专题10 弧度制、同角三角函数的关系及诱导公式-2027年河北省对口升学数学《小题精练》（原卷版+解析版）

2027年河北省对口升学数学《小题精练》 专题10 弧度制、同角三角函数的关系及诱导公式 日期 班级 姓名 学号 一、单项选择题 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2.若α为第三象限角，则点在（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．扇形弧长是，面积是π，则圆心角为（    ） A．π B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则等于（ ） A． B． C． D． 6．在半径为的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，一只蚂蚁从点出发，沿单位圆（半径为1）按顺时针方向爬行到达点Q，则点Q的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．已知，则等于（     ）． A． B． C． D． 9．已知，则（   ） A． B． C．2 D．1 10．第24届国际数学家大会的会徽如图所示，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.其中直角三角形中较小的锐角为，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，则___________． 12.已知，且，则_______________. 13．在中，已知，则 ； . 14．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及弧田面积的计算问题.如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分，已知圆心角的弧度数为2，半径为2，则弧田的周长为____________  三、解答题 15．已知. （1）化简； （2）若是第三象限的角，且，求. 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年河北省对口升学数学《小题精练》 专题10 弧度制、同角三角函数的关系及诱导公式 日期 班级 姓名 学号 一、单项选择题 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】， 故选： 2.若α为第三象限角，则点在（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【详解为α为第三象限角，所以，所以点在第二象限， 故选：B. 3．扇形弧长是，面积是π，则圆心角为（    ） A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】由弧长公式和扇形面积公式即可得解. 【详解】设圆心角为，半径为，则扇形弧长为，面积为，解得. 故选：D. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 5．已知，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式将进行化简求得，再利用诱导公式结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：D. 6．在半径为的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的面积公式即可解得. 【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，所以由扇形的面积公式得. 故选：B. 7．如图所示，一只蚂蚁从点出发，沿单位圆（半径为1）按顺时针方向爬行到达点Q，则点Q的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单位圆上任意一点的坐标表示即可求解. 【详解】 单位圆上任意一点的坐标为，由题意可知，， 所以点Q的坐标为，即， 故选：D. 8．已知，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，即可求解. 【详解】因为，所以， 即，解得. 故选：B. 9．已知，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】由题意，利用商数关系对化简，变成关于的分式，再代入的值计算即可求解. 【详解】因为，所以， 则 . 故选：A. 10．第24届国际数学家大会的会徽如图所示，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.其中直角三角形中较小的锐角为，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角的三角函数的定义及同角三角函数的平方关系分析求解即可. 【详解】设大正方形的边长为，所以大正方形的面积为， 因为直角三角形中较小的锐角为， 所以在中，， 在中，， 所以小正方形的边长为， 因为，所以， 即， 所以， 所以小正方形的面积为：， 所以大正方形与小正方形的面积之比为，即. 故选：C. 二、填空题 11．已知，则___________． 【答案】 【分析】根据诱导公式，结合二倍角公式，进而求解. 【详解】由得，故， . 故答案为：. 12.已知，且，则_______________. 【答案】 【分析】根据诱导公式可将原式化为，从而求解. 【详解】由得，且，. 故答案为： 13．在中，已知，则 ； . 【答案】； 【分析】由同角三角形的基本关系式及诱导公式即可得解. 【详解】在中，，则，所以； . 故答案为：；. 14．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及弧田面积的计算问题.如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分，已知圆心角的弧度数为2，半径为2，则弧田的周长为____________    【答案】 【分析】根据弧长公式以及余弦定理求解即可. 【详解】由已知得，所求的弧田的周长是弧和弦的和， 弧长为， 由余弦定理得， 因此所求弧田的周长为. 故答案为：. 三、解答题 15．已知. （1）化简； （2）若是第三象限的角，且，求. 【答案】（1） （2）. 【分析】（1）根据诱导公式化简. （2）根据诱导公式化简，得到的值，再根据是第三象限的角，以及同角三角函数基本关系求，进而求解. 【详解】（1） . （2）∵，∴. 又∵是第三象限的角，∴，∴. 试卷第1页，共3页 试卷第4页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $