题型六、从不同方向看几何体 16．图1是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，在图1的基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2的几何体，则从三个方向看到的形状图发生变化的是（     ） A．从正面看 B．从左面看 C．从上面看 D．从左面看和从上面看 17．用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用________个小立方块． 18．我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时，两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，从正面看它的图形是（    ） A． B． C． D． 题型七、几何体展开图的认识 19．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（     ） A． B． C． D． 20．如图，图1为一个长方体，，M为所在棱的中点，图（2）为图1的表面展开图，则图2中的面积为______． 21．一个正方体盒子的展开图如图所示，如果把它粘成一个正方体，那么与A点重合的是（    ）．         A．C点和I点 B．D点和E点 C．D点和F点 D．E点和F点 题型八、由展开图计算几何体的表面积 22．压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的（　　） A．体积 B．表面积 C．侧面积 D．容积 23．如图所示，图①为一个长方体，，，图②为图①的表面展开图，点为所在棱的中点，则图②中的面积是________ 24．将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型九、由展开图计算几何体的体积 25．如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 26．两个完全一样的圆柱，能拼成一个高的圆柱（如图），但表面积减少了．原来一个圆柱的体积是 __．    27．如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 题型十、正方体几种展开图的识别 28．如图所示的四个图形中，能折叠成正方体的是（     ） A． B． C． D． 29．如图，在有序号的小正方形中选出一个，它与图中五个有阴影的小正方形组合后，能构成正方体的表面展开图的是______． 30．如图是一个小立方块几何体的平面展开图，哪个不正确（   ） A． B． C． D． 题型十一、正方体相对两面上的字 31．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．中 B．故 C．事 D．讲 32．如图，2个正方体的6个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，黄色相对面的颜色是______． 33．把正方体的六个面分别标上六个字母，将大小相同，字母标注一样的三个正方体拼成如图所示的长方体，已知字母所在的面和字母所在的面相对，则字母所在的面和哪个字母所在的面相对（     ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 题型十二、含图案的正方体的展开图 34．如图，下面四个图形中是左面正方体的展开图的是（     ） A． B． C．D． 35．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是________，最小是________． 36．小红制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如下图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（   ） A． B． C． D． 题型十三、求展开图上两点折叠后的距离 37．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 38．图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 39．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______． 题型十四、补一个面使图形围成正方体 40．小石准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个边长相等的正方形硬纸制作成如图所示的拼接图形（实线部分）．请你在图中的拼接图形上再接上一个正方形，使得新拼接的图形经过折叠后能够成为一个封闭的正方体盒子（只需添加一个符合要求的正方形，并将添加的正方形用阴影表示）．是_______． 41．黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 42．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型十五、截一个几何体 43．元宵节是春节年俗的重要组成部分，其节令特色食品是元宵．如果把元宵看成一个球体，用一个平面去截该几何体，那么截面是（     ） A．三角形 B．正方形 C．圆 D．半圆 44．如图，用一个垂直于长方体下底面的平面截长方体，截面的形状是（     ） A． B． C． D． 45．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，会出现很多多边形，其中可能出现边数最多的多边形是________． 46．“检查”的原理是通过扫描和计算，把人体从不同角度“切”成无数薄层，每一层就是一个截面图像，医生通过这些图像就能精准看到人体内部细节．已知一物体外形是正方体（如图①），为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面截这个物体，截了七次，得到一组自左向右的截面（如图②），则这个正方体的内部构造可能是空了一个（   ）体． A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 题型十六、用七巧板拼图形 47．七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 48．如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________． 49．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 解答题 50．如图所示的正方体被竖直截取了一部分： (1)写出被截取几何体的名称，并依次回答其面数、顶点数、棱数． (2)求被截取的几何体的体积．（棱柱的体积底面积高） 51．李明同学设计的某个产品的正方体包装盒如下图所示．由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有_________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图； (3)在你帮忙在设计成功的图中，把，8，10，10，8，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相等． 52．某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图①中的______图形经折叠能围成无盖正方体纸盒；（填序号） (2)如图②，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为． Ⅰ．四角应各剪去边长为______的小正方形； Ⅱ．计算此长方体纸盒的容积； (3)根据如图③所示的方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．该长方体纸盒的表面积为多少？ 53．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作： 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． (1)旋转后形成的几何体是_____，这体现了____________（点线面之间的关系） (2)请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大？ 54．如图，在平整地面上，若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)这个几何体由 个小正方体组成； (2)在网格中画出从正面、左面、上面看到的图； (3)如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则这个几何体喷漆的面积是多少． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01丰富的图形世界期中复习讲义 1.几何体识别：能识别常见立体图形（圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球），分清棱柱、棱锥的底面、侧面、顶点、棱；掌握棱柱的特征，区分直棱柱与斜棱柱，会判断几何体的分类。 2.展开与折叠：理解正方体的展开图，能识别正方体 11 种展开图，快速判断相对面、相邻面；会判断常见立体图形（圆柱、圆锥、棱柱）的侧面展开图，能根据展开图还原几何体。 3.截面问题：了解用平面截几何体的原理，掌握平面截正方体、圆柱、圆锥、棱柱可能得到的截面形状，能判断截面的形状，理解截面形状与截的角度、方向有关。 从三个方向看物体的形状：会画简单几何体以及组合几何体的主视图、左视图、俯4.视图；能根据三视图还原简单几何体，根据三视图判断小立方体的个数。 点、线、面、体：理解点、线、面、体之间的关系，掌握 “点动成线，线动成面，面动成体”，能判断平面图形旋转后得到的立体图形。 5.空间想象能力：建立初步空间观念，实现立体图形和平面图形之间的相互转化，培养空间想象能力。 6.易错点辨析：正方体展开图中排除 “田字格、凹字形” 不能折叠成正方体的情况；区分棱与侧棱；注意三视图长对正、高平齐、宽相等；由俯视图还原几何体时，注意小立方体个数的多种可能性，不要漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 常见的几何体 ★ 题型二 组合几何体的构成 ★★ 题型三 几何体中的点、棱、面 ★ 题型四 点、线、面、体四者之间的关系 ★★ 题型五 平面图形旋转后所得的立体图形 ★★ 题型六 从不同方向看几何体 ★★ 题型七 几何体展开图的认识 ★★ 题型八 由展开图计算几何体的表面积 ★★★ 题型九 由展开图计算几何体的体积 ★★★ 题型十 正方体几种展开图的识别 ★★ 题型十一 正方体相对两面上的字 ★★ 题型十二 含图案的正方体的展开图 ★★★ 题型十三 求展开图上两点折叠后的距离 ★★★★ 题型十四 补一个面使图形围成正方体 ★★★ 题型十五 截一个几何体 ★★ 题型十六 用七巧板拼图形 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 立体图形的相关概念 1. 定义 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形。 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分： ① 有曲面：圆柱、圆锥、球等； ② 没有曲面：棱柱、棱锥等。 2. 棱柱的有关概念及其特征 ① 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形。 ② 棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系： 底面多边形的边数 n确定该棱柱是 n 棱柱，它有 2n个顶点，3n 条棱，n 条侧棱，有 n+2 个面，n个侧面。 知识点02:立体图形特征对比表 大类 几何体 底面数量 & 形状 侧面构成 是否含曲面 是否存在顶点 柱体 正方体 2 个全等正方形 6 个长方形平面 无 8 个顶点 柱体 长方体 2 个全等长方形 6 个长方形平面 无 8 个顶点 柱体 n 棱柱 2 个全等 n 边形 n 个长方形平面 无 2n 个顶点 柱体 圆柱 2 个全等圆形 1 个曲面 有 无顶点 锥体 n 棱锥 1 个 n 边形 n 个三角形平面 无 1 个公共顶点 锥体 圆锥 1 个圆形 1 个曲面 有 1 个顶点 球体 球 无底面 单一闭合曲面 有 无顶点、无棱 知识点03:几何体两种标准分类方法（课堂重点讲解） 按形态分为三类：柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、球体（球） 按组成面是否含曲面划分： 全平面围成：正方体、长方体、所有棱柱、所有棱锥 含曲面：圆柱、圆锥、球 知识点04:几何基本元素：点、线、面、体 1. 基础定义 面：分为平面、曲面；平整无弯曲为平面，弧形弯折为曲面；面和面相交形成线； 线：分为直线、曲线；线与线相交形成点； 体：立体图形统称为体，全部由面围成。 2. 运动转化关系 运动规律 文字说明 生活实例 点动成线 点持续运动，轨迹形成线 笔尖画线、流星划过天空 线动成面 线平移 / 摆动，扫出一个平面 雨刷摆动、拉直绳子平移 面动成体 平面绕固定轴旋转一周，形成立体图形 长方形旋转成圆柱、直角三角形旋转成圆锥 立体图形 平面图形 旋转轴（绕哪条线转） 旋转后形成的立体 长方形 一条长边 / 短边 圆柱 直角三角形 直角边 圆锥 半圆 半圆的直径 球 直角梯形 垂直底边的腰 圆台 知识点05:截面基础概念 用一个平面去截一个几何体，截出的平面图形叫做截面；截面的形状由几何体本身形状和平面截取的角度、位置共同决定。 核心重点：平面截正方体 正方体共 6 个平面，平面每接触 1 个面，截面就多出 1 条边，因此截面最多为六边形。 截取平面接触正方体面的个数 对应截面形状 截取说明 3 个面 锐角三角形 平面经过正方体三个顶点截取，无法截出直角、钝角三角形 4 个面 正方形、长方形、平行四边形、梯形 平行于面截取得正方形 / 长方形；斜着截上下两条对边得梯形 5 个面 五边形 平面同时穿过正方体 5 个面 6 个面 六边形 平面均匀穿过正方体全部 6 个面 知识点06:常见几何体截面特征汇总 几何体 可能截出的截面 不能截出的图形 正方体 三角形、四边形、五边形、六边形 圆、弧形图形 圆柱 圆、长方形、椭圆 三角形 圆锥 圆、椭圆、等腰三角形 四边形、五边形 球 无论怎么截，截面永远是圆 多边形 关键结论 平面截球体，截面一定是圆形；曲面类几何体可以截出弧形，全平面围成的棱柱、棱锥只能截出多边形。 知识点07:立体图形的表面展开图 1. 展开图定义 将立体图形的表面沿棱剪开，平铺在同一平面上得到的平面图形，称为立体图形的展开图；同一个立体图形沿不同棱剪开，展开图样式不唯一。 2. 常见基础几何体标准展开图 长方体 / 正方体：6 个长方形（正方体为 6 个完全相同正方形）； 圆柱：2 个全等圆形 + 1 个长方形；长方形的长 = 底面圆周长，宽 = 圆柱的高； 圆锥：1 个圆形 + 1 个扇形；扇形弧长 = 底面圆周长； n 棱柱：2 个全等 n 边形 + n 个长方形。 知识点08:正方体 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可得到11 种不同的展开图。 把它归为四类： 一四一型：有 6 种； 二三一型（一三二型）：有 3 种； 三三型：有 1 种； 二二二型：有 1 种。 正方体展开图口诀 ① 一线不过四，田凹应弃之 ② 找相对面：相间，“Z” 端是对面 ③ 找邻面：间二，拐角邻面知 找正方体相对面技巧 同行隔一个，异行隔一列；不相邻、无公共顶点、无公共边的两个面为相对面。 知识点09:由展开图计算几何体的表面积与体积 1. 表面积计算 展开图的总面积 = 几何体的表面积 正方体：S = 6a2（a 为棱长） 长方体：S = 2(ab+bc+ac)(a,b,c为长宽高） 圆柱：S = 2π2 + 2πrh（r 底面半径，h 高） 2. 体积计算 正方体：V = a3 长方体：V = abc 圆柱：V = πr2 h 圆锥：V =πr2 h 知识点010:平面图形与七巧板 1. 平面图形识别 认识线段、角、三角形、四边形、圆等基本平面图形 区分直线、曲线，平面与曲面 2. 用七巧板拼图形 七巧板由 5 个三角形、1 个正方形、1 个平行四边形组成 可拼出多种几何图形、生活图案，锻炼图形组合与空间想象 题型一、常见的几何体 1．下列几何体中，是棱柱的几何体个数为______．    【答案】2 【分析】本题考查棱柱的识别，上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱，根据定义判断即可． 【详解】 解：所列几何体中，是棱柱，共2个， 故答案为：2． 2．生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图的不锈钢漏斗的形状类似于（   ） A．棱锥 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题主要考查了认识立体图形，关键是结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．根据图形直接得到答案． 【详解】解：如图的不锈钢漏斗的形状类似于圆锥． 故选：D． 3．鲜艳欲滴的水果是人们的最爱，观察图中的三幅图片，与如图所示的实物相类似的立体图形按从左到右的顺序依次是    (    ) A．球、圆锥、圆柱 B．球、棱柱、棱锥 C．圆柱、圆锥、球 D．球、圆柱、圆锥 【答案】D 【分析】常见的立体图形如:长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等；观察图形并结合上述立体图形,即可得到答案. 【详解】由题目可知，第一个水果是类似球，第二个类似圆柱，第三个类似圆锥. 故答案选D. 【点睛】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识. 题型二、组合几何体的构成 4．一个棱长为5厘米的正方体，在此正方体的上表面的正中间向下挖一个棱长3厘米的正方体小洞，接着在小洞底面的正中间再向下挖一个棱长1厘米的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是____________平方厘米． 【答案】190 【分析】本题考查了求不规则立方体的表面积，根据题意得到正方体多出中正方体和小正方体各4个面，进行求解即可． 【详解】解：立体图形的表面积为（平方厘米）； 故答案为：190． 5．玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为__________． 【答案】 【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 6．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 题型三、几何体中的点、棱、面 7．一个直棱柱一共有七个面，这个直棱柱侧棱数是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【详解】解：∵直棱柱包含2个底面，总面数为7， ∴侧面数为， ∵直棱柱的侧棱数与侧面数相等， ∴侧棱数为5. 8．如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将每条棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有____________． 【答案】12 【分析】本题主要考查正方体表面的涂色问题，掌握两面涂色的正方体是原正方体各条棱上中间的小正方体，是解题的关键． 根据题意可知一共分成了27个小正方体，两面都涂色是中间那层，一条边在棱上的部分． 【详解】两面都涂色是中间那层，一条边在棱上的小正方体， 每个中间层有4个，3个中间层共有：（个）， 故答案为：12． 9．下列立体图形中，其表面所包含的平面图形都是三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、底面为长方形，故本选项不符合题意； B、侧面均为长方形，故本选项不符合题意； C、所有面均为长方形，故本选项不符合题意； D、表面所包含的平面图形都是三角形，故本选项符合题意； 题型四、点、线、面、体四者之间的关系 10．夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，从这些现象中我们发现（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查点、线、面、体的定义，从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．根据点动成线，线动成面，面动成体来解答． 【详解】解：夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，从这些现象中我们发现点动成线； 故选：A． 11．有下面三种现象：①扔一块小石子，石子在空中飞行的路线；②夜晚天空划过流星的痕迹；③汽车雨刮器在挡风玻璃上刮出的痕迹．其中能说明“点动成线”的现象是（     ） A．① B．①② C．①②③ D．②③ 【答案】B 【详解】解：现象①：小石子看作一个点，在空中飞行的路线是线，符合“点动成线”； 现象②：流星看作一个点，划过的痕迹是线，符合“点动成线”； 现象③：雨刮器看作一条线，在挡风玻璃上刮出的痕迹是面，属于“线动成面”． 12．如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱________⊥面．    【答案】 【分析】根据直线与平面垂直的定义进行判断即可． 【详解】解：∵面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸， ∴棱面， 故答案为：． 【点睛】本题考查认识立体图形，理解直线垂直平面的定义是正确判断的前提． 题型五、平面图形旋转后所得的立体图形 13．如图所示的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到圆柱的图形序号是：______． 【答案】② 【分析】本题考查了平面图形运动得到立体图形，掌握常见平面图形运动得到立体图形是关键；圆柱是由长方形绕一边所在直线旋转一周得到即可确定答案． 【详解】解：平面图形①绕虚线旋转一周得到的是圆台，平面图形②绕虚线旋转一周得到的是圆柱； 故答案为：②． 14．一个直角三角形两条直角边长分别是和，以其中一条直角边为轴旋转一周，得到几何体的体积为________． 【答案】或 【分析】直角三角形以直角边为轴旋转得到圆锥，分两种情况确定圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式计算即可. 【详解】解：旋转后得到的几何体为圆锥，分两种情况计算体积： 当以的直角边为轴旋转时，圆锥底面半径，高，圆锥体积公式为，代入得； 当以的直角边为轴旋转时，圆锥底面半径，高，代入体积公式得； 因此所得几何体的体积为或. 15．如图是将三角形绕虚线l旋转一周得到的立体图形，则旋转的三角形是下列选项中的（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面图形旋转后所得的立体图形，根据立体图形是两个底面重合的圆锥，进而判断出三角形的形状，即可求解． 【详解】解：依题意，将平面图形 绕着直线旋转一周即可得到如图所示的立体图形， 故选：C． 题型六、从不同方向看几何体 16．图1是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，在图1的基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2的几何体，则从三个方向看到的形状图发生变化的是（     ） A．从正面看 B．从左面看 C．从上面看 D．从左面看和从上面看 【答案】C 【分析】找出从不同方向看到的平面图形，并对比变化前后的图形差异即可． 【详解】解：从正面看：图从正面看是列，左边列有个小正方形，右边列有个小正方形；图从正面看是列，左边列有个小正方形，右边列有个小正方形； 从左面看：图从左面看是列，左边列有个小正方形，右边列有个小正方形；图从左面看是列，左边列有个小正方形，右边列有个小正方形； 从上面看：图从上面看是列，左边列有个小正方形，右边列有个小正方形；图从上面看是列，左边列有个小正方形，右边列有个小正方形； 故从三个方向看到的形状图发生变化的是从上面看． 17．用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用________个小立方块． 【答案】 【分析】由上面看到的图形确定底层小立方块的个数及分布情况，由正面看到的图形确定每一列小立方块的最高层数，综合两者求出最多数量． 【详解】解：由从上面看到的图形可知，该几何体最底层共有5个小立方块，分布在左、中、右三列，其中左列有3个位置，中列有1个位置，右列有1个位置，由从正面看到的图形可知，左列最高为2层，中列最高为1层，右列最高为1层，要使小立方块数量最多，则左列的3个位置均摆放2个小立方块，中列和右列的各1个位置均摆放1个小立方块， 搭成这个几何体最多用个小立方块． 18．我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时，两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，从正面看它的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形的特点求解即可． 【详解】 解：据图可知，“牟合方盖”从正面看它的图形是． 题型七、几何体展开图的认识 19．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、两底面一个是直角三角形，一个是等边三角形，两底面的三角形不全等，故本选项错误； B、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误； C、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确； D、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误． 20．如图，图1为一个长方体，，M为所在棱的中点，图（2）为图1的表面展开图，则图2中的面积为______． 【答案】68或16 【分析】本题主要考查长方体的展开图，根据长方体展开图的特点分类讨论是解题关键．分类讨论，再结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由长方体的展开图可分类讨论：①当点M的位置如图，且为所在线段中点时，连接，， ∴， ∴； ②当点M的位置如图，且为线段中点时，连接， ∴， ∴． 故答案为：16或68． 21．一个正方体盒子的展开图如图所示，如果把它粘成一个正方体，那么与A点重合的是（    ）．         A．C点和I点 B．D点和E点 C．D点和F点 D．E点和F点 【答案】C 【分析】本题主要考查的是几何体的展开图的有关知识．在解答这类问题时，一般要通过合理想象或者通过实际操作，将展开图还原，进而得到答案．这种题目有助于培养学生的空间想象能力． 【详解】解：结合已知图形，将正方体展开图粘成正方体后如图所示，则与点A重合的点是D、F．   故选：C． 题型八、由展开图计算几何体的表面积 22．压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的（　　） A．体积 B．表面积 C．侧面积 D．容积 【答案】C 【分析】根据压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的侧面积，进行解答即可． 【详解】解：压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的侧面积， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了几何体的有关知识，解题关键是理解圆柱侧面积的计算方法． 23．如图所示，图①为一个长方体，，，图②为图①的表面展开图，点为所在棱的中点，则图②中的面积是________ 【答案】 【分析】根据题干确定长方体的长、宽、高及点的位置，结合展开图性质确定的底和高，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，在长方体中，，， 过点作交于点， ∵四边形为长方形， ∴，， ∵点为所在棱的中点， ∴, ∵展开图中，与分别是长方形的两条平行线， ∴点到直线的距离即为与之间的距离，即的长， ∴， ∴， 即图②中的面积是． 24．将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 题型九、由展开图计算几何体的体积 25．如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 【答案】D 【分析】本题主要考查长方体体积的计算方法，熟练根据图求出长、宽、高是解题关键．利用图形求出长方体的宽及长即可． 【详解】解：∵长方体的底面为正方形，由图可知底面周长为12， ∴长方体的底面边长为：， ∴长方体的高为：， ∴长方体箱子的体积为，， 故选：D． 26．两个完全一样的圆柱，能拼成一个高的圆柱（如图），但表面积减少了．原来一个圆柱的体积是 __．    【答案】 【分析】先求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积=底面积×高，即可求解． 【详解】解： （立方分米） 答：原来一个圆柱的体积是立方分米． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求圆柱的体积，解题的关键是根据题意得出底面积，以及掌握圆柱的体积公式，圆柱的体积=底面积×高． 27．如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【分析】本题考查长方体的展开图，长方体的容积． 由长方体的展开图，可知长方体的长，宽，高，代入长方体的容积公式计算即可． 【详解】解：根据长方体的展开图，可知长方体的高是，宽是，长是， 长方体的容积是， 故选：D． 题型十、正方体几种展开图的识别 28．如图所示的四个图形中，能折叠成正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体展开图的11种特征进行判断，排除含“田”字及一行超过4个的图形． 【详解】解：A． 属于“”型，能折叠成正方体； B． 含有“田”字结构，不能折叠成正方体； C． 含有“田”字结构，不能折叠成正方体； D． 一行有5个正方形，折叠后会重叠，不能折叠成正方体． 29．如图，在有序号的小正方形中选出一个，它与图中五个有阴影的小正方形组合后，能构成正方体的表面展开图的是______． 【答案】① 【分析】根据正方体的11种展开图的模型即可求解． 【详解】解：∵选取②③④不可以构成正方体的表面展开图， 选取①时，能构成正方体的表面展开图； 答案为：①． 【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，熟记正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、端是对面，间二、拐角邻面知． 30．如图是一个小立方块几何体的平面展开图，哪个不正确（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图．正方体的展开图有一四一型、二三一型、二二二型、三三型，据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、符合一四一型，是正方体的表面展开图，则此项不符合题意； B、不符合正方体的展开图的几种模型图，不是正方体的表面展开图，则此项符合题意； C、符合二二二型，是正方体的表面展开图，则此项不符合题意； D、符合一四一型，是正方体的表面展开图，则此项不符合题意． 故选：B． 题型十一、正方体相对两面上的字 31．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．中 B．故 C．事 D．讲 【答案】C 【分析】正方体表面展开图中，相对的面之间相隔一个正方形，据此解题． 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“中”与“故”相对，“国”与“事”相对，“讲”与“好”相对， 与“国”字所在面相对的面上的汉字是“事”． 32．如图，2个正方体的6个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，黄色相对面的颜色是______． 【答案】绿色 【分析】由图可得与黄色相邻的颜色分别为红、蓝、白、黑，即可得出与黄色相对的颜色． 【详解】解：由图可得与黄色相邻的颜色分别为红、蓝、白、黑， 故与黄色相对的颜色是绿色． 33．把正方体的六个面分别标上六个字母，将大小相同，字母标注一样的三个正方体拼成如图所示的长方体，已知字母所在的面和字母所在的面相对，则字母所在的面和哪个字母所在的面相对（     ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】B 【分析】根据正方体的相对面关系和拼接后的长方体的面位置，推断字母D所在的面与哪个字母所在的面相对． 【详解】解：因为字母A所在的面和字母C所在的面相对，字母B所在的面和字母D、E所在的面相邻， 所以字母B所在的面和字母F所在的面相对，则字母D所在的面和字母E所在的面相对． 题型十二、含图案的正方体的展开图 34．如图，下面四个图形中是左面正方体的展开图的是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【详解】 解：由正方体上三个图案的位置关系即可得到正方体的展开图的是． 35．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是________，最小是________． 【答案】 51 26 【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4、5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值； 要使能看到的纸盒面上的数字之和最小，则把第一个正方体的数字6的面与第二个正方体的数字5的面相连，把数字5的面放在下面，则第一个正方体露在外面的数字分别是1、2、3、4；第二个正方体的数字6的面与第三个正方体数字6的面相连，数字4的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是1、2、3；第三个正方体露在外面的数字是1、2、3、4，即可得能看得到的点数之和最小值． 【详解】解：根据题意，得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51， 最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4=26， 故答案为：51，26． 故答案为：51，26． 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力． 36．小红制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如下图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方体对面图案全部相同，利用正方体展开图“相间是对面，字两端是对面”的规律，逐一判断每个选项中相对两个面的图案，筛选出三组对面图案均相同的选项． 【详解】解：正方体平面展开图中，相对的面不相邻，满足“相间、端是对面”． 选项A：第一与第三面相对，图案相同；第二与第四面相对，图案相同；上下两面相对，图案相同，符合题意； 选项B：第一与第三面相对，图案不相同，不符合题意； 选项C：第一与第三面相对，图案不相同，不符合题意； 选项D：第二与第四面相对，图案不相同，不符合题意． 题型十三、求展开图上两点折叠后的距离 37．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 38．图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 39．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______． 【答案】4 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 题型十四、补一个面使图形围成正方体 40．小石准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个边长相等的正方形硬纸制作成如图所示的拼接图形（实线部分）．请你在图中的拼接图形上再接上一个正方形，使得新拼接的图形经过折叠后能够成为一个封闭的正方体盒子（只需添加一个符合要求的正方形，并将添加的正方形用阴影表示）．是_______． 【答案】 解：如图所示：（答案不唯一） 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可，答案不唯一． 【详解】略 【点睛】考查了展开图折叠成几何体，掌握正方体的11种平面展开图，并灵活应用其进行准确判断是解题的关键，此类题重点培养学生的空间想象能力． 41．黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 【答案】4 【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 42．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 题型十五、截一个几何体 43．元宵节是春节年俗的重要组成部分，其节令特色食品是元宵．如果把元宵看成一个球体，用一个平面去截该几何体，那么截面是（     ） A．三角形 B．正方形 C．圆 D．半圆 【答案】C 【分析】根据球体的几何性质，分析用平面去截球体时截面的形状． 【详解】解：球体的任意平面截面都是圆． 44．如图，用一个垂直于长方体下底面的平面截长方体，截面的形状是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，截面垂直于长方体的底面，截面与长方体的上下底面相交，交线互相平行，截面与长方体的侧面相交，交线互相平行且垂直于底面， 所以截面是长方形． 45．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，会出现很多多边形，其中可能出现边数最多的多边形是________． 【答案】六边形 【分析】正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，进而可得出所有可能的情况． 【详解】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形， ∴可能出现边数最多的多边形是六边形． 46．“检查”的原理是通过扫描和计算，把人体从不同角度“切”成无数薄层，每一层就是一个截面图像，医生通过这些图像就能精准看到人体内部细节．已知一物体外形是正方体（如图①），为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面截这个物体，截了七次，得到一组自左向右的截面（如图②），则这个正方体的内部构造可能是空了一个（   ）体． A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题考查了截几何体．熟练掌握截几何体得到的一组图形的异同是解题的关键． 根据除图②中第四个图形外都是一条曲线，可以判断内部几何体是由曲面围成； 第四个图形内部是一个三角形，据此即可得出这个正方体的内部构造是空了一个圆锥体． 【详解】解：观察图形，除图②中第四个图形（从上向下，自左向右）外都是一条曲线， ∴几何体内部是由曲面围成的，而且上小下大， ∵第四个图形内部是一个三角形并且图形面积最大， ∴该几何体内部是圆锥． 故选：D． 题型十六、用七巧板拼图形 47．七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．根据小三角形的面积是小正方形面积的一半；平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等；大三角形的面积是小正方形面积的2倍，即可求出结果． 【详解】解：两块最大等腰直角三角形的直角边的长为， 两块最大等腰直角三角形的面积为， 平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等，且等于大三角形的面积的一半， 平行四边形、最左侧腰直角三角形、小正方形的面积都为， 小三角形的面积是小正方形面积的一半， 小三角形的面积是， “灵蛇开运”图的面积是， 故选：B． 48．如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各块图形面积占总面积的比例，识别图中阴影部分由哪些图形组成，利用总面积计算各部分面积之和即可． 【详解】解：设图大正方形的面积为， ∴， 根据七巧板的性质，平行四边形的面积为，小正方形的面积为，小等腰直角三角形的面积为 观察图可知，阴影部分由一个平行四边形、一个正方形和两个小等腰直角三角形组成， ∴阴影部分的面积为： ． 49．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各板块面积与总面积的比例关系，识别阴影部分对应的图形，计算面积之和即可． 【详解】解：如图， 根据七巧板的结构可知，①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成， ∴阴影部分的面积为． 解答题 50．如图所示的正方体被竖直截取了一部分： (1)写出被截取几何体的名称，并依次回答其面数、顶点数、棱数． (2)求被截取的几何体的体积．（棱柱的体积底面积高） 【答案】(1)解：被截取的几何体是三棱柱，该几何体一共有5个面，6个顶点，9条棱； (2) 【详解】（1）略 （2）解：， ∴被截取的几何体的体积为． 51．李明同学设计的某个产品的正方体包装盒如下图所示．由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有_________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图； (3)在你帮忙在设计成功的图中，把，8，10，10，8，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相等． 【答案】(1)4 (2) 解：示例：如图①所示． (3) 解：示例：如图②所示（答案不唯一）． 【分析】（1）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可； （2）根据正方体表面展开图的特征画出图形即可； （3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一． 【详解】（1）解：根据正方体表面展开图的特征可知，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有种弥补方法 故答案为：． （2）略 （3）略 【点睛】此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键． 52．某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图①中的______图形经折叠能围成无盖正方体纸盒；（填序号） (2)如图②，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为． Ⅰ．四角应各剪去边长为______的小正方形； Ⅱ．计算此长方体纸盒的容积； (3)根据如图③所示的方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．该长方体纸盒的表面积为多少？ 【答案】(1)C (2)①；② (3) 【分析】（1）根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”进行判断即可； （2）Ⅰ：高就是小正方形的边长；Ⅱ：确定长方体纸盒的长、宽、高，由体积计算公式进行计算即可； （3）根据棱柱的展开与折叠，求出长方体的长、宽、高，再根据表面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子； （2）解：Ⅰ：若折成的纸盒高为，四角应各剪去边长为的小正方形， Ⅱ：当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为（）的正方形，高是， 所以体积为（）； （3）解：由裁剪、折叠可知，所折叠的长方体的长为，宽为，高为， 所以长方体的表面积为． 53．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作： 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． (1)旋转后形成的几何体是_____，这体现了____________（点线面之间的关系） (2)请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大？ 【答案】(1)圆柱；面动成体 (2)解：根据圆柱的体积公式可得： 方案一：， 方案二：， ∵， ∴方案一构造的圆柱的体积大 【详解】（1）解：旋转后的几何体为圆柱，体现了面动成体. （2）略 54．如图，在平整地面上，若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)这个几何体由 个小正方体组成； (2)在网格中画出从正面、左面、上面看到的图； (3)如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则这个几何体喷漆的面积是多少． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】（1）根据几何体即可得到答案； （2）由已知图形可知，从正面看有3列，每列小正方形的数量为3、1、2；从左面看有3列，每列小正方形的数量为3、2、1；从上面看有3列，每列小正方形的数量为3、2、1，据此画出形状图即可； （3）首先计算露出的面数有38个，然后求出这个几何体喷漆的面积． 【详解】（1）解：由图形可知，该几何体下层有6个小正方体，中间层有3个小正方体，上层有1个小正方体， ， 即这个几何体由10个小正方体组成； （2）略 （3）解：由几何体可知，露出的面数有个， 即这个几何体喷漆的面积为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $